角平分线模型精华篇

角平分线模型精华篇

角平分线有关的辅助线

角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：

（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；

已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；

辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；

结论：①△ACD≌△ABD；② CD= DB

（角分线垂两边，对称全等必呈现）

（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；

已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；

结论：①△OPM≌△OPN ；

②△OMN为等腰三角形；

③P是MN的中点（三线合一）；

（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：

已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；

辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，

结论：△OED≌△OFD ；

（4）作平行线

①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；

②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边

的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形；已知：OP平分∠MON，AB∥ON，已知：OC平分∠AOD，DH∥OC，

结论：△OAB等腰三角形结论：△ODH等腰三角形

一、角平分线模型应用

1.角平分线+两边垂线→全等三角形

辅助线：过点G作GE 射线AC

已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB ⊥AB，

求证：CD=DB

证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵CD ⊥AC ，DB ⊥AB ， ∴∠ACD=∠ABD=90°， 在△ACD 和△ABD 中，

∴△ACD ≌△ABD （AAS ） ∴CD=BD

例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC ．

例2：如图，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，

垂足分别为E 、F ．求证：BE=CF ．

⎪⎩⎪

⎨⎧AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2

∠=1∠

例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，D M⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点

D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求

证：BE=CF．

角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现

例：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．

求证：BD=2CE

例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD 交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD

交AD的延长线于M. 求证：2AM=

（AB+AC）

例：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，

求证：EF∥BC.

截取构造全等：

例. 如图，AB>AC，∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

例:

如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分

∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD.

例: 在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上

任意一点．

求证：AB AC PB PC ->-．

E

C

D

B

P

A

例: 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，

求证：AD ＋BD ＝BC

角平分线+平行线模型

例1、△ABC 的两条角平分线OB 、OC 相交于点O ，

MN

经过点O ，且 MN ∥BC 交AB 、 A C 分别于点M 、N ；求证：△AMN 的周长是AB+ A C ；

A

C

B

D