同余法解题

五年级奥数培训资料

第六讲同余法解题

一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。。记作a≡b（mod.m）。读作：a同余于b模m。同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201 ×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。

3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除

数同余，当然余数大小随次方变化。

4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）

例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）

6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）

二、中国剩余定理解法

一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

解法：

求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24

第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40

第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30

这3个数的最小公倍数为60，

所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34

12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

三、解题技巧

同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求

的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示

为60-3或者60n-3

2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍n倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

三、例题解评

例1：判定288和214对于模37是否同余

思路点拨：可直接由定义判断。

解：∵288-214=74=37×2

∴288≡214（mod 37）

例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以a最大是31。

例3、249×388×234除以19，余数是几？

【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

因为249≡2（mdo19）, 388≡8（mdo19）,234≡6（mdo19）,

所以249×388×234≡2×8×6≡1（mdo19）

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例4：求1992×59除以7的余数。

思路点拨：可应用性质2，将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

解：∵1992≡4（mod 7），59≡3（mod 7）

∴根据性质5可得：1992×59≡4×3（mod 7），余数为12÷7的余数。

答：1992×59除以7的余数是5。

例5：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？

思路点拨：自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，也就是

16520≡14903≡14177（mod m）

根据同余补充定义，这三个数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少。

解：因为16520-14903=1617

16520-14177=2343

14903-14177=726

（1617、2343、726）=33

所以m的最大值是33。

〖评注〗实际上，这三个差数还可以继续两两相减，得到1617-726=891,891-726=165，算出726和165的最大公约数即可，通常其结果与上面相同。

例6：在除13511，13903，及14598时能剩下相同余数的最大整数是几？

思路点拨：根据同余的性质，若几个数被同一个数除，余数相同，则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除。所以这个数应是这三个数两两相减后所得数的最大公约数。解：这两个数两两只减的差是：

13903-13511=392

14598-13903=686

14589-13511=1078

因为（392，686，1078）=98，所以这个数是98。

也可以以上三个差再两两相减，得686-392=294，再392-294=98

答：这个最大整数是98。

例7：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3。这样的三位数共有几个？

思路点拨：由中国剩余定理解法求。

解法：

求3个数：第一个：能同时被9和5整除，但除以4余3，即45X3＝135

第二个：能同时被4和5整除，但除以9余7，即20X8＝160

第三个：能同时被9和4整除，但除以5余2，即36x2＝72

这3个数的最小公倍数为180，

所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=187

7＋180×5=907＜1000

7＋180×6=1087＞1000

所以符合条件的三位数共有5个。分别是7＋180×n（n=1,2,4,5）.

答：这样的三位数共有5个。

例8、有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？

【解析】这个数除以13，商是有规律的。

商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右