二次根式计算
二次根式的运算与化简
二次根式的运算与化简二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行运算和化简。
本文将介绍二次根式的运算规则和化简方法。
一、二次根式的运算规则1. 加减运算当二次根式的被开方数相同时，可用下面的规则进行加减运算：√a ± √a = 2√a例如：√3 + √3 = 2√3当二次根式的被开方数不同时，无法进行加减运算，需要化简为最简形式：√a ± √b = √a ± √b例如：√2 + √3 无法化简2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以按照下列规则进行：√a × √b = √(a × b)例如：√2 × √3 = √6乘法运算的一种特殊情况是平方运算：(√a)² = a例如：(√2)² = 23. 除法运算二次根式的除法运算可以按照下列规则进行：√a ÷ √b = √(a ÷ b)例如：√6 ÷ √2 = √3除法运算的一种特殊情况是倒数运算：1/√a = √a/ a例如：1/√2 = √2/2二、二次根式的化简方法1. 提取因子法当二次根式中有相同的因子时，可以使用提取因子的方法进行化简。
例如：√8 = √(4 × 2) = 2√22. 有理化分母法当二次根式的分母为二次根式时，可以使用有理化分母的方法进行化简。
例如：1/√2 = √2/2 （有理化分母为2）3. 合并同类项法当二次根式中出现相同的根数时，可以使用合并同类项的方法进行化简。
例如：√2 + √2 = 2√24. 化简最简形式当无法再进行其他化简方法时，二次根式已经达到最简形式。
例如：√7 无法化简以上是对二次根式的运算和化简方法的介绍。
掌握了这些方法，我们可以在解决数学问题时更加灵活地利用二次根式进行运算和化简，简化计算过程。
希望本文能对你有所帮助。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中常见的概念，它在代数学、几何学和物理学等领域都得到广泛应用。
本文将为您详细介绍二次根式的运算过程和相关概念。
一、定义与性质二次根式，顾名思义，就是一个数的根号形式，其中根号下是一个有理数。
一般形式为√a，其中a表示一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
二次根式的性质如下：1. 二次根式的运算结果是一个实数，要么是有理数，要么是无理数。
2. 二次根式的和差运算只有当根号下的被开方数相同时，才能进行。
3. 二次根式的乘法运算可以进行，即√a × √b= √(a × b)。
4. 二次根式的除法运算可以进行，即√a ÷ √b = √(a ÷ b)，其中b不等于零。
二、二次根式的运算法则1. 化简当二次根式出现在分母中时，为了方便计算，我们通常会进行化简。
具体来说，如果根号下的被开方数可以被因式分解，我们就将其进行简化。
例如，对于√12，可以进行因式分解得到√(4 × 3)，进而简化成2√3。
2. 相加相减当根号下的被开方数相同时，我们可以进行二次根式的相加与相减。
例如，√5 + √5 = 2√5，√7 - √7 = 0。
3. 乘法二次根式的乘法运算非常简单，只需要将根号下的被开方数相乘即可。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
4. 除法二次根式的除法运算也很简单，只需要将根号下的被开方数相除即可。
例如，√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2。
三、例题解析为了更好地理解二次根式的运算过程，我们举几个例题进行解析。
例题1：化简下列二次根式。
(1) √72(2) √50 ÷ √2解析：(1) √72 = √(4 × 18) = √4 × √18 = 2√18。
由于18不能再进一步分解，所以2√18为最简形式的答案。
二次根式的计算公式
二次根式的计算公式在咱们的数学世界里，二次根式可是个有点特别的存在。
就像一个调皮但又藏着规律的小家伙，总是让人又爱又恨。
先来说说二次根式的基本计算公式吧。
比如说，根号下 a 的平方，那就等于绝对值 a 。
这就好比你去买糖果，袋子里糖果的数量不管是正数还是负数，平方之后再开方，得到的结果都是它的绝对值。
还有啊，根号下ab 就等于根号下a 乘以根号下b ，但这里要注意，a 和 b 都得是非负数才行。
这就好像是把一个大蛋糕分成几小块，每小块的大小加起来就是原来大蛋糕的大小。
咱们来举个例子感受感受。
假设一个正方形的面积是 16，那它的边长是多少呢？这时候就用到二次根式啦，因为正方形面积等于边长的平方，所以边长就是根号下 16 ，也就是 4 。
记得我上中学那会，有一次数学考试，其中有一道题就是关于二次根式的计算。
题目是：计算根号下 27 除以根号下 3 。
我当时一看，心里一乐，这不是刚学的知识嘛。
我就先把根号下 27 化成 3 倍的根号下3 ，然后一除，答案就是 3 。
那次考试因为这道题做对了，还让我的成绩提高了不少呢。
再说说二次根式的加减运算。
只有同类二次根式才能相加减，就像只有同样类型的水果才能放在一起算数量一样。
比如说，2 倍的根号 2 加上 3 倍的根号 2 ，那结果就是 5 倍的根号 2 。
乘法运算也有它的规律。
根号下 a 乘以根号下 b 等于根号下 ab ，这个公式用起来可方便了。
比如说，计算根号下 6 乘以根号下 8 ，那就等于根号下 48 ，再化简就是 4 倍的根号 3 。
除法运算呢，根号下 a 除以根号下 b 就等于根号下 a 除以 b 。
比如说，计算根号下 18 除以根号下 2 ，结果就是 3 倍的根号 2 。
在实际应用中，二次根式的计算公式也大有用处。
比如建筑工人要计算一个直角三角形的斜边长度，已知两条直角边分别是 3 和 4 ，那斜边长度就是根号下 3 的平方加上 4 的平方，也就是 5 。
二次根式及其运算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
4．(2013·常德)计算 4．(2013·常德)计算 2×
2×8＋38＋－327－的2结7的果结为果(为B(
)
)
A．－1
B．1
C．4－3 3
D．7
A．－1
B．1
C．4－3 3
D．7
解析 本题考查的是实数的运算，在进行实数运算
首
页
时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3．(2013·泰州)下列计算正确的是
()
A．4 3－3 3＝1
B. 2＋ 3＝ 5
首
C．2 12＝ 2
D．3＋2 2＝5 2
页
解析 根据二次根式的化简及同类二次根式的
合并，分别进行各选项的判断即可．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3．(2013·泰州)下列计算正确的是
2．二次根式的性质：
(1)( a)2＝_a_(_a_≥__0_)_．
首 页
(2)
a2＝|a|＝
a(a>0) ； 0(a＝0) ；
－a(a<0) .
(3) ab＝__a_·____b(_a_≥__0_，__b_≥_．0) (4) ab＝____ba_(_a_≥__0_，_b_>_0_)__．
第5课 二次根式及其运算
(5)巧用倒数．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
1．(2013·鞍山)要使式子 2－x有意义，则 x 的取值
范围是
(D )
A．x＞0
B．x≥－2
首
C．x≥2
D．x≤2
页
解析 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算在数学的世界里，二次根式是一个重要的概念，它不仅在代数运算中频繁出现，也在解决实际问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探究二次根式的性质与计算。
二次根式，简单来说，就是形如√a（a≥0）的式子。
其中，“√”称为二次根号，a 称为被开方数。
先来说说二次根式的性质。
性质一：双重非负性。
即二次根式的被开方数a 是非负的（a≥0），同时二次根式的值也是非负的（√a≥0）。
这就好比一个房子，里面住的人数（被开方数）不能是负数，而且从这个房子走出来的人（二次根式的值）也不能是负数。
性质二：（√a）²＝ a（a≥0）。
这个性质可以理解为，一个数先开平方再平方，就等于它本身。
就像一个人先出门再回家，还是原来那个人。
性质三：√（a²）＝｜a|。
当a≥0 时，√（a²）＝ a；当 a＜0 时，√（a²）＝ a。
这就好像一个人的正面和背面，虽然看起来不一样，但都是这个人。
性质四：√ab ＝√a×√b（a≥0，b≥0）。
这个性质告诉我们，两个非负实数的乘积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的乘积。
比如说，计算√12，我们可以把 12 分解为 4×3，那么√12 ＝√4×√3 ＝2√3。
性质五：√a÷√b ＝√（a÷b）（a≥0，b＞0）。
这就像是把一个大蛋糕（a）按照一定比例（b）切开，得到的每一份的大小（√（a÷b）），和先分别计算每一份蛋糕的大小（√a 和√b）再相除是一样的。
了解了这些性质，我们再来看看二次根式的计算。
二次根式的加减法，首先要把二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如√8，就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 4×2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
在进行二次根式的加减运算时，只有同类二次根式才能合并。
二次根式的化简及计算
二次根式的化简及计算二次根式是指具有形式 $\sqrt{a}$ 的数，其中 $a$ 是一个非负实数。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和计算。
在本文中，我将对二次根式的化简和计算进行详细介绍。
首先，让我们来了解一些基本的二次根式化简规则。
1. 同号相乘法则：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$；2. 同底数幂法则：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$；3. 分子分母同时乘以二次根式的共轭：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} =\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
基于这些规则，我们可以对二次根式进行化简和计算。
第一种情况是对一个二次根式的平方进行化简。
例如，对于$\left(\sqrt{2}\right)^2$，我们可以利用同底数幂法则得到$\sqrt{2}^2 = 2$。
第二种情况是对两个二次根式进行乘法计算。
例如，计算 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$，我们可以利用同号相乘法则得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$。
第三种情况是对两个二次根式进行除法计算。
例如，计算$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，我们可以分子分母同时乘以$\sqrt{3}$的共轭 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
第四种情况是对一个二次根式的和或差进行化简。
例如，对于$\sqrt{2} + \sqrt{3}$，我们无法直接化简为一个二次根式。
二次根式的计算
☆ 知识梳理1. 同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式叫同类二次根式。
2. 判断同类二次根式的方法：（1）先把二次根式化简成最简二次根式；（2）然后再根据同类二次根式的定义判定是否为同类二次根式。
3. 二次根式的加减法：实质上是合并同类二次根式。
其步骤是：（1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出同类二次根式；（3）合并同类二次根式：只把系数相加，根指数和被开方数不变。
4. 二次根式的混合运算的顺序 （1）先乘方（开方）； （2）再乘除； （3）最后加减；（4）有括号的先算括号里面的；（5）利用运算律可以适当改变运算顺序进行简化运算。
5. 分母有理化的方法：（1）方法一：一是分子与分母都乘以分母的有理化因式，使分母有理化； （2）方法二：利用分解因式的方法，通过约分，使分母有理化。
考点1、同类二次根式例题选讲1、以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2、下列各式中正确的是（ ）A ．235+=B ．2323+=C ．3434a x x a x -=-D ．127390-=3、与23是同类根式的是（ ） A ．50 B ．32 C ．18 D ．754、在8、1753a 、293a 、125、323a a、30.2、128-中，与3a 是同类二次根式的有________5、判断下列各组根式是否是同类根式：（）；；（）当时，，，117531516238534202--<<+-m n n m m n n m m n课堂拓展练习：1、在下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 272、下列各式计算正确的是（ ） A ．868686142222+=+=+=B ．8442x y x y =C ．10610610642822-=+-=⨯=·D ．--=--=25492549573、计算()()105453515-÷-的结果是（ ）A． B ．3 C ．33D．3-4、()a a -=-112成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥1C ．a <1D ．a ≤1考点2、二次根式的加减法例题选讲1、计算2、计算 ()()()2235423----+⨯-3、计算 0|2|(12)4--++4、计算 0(π2009)12|32|-++-5、计算 21)1(9)2()31(2-+--π⨯+--29361832)(12)23+-+-课堂拓展练习：1、计算：1212)31(1--+-2、计算：13121-+--3、计算：()20232510+--+4、计算：02)23()2(132-+-++5、计算：()12200432212101----+⎪⎭⎫⎝⎛-考点3、二次根式的混合运算例题选讲1、已知：a b=+=-322322，，求ab a b 33+的值2、化简5710141521++++3、先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中215+=a4、先化简，再求值： ，其中5、先化简，在求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中3a =课堂拓展练习：1、先化简，再求值：22(3)(2)1x x x x x -+-+，其中x =2()2111211x x x ⎛⎫+÷-- ⎪--⎝⎭2x =02)+3、先化简，再求值：244(2)24x x x x -+⋅+-，其中x =4、先化简，再求值：22(3)(2)1x x x x x -+-+，其中x =5、先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x作业：1、()a a -=-112成立的条件是：A ．a ≠1B ．a ≥1C ．a <1D ．a ≤12、把227化成最简二次根式，结果为：A ．233B ．29C ．69D ．393、下列根式中，最简二次根式为： A ．4x B ．x24- C ．x 4D ．()x +424、已知1t <，化简1212---+t tt 得：A ．22-tB ．2tC ．2D ．05、下列各式中，正确的是： A ．()-=-772B ．()-=07072..C ．()-=7722D ．()-=07072..6、下列命题中假命题是：A ．设()x x x <-=-02，则B ．设x x x<=-012，则C ．设x xx <=02，则 D ．设()x xx <=0222，则7、与23是同类根式的是：A ．50B ．32C ．18D ．758、下列各式中正确的是：A ．235+=B ．2323+=C ．3434a x x a x -=-D ．127390-=9、下列各式计算正确的是： A ．868686142222+=+=+=B ．8442x y x y =C ．10610610642822-=+-=⨯=·D ．--=--=254925495710、计算()()105453515-÷-的结果是：A ．B ．3C ．33D ．3-11、计算：()()()223523----⨯-12、计算： 0|2|(1--++13、计算：0(π2009)|2|-+-14、计算：21)1(9)2()31(2-+--π⨯+--15、计算：21418122-+-16、计算：2)352(-1718、计算：284)23()21(01--+-⨯-19、计算()()()()()（）（）（）（）（）·10262633323464411025125522223222222->------>--+++-+-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪------sts m m m x x x x x x a b a b a b b a()||易错点睛：1、同类二次根式判断两个二次根式是否为同类二次根式时，必须将二次根式化为最简二次根式之后看被开方数是否相同，否则会出现错解.2、二次根式的加减法就不能再合并.3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样； 加法、乘法运算律依然成立；合并同类二次根式时不能遗漏根式，如应等于而不是2；.。
二次根式的公式
二次根式的公式
二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式
的计算公式为：
1. 同类项相加减：对于两个二次根式，如果它们的根号内的数
相同，则可以直接将它们的系数相加减，再乘以相同的根号内的数。
例如，√2 + 3√2 = 4√2，2√3 - √3 = √3。
2. 消去分母中的二次根式：将含有二次根式的分数的分母有理
化为含有二次根式的形式，并将分子分母同时乘以分母的有理化因式。
例如，将1/（2+√3）有理化为（2-√3）/（（2+√3）（2-
√3））=（2-√3）/1。
3. 分解因式求根：对于一个二次根式，可以将它分解因式，并
利用乘法公式求得其值。
例如，√18 = √（2·3·3）= 3√2。
以上是二次根式的计算公式，可以帮助我们简化和求解二次根式
的运算。
8年级二次根式计算题450道
8年级二次根式计算题450道①5√8-2√32+√50=5*3√2-2*4√2+5√2=√2(15-8+5)=12√2②√6-√3/2-√2/3=√6-√6/2-√6/3=√6/6③(√45+√27)-(√4/3+√125)=(3√5+3√3)-(2√3/3+5√5)=-2√5+7√5/3④(√4a-√50b)-2(√b/2+√9a)=(2√a-5√2b)-2(√2b/2+3√a)=-4√a-6√2b⑤√4x*(√3x/2-√x/6)=2√x(√6x/2-√6x/6)=2√x*(√6x/3)=2/3*|x|*√6⑥(x√y-y√x)÷√xy=x√y÷√xy-y√x÷√xy=√x-√y⑦(3√7+2√3)(2√3-3√7)=(2√3)^2-(3√7)^2=12-63=-51⑧(√32-3√3)(4√2+√27)=(4√2-3√3)(4√2+3√3)=(4√2)^2-(3√3)^2=32-27=5⑨(3√6-√4)²=(3√6)^2-2*3√6*√4+(√4)^2=54-12√6+4=58-12√6⑩（1+√2-√3）（1-√2+√3）=[1+(√2-√3)][1-(√2-√3)]=1-(√2-√3)^2=1-(2+3+2√6)=-4-2√6①5√8-2√32+√50 =5*3√2-2*4√2+5√2 =√2(15-8+5) =12√2 ②√6-√3/2-√2/3 =√6-√6/2-√6/3 =√6/6 ③(√45+√27)-(√4/3+√125) =(3√5+3√3)-(2√3/3+5√5)=-2√5+7√5/3 ④(√4a-√50b)-2(√b/2+√9a) =(2√a-5√2b)-2(√2b/2+3√a) =-4√a-6√2b⑤√4x*(√3x/2-√x/6) =2√x(√6x/2-√6x/6) =2√x*(√6x/3) =2/3*|x|*√6 ⑥(x√y-y√x)÷√xy =x√y÷√xy-y√x÷√xy =√x-√y ⑦(3√7+2√3)(2√3-3√7) =(2√3)^2-(3√7)^2 =12-63 =-51⑧(√32-3√3)(4√2+√27) =(4√2-3√3)(4√2+3√3) =(4√2)^2-(3√3)^2 =32-27 =5⑨(3√6-√4)2 =(3√6)^2-2*3√6*√4+(√4)^2 =54-12√6+4 =58-12√6 ⑩（1+√2-√3）（1-√2+√3）=[1+(√2-√3)][1-(√2-√3)] =1-(√2-√3)^2 =1-(2+3+2√6) =-4-2√6二次根式计算题30道带答案1/6√1又3/5×（-5√3又√3/5）=1/6√（8/5）×（-5/3√（3/5）=-5/18√（24/25）=-5/18×2/5√6=-1/9√6（2）√8/a×√2a/b=√（8/a×2a/b)=√(16/b)=4/b(√b)（3）√2x乘以√2y乘以√x=√(2x*2y*x)=2x√y（4）2√a÷4√b=√a/2√b=1/2b√ab（5）5√xy÷√5x^3=5√(xy/5x³)=1/x√5y（6）√x-y÷√x+y=1/(x+y)√(x²-y²)（7）√x（x+y）÷√xy^2/x+y（x>0,y>0）=√[x(x+y)÷xy²/(x+y)]=(x+y)/y（8）√xy乘以√6x÷√3y=√6x²y÷√3y=x√2（9）（√mn-√m/n）÷√m/n（n>0)=√mn÷m/n-√m/n÷m/n=n-1（10）√3/8-（-3/4√27/2+3√1/6）=1/4√6+3/8√6-1/2√6=1/8√6（11）2/3√9x+6√x/4-2x√1/x=2√3x+3/2√x-2√x=5/2√x（12）2/a√4a+√1/a-2a√1/a^3=1/a√a+1/a√a-2/a√a=0（13）√0.2m+1/m√5m^3-m√125/m=1/5√5m+√5m-5√5m=-19/5√5m（14）√a+b/a-b-√a-b/a+b-√1/a^2-b^2（a>b>0）=1/(a-b)√(a²-b²)-1/(a+b)√(a²-b²)-1/(a²-b²)√(a²-b²) =(a+b-a+b-1)/(a²-b²)√(a²-b²)=(2b+1)/(a²-b²)√(a²-b²)解不等式（15）2x+√32<x+√22x-x＜√2-4√2x＜-3√216）√3/8-（-3/4√27/2+3√1/6）=1/2√3/2 + 9/4√3/2 - 1/2√6=1/4√6 + 9/8√6 - 1/2√6=7/8√6（17）√0.2m+1/m√5m^3-m√125/m=√1/5*m + 1/m√5m*m^2 - m√25*5m/m^2=1/5√5m+√5m-5√5m=-19/5√5m（18）（√45+√27）+（√1又1/3-√125）=3√5+3√3 + √4/3-5√5=3√3 + 2/3√3 + 3√5 - 5√5=5√3 -2√5（19）2/3√9x+6√x/4-2x√1/x=2√x+3√x-2√x=3√x20 √40÷√5=√8*√5÷√5=√8=2√221 √32/√2=√16*√2/√2=√16=422 √4/5÷√2/15=√4/5*√15/2=√(4/5*15/2)=√623 2√a^3b/√ab=2√a²√ab/√ab=2√a²=2|a|(24)√18-√32+√2=√2×9-√4×4×2+√2=3√2-4√2+√2=0(25)√75-√54+√96-√108=√5×5×3-√6×3×3+√6×4×4-√3×6×6=5√3-3√6+4√6-6√3=√6-√3=√3(√2-1)(26)(√45+√18)-(√8-√125)=√5×3×3+√2×3×3-√2×2×2+√5×5×5=3√5+3√2-3√2+5√5=8√5(27)½(√2+√3)-¾(√2+√27)=¼(2√2+2√3-√2-√27)此处通分，分子不变，分母都分别乘进去了，因为不好写就省略了=¼(2√2+2√3-√2-√3×3×3)=¼(√2-√3)（28）¼根号下18ab×（-2/b根号下6a²/a）=1/4×(-2/b)×√(18ab×6a²/a)=-1/(2b)×3a√(2b)=-3a/(2b) √(2b)（29）根号下50a²b（a＜0，b＞0）=√(25a²×2b)=-5a√(2b)（30）根号18×3/2根号20×（-1/3根号15）=-1/3×3/2×√(18×20×15)=-1/2×√5400=-1/2×30√6=-15√6帮我找50道一元二次方程计算题和50道二次根式计算题（带答案过程哦）。
二次根式的运算公式.docx
二次根式的运算公式二次根式是高中数学中一个重要的概念，它涉及到了根号的运算和二次方程的解法。
在这篇文章中，我们将探讨二次根式的运算公式，并说明其在实际生活和学习中的应用。
首先，让我们回顾一下二次根式的定义。
二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个实数，且a大于等于0。
在二次根式的运算中，我们必须熟练掌握以下两个重要的运算公式：乘法公式和化简公式。
乘法公式用于计算两个二次根式的乘积。
设√a和√b是两个二次根式，其中a和b都是实数且大于等于0。
根据乘法公式，它们的乘积可以表示为√(a*b)。
例如，√2 * √3 = √(2*3) = √6。
这个公式在实际生活中的应用很广泛，比如在计算几何中，当我们需要求解两个边长相乘得到的面积时，就可以利用这个公式来简化计算过程。
化简公式用于简化复杂的二次根式。
举个例子，如果我们要化简√(4*√3)，根据化简公式，可以得到√4 * √√3 = 2 * √√3。
这个化简公式在求解数学问题中非常有用，它可以帮助我们将复杂的根式转换成更简单的形式，以便于进一步运算或解题。
除了乘法公式和化简公式，还有一些其他的二次根式运算公式，比如加减法公式和有理化公式，它们在高中数学的学习中也是非常重要的。
加减法公式主要用于计算带有二次根式的加减法运算，有理化公式则用于将分母中含有二次根式的有理数转化为分母没有二次根式的形式。
在实际应用中，我们可以看到二次根式的运算公式在各个科学领域都起到了重要的作用。
比如在物理学中，当我们需要计算一些特定形状的物体的体积或表面积时，常常会遇到二次根式的运算。
此时，我们可以利用二次根式的运算公式来简化计算过程，并得到准确的结果。
总结起来，二次根式的运算公式是高中数学中一个重要的知识点。
通过学习乘法公式、化简公式以及其他相关的运算公式，我们可以更加灵活地进行二次根式的运算，并在实际生活和学习中应用这些知识。
无论是在解决几何问题、物理计算还是其他领域中，二次根式的运算公式都是我们不可或缺的工具，为我们解决复杂的数学问题提供了便利。
二次根式的运算
二次根式的运算
一、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
二、有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
三、二次根式运算法则：（1）加法法则（合并同类二次根式）；（2）乘、除法法则。
四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
常见考法
二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。
题型既有选择填空，也有计算解答。
误区提醒。
二次根式的计算与性质
二次根式的计算与性质二次根式是数学中的一个重要概念，在许多数学问题的解答中经常涉及。
它的计算和性质具有一定的规律和特点。
本文将深入探讨二次根式的计算方法和性质，并结合实例进行说明。
一、二次根式的定义与基本性质二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数，是它的被开方数。
二次根式具有以下基本性质：1. 当a≥0时，二次根式有意义。
2. 当a＞0时，√a＞0。
3. 当a＞b≥0时，有√a＞√b。
4. 二次根式的平方等于被开方数本身。
二、二次根式的四则运算1. 二次根式的加减运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ± √b = √(a ± b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√8 + √2。
解：√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√2。
2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a × √b = √(a × b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√3 × √5。
解：√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。
3. 二次根式的除法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√16 ÷ √4。
解：√16 ÷ √4 = √(16 ÷ 4) = √4 = 2。
三、二次根式的化简与有理化1. 化简二次根式：对于二次根式√a，可以通过确定a的因式分解式来进行化简。
举例：（1）化简√72。
解：√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = √(2^2 × 3^2) = 2√2 × 3 = 6√2。
二次根式运算
②合并同类二次根式与整式中的合并同类项类似，只需把同类二次根式前面的有理数(或有理式)相加减就行了。
题型1：题型2：二次根式的性质及简单运算例1：化简 （1（2 （3 （4.11)1(到根号里面中的根号外面的因式移将aa --例2：计算 （1）2（x ≥0） （2）2（3）2 （4））2题型3：最简二次根式和同类二次根式 例1： 把下列两组中的各二次根式分别化为最简二次根式，并指出哪些是同类二次根式。
（1） （2）例2：已知是最简二次根式，它与是同类二次根式，求a 与n 的值。
题型4：二次根式的运算例1：101531251812775，，，-3453x x y x y x y x y，，-7--a n a 328n (.)()052131875---例2：把下列各式分母有理化（1） （2）例3：(1)(+)×(2) (4632)22-÷.例4：19961997(3(3+-三、课堂达标检测 1. ，则（ ）A ．a ＜B . a ≤C .a ＞ D . a ≥ 2.已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 3.当实数x 的取值使得有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ） A .y ≥-7 B . y ≥9 C . y >9 D . y ≤94. 有意义，则的取值范围是 。
5. 在实数范围内分解因式：。
5. 当1≤x<5。
1945-322322-+12a -121212123y =2xy 15-15152-1522-x 11m +m 429__________,2__________x x -=-+=5_____________x -=6. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
7.成立的条件是 。
8. 若互为相反数，则。
9.，求x 、y 的值。
10. 已知的值。
11.数轴上与1，2对应的点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，设点C 表示的数为x ，则=+-xx 22 .12.计算：21-2-38232-+⨯+13.已知3232-=+=b a ，，试求a b b a -的值.1x =+1x+1a b -+()2005_____________a b -=2440y y -+=2310x x -+=。
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
二次根式的运算(含答案)
二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。
也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。
精典例题： 【例1】计算：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322212143222； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--31221821812；（3）()()()200215415215200020012002++-+-+；（4）()()235235-++-；（5）()1211321231260sin -⎪⎭⎫⎝⎛-+---++。
答案：（1）3324-；（2）24332-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a bab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+分析：将ba b a +和ba b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变为乘以ab1，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：原式＝ba b ba a ++-+1＝1-++ba b a ＝0【例3】已知131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a ab 的值。
分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。
解：由已知得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。
分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。
∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414 ∴23-＜12-同理：34-＜23-，45-＜34-根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n证明：n n -+1＝()()n n nn nn ++++-+111＝()()nn n n ++-+1122＝nn ++111--n n ＝()()111-+-+--n n n n n n＝()()1122-+--n n n n＝11-+n n又∵nn ++11＜11-+n n∴n n -+1＜1--n n【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 322442+--（b a 20<<）解：原式＝a b ab a b b a a )44(222+-- ①＝22)2(2a b a ab b a a -- ②＝ab ab a b a a⋅-⋅-22 ③＝ab aba b a a ⋅-⋅-22 ④＝ab问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。
二次根式的概念与计算
二次根式的概念与计算二次根式，也称为平方根，是数学中的基本概念之一。
它指的是一个数的平方根，即找到一个数，使得这个数的平方等于给定的数。
在本文中，我们将介绍二次根式的定义、性质以及如何进行计算。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。
读作“根号a”，表示求一个非负实数x，使得x的平方等于a。
例如，√25表示求一个数x，使得x的平方等于25，显然x=5，所以√25=5。
二、二次根式的性质1. 非负实数的二次根式是唯一的。
例如，√16=4，而不会有其他的非负实数满足x^2=16。
2. 若a≥0，则有√a≥0。
即二次根式的值不会是负数。
3. 二次根式可以进行加减运算。
例如，√9+√16=3+4=7。
4. 二次根式可以进行乘法运算。
例如，√9*√16=3*4=12。
5. 二次根式可以进行除法运算。
例如，√16/√4=4/2=2。
6. 若a>b≥0，则有√a>√b。
即较大的数的二次根式值更大。
三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：如果二次根式中的被开方数存在平方因子，可以将其化简。
例如，√36=√(6^2)=6。
2. 合并同类项：对于同根号下的数可以进行合并。
例如，√2+√8=√2+√(4*2)=√2+2√2=3√2。
3. 有理化分母：将分母为二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。
例如，1/√3=√3/3。
4. 进行四则运算：对于二次根式的加减乘除运算，可以根据性质进行计算。
例如，(√5+√3)^2=5+2√15+3=8+2√15。
总结：二次根式是数学中的重要概念之一，它表示一个数的平方根。
在计算中，我们可以根据二次根式的性质进行化简、合并、有理化分母以及进行四则运算。
通过掌握二次根式的概念和计算方法，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式计算训练1．计算：（1）+2﹣（+）（2）÷×（3）（7+4）（7﹣4）2．计算：（1）﹣+﹣+（）﹣1（2）×（3﹣2+）．3．计算（1）（3+2）2﹣（4+）（4﹣）﹣|24﹣12|（2）2×÷5+（2﹣3）÷．4．计算（1）（+8﹣×）÷（2）（2﹣）2﹣（3﹣）×+|3﹣| 5．（1）（﹣）÷×（2）4a2﹣7（3）（+5）（5﹣2）﹣（﹣）2．6．计算：（1）3﹣+﹣；（2）（2+）（2﹣）+（4﹣3）÷2．7．计算题：（1）5﹣9+；（2）（﹣2）（2+）﹣（﹣）2+×．8．计算：（1）﹣3+（﹣）（+）（2）（6﹣2x）÷3．9．计算：（1）÷﹣×+（2）（﹣）2+（+）（﹣）10．（1）（+1）2015（﹣1）2014（2）﹣+÷．11．计算（1）（﹣2）（+2）+﹣×（2）﹣12017+（﹣）﹣2﹣×+|1﹣|+（π﹣3）0．12．计算题：（1）（﹣4）﹣（2﹣2）（2）﹣|1﹣|+（3﹣）（1+）．13．计算：（1）（+）（﹣）﹣（+3）2；（2）+|﹣3|﹣π0+（）﹣1．14．计算：（1）2+3﹣﹣；（2）﹣÷2+（3﹣）（1+）．15．计算下列各题（1）4+﹣+4（2）（﹣3）2+（﹣3）（+3）（3）（+）×（4）（4﹣3）÷2+．16．计算：（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1（2）（﹣2）2÷（+3﹣）（3）先化简，后计算：++，其中a=，b=．17．计算下列各题（1）•（3+）（2）÷×（3）+（3﹣）（1+）（4）（3+）（3﹣）﹣（1﹣）2．18．（1）计算：﹣（+1）（﹣1）+（﹣2）0；（2）计算：﹣3+2x．19．（1）﹣4+÷（2）已知x=+，y=﹣，求x2﹣y2的值（3）（﹣）2+﹣（）2016×（﹣2）2017+（﹣1）0．20．观察、思考、解答：（﹣1）2=（）2﹣2×1×+12=2﹣2+1=3﹣2反之3﹣2=2﹣2+1=（﹣1）2∴3﹣2=（﹣1）2∴=﹣1（1）仿上例，化简：；（2）若=+，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；（3）已知x=，求（+）•的值（结果保留根号）21．计算：（1）2×；（2）﹣（3+）；（3）已知a=+，b=﹣，求a2+b2﹣2ab的值．22．计算：（1）+3﹣+．（2）5+﹣7（3）（+）2（5﹣2）．23．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．24．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．25．计算（1）（﹣）﹣（+）；（2）2×÷；（3）﹣+4；（4）（﹣+3+）；（5）（4+）（4﹣）；（6）（﹣+）（﹣﹣）26．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．27．（1）9+7﹣5+2（2）÷﹣×+（3）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．28．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1．∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．29．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=1，∴a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+（2）若a=，①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=；2a2﹣5a++2=．30．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图，且|a|=|b|，化简．二次根式计算答案1．（2017春•磴口县校级期中）计算：（1）+2﹣（+）（2）÷×（3）（7+4）（7﹣4）解：（1）原式=2+2﹣3﹣=﹣；（2）原式==；（3）原式=49﹣48=1．2．（2017春•枞阳县期中）计算：（1）﹣+﹣+（）﹣1（2）×（3﹣2+）．解：（1）原式=2﹣﹣2+3﹣2+2=4﹣2；（2）原式=（6﹣+4）=×=28．3．（2017春•平舆县期中）计算（1）（3+2）2﹣（4+）（4﹣）﹣|24﹣12|（2）2×÷5+（2﹣3）÷．解：（1）原式=9+12+20﹣（16﹣5）+24﹣12=42；（2）原式=×+（8﹣9）÷=﹣=﹣．4．（2017春•柘城县期中）计算（1）（+8﹣×）÷（2）（2﹣）2﹣（3﹣）×+|3﹣|解：（1）原式=（5+4﹣3）÷2=6÷2=3；（2）原式=4﹣4+5﹣（3﹣）+﹣=9﹣4﹣3+6+﹣=9﹣．5．（2017春•寿光市期中）（1）（﹣）÷×（2）4a2﹣7（3）（+5）（5﹣2）﹣（﹣）2．解：（1）原式=（5﹣3）××=2×=；（2）原式=a﹣7a=﹣7a；（3）原式=5﹣10+50﹣10﹣（5﹣2+2）=5﹣10+50﹣10﹣5+2﹣2=﹣3+33．6．（2017春•防城港期中）计算：（1）3﹣+﹣；（2）（2+）（2﹣）+（4﹣3）÷2．解：（1）原式=3﹣2+﹣3=﹣；（2）原式=（2）2﹣（）2+2﹣=6+2﹣=8﹣．7．（2017春•郯城县期中）计算题：（1）5﹣9+；（2）（﹣2）（2+）﹣（﹣）2+×．解：（1）原式=10﹣3+2=9；（2）原式=5﹣4﹣3+=﹣2+2=0．8．（2017春•丰城市期中）计算：（1）﹣3+（﹣）（+）（2）（6﹣2x）÷3．解：（1）原式=2﹣+2﹣3=﹣1；（2）原式=（3﹣2）÷3=÷3=．9．（2017春•费县期中）计算：（1）÷﹣×+（2）（﹣）2+（+）（﹣）解：（1）÷﹣×+=﹣+2=4﹣+2=4+；（2）（﹣）2+（+）（﹣）=3﹣2+2+3﹣2=6﹣2．10．（2017春•三台县期中）（1）（+1）2015（﹣1）2014（2）﹣+÷．解：（1）原式=[（+1）（﹣1）]2014•（+1）=（2﹣1）2014•（+1）=+1；（2）原式=﹣﹣（﹣1）+×2×=﹣﹣+1+6=7﹣．11．（2017春•仙游县校级期中）计算（1）（﹣2）（+2）+﹣×（2）﹣12017+（﹣）﹣2﹣×+|1﹣|+（π﹣3）0．解：（1）原式=5﹣4+﹣=1+﹣4=﹣3；（2）原式=﹣1+4﹣+﹣1+1=﹣1+4﹣4+﹣1+1=﹣112．（2017春•高新区期中）计算题：（1）（﹣4）﹣（2﹣2）（2）﹣|1﹣|+（3﹣）（1+）．解：（1）原式=4﹣﹣+=；（2）原式=2+1﹣+（﹣1）•=3﹣+3﹣1=5﹣．13．（2017春•临沭县期中）计算：（1）（+）（﹣）﹣（+3）2；（2）+|﹣3|﹣π0+（）﹣1．解：（1）原式=7﹣5﹣（3+6+18）=2﹣21﹣6=﹣19﹣6；（2）原式=2+3﹣﹣1+2=4+．14．（2017春•武胜县校级期中）计算：（1）2+3﹣﹣；（2）﹣÷2+（3﹣）（1+）．解：（1）原式=4+﹣﹣=；（2）原式=4﹣3+（﹣1）×=4﹣3+2．15．（2017春•濮阳期中）计算下列各题（1）4+﹣+4（2）（﹣3）2+（﹣3）（+3）（3）（+）×（4）（4﹣3）÷2+．解：（1）4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2；（2）（﹣3）2+（﹣3）（+3）=5+9﹣6+11﹣3=22﹣6；（3）（+）×=+=4+3；（4）（4﹣3）÷2+=4÷2﹣3÷2+=2﹣+=2．16．（2017春•日照期中）计算：（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1（2）（﹣2）2÷（+3﹣）（3）先化简，后计算：++，其中a=，b=．解：（1）原式=2+﹣1﹣1+2=3；（2）原式=8÷（5+﹣4）=8÷2=；（3）原式===，当a=，b=时，a+b=，ab=1，所以原式=．．17．（2017春•红桥区期中）计算下列各题（1）•（3+）（2）÷×（3）+（3﹣）（1+）（4）（3+）（3﹣）﹣（1﹣）2．解：（1）原式=×3×+×=3+；（2）原式==1；（3）原式=4﹣+（﹣1）×=4﹣3+3﹣1=+2；（4）原式=9﹣7﹣（1﹣2+2）=2﹣3+2=2﹣1．18．（2017春•南昌期中）（1）计算：﹣（+1）（﹣1）+（﹣2）0；（2）计算：﹣3+2x．解：（1）原式=×﹣（3﹣1）+1=2﹣2+1=1；（2）原式=3x﹣x+2x=4x．19．（2017春•嘉祥县期中）（1）﹣4+÷（2）已知x=+，y=﹣，求x2﹣y2的值（3）（﹣）2+﹣（）2016×（﹣2）2017+（﹣1）0．解：（1）﹣4+÷=3﹣2+2=3；（2）∵x=+，y=﹣，∴x+y=2，x﹣y=2，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×2=4．（3）原式=3﹣2+2+2﹣（×2）2016×（﹣2）+1=5+2+1=8．20．（2017春•下陆区期中）观察、思考、解答：（﹣1）2=（）2﹣2×1×+12=2﹣2+1=3﹣2反之3﹣2=2﹣2+1=（﹣1）2∴3﹣2=（﹣1）2∴=﹣1（1）仿上例，化简：；（2）若=+，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；（3）已知x=，求（+）•的值（结果保留根号）【分析】（1）根据题目中的例题可以解答本题；（2）根据题目中的例题，可以将=+变形，从而可以得到m、n、a、b的关系；（3）先化简x，然后再化简所求的式子，再将x的值代入即可解答本题．【解答】解：（1）=；（2）a=m+n，b=mn，理由：∵=+，∴，∴a=m+n，b=mn；（3）∵x==，∴（+）•=======﹣1﹣．【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．21．（2017春•济宁期中）计算：（1）2×；（2）﹣（3+）；（3）已知a=+，b=﹣，求a2+b2﹣2ab的值．解：（1）2×=2×2××=；（2）﹣（3+）=﹣（）==﹣；（3）∵a=+，b=﹣，∴a﹣b=2，∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=8．22．（2017春•夏津县月考）计算：（1）+3﹣+．（2）5+﹣7（3）（+）2（5﹣2）．解：（1）+3﹣+=2+﹣+=+；（2）5+﹣7=5+2﹣21=﹣14；（3）（+）2（5﹣2）=（5+2）（5﹣2）=25﹣24=1．23．（2017春•武昌区校级月考）计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．解：（1）（3+﹣4）÷=（9+﹣2）÷4=8÷4=2；（2）+9﹣2x2•=4+3﹣2x2×=7﹣2=5．24．（2017春•嵊州市月考）计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．解：（1）××===2×3×5=30；（2）﹣+2=×4﹣2+2×=2﹣2+=；（3）（﹣1﹣）（﹣+1）=﹣（1+）（1﹣）=﹣（1﹣5）=4；（4）÷（﹣）=2÷（﹣）=2÷=12；（5）÷﹣×+=4÷﹣+2=4+；（6）===．25．（2017春•宜兴市月考）计算（1）（﹣）﹣（+）；（2）2×÷；（3）﹣+4；（4）（﹣+3+）；（6）（﹣+）（﹣﹣）解：（1）（﹣）﹣（+）=2﹣﹣2﹣=﹣3；（2）2×÷=4×÷=3÷=；（3）﹣+4=3﹣+4×=；（4）（﹣+3+）=2（﹣+3+）=﹣2+6+2=﹣4+6+2；（5）（4+）（4﹣）=16﹣5=11；（6）（﹣+）（﹣﹣）=（﹣）2﹣（）2=5+3﹣2﹣2=6﹣2．26．（2017春•滨州月考）计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（4）+﹣（﹣1）0．解：（1）原式=3﹣2+=2；（2）原式=2+2﹣3+=3﹣；（3）原式=12﹣6=6；（4）原式=+1+3﹣1=4．27．（2017春•嘉祥县月考）（1）9+7﹣5+2（2）÷﹣×+（3）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．解：（1）原式=9+14﹣20+=；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+；（3）原式=12﹣1﹣1+4﹣12=﹣2．28．（2016春•东湖区期中）小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1．∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．解：a===+1，（a﹣1）2=2，a2﹣2a+1=2，4a2﹣8a﹣3=4（a2﹣2a）﹣3=4×1﹣3=1，4a2﹣8a﹣3的值是1．29．（2015春•汉阳区期中）小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=1，∴a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+（2）若a=，①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=0；2a2﹣5a++2=2．解：（1）原式=×（+++…+）=×（﹣1）=10=5；（2）①∵a=，∴4a2﹣8a+1=4×﹣8×（1）+1=5；②a3﹣3a2+a+1=﹣3+（）+1=7+5﹣（9）++1+1=0；=2×++2=2；30．（2014秋•张家港市校级期中）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图，且|a|=|b|，化简．解：由实数a、b、c在数轴上的位置知：c＜a＜0，b＞0，∵由题意可知a、b互为相反数，∴原式=﹣a+0﹣（a﹣c）+2c=3c﹣2a．。