基本初等函数讲义超级全
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（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ；
③将 改写成 ，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称．
②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域．
③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上．
④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化： ．
（2）几个重要的对数恒等式
， ， ．
（3）常用对数与自然对数
常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）．
（4）对数的运算性质如果 ，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤
⑥换底公式：
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数 且 叫做对数函数
图象
定义域
（2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
四、指数函数
（1）根式的概念：如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
6.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()
7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=( )x的图象可能是（）
8．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()
A．减函数
B．增函数
C．常函数
D．可能是减函数，也可能是常函数
4.设 ， ，试确定 的值，使 为奇函数。
5.已知函数 ，（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的增减性。
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
函数值的
变Hale Waihona Puke Baidu情况
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 ．如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 ．
12.若 ，则 __________________________.
13、已知函数 的值为
14、函数 恒过定点
三、简答题
1.求下列各式中的x的值
2、已知幂函数f（x）＝ （p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、
3.已知函数 ，(1)求 的定义域；(2)判断 的奇偶性。
① ②
③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数 且 叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
五、对数函数
（1）对数的定义
①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数．
A、 B、
C、 D、
例23.函数 的图像关于（）
A、 轴对称B、 轴对称C、原点对称D、直线 对称
例23.求证函数 是（奇、偶）函数。
课下作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )
2.对抛物线y= －3与y=－ ＋4的说法不正确的是（）
A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同
C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反
3.二次函数y= 图像的顶点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4.如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y= 的图像是（）
5．如果抛物线y= 的顶点在x轴上，那么c的值为（）
A．0 B．6 C．3 D．9
20、已知 ，那么 用 表示是（）
A、 B、 C、 D、
21、已知幂函数f(x)过点（2， ），则f(4)的值为（）
A、 B、1 C、2 D、8
二、填空题
1.抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
2.函数 的定义域为___________.
3.设 ，如果 是正比例函数，则m=____ ,如果 是反比例函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____．
基本初等函数讲义超级全
一、一次函数
一次
函数
，
符号
图象
性质
随 的增大而增大
随 的增大而减小
二、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便．
9．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2]
10、使x2＞x3成立的x的取值范围是（ ）
A、x＜1且x≠0B、0＜x＜1
C、x＞1D、x＜1
11、若四个幂函数y＝ ，y＝ ，y＝ ，y＝ 在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
（3）二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时， ．
三、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例9.下列幂函数中定义域为 的是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例10.讨论函数y＝ 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
例10．已知函数y＝ ．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间．
四、指数函数的运算
例11.计算 的结果是（）
A、 B、 C、— D、—
例12. 等于（）
A、 B、 C、 D、
例13.若 ，则 ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
五、指数函数的性质
例14. ，则M∩P（）
A. B. C. D.
例15.求下列函数的定义域与值域：
（1） （2）
例16.函数 的图像必经过点()
A．(0，1) B．(1，1) C．(2，3)D．(2，4)
例17求函数y= 的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
例题
一、求二次函数的解析式
例1.抛物线 的顶点坐标是（）
A．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）
例2．已知抛物线的顶点为（ 1， 2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）
A． B．
C. D.
例3.抛物线y= 的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（）
A．m＜－1或m＞2 B．m＜0或m＞－1 C．－1＜m＜0 D．m＜－1
例4.已知二次函数 同时满足条件：（1） ；（2） 的最大值为15；（3） 的两根立方和等于17求 的解析式
二、二次函数在特定区间上的最值问题
例5.当 时，求函数 的最大值和最小值．
例6．当 时，求函数 的取值范围．
例7．当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
三、幂函数
例8.下列函数在 上为减函数的是（）
五、对数函数的运算
例18.已知 ，那么 用 表示是（）
A、 B、 C、 D、
例19. ，则 的值为（）
A、 B、4 C、1 D、4或1
例20.已知 ，那么 等于（）
A、 B、 C、 D、
例21. ，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
五、对数函数的性质
例22.下列函数中，在 上为增函数的是（）
A．(－∞，1] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．[5，＋∞)
15、设集合 ，则 是（）
A、 B、 C、 D、有限集
16、函数 的值域为（）
A、 B、 C、 D、
17、设 ，则（）
A、 B、 C、 D、
18、在 中，实数 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
19、计算 等于（）
A、0 B、1 C、2 D、3
4.若 有意义，则 ___________．
5.当 时， ___________．
6.若 ，则 的最小值为___________．
7、若 。
8、函数 的定义域是。
9、 。
10.不等式 的解集是__________________________.
11.不等式 的解集是__________________________.
A、d＞c＞b＞a
B、a＞b＞c＞d
C、d＞c＞a＞b
D、a＞b＞d＞c
12．若幂函数 在(0，+∞)上是减函数，则( )
A． >1B． <1C． =lD．不能确定
13．若点 在幂函数 的图象上，那么下列结论中不能成立的是
A． B． Ｃ． D．
14．若函数f(x)＝log (x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ；
③将 改写成 ，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称．
②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域．
③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上．
④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化： ．
（2）几个重要的对数恒等式
， ， ．
（3）常用对数与自然对数
常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）．
（4）对数的运算性质如果 ，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤
⑥换底公式：
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数 且 叫做对数函数
图象
定义域
（2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
四、指数函数
（1）根式的概念：如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
6.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()
7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=( )x的图象可能是（）
8．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()
A．减函数
B．增函数
C．常函数
D．可能是减函数，也可能是常函数
4.设 ， ，试确定 的值，使 为奇函数。
5.已知函数 ，（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的增减性。
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
函数值的
变Hale Waihona Puke Baidu情况
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 ．如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 ．
12.若 ，则 __________________________.
13、已知函数 的值为
14、函数 恒过定点
三、简答题
1.求下列各式中的x的值
2、已知幂函数f（x）＝ （p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、
3.已知函数 ，(1)求 的定义域；(2)判断 的奇偶性。
① ②
③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数 且 叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在 上是增函数
在 上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
五、对数函数
（1）对数的定义
①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数．
A、 B、
C、 D、
例23.函数 的图像关于（）
A、 轴对称B、 轴对称C、原点对称D、直线 对称
例23.求证函数 是（奇、偶）函数。
课下作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )
2.对抛物线y= －3与y=－ ＋4的说法不正确的是（）
A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同
C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反
3.二次函数y= 图像的顶点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4.如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y= 的图像是（）
5．如果抛物线y= 的顶点在x轴上，那么c的值为（）
A．0 B．6 C．3 D．9
20、已知 ，那么 用 表示是（）
A、 B、 C、 D、
21、已知幂函数f(x)过点（2， ），则f(4)的值为（）
A、 B、1 C、2 D、8
二、填空题
1.抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
2.函数 的定义域为___________.
3.设 ，如果 是正比例函数，则m=____ ,如果 是反比例函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____．
基本初等函数讲义超级全
一、一次函数
一次
函数
，
符号
图象
性质
随 的增大而增大
随 的增大而减小
二、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便．
9．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2]
10、使x2＞x3成立的x的取值范围是（ ）
A、x＜1且x≠0B、0＜x＜1
C、x＞1D、x＜1
11、若四个幂函数y＝ ，y＝ ，y＝ ，y＝ 在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
（3）二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时， ．
三、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例9.下列幂函数中定义域为 的是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例10.讨论函数y＝ 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
例10．已知函数y＝ ．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间．
四、指数函数的运算
例11.计算 的结果是（）
A、 B、 C、— D、—
例12. 等于（）
A、 B、 C、 D、
例13.若 ，则 ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
五、指数函数的性质
例14. ，则M∩P（）
A. B. C. D.
例15.求下列函数的定义域与值域：
（1） （2）
例16.函数 的图像必经过点()
A．(0，1) B．(1，1) C．(2，3)D．(2，4)
例17求函数y= 的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
例题
一、求二次函数的解析式
例1.抛物线 的顶点坐标是（）
A．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）
例2．已知抛物线的顶点为（ 1， 2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）
A． B．
C. D.
例3.抛物线y= 的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（）
A．m＜－1或m＞2 B．m＜0或m＞－1 C．－1＜m＜0 D．m＜－1
例4.已知二次函数 同时满足条件：（1） ；（2） 的最大值为15；（3） 的两根立方和等于17求 的解析式
二、二次函数在特定区间上的最值问题
例5.当 时，求函数 的最大值和最小值．
例6．当 时，求函数 的取值范围．
例7．当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
三、幂函数
例8.下列函数在 上为减函数的是（）
五、对数函数的运算
例18.已知 ，那么 用 表示是（）
A、 B、 C、 D、
例19. ，则 的值为（）
A、 B、4 C、1 D、4或1
例20.已知 ，那么 等于（）
A、 B、 C、 D、
例21. ，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
五、对数函数的性质
例22.下列函数中，在 上为增函数的是（）
A．(－∞，1] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．[5，＋∞)
15、设集合 ，则 是（）
A、 B、 C、 D、有限集
16、函数 的值域为（）
A、 B、 C、 D、
17、设 ，则（）
A、 B、 C、 D、
18、在 中，实数 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
19、计算 等于（）
A、0 B、1 C、2 D、3
4.若 有意义，则 ___________．
5.当 时， ___________．
6.若 ，则 的最小值为___________．
7、若 。
8、函数 的定义域是。
9、 。
10.不等式 的解集是__________________________.
11.不等式 的解集是__________________________.
A、d＞c＞b＞a
B、a＞b＞c＞d
C、d＞c＞a＞b
D、a＞b＞d＞c
12．若幂函数 在(0，+∞)上是减函数，则( )
A． >1B． <1C． =lD．不能确定
13．若点 在幂函数 的图象上，那么下列结论中不能成立的是
A． B． Ｃ． D．
14．若函数f(x)＝log (x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()