06-07线性代数试题及解答
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3．设020200,
001A AB A B ⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵B 。
5、求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。
四、（12分）求方程组
12345123451
234522
3273251036
x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪
-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）
。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
22
123122313(,,)22f x x x x x x x x x =++-
六、证明题（6分） 设0β≠，12,,
,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是
线性方程组AX β=的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
《2006年线性代数A 》参考答案
(2) λ12···λn 2 (3) r(A)=r(A,B)< n
(4) t=-8 (5) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D
三 解答题 (1) A ·A
*
=|A|·E, |A|·|A *|=|A 3
|
|A *|=|A|2
=|A ·A ’|=|A ·A -1
|=1
(3)由AB=A-B ，有A E A B A B E A 1)(,)(-+==+，
（4）⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02110011
0101
0121
42110011210121214321αααα
而
故{1α，2α，3α}为一个极大无关组
（5）
令ω=（1，2，1）=x α+y β+z γ， 则有：
四
解：
令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。 齐次方程组基础解系为：
332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。 五．解：
当11=λ时，由()03211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛110
当
12λ=
时，由()03212
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-111 当13-=λ时，由()03213=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-112
若,UY =X 则2322212'y y y A -+=X X 。
六，证明
证：设0)()(11=+++⋅⋅⋅++ηηξηξb a a r r ，
则0)(111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a r r r ， 于是：0))((111=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ηξξb a a a a A r r r , 即：0)(1=++⋅⋅⋅+ηA b a a r
但0≠=βηA ，故 η)(1b a a r ++⋅⋅⋅+=0。
从而 r r a a ξξ+⋅⋅⋅+11=0。
但r ξξ，，
⋅⋅⋅1线形无关，因此r a a ,,1⋅⋅⋅全为0，于是b=0,由此知： ηηξηξ,,,1+⋅⋅⋅+r 线形无关。
二、选择题（每小题4分，共20分） 1．
2．对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于（ ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，
B ，右乘一个m 阶初等矩阵
C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，
D ，右乘一个n 阶初等矩阵
3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}n M X AX X R ==∈。则（ ）。 A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ，M 是n-r 维向量空间 4．若n 阶方阵A 满足，2A =E ，则以下命题哪一个成立（ ）
。
5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。 A ，矩阵-A T 为正交矩阵， B ，矩阵-1A -为正交矩阵 C ，矩阵A 的行列式是实数， D ，矩阵A 的特征根是实数
三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A
为3阶正交矩阵， 求det (E-2A )
3．设020200,
001A AB A B ⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵A-B 。
4、求向量组1234(1,2,1,2),(1,0,1,2),(1,1,0,0),(1,1,2,4)αααα====的的秩。
6、向量ω在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标（4，2，-2），求ω在
,,αββγγα+++下的坐标。
四、（12分）求方程组
12345123451
234522
3273251036
x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪
-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）
。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
2
123123(,,)4f x x x x x x =+
六、证明题（6分） 设0β≠，12,,
,r ξξξ是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是
线性方程组AX β=的一个解，求证对于任意的常数a ，
12,,
,,r a a a ξηξηξηη+++线性无关。
《2006年线性代数B 》参考答案
(0) λ1···λn (1) m=r(A)=r(A,B)< n (2) t=-8 (3) 1,2,-3
二 选择题