(完整word版)初中平面几何中的定值问题
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【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为
等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，
过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则
PE+PF还是定值吗？若是，是多少？
若不是，为什么?
方法1：三角形相似进行量的转化
（板书）
（M为BC中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）
（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）
（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）
问：我把题中的5改为a，6改为b，PE+PF还是定值吗？你能求出这个定值吗？
答：是定值，求解方法不变。
问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？
∵M是△ABC的内心，
∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB).
∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA）=180 －2(180 －∠AMB)= 2∠AMB－180 ＝60 .
∴∠ACB有定值60 .
方法2：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？
答：要证∠ACB有定值，只需证∠EMF是定值，只需证∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。
不变关系是相切。
问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？
答：连接圆心与切线
方法1：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？
答：要证∠ACB有定值，只需证∠CAB+∠CBA是定值，只需证
∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。
证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB，
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF= (a为腰长,b为底边长,h为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）
（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）
问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？
答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。
平面几何中的定值问题
开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：
【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角
边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过
P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则
类型：
（1）点动
（2）线动
（3）旋转、平移
（4）形变
解题思路：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。
图1图2图3
在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，h1＋h2＋h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？
等面积法还可以用吗？△PAB，△PBC，△PAC的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系？
（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）
图1：
为定值（板书）
证明：在四边形CEMF中，∠C+∠EMF=180 ，
∵M是△ABC的内心，
∴∠DMA=∠EMA,∠FMB=∠DMB
∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240
∴∠EMF=120
∴∠C =180 -∠EMF=60
总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。
探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.
第二种是采用综合法，直接写出证明.
结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。希望同学们能够把握动态几何的解题规律。
【小结】
问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？
答：动态几何中的定值问题
特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动
【问题2】已知：已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.
求证：∠ACB有定值，并求出这个定值.
分析：
问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？
答：此题中的不变量是弧AB，因此∠AMB也是不变量；
分析：这道题百度文库探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。
1点P放在直径AB上.
得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.
2点P放在与直径AB垂直的另一条直径上
也可得PA2＋PB2＝R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.
说明PA2＋PB2非常有可能是定值，而且这个值为2（R2＋r2）
方法2：等面积法：
（M为BC中点）（板书）
（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。）
(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？
学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。
（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）
过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？
【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径?点P是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r?问:PA2＋PB2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.
为定值（M为BC中点）（板书）
可以用几何画板度量长度，进行演示
（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）
过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？
【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为什么？
证明：（直角三角形计算法）
PA2＋PB2＝HA2＋PH2+PH2＋HB2＝2PH2＋(OH+R)2+(R-OH)2
＝2PH2＋2OH2+2R2=2(PH2＋OH2)+2R2=2r2＋2R2
解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：
第一种是分两步完成：
1先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.
2再证明它能成立.
过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：
【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？为什么？
（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）
设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）
（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。）
过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：
图2：
为定值（只把结论板书）
图3：
为定值（只把结论板书）
图1图2图3
图1：
为定值（板书）
图2：
为定值（只把结论板书）
图3：
为定值（只把结论板书）
（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）
（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）
过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。
PE+PF=。
方法1：特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。
方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。
方法3：等面积法：连接AP，
总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。
等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，
过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则
PE+PF还是定值吗？若是，是多少？
若不是，为什么?
方法1：三角形相似进行量的转化
（板书）
（M为BC中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）
（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）
（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）
问：我把题中的5改为a，6改为b，PE+PF还是定值吗？你能求出这个定值吗？
答：是定值，求解方法不变。
问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？
∵M是△ABC的内心，
∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB).
∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA）=180 －2(180 －∠AMB)= 2∠AMB－180 ＝60 .
∴∠ACB有定值60 .
方法2：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？
答：要证∠ACB有定值，只需证∠EMF是定值，只需证∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。
不变关系是相切。
问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？
答：连接圆心与切线
方法1：问：要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？
答：要证∠ACB有定值，只需证∠CAB+∠CBA是定值，只需证
∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。
证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB，
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF= (a为腰长,b为底边长,h为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）
（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）
问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？
答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。
平面几何中的定值问题
开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：
【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角
边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过
P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则
类型：
（1）点动
（2）线动
（3）旋转、平移
（4）形变
解题思路：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。
图1图2图3
在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，h1＋h2＋h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？
等面积法还可以用吗？△PAB，△PBC，△PAC的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系？
（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）
图1：
为定值（板书）
证明：在四边形CEMF中，∠C+∠EMF=180 ，
∵M是△ABC的内心，
∴∠DMA=∠EMA,∠FMB=∠DMB
∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240
∴∠EMF=120
∴∠C =180 -∠EMF=60
总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。
探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.
第二种是采用综合法，直接写出证明.
结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。希望同学们能够把握动态几何的解题规律。
【小结】
问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？
答：动态几何中的定值问题
特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动
【问题2】已知：已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.
求证：∠ACB有定值，并求出这个定值.
分析：
问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？
答：此题中的不变量是弧AB，因此∠AMB也是不变量；
分析：这道题百度文库探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。
1点P放在直径AB上.
得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.
2点P放在与直径AB垂直的另一条直径上
也可得PA2＋PB2＝R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.
说明PA2＋PB2非常有可能是定值，而且这个值为2（R2＋r2）
方法2：等面积法：
（M为BC中点）（板书）
（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。）
(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？
学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。
（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。）
过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？
【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径?点P是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r?问:PA2＋PB2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.
为定值（M为BC中点）（板书）
可以用几何画板度量长度，进行演示
（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）
过渡：研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？
【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为什么？
证明：（直角三角形计算法）
PA2＋PB2＝HA2＋PH2+PH2＋HB2＝2PH2＋(OH+R)2+(R-OH)2
＝2PH2＋2OH2+2R2=2(PH2＋OH2)+2R2=2r2＋2R2
解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：
第一种是分两步完成：
1先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.
2再证明它能成立.
过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：
【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？为什么？
（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）
设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）
（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。）
过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：
图2：
为定值（只把结论板书）
图3：
为定值（只把结论板书）
图1图2图3
图1：
为定值（板书）
图2：
为定值（只把结论板书）
图3：
为定值（只把结论板书）
（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）
（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）
过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。
PE+PF=。
方法1：特殊值法：把P点放在特殊的B点或C点或BC中点。此种方法只适合小题。
方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。
方法3：等面积法：连接AP，
总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。