常微分计算题及解答

计 算 题（每题10分）

1、求解微分方程2

'22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x

y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t

x y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解

5、求解微分方程24y xy x '+=

6、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

-=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x

'22的通解 8、求方程组dx

dt x y dy

dt

x y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解

9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x

'24的通解 12、求方程组dx

dt x y dy

dt

x y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解 13、求解微分方程()x

x y y e '-=

14、试用逐次逼近法求方程

22x y dx

dy

+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程x

e

y y y -=-+''32 的通解

17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=y

x dt dy

dt

dx x y dt dy dt dx

243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程

2dy

x y dx

=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.

20、利用逐次逼近法，求方程

22dy

y x dx

=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：

1

0|()()|(1)!

n n n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。

22、求初值问题

22,(1)0dy

x y y dx

=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并

求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ⎛

⎫-+= ⎪⎝⎭ 24、2

221dy y dx x y ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭

25、

2

1210dy x

y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x =+- 28、22dy y x dx xy

-=29、222()0xydx x y dy +-=

30、3(ln )0y dx y x dy

x

++= 3122

ydx xdy

x y

-=

+ 32、(1)10x x y

y

x e dx e dy y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ 33、2

1

3dy

x y dx x y -+=++34、443()0x y dx xy dy +-= 35、()22(2)0xy y dx y y x dy -+++=

36、310y y ''+= 37、0y y y y ''''''-+-= 38、23100y y y y ''''''--+= 39、(4)0y y += 40、(6)(4)220y y y y ''--+= 41、(4)0y y ''-= 42、(4)48830y y y y y ''''''-+-+= 43、(4)4640y y y y y ''''''-+-+= 44、x y y xe -''+= 45、234x y y y e '''++=- 46、324(2)x y y y x e '''-+=+

47、2613(52)t x x x e t t '''++=-+ 48、t x x e '''-= 49、22t s as a s e '''++= 50、2441t t x x x e e '''-+=++ 51、410y y '''++=

52、33(5)x y y y y e x -''''''+++=- 53、32sin cos y y x x '''+=+ 54、22225sin (0)x kx k x k kt

k '''++=≠

55、sin cos y y x x ''+= 56、22cos x y y y e x -'''-+= 57、210cos 2x y y y e x -'''-+= 58、sin ,0x x at a ''+=> 59、225cos y y x '''+= 60、4sin 2y y x x ''+= 61、234sin 2y y x '''+=+ 62、224cos x y y y e x '''-+= 63、918cos330sin3y y x x ''+=- 64、sin cos2x x t t ''+=-

65、22cos t x x x te t '''-+= 66、求微分方程22

()01y y y

'''+=-的通解。 67、求1cos x y y xe x x '''=

+的通解。 68、求微分方程20y y

y x x

'''-+=的通解。 69、求微分方程2()0xyy x y yy ''''+-=的通解。 70、求微分方程32sin x y y y e x -'''++=+的通解。 71、求微分方程22

144x

y y y e x '''-+=

的通解。 72、求方程245csc x y y y e x '''-+=的通解。 73、求微分方程2220x y xy y '''+-=的通解。 74、求微分方程22222x y xy y x '''+-=+的通解。 75、利用代换cos u

y x

=

将方程 cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+= 化简，并求出原方程的通解。 76、求下列线性微分方程组2244(1)

22(2)

t

dx x y e dt

dy x y dt -⎧=-+⎪⎪

⎨⎪=-⎪⎩

77、解下列微分方程组1

12222

3

322(1)

(2)2(3)

dy y y dx dy

y y dx dy y dx ⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=⎪⎩

的通解。 78、5445dy

y z dx

dz y z dx

⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩ 79、3452dx

x y dt

dy x y dt

⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩ 80、254342x y y x

x y x y

''-=-⎧⎨

''-=-⎩

计 算 题 答 案

１、解：对应的齐次方程20y xy '+=的通解为2

x y ce -=

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为2

()x y c x e -=代入方程

2

22x

y xy xe -'+=得

()2c x x '=因此有2()c x x c =+ 所以原方程的通解为2

2()x y x c e -=+

２、解：按初始条件取 0()0y x ≡

3、解：对应的齐次方程为-20y y y '''+= 特征方程为2 +20λλ-=解得 1,-2λ=

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+ 设方程的一个特征解为1x y Ae -=

则 1x y Ae -'=-，1x y Ae -''= 代入解得12

A =-