基本不等式完整版非常全面

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基本不等式完整版(非常全面)

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基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

(1)若R b a ∈,,则ab b a 22

2

≥+

(2)若R b a ∈,,则2

2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式(均值不等式)

若*

,R b a ∈,则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*

,R b a ∈,则

ab b

a ≥+2

(2)若*,R b a ∈,则2

2⎪

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;

当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;

特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=”

4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”

5、常用结论

(1)若0x >,则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)

(2)若0x <,则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)

(3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取

“=”)

(4)若R b a ∈,,则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ (5)若*

,R b a ∈,则

2

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当

b a =时取“=” 6、柯西不等式

(1)若,,,a b c d R ∈,则2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

(3)设,,,,,,a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有

22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

二、题型分析

题型一:利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥

b

a 112+

2、已知

c

b a ,,为两两不相等的实数,求证:

ca bc ab c b a ++>++222

3、已知1a b c ++=,求证:222

13

a b c ++≥

4、已知,,a b c R

+

∈,且1a b c ++=,求证:

abc c b a 8)1)(1)(1(≥---ﻫ

5、已

,,a b c R +

∈,且

1a b c ++=,求

证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2

2

3

3

22-≥-

题型二:利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域 (1)22

21

3x

x y +

= (2))4(x x y -=

(3))0(1>+=x x x y (4))0(1

<+=x x

x y

题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)

1、已知2>x ,求函数4

24

42-+-=x x y 的最小值;

变式1:已知2>x ,求函数4

24

2-+=x x y 的最小值;

变式2:已知2

24

2-+=x x y 的最大值;

练习:1、已知5

4x >,求函数14245

y x x =-+-的最小值;

2、已知5

4x <,求函数14245

y x x =-+-的最大值;

题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)

1、当时,求(82)y x x =-的最大值;

变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;

变式2:设2

3

0<

变式:若40<

3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=x x x y 的最大值;

(提示:平方,利用基本不等式)

变式:求函数)4

11

43(41134<<-+-=x x x y 的最大值;

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