第四节 函数的奇偶性与周期性

第四节函数的奇偶性与周期性

高考概览：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

[知识梳理]

1．函数的奇偶性

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

[辨识巧记]

1．一条规律

奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．两个性质

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

3．函数周期性的三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x，

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．

(2)若f(x＋a)＝1

f(x)

，则T＝2a(a≠0)．

(3)若f(x＋a)＝－1

f(x)

，则T＝2a(a≠0)．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．()

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()

(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)√

2．下列函数中，为奇函数的是()

A．y＝3x＋1

3x B．y＝x，x∈{0,1}

C ．y ＝x ·sin x

D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0

[解析] A 、C 中函数为偶函数，B 中函数为非奇非偶函数，只有D 中函数图象关于原点对称，故选D.

[答案] D

3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )

A ．－13 B.13 C.12 D ．－12

[解析] f (x )是偶函数，∴b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴a ＝13，∴a

＋b ＝13，故选B.

[答案] B

4．(必修1P 39A 组T 6改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，

且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．

又∵f (1)＝12＋1＝2，∴f (－1)＝－2.故选A.

[答案] A

5．(必修1P 39A 组T 6改编)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．

[解析] 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ， ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，故x <0时，

f (x )＝x 2＋4x ，由f (x ＋2)<5，得

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，(x ＋2)2－4(x ＋2)<5或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2<0，(x ＋2)2＋4(x ＋2)<5， 解得－2≤x <3或－7

所以不等式f (x ＋2)<5的解集为{x |－7

[答案] {x |－7

考点一 函数奇偶性的判断

【例1】 判断下列各函数的奇偶性：

(1)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x ；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2

； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0. [思路引导] 求函数定义域→判断定义域是否关于原点对称

→ 判断f (－x )与f (x )的关系

→下结论 [解] (1)由1＋x 1－x

≥0得函数的定义域为[－1,1)，关于原点不对称，所以f (x )为非奇非偶函数．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)， 所以f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2

＝－lg (1－x 2)x 2. 所以f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2

＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，所以f (x )为偶函数．

(3)解法一：当x <0时，－x >0，则

f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；

当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )． 又f (0)＝0，故对任意的x ∈(－∞，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．