概率论初步

第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
5. 互斥关系（互不相容） 若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，或称事件A 与事件B互不相容，记作A∩B，如图所示.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
6. 对立（逆）事件 对于事件A，若事件A满足A∪A=Ω，A∩A= 对立事件，如图所示.
第三节 条件概率、乘法公式与事件的独立性
二、乘法公式
若已知P（B），P（A|B），也可以求P（AB）.这就是概率的乘法公式. 定理1设P（B）＞0，则有 P（AB）=P（B）P（A|B）.（10 1） 设P（A）＞0，则有 P（AB）=P（A）P（B|A）.（10 2） 式（10 1）、式（10 2）称为概率的乘法公式.
第三节 条件概率、乘法公式与事件的独立性
二、乘法公式
概率的乘法公式可以推广到任意n个事件的情形. 若事件
第三节 条件概率、乘法公式与事件的独立性
三、事件的独立性
一般情况下，条件概率P（B|A）与P（B）是不同的.但在某些特殊情 况下，条件概率P（B|A）等于无条件概率P（B），这时事件B发生与否不 影响事件A的概率.这表明事件A与事件B之间存在某种独立性.
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目
录
概率论初步
• 第一节 随机事件
• 第二节 事件的概率
• 第三节 条件概率、乘法公式与事 件的独立性
• 第四节 随机变量及其分布
• 第五节 随机变量的数字特征
第十章 概率论初步
学习重点
学习多元函数及多元函数的微分与积分的问题；遵循与一元函数相同的 分析思路，重点学习二元函数的极限、连续及其微分学.
定义2：设A与B为两事件，若 P（AB）=P（A）P（B） 成立，则称事件A与事件B相互独立.
第三节 条件概率、乘法公式与事件的独立性
第二节 事件的概率
一、概率的古典定义
对于古典概型，以Ω={ω1，…，ωn}表示样本空间，ωi（i=1， 2，…，n）表示样本点，对于任一随机事件A={ωi1，…，ωin}，下 面给出古典概型的定义.
定义：（概率的古典概型定义）对于给定的古典概型，若样本空 间中有n个样本点，事件A含有m个样本点，则事件A的概率为
P（A）=mn=事件A所含样本点的个数样本空间Ω中所含样本点 的个数.
第二节 事件的概率
二、概率的统计定义
频率描述了事件发生的频繁程度. 频率的定义若在同一组条件下将试验E重复N次，事件A发生 了m次，则称比值mN为事件A在N次重复试验中发生的频率，记 为fN（A），即 fN（A）=mN. 概率的统计定义在观察某一随机事件A的随机试验中，随着试 验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）会越来越稳定地在某 一常数p附近摆动，这时就以常数p作为事件A的概率，并称其为 统计概率，即P（A）=p.
第一节 随机事件
一、随机事件的概念
3. 随机事件 在随机试验中，人们通常不仅关心某个样本点出现，更关心满足某些 条件的样本点出现，即关心试验时可能出现的某种结果.例如，在掷骰子的 试验E6中，我们可能关心是否出现点数1，亦或可能关注是否出现奇数点（ 即点数1，3，5）等结果.它们皆为样本空间的子集（随机试验可能出现的 结果），我们称之为随机事件，简称为事件. 4. 样本空间 我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验E的样本空 间，用Ω来表示.Ω中的元素，即E的每一个可能结果，称为样本点，一般用 ω表示.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
1. 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A B， 如图所示.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
2. 和（并）事件 事件A与事件B中至少有一个发生，即事件A发生或事件B发生，这个事件 称为事件A与事件B的和（并）事件，记作A∪B（或A+B），如图所示.
A称为事件A的
第二节 事件的概率
一、概率的古典定义
古典概率模型简称古典概型，通常是指具有下列两个特征的随机试验模 型.
（1） 随机试验只有有限个可能的结果，即有限个样本点（有限性）； （2） 每一个样本点发生的可能性相等（等可能性）. 古典概型又称为等可能性概型.在概率论产生和发展的过程中，它是最早 的研究对象，在实际应用中它也是最常用的一种概率模型.
前面我们讨论了一个事件A的概率P（A）的计算.但在实际生活中，我们 常常需要求在事件B已发生的条件下事件A发生的概率，我们记为P（A|B）. 一般来说，这两个概率是不同的.
现在考虑：已知事件B发生的条件下，A发生的概率，则 P（A|B）=23=2434=P（AB）P（B），即P（A|B）=P（AB）P（B）. 定义1：设A，B为试验E的两个事件，且P（B）＞0，则称 P（A|B）=P（AB）P（B） 为事件B发生的条件下事件A发生的概率，简称条件概率.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
3. 积（交）事件 事件A与事件B同时发生，即事件A发生且事件B发生，这个事件称为事件 A与事件B的积（交）事件，记作A∩B（或AB），如图所示.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
4. 差事件 事件A发生且事件B不发生，这个事件称为事件A与事件B的差事件，记作 A-B（或AB），如图所示.
第一节 随机事件
一、随机事件的概念
1. 随机现象 自然界与人类社会存在和发生的各种现象，大致可归结为两类：一类称 为确定性现象，即条件完全决定结果的现象.例如在标准大气压下，水被加热 到100℃时一定沸腾.另一类称为随机现象，即条件不能完全决定结果的现象. 2. 随机试验 为了深入研究随机现象，就必须在一定的条件下对它进行多次观察.若把 一次观察视为一次试验，观测到的结果就是试验结果.概率论中把满足下列条 件的试验称为随机试验.
第二节 事件的概率
二、概率的统计定义
由频率和概率的统计定义，可以得到统计概率的性质： （1）非负性：0≤P（A）≤1； （2）规范性：P（Ω）=1； （3）有限可加性：若事件A1，A2，…，An互不相容，则P（ ∪ni=1Ai）=∑ni=1P（Ai）.
第三节 条件概率、乘法公式与Leabharlann Baidu件的独立性
一、条件概率