第八节 函数与方程

第八节 函数与方程、函数模型及应用

高考试题

考点一 函数的零点与方程的根

1.(2012年湖北卷,文3)函数f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x 的值有π4,3π4,5π4,7π4

,所以零点的个数为5个.

答案:D

2.(2012年北京卷,文5)函数f(x)= 12

x

-12⎛⎫

⎪⎝⎭

x

的零点个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:函数f(x)=12

x -12⎛⎫

⎪

⎝⎭

x

的零点个数为函数p(x)=12

x 与函数q(x)=

12⎛⎫ ⎪⎝⎭

x

图象的交点个数.在同一坐标

系内画出p(x)=12

x 与q(x)=12⎛⎫

⎪

⎝⎭

x

的图象如图所示,两图象只有一个交点,∴函数f(x)=12

x -12⎛⎫

⎪⎝⎭

x

的零点

个数为1.故选B. 答案:B

3.(2012年湖南卷,文9)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f ′(x)是f(x)的导函数.当x ∈[0,π]时,0

⎫- ⎪⎝

⎭f ′(x)>0,则函数y=f(x)-sin x 在 [-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8

解析:∵f(x)是最小正周期为2π的偶函数, ∴f(x+2π)=f(x)=f(-x),

∴y=f(x)的图象关于y 轴和直线x=π对称, 又∵0

π2时,π2x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭f ′(x)>0, ∴0

2

时,f ′(x)<0. 同理

π

2

0. 又∵0

又函数y=f(x)-sin x在[-2π,2π]上的零点个数⇔函数y=f(x)与y=sin x图象的交点个数,由图可知共有四个交点.故选B.

答案:B

4.(2011年新课标全国卷,文10)在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( )

(A)（-1

4

,0）(B)（0,

1

4

）

(C)（1

4

,

1

2

）(D)（

1

2

,

3

4

）

解析:∵f（1

2

）=

1

2

e+4×

1

2

F（1

4

）=

1

4

e+1-3=

1

4

e-2<0,

且f(x)单调递增,

∴f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为（1

4

,

1

2

）.

故选C.

答案:C

5.(2010年天津卷,文4)函数f(x)=e x+x-2的零点所在的一个区间是( )

(A)(-2,-1) (B)(-1,0)

(C)(0,1) (D)(1,2)

解析:因为f(0)=e0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以选C.

答案:C

6.(2010年浙江卷,文9)已知x0是函数f(x)=2x+

1

1x

的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )

(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0

(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0

解析:函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,因此f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.

答案:B

7.(2011年辽宁卷,文16)已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是. 解析:函数f(x)=e x-2x+a有零点,

即方程f(x)=0有解,即-a=e x-2x有解,

设g(x)=e x-2x,

因为g′(x)=e x-2,当x>ln 2时,g′(x)>0;

当x

所以函数g(x)有极小值,极小值就是最小值g(ln 2)=2-2ln 2,

由-a≥2-2ln 2,得a的取值范围为(-∞,2ln 2-2].

答案:(-∞,2ln 2-2]

8.(2011年山东卷,理16)已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0,且a ≠1).当2

,则n= .

解析:对函数f(x), ∵2

∴f(2)=log a 2+2-b<1+2-b=3-b<0, f(3)=log a 3+3-b>1+3-b=4-b>0. 即f(2)f(3)<0,

易知f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)存在唯一的零点x 0,且x 0∈(2,3), ∴n=2. 答案:2

考点二 函数模型及其综合应用

1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文12)已知函数f(x)= ()22,0,

ln 1,0.

x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩若| f(x)|≥ax,则a 的取值范围是

( ) (A)(-∞,0]

(B)(-∞,1]

(C)[-2,1] (D)[-2,0]

解析:由不等式恒成立问题求参数,综合性较强,考查分类讨论与数形结合思想. 当x ≤0时,f(x)=-x 2

+2x=-(x-1)2

+1≤0,

所以|f(x)|≥ax, 即为x 2

-2x ≥ax.

当x ≤0时,所以a ≥x-2,

即a ≥-2验证知a ≥-2时,|f(x)|≥ax(x ≤0)恒成立. 当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,

所以|f(x)|≥ax 化简为ln(x+1)>ax 恒成立, 由函数图象可知a ≤0,

综上,当-2≤a ≤0时,不等式|f(x)|≥ax 恒成立.故选D. 答案:D

2.(2013年辽宁卷,文12)已知函数f(x)=x 2

-2(a+2)x+a 2

,g(x)=-x 2

+2(a-2)x-a 2

+8.设

H 1(x)=max{f(x),g(x)},H 2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q 中的较大值,min{p,q}表示p,q 中的较小值).记H 1(x)的最小值为A,H 2(x)的最大值为B,则A-B 等于( ) (A)a 2

-2a-16 (B)a 2

+2a-16

(C)-16

(D)16

解析:联立()()22

22

22228y x a x a y x a x a ⎧=-+-⎪⎨=-+--+⎪⎩①

②

①-②得 x 1=a-2,x 2=a+2,

如图中虚线部分即为H 1(x)图象,实线部分为H 2(x)的图象,