第九节 函数与方程

高三总复习第九节
函数与方程
教师： 教师：王明义
[理 要 点] 理 一、函数的零点 1．函数零点的定义 ． ＝ 成立的实数 叫做 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做 对于函数 ＝ ∈ ， 函数y＝f(x)(x∈D)的零点 的零点． 函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2．几个等价关系 ． 方程f(x)＝ 有实数根 函数y＝ 的图象与 轴 有实数根⇔ 方程 ＝0有实数根⇔函数 ＝f(x)的图象与 x轴 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零点 ． 函数 ＝ 有
福建高考)函数 例题 1．(2010·福建高考 函数 ． 福建高考 零点个数为 A．0 ． C．2 ．
x2＋2x－3，x≤0， － ， ≤ ， f(x)＝ ＝ －2＋lnx，x>0 ＋ ，
的 )
( B．1 ． D．3 ．
解析：法一： 解析：法一：令 f(x)＝0 得， ＝ x≤0 x>0 ≤ 2 或 ， lnx＝2 ＝ x ＋2x－3＝0 － ＝ ＝－3 ∴x＝－ 或 x＝e2. ＝－ ＝
法二：画出函数f(x)的图象 法二：画出函数f(x)的图象 可得其图象与x轴有两个交 可得其图象与 轴有两个交 则函数f(x)有2个实零 点，则函数 有 个实零 点．
3．函数零点的判定(零点存在性定理 ．函数零点的判定 零点存在性定理 零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间 ，b]上的图象是连续不断的一 如果函数 ＝ 在区间[a， 上的图象是连续不断的一 在区间 上的图象是连续不断 条曲线， 那么函数y＝ 在区间 条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 ，那么函数 ＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这 ， 内有零点， 存在 ∈ ， ， ＝ 也就是f(x)＝ 的根 的根． 个 c 也就是 ＝0的根．
例题2.已知函数 ＝ ＋ － ，证明此函数在（ ， ） 例题 已知函数y＝lnx＋2x－6，证明此函数在（2，3） 已知函数 内有且仅有一个零点。 内有且仅有一个零点。 解答:方法一：只需证明函数 解答 方法一：只需证明函数y=6-2x与函 方法一 与函 数 y=lnx只有一个交点。如右图即证明 只有一个交点。 只有一个交点 方法二证明：由图像估计零点在区间（ ， ）之内， 方法二证明：由图像估计零点在区间（2，3）之内， 另外f(2)<0,f(3)>0.由零点存在性定理可知此区间内一 另外 由零点存在性定理可知此区间内一 点存在零点。 x∈ 点存在零点。又因为 (2,3) 时
1 f ( x) = + 2 > 0 x 所以此函数在区间（2，3） ， ）
'
上是单调函数， 上是单调函数，故（2，3）内只有一个零点。 ， ）内只有一个零点。
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以 ．判断函数 ＝ 在某个区间上是否存在零点 在某个区间上是否存在零点， 下方法： 下方法： (1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 解方程：当对应方程易解时，可通过解方程， 解方程 否有根落在给定区间上； 否有根落在给定区间上； 给定区间上 (2)利用函数零点的存在性定理进行判断； 利用函数零点的存在性定理进行判断； 利用函数零点的存在性定理进行判断 (3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有 通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有 通过画函数图象 交点来判断． 交点来判断．
二、二分法 1．二分法的定义 ． 对于在区间[a， 上连续不断且 的函数y＝ ， 对于在区间 ，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 ＝f(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 通过不断地把函数 的零点所在的区间 间的两个端点逐步逼近 法叫做二分法． 法叫做二分法． 一分为二 ，使区
零点 ，进而得到零点近似值的方
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 ．用二分法求函数 零点近似值的步骤 第一步，确定区间 ， ， 给定精确度ε. 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0 ，给定精确度 第二步，求区间 ， 的中点 的中点c. 第二步，求区间(a，b)的中点 第三步， 第三步，计算 f(c) ： ＝ 就是函数的零点； ①若 f(c)＝0 ，则c就是函数的零点； 就是函数的零点 ②若 f(a)·f(c)<0 ，则令b＝c(此时零点 0∈(a，c))； 则令 ＝ 此时零点x ， ； 此时零点 则令a＝ 此时零点 此时零点x ③若 f(c)·f(b)<0 ，则令 ＝c(此时零点 0∈(c，b))． ， ． 第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a－ 第四步，判断是否达到精确度ε：即若 －b|<ε，则得到 ， 零点近似值a(或 ；否则重复第二、 四步． 零点近似值 或b)；否则重复第二、三、四步．
• 例3：求方程 ＝－ ＋6的近似解 精确度为 ＝－2x＋ 的近似解 精确度为0.0 1)。 的近似解(精确度为 ：求方程lnx＝－ 。
解答：设函数 用计算器计算得： 解答：设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得： ＝ － 用计算器计算得 f(2)<0, f(3)>0 ⇒ 1∈(2,3) x
计算:f(2.5)<0 计算 计算:f(2.75)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 ⇒∈(2.5,3) 计算 x1
f(2.5)<0, f(2.75)>0⇒ (2.5,2.75) x1 ∈ f(2.5)<0, f(2.625)>0 ⇒ 1∈(2.5,2.625) x f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x ⇒ 1∈(2.5,2.5625) f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 ⇒ 1∈(2.53125,2.5625) x f(2.53125)<0, f(2.546875)>0
⇒x1∈(2.53125,2.546875)
f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0
⇒x1∈(2.53125,2.5390625)
Q 2.5390625 − 2.53125 = 0.078125 < 0.01
所以x=2.53125为函数 为函数f(x)=lnx+2x-6在区间 在区间(2,3)内的零点近似 所以 为函数 在区间 内的零点近似 也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。 值，也即方程 － ＋ 的近似解
思考：若函数 在区间(a， 内有一个零点 内有一个零点， 思考：若函数f(x)在区间 ，b)内有一个零点， 在区间 要使零点的近似值满足的精确度为§ 要使零点的近似值满足的精确度为§，此对区 至少二等分多少次？ 间(a，b)至少二等分多少次？ ， 至少二等分多少次
假设至少需要n次 则第 次区间的长度 假设至少需要 次，则第n次区间的长度 应满足 ： b−a
2
n
<§
所以n应该是满足上式的最小正整数。 所以 应该是满足上式的最小正整数。 应该是满足上式的最小正整数
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精 确度ε，当区间长度小于精确度ε时 运算即告结束， 确度ε，当区间长度小于精确度ε时，运算即告结束，此时区 间内的任何一个值均符合要求， 间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个 端点值作为近似解. 端点值作为近似解
例题 4．已知函数 ．
2x－1，x>0 ， f(x)＝ ＝ －x2－2x，x≤0 ， ≤
＝ ，若函数 g(x)＝
f(x) － m 有 3 个 零 点 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
2x－1，x>0 ， 解析： 解析： 画出 f(x)＝ 2 ＝ －x －2x，x≤0 ， ≤ 的图象，如图． 的图象，如图． 问题转化为： 有三个交点的问题。 问题转化为：函数 f(x)与直线 y=m 有三个交点的问题。 与直线 结合图象得： (0,1)． 结合图象得：0<m<1，即 m∈ ． ， ∈ 答案： 答案：(0,1)
____________． ．
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 解决由函数零点(方程根 的存在情况求参数的值或 解决由函数零点 方程根)的存在情况求参数的值或 方程根 取值范围问题， 取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思 想，构建关于参数的方程或不等式求解． 构建关于参数的方程或不等式求解．
本节作业
• 限时检测p249-p250