基本不等式完整版非常全面

基本不等式完整版(非常全面)

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基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

(１)若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形 (1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2)若*,R b a ∈,则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明:以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”

4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”

5、常用结论

（1）若0x >,则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)

(2）若0x <,则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)

（3）若0>ab ,则2≥+a b b a （当且仅当b a =时取

“＝”)

（4)若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则

2

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当

b a =时取“=” 6、柯西不等式

(1)若,,,a b c d R ∈,则2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设,,,,,,a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有

22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥

b

a 112+

２、已知

c

b a ,,为两两不相等的实数,求证：

ca bc ab c b a ++>++222

3、已知1a b c ++=，求证:222

13

a b c ++≥

4、已知,,a b c R

+

∈,且1a b c ++=，求证：

abc c b a 8)1)(1)(1(≥---ﻫ

5、已

知

,,a b c R +

∈，且

1a b c ++=,求

证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

６、（２013年新课标Ⅱ卷数学（理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明：

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤； (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、（201３年江苏卷（数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2

2

3

3

22-≥-

题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域 (1)22

21

3x

x y +

= （２）)4(x x y -=

（3))0(1>+=x x x y （4）)0(1

<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 (一)（凑项)

1、已知2>x ，求函数4

24

42-+-=x x y 的最小值;

变式１：已知2>x ,求函数4

24

2-+=x x y 的最小值;

变式2:已知2

24

2-+=x x y 的最大值;

练习：1、已知5

4x >,求函数14245

y x x =-+-的最小值;

２、已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值;

题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数）

1、当时,求(82)y x x =-的最大值;

变式1：当时,求4(82)y x x =-的最大值;

变式2:设2

3

0<

变式:若40<

3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=x x x y 的最大值;

(提示：平方，利用基本不等式）

变式:求函数)4

11

43(41134<<-+-=x x x y 的最大值；