2016 2017全国中考二次函数与等腰三角形压轴题
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二次函数与等腰三角形
1.(本小题满分10分)
已知抛物线1c 的顶点为)4,1(-A ,与y 轴的交点为).3,0(D (1)求1c 的解析式;
(2)若直线11:c m x y l 与+=仅有唯一的交点,求m 的值;
(3)若抛物线1c 关于y 轴对称的抛物线记作2c ,平行于x 轴的直线记作.:2n y l =试结合图形回答:当n 为何值时,212c c l 和与共有:①两个交点;② 三个交点;③四个交点; (4)若x c 与2轴正半轴交点记作B ,试在x 轴上求点P ,使△PAB 为等腰三角形.
23如图,已知抛物线2
y x bx c =-++与y 轴相交于点A (0,3),与x 正半轴相交于点B ,对称轴是直线x =1.
(1)求此抛物线的解析式以及点B 的坐标.
(2)动点M 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动,同时动点N 从点
O 出发,以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动,当N 点到达A 点时,M 、N 同时停止
运动.过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ,交抛物线于点P ,设运动的时间为t 秒. ①当t 为何值时,四边形OMPN 为矩形.
②当t >0时,△BOQ 能否为等腰三角形?若能,求出t 的值;若不能,请说明理由.
4如图,在平面直角坐标系中,抛物线2
y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交与点C (0,3),与x 轴交于A 、B 两点,点B 坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x =1. (1)求抛物线的解析式;
(2)点M 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点N 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,其中一个点到达终点时,另
一个点也停止运动,设△MBN 的面积为S ,点M 运动时间为t ,试求S 与t 的函数关系,并求S 的最大值;
(3)在点M 运动过程中,是否存在某一时刻t ,使△MBN 为直角三角形?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由.
5(满分12分)如图,抛物线c bx x y ++=2
与x 轴交于点A 和点B (3,0),与y 轴交于点C (0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点,过点M 作MN//y 轴交直线BC 于点N ,求线段MN 的最大值;
(3)在(2)的条件下,当MN 取最大值时,在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ,使△PBN 是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
x
y N
M
A B
C
O
题)
(第24x
y
N
M
A B
C
O
(备用)l
x
y
N
M
A B
C
O
(备用)
l
6
7
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9
10如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(﹣,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
(1)求线段BC的长度;
(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;
(3)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;
(4)在(3)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
11如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(﹣1,0),B (5,﹣6),C(6,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?并请求出其中某一个点Q的坐标.
12如图,在平面直角坐标系中,直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是(8,4),连接AC、BC.
(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A、B、M
为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由。
13如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0)、
B(3,0)、C(0,﹣3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;
(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.
14如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y
轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=﹣x+1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.