基本不等式完整版非常全面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
基本不等式完整版(非常全面)
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
(1)若R b a ∈,,则ab b a 22
2
≥+
(2)若R b a ∈,,则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式(均值不等式)
若*
,R b a ∈,则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*
,R b a ∈,则
ab b
a ≥+2
(2)若*,R b a ∈,则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;
当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论
(1)若0x >,则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)
(2)若0x <,则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)
(3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取
“=”)
(4)若R b a ∈,,则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ (5)若*
,R b a ∈,则
2
2111
22b a b a ab b
a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当
b a =时取“=” 6、柯西不等式
(1)若,,,a b c d R ∈,则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
(3)设,,,,,,a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有
22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
二、题型分析
题型一:利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥
b
a 112+
2、已知
c
b a ,,为两两不相等的实数,求证:
ca bc ab c b a ++>++222
3、已知1a b c ++=,求证:222
13
a b c ++≥
4、已知,,a b c R
+
∈,且1a b c ++=,求证:
abc c b a 8)1)(1)(1(≥---ﻫ
5、已
知
,,a b c R +
∈,且
1a b c ++=,求
证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2
2
3
3
22-≥-
题型二:利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域 (1)22
21
3x
x y +
= (2))4(x x y -=
(3))0(1>+=x x x y (4))0(1
<+=x x
x y
题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)
1、已知2>x ,求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值;
变式1:已知2>x ,求函数4
24
2-+=x x y 的最小值;
变式2:已知2 24 2-+=x x y 的最大值; 练习:1、已知5 4x >,求函数14245 y x x =-+-的最小值; 2、已知5 4x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值; 题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数) 1、当时,求(82)y x x =-的最大值; 变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值; 变式2:设2 3 0< 变式:若40< 3、求函数)2 5 21(2512<<-+-=x x x y 的最大值; (提示:平方,利用基本不等式) 变式:求函数)4 11 43(41134<<-+-=x x x y 的最大值;