杆件的内力分析与内力图.
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杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
杆及杆系的内力及内力图
内力仍可按变形前的原始尺寸来计算。这就是所谓的原始尺寸原理。
end
图中的坐标原点为截面形心, x轴沿杆的轴线并和截面的外向法线同 向，y轴和z轴则分别是截面的形心主惯轴。 内力：
N 引起拉伸或压缩变形,称轴力; Mn 引起扭转变形,称扭矩; Qy和Qz 引起剪切变形,称剪力; My和Mz引起弯曲变形,称弯矩。
0 x1 a 0 x1 a a x2 l
a x2 l
(3)按上述表达式在x 的定义域内作图，即得所求的剪力图和弯矩图，如 图(c)所示。
end
需要指出的是：按照某些工程习惯，常要求弯矩图画在 梁的受拉一侧，以提醒某些脆性材料性材料的梁(如混凝土梁) 常因受拉破坏而需在该侧配置钢筋。
Q2 RA m / l
(a x1 l)
M2 RA x2
m / l x2 m
a x2 l
end
例4-3 作图示的简支梁在均布荷载q作用下的剪力图和弯矩图。
解：
q
1 Q1 RA qx 2 ql qx
A x
B
l
(0 x l)
M
RAx
1 2
qx2
ql 2
1 qlx 1 qx2 (0 x l)
(M
dM
)
0
在上式中略去二阶微量后，得：dM Qdx
所以 dM / dx Q
(4-5)
d 2M / dx2 q
(4-6)
q(x)
P
m
x
dx
(a)
q(x)
M
M+dM
Q
Q+dQ
dx
(b)
以上三式即为梁核所作的Q 、M 图是否正确；
熟练地掌握后，也可在求出反力后，直接利用此关系方便地作出梁的 内力图来。
end
图中的坐标原点为截面形心, x轴沿杆的轴线并和截面的外向法线同 向，y轴和z轴则分别是截面的形心主惯轴。 内力：
N 引起拉伸或压缩变形,称轴力; Mn 引起扭转变形,称扭矩; Qy和Qz 引起剪切变形,称剪力; My和Mz引起弯曲变形,称弯矩。
0 x1 a 0 x1 a a x2 l
a x2 l
(3)按上述表达式在x 的定义域内作图，即得所求的剪力图和弯矩图，如 图(c)所示。
end
需要指出的是：按照某些工程习惯，常要求弯矩图画在 梁的受拉一侧，以提醒某些脆性材料性材料的梁(如混凝土梁) 常因受拉破坏而需在该侧配置钢筋。
Q2 RA m / l
(a x1 l)
M2 RA x2
m / l x2 m
a x2 l
end
例4-3 作图示的简支梁在均布荷载q作用下的剪力图和弯矩图。
解：
q
1 Q1 RA qx 2 ql qx
A x
B
l
(0 x l)
M
RAx
1 2
qx2
ql 2
1 qlx 1 qx2 (0 x l)
(M
dM
)
0
在上式中略去二阶微量后，得：dM Qdx
所以 dM / dx Q
(4-5)
d 2M / dx2 q
(4-6)
q(x)
P
m
x
dx
(a)
q(x)
M
M+dM
Q
Q+dQ
dx
(b)
以上三式即为梁核所作的Q 、M 图是否正确；
熟练地掌握后，也可在求出反力后，直接利用此关系方便地作出梁的 内力图来。
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
第二章 杆件的内力分析
A
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
第五章 杆件的内力与内力图(陆)
FQ Fp FP a / l FQ Mz
(a≤x≤l)
FPba / l
Mz
例 3： 已知m，求FQ(x)和 Mz (x)。并画出 FQ图和 Mz 图。 m
a
b 解： 1°求支座反力 FRA = FRB = m / l 2°求FQ(x)和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0＜x＜ a)
3°画 FQ(x)图和 Mz (x)图。 AC: FQ(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a) BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (a＜x＜ l)
Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l FPb / l
60 20 x = 3.6m
Mz 4 =72 ×10-160-160×4 = - 80 KNm
Mz 5 = Mz 4 = - 80 KNm
72
Mz 6 = 72×12 - 160 - 20×10×5 -148×2= 0 FQy
(KN)
当FQ（x）=0时， Mz （x）有极值。 x = 3.6ｍ处， FQ（x）=0 。
1 2m 160KNm 23 20KN 20KN/m 4 5 8m 2m 6
C
B D FRB
BD q = c（＜0） 斜直线（ ） ）
∑MB= 0，FRA= 72 KN. 2°画FQ、M图。
分段 q AC q=0 水平线
CB q = c（＜0） 斜直线（ ） 下凸曲线（ ）
FQ 图 Q
M 图 斜直线（
A
FRA
x
c
(a≤x≤l)
FPba / l
Mz
例 3： 已知m，求FQ(x)和 Mz (x)。并画出 FQ图和 Mz 图。 m
a
b 解： 1°求支座反力 FRA = FRB = m / l 2°求FQ(x)和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0＜x＜ a)
3°画 FQ(x)图和 Mz (x)图。 AC: FQ(x) = FRA = FPb / l (0＜x＜ a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0≤x≤ a) BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (a＜x＜ l)
Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l FPb / l
60 20 x = 3.6m
Mz 4 =72 ×10-160-160×4 = - 80 KNm
Mz 5 = Mz 4 = - 80 KNm
72
Mz 6 = 72×12 - 160 - 20×10×5 -148×2= 0 FQy
(KN)
当FQ（x）=0时， Mz （x）有极值。 x = 3.6ｍ处， FQ（x）=0 。
1 2m 160KNm 23 20KN 20KN/m 4 5 8m 2m 6
C
B D FRB
BD q = c（＜0） 斜直线（ ） ）
∑MB= 0，FRA= 72 KN. 2°画FQ、M图。
分段 q AC q=0 水平线
CB q = c（＜0） 斜直线（ ） 下凸曲线（ ）
FQ 图 Q
M 图 斜直线（
A
FRA
x
c
第六章 杆件的内力与内力图
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
FP1=2.5kN A FP1=2.5kN 1 FP2=4kN C FN1 2 FP3=1.5kN
1
2
B
x
Σ X = 0 → FN1 - FP1 = 0
FP1=2.5kN FP2=4kN
FN1=2.5kN
FN2
Σ X = 0 → FN 2 + FP 2 - FP1 = 0
适用于求桁架中某些指定杆件的内力
求 解 要 点
例6-4 试求图中桁架中杆1和杆2的轴力。
Ⅰ Ⅱ
4m 2 1 A Ⅰ 8kN 16kN Ⅱ 16kN 4x3m 16kN FN1 A 8kN 8kN 16kN
B
Σ Fy = 0 FN 1 = -8kN
FN2 B 8kN 16kN
Σ Fy = 0 FN 2 5 = ´ 8kN = 10kN 4
FN2=-1.5kN
6-1-2 轴力图
表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为 轴力图（diagram of normal force）。
A
1 B 1Fp2
2 C 2 Fp3
Fp1
Fp1
FN1 FN2 Fp2 FN3
已知Fp1=6kN；Fp2=18kN； Fp3=8kN；Fp4=4kN;试画出 Fp4 图示杆件的轴力图。 3 解：1、计算各段的轴力。 Σ Fx = 0 AB段 FN1 = Fp1 = 6kN
例传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA= 36KW，从动轮B、 C、D输出功率分别为 PB= PC =11KW ， PD= 14KW，转速 n = 300r/min。试作该轴的扭矩图。
MeC MeA MeD
先计算外力偶矩
PA 1146 N m n P M eB M eC 9549 B 350 N m n P M eD 9549 D 446 N m n M eA 9549
第五章 杆件的内力与内力图
Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (a ＜ x≤ l ) 3°画 FQy (x)图和 Mz (x)图。
四、剪力、弯矩和荷载集度之间的关系
y FP
q(x) MZ(x) q(x) MZ(x)+d MZ(x) C FQY(x)+d FQY(x) dx
x
x dx
FQY(x)
FRA FQy
(KN)
FRB
60 20 x = 3.6m
Mz6 = 72 ×12 - 160 - 20×10 ×5 = 0
88
当FQY（x）=0时， Mz （x）有极值。
Mz x = 3.6ｍ处， FQY（x）=0 。(KNm)
16 113.6 144
80
即
Mz7 = 72 ×5.6 - 160 - 20×3.6 ×3.6 / 2 = 113.6 KNm
MZ —— 弯矩
A FRA
x
m
C
MZ
m FQY
规 定：
∑FP
FQY 下剪力正, 反之为负
∑M
MZ
MZ
∑M
MZ：
上凹下凸弯矩正, 反之为负
a A
FP1
m m
FP2 B
由∑Fyi=0， FRA- FP1 - FQY =0
x
FRA y A
x
FRB FP1
m
C
得 FQY = FRA- FP1
x = 2m 时 , FN (x) = - 1KN。
3KN
A 2m 3
B 2KN/ m C 2m 2m
D 1KN
FN （KN） 1
规律：没有力作用的杆段，轴力为常数；
分布荷载为常数的杆段，轴力线性变化；
工程力学杆件的内力分析和内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
2. 截面法旳基本环节：
例3： 截面法求内力
F
截开：
替代： 平衡：
F F
FS
F 0
上刀刃 n
n 下刀刃
F Fs 0 Fs F
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
2. 截面法旳基本环节总结：
① 截开：在所求内力旳截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②替代：任取一部分为研究对象，将弃去部分对留下部分旳作用， 作用在截开面上相应旳内力（力或力偶）替代。
写剪力方程和弯矩方程旳措施和前面简介旳求内力分量旳措施 和过程相同，所不同旳，目前旳指定横截面是坐标为x旳任意 横截面。x是变量，FS（x）、M(x)是函数。
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Fs Fs(x) 旳图线表达 例题5-4
弯矩图
M M (x) 旳图线表达 例题5-5
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
工程力学 5.2.2 扭矩和扭矩图
第五章 杆件的内力分析与内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
5.2.2 扭矩和扭矩图
扭转变形是指杆件受到大小相等，方向相反且作用平面垂直于
杆件轴线旳力偶作用，使杆件旳横截面绕轴线产生转动。
A
B O
一、传动轴旳外力偶矩
A
BO
m
m
1.由定义直接计算
外力偶矩： Me＝Fd
L CB段
Fs( x)
RA
P
a L
P(a
x
L)
x M (x) Pa b Px(a x L) L
③根据方程画内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
杆件的内力和内力图
4.3.2剪力和弯矩 4.3.2.1平面弯曲的概念
第4章 杆件的内力和内力图
1 建筑力学基础 2 平面力系简化 3 截面几何性质 4 内力和内力图 5 应力和强度 6 变形计算 7 内力计算 8 压杆稳定
为使左段满足 Fy 0 截面m-m上必然有与 FRA
等值、平行且反向的
切向内力，即剪力F
存在；
4.2 杆件横截面上的内力 4.2.1内力的概念
物体在外力作用下，内部各质点的相 对位置将发生改变，其质点的相互作 用力也会发生变化。 这种由于外力作用而引起的物体内部 相互作用力的改变量，简称内力(或 附加内力)。
第4章 杆件的内力和内力图
1 建筑力学基础 2 平面力系简化 3 截面几何性质 4 内力和内力图 5 应力和强度 6 变形计算 7 内力计算 8、 压杆稳定
【例4.2】简支梁如图所示。已知P1＝30kN， P2 =30kN，试求截面1-1上的剪力和弯矩。
【解】：（1）求支座反力，考虑梁的整体平衡
MB 0 P 1 5 P 2 2 F R A 6 0 MA0 P 1 1 P 2 4 F R B 6 0
FRA 35k(↑N )， FRB 25kN(↑)
第4章 杆件的内力和内力图
1 建筑力学基础 2 平面力系简化 3 截面几何性质 4 内力和内力图 5 应力和强度 6 变形计算 7 内力计算 8 压杆稳定
4.2.2 截面法
分析计算杆件内力，一般采用截面法。 截面法的基本步骤为：
（1）在所求内力的截面处，假想地用一截面 将杆件切成两部分；
（2）取出任一部分为研究对象，并在切开面 上用一组内力代替弃去部分对该部分的作用；
S
为满足MO 0
截面m-m上也必然有一个与力矩 FRA a 大小相等且转向相反的 内力偶矩，即弯矩
二、 内力及内力图解析
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m M B MC M x2 0 M x2 700N.m M D M x3 0 M x3 446N.m 3)根据内力值作轴的扭矩图d)
M x1
M x2
M x3
Mx(Nm)
B
C
446Байду номын сангаас
A
Dx
-350 -700
d)
2、扭矩图（扭转变形）
常见梁的形式：
a、简支梁:一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座。
b、外伸梁:一端或两端伸出支座 之外的梁。
c、悬臂梁:一端为固定端，另一 端为自由端的梁。
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截 开，取左段如图(b)
(a)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。沿2-2截面处截开，取
右段如图(C)
Fx 0 FN 2 F3 0
(c)
FN 2 F3 1.5kN A
3)根据各段外力规律，作图AB杆的轴力
功率、转速和扭矩的关系：
Me
9549
P n
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、 D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
例2-1：如左图，求n-n面的内力。 解：由截面法如图，取左半部分
Fx 0 FN FP
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件内力变化的一般规律
*内力（沿杆的轴线）是位置（x）的函数；杆上集中 力、集中力偶将杆分成若干段，内力是分段函数。 *当杆件外力沿轴线发生突变（有集中力或集中力偶） 时，内力也将发生突变； *当杆件外力沿轴线发生渐变（有分布力或分布力偶） 时，内力也将发生渐变。
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
第五章杆件的内力分析与内力图
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2 8
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（1）标出特征点内力的绝对值 （2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
Mn2
mc
M n2 +mC 0
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
13
14
三、弯曲（剪力和弯矩）方程及其内力图
1、静定梁的分类（三种基本形式） 简支梁
外伸梁
悬臂梁
15
2、弯曲内力（剪力和弯矩）的正负号规定
① 剪力Fs :
剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
m0
AB
C
ab
m0b
(T ) AB C
12
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率
NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
成两部分。
取 取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。
代用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部
分的作用力。
平 建立留下部分的Leabharlann 衡条件，确定未知的内力。6
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2 8
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（1）标出特征点内力的绝对值 （2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
Mn2
mc
M n2 +mC 0
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
13
14
三、弯曲（剪力和弯矩）方程及其内力图
1、静定梁的分类（三种基本形式） 简支梁
外伸梁
悬臂梁
15
2、弯曲内力（剪力和弯矩）的正负号规定
① 剪力Fs :
剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
m0
AB
C
ab
m0b
(T ) AB C
12
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率
NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
成两部分。
取 取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。
代用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部
分的作用力。
平 建立留下部分的Leabharlann 衡条件，确定未知的内力。6
4 杆件的内力与内力图
离开截面
扭矩正负规定：
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)。
例1： 计算该轴的扭矩。
已知：
m A 76.4 N m
mB 191 N m
mC 114.6 N m
A
B
C
mA
m
T1
X
0
mc
T1 m A 0
T2
X
计算扭矩： AB段： T1设为正的 BC段： T2设为正的
(2): 留下左半段或右半段
(3): 将抛掉部分对留下部 分的作用用内力代替 (4): 对留下部分写平衡方 程求出内力即轴力的值
X 0
N F 0 NF
m F F
m
F N N F
轴力正负号规定：拉 伸为正、压缩为负。
X 0
N F 0 NF
例：求杆AB段和BC段的内力?
2P A 1 P B 2 2 N1 C P
4、小变形假设：认为构件的变形量与其原始 尺寸相比可以忽略。
四、内力和截面法的概念：
内力 (Internal Forces) ：构件因受力作用而变形，其内部各部 分（各点）之间因相对位置改变而引起的相互作用力。
m P m P
P
m m
m' m'
P
内力性质：内力由外力引起，随外力而变化
内力形式：轴力、扭矩、剪力与弯矩
依方程画出剪力图和弯矩图。
3.
例题4
a
M
b
试写出剪力方程和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。(图示简支 梁C点受集中力偶作用。) B
FB
A x1
YA
C
x2
l
杆件内力及内力图的绘制(梁的内力)
【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的
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A1
B 2 C 3D 4 E
横截面1-1： 注意假设轴力为拉力
FR
1 FN1
A1
FN1 10kN(拉）
横截面2-2：
FR
F1 2 FN2
A
B2
FN2 50kN(拉）
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
横截面3-3： 此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
第二节 轴力与轴力图
一. 轴向拉伸和压缩的概念
F
FF
F
受力特点：直杆受到作用线与轴线重合的外力F作用。 变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。
截面法是求构件内力的基本方法。一般可分为三个步骤为：
m
F
F 1.截: 沿m—m横截面假想地将杆
m
截开成两部分；
内力的三个概念： （1）附加内力：只研究由外力作用而引起的那部分内力。 （2）连续分布：在研究物体内处处存在，无间断即是分布内力。 （3）截面上分布内力的合力：我们指的内力是指分布内力的合力。
3. 暴露内力的方法------- 截面法
用截面法求内力的三步骤：
（1）截开； （2）代替； （3）平衡
求内力的三步骤：截开、代替、平衡
F
FN
2.留: 留下杆件的任意部分为研究
由于拉、压杆所受的外力作用线
对象，将弃去部分对留下部
FN
F 与杆件分的的轴作线用重用合内，力内代力替的；作用
X 0
FN F 0 FN F
3线.平也衡与:杆对件留的下轴部线分重写合平，衡所方以程称求 出内力。
为轴力FN。
轴力正负号规定： 拉为正、压为负。
轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。
第5章 杆件的内力分析与内力图
第一节 内力及截面法
1. 外力：其它物体对所研究物体（这儿指杆件） 的作用。又称外载，荷载，载荷。
外力分为： 体积力：作用在物体整个体积上，是非接触力。 表面力：作用在物体表面上，是接触力。
常见的是：分布力，集中力，约束力（限制物体运动 的力）等。
2. 内力：物体内部原子相互作用的力。
x
T1 M 2 4.78kN m
A
1
M2
A
M3 B
2
T2
2
x
T3 M 4 6.37kN m
T2 (M 2 M 3 ) 9.56kN m
3
T3
3
M4 x
D
扭矩图 M2
A
M3
M1
B
C
M4
D 6.37
4.78 9.56
Tmax = 9.56 kN·m
T 图(kN·m) 在BC段内
第四节 弯曲内力和内力图
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M1
(9.55 103
500)N 300
m
15.9kN
m
M2
M3
(9.55103
150)N m 300
4.78kN m
M4
(9.55 103
200)N m 300
6.37kN m
分别计算各段的扭矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M2
1
T1
（1）当作用于杆上的集中外力的个数多于两个时，需要对
杆进行分段，再用截面法求出各段的轴力，最后做出整个杆
件的轴力图。
（2）轴力图中：横轴代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。
标出轴力值及正负号（一般：正值画在横轴上方，负值画在
横轴下方）。
FN
（3）轴力只与外力有关，截面
形状变化不会改变轴力大小。
x
注意：在使用截面法之前不允许使用 力的可移性原理，因为将外力移动后 就改变了杆件的变形性质，内力也随 之改变。
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
W W'
Me
9550
P n
N m
三. 截面法求扭转时的内力 -扭矩
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用 符号T表示。
扭矩大小可利用截面法来确定。
•扭矩T的正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为 正(+), 反之为 负(-)
1
2
30kN
A
30kN
1
1 FN1
90kN
2
B
2
x FN2
1
2
30kN
+
FN图
60kN
60kN
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。
AB 段
X 0 FN1 30 0
BC 段
FN1=30kN
X 0 FN2 60 0
FN2= 60kN 2、绘制轴力图。
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
一. 平面弯曲的概念
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴 线各横截面上扭矩的变化情况。
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输
入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
FN3 5kN( 压） FN3 3 F3
3D
F4 E
同理 FN4 20kN(拉） FN4 4
F4
4E
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
50
20 10
5
由轴力图可看出
FN图(kN)
FN,max FN2 50kN
例: 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
一. 扭转的概念 汽车传动轴
•受力特点： 圆截面直杆受到作用面位于横截面内的外力偶作用。
Me
Me
•变形特点：
1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
二. 传动轴上外力偶矩的计算
输入功率：P(kW)
1分钟输入功： W 60 P1000 60000P
Me
转速：n(转/分)
（1）截开：在需要求内力的截面处，假想地将杆截成二部分； （2）代替：将两部分中的任一部分留下，并把弃去部分对留下 部分的作用代之以杆在截开面上的内力（力或力偶）；
【可见内力就上的已知外 力算得截开面上的未知内力。
注意：在使用截面法之前不允许使用 力的可移性原理，因为将外力移动后 就改变了杆件的变形性质，内力也随 之改变。
例 试作图示杆的轴力图。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
600 300 500
1800
D
E
400
解： 求支反力
FR 10kN
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4
F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN