二次函数的定义与性质
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
在本文中，我将详细介绍二次函数的性质，包括定义、图像、顶点、对称轴、零点、判别式以及二次函数的分类。
一、二次函数的定义二次函数是一种多项式函数，它的最高次项是二次项，即x的平方项。
一般地，我们可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
常见的二次函数包括抛物线、开口方向为上或下的曲线。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是一个U形或者倒U形的曲线，也即抛物线。
抛物线开口的方向取决于二次函数的系数a的正负。
1. 当a>0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正半轴上方；2. 当a<0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负半轴上方。
三、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标可以通过用-b/2a求得，纵坐标可以通过将横坐标代入函数得出。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点并垂直于x轴的一条直线。
对称轴的方程为x=-b/2a。
五、二次函数的零点二次函数的零点是指使函数取值为零的x的值。
可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到零点。
根据一元二次方程的求根公式，可得x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
当判别式b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
六、二次函数的判别式二次函数的判别式D=b²-4ac可以用来判断二次函数的图像和零点的性质。
1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点；2. 当D=0时，方程有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点；3. 当D<0时，方程没有实根，图像与x轴无交点。
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。
二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。
2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。
当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。
3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。
（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。
（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。
三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。
2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。
可以使用求根公式或配方法等方式来求解。
3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。
例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。
由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。
由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。
二次函数知识点
一、二次函数的定义1.一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的性质1．二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：（1） 抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）. （2） 函数2y ax =的图像与a 的符号关系.① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2. 2y ax c =+的性质：3. 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）的相关性质若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）(0a ≠)，则： （1） 开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下， （2） 对称轴：2bx a =-（或x h =），（3） 顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）（4） 最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）；0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；（5）单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）① 如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<- ，y 随x 的增大而增大；② 如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小；（6）与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值. 3. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、二次函数的图像与系数关系1. a 决定抛物线的开口方向：当0a >时⇔抛物线开口向上；当0a <时⇔抛物线开口向下a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反.2. b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2b x a=-） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当,a b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧.3. c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.（抛物线与y 轴的交点为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴.二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：()20y ax bx c a =++≠ （2）顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠（3）双根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠2.如何设点：⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()00x x ，的对称点为()010122x x y y --，． 4.如何设解析式：① 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； ② 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式； ③ 已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④ 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数与一次函数的联系一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点:（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点(h ,2ah bh c ++). （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212,b c x x x x a a +=-⋅=12AB x x =-2.二次函数常用解题方法⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．⑴ 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：0∆>，2ba αβ<-<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2baαβ<-<，()0f α<，()0f β<．两种情形合并后的充要条件是：()()0200b a f f αβαααβ⎫∆><-<⎪⎬⎪>>⎭，， ……①⑵ 当两根中有且仅有一根在区间(),αβ内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： ()()0f f αβ⋅< ……②⑶ 当两根都不在区间[]αβ，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：f α当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：()0f αα<，()0f αβ< ……③当两根分别在区间[,]αβ之外的同侧时：∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：当12x x α<<时的充要条件是：0∆>，2baα-<，()0f αα> ……④当12x x β<<时的充要条件是：0∆>，2baβ->，()0f αβ> ……⑤4区间根定理如果在区间()a b ，上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---. 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得． 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．12ABC S h BC ∆=⋅．二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-。
二次函数的性质知识点
二次函数的性质知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛应用。
了解二次函数的性质是理解和掌握这一概念的关键，下面将介绍二次函数的一些基本性质知识点。
1. 二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
2. 顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点称为顶点。
二次函数的顶点坐标可通过公式x = -b/2a和y = f(-b/2a)求得。
3. 对称轴二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可通过公式x = -b/2a求得。
4. 开口方向当二次函数的参数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
5. 零点和方程二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
一元二次方程的解法可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。
6. 判别式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实根；- 当D < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
7. 函数的增减性和极值点二次函数的增减性与a的正负有关。
当a > 0时，函数在对称轴左侧增大，右侧减小；当a < 0时，函数在对称轴左侧减小，右侧增大。
函数的极值点即为顶点。
8. 函数的图像与平移通过调整二次函数的参数，可以实现图像的平移。
参数a决定抛物线的开口方向，参数b决定了对称轴的位置，参数c则决定了抛物线的顶点位置。
9. 辅助线与焦点二次函数的图像与抛物线相关的辅助线包括准线、焦点和准线上的直径。
焦点的横坐标是对称轴上顶点的横坐标的一半，纵坐标可以根据参数a的值求得。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对二次函数的定义、性质、图像及其相关内容进行总结。
一、二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a 表示二次项的系数，b 表示一次项的系数，c 表示常数项。
二次函数的定义域为全体实数集。
二、二次函数的性质1. 凹凸性：二次函数的凹凸性取决于a 的正负性。
当a > 0 时，函数图像开口向上，为凹函数；当 a < 0 时，函数图像开口向下，为凸函数。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b / (2a)。
对称轴是图像的中心线，函数图像关于对称轴对称。
3. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零的 x 值。
二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。
当判别式 D = b^2 - 4ac > 0 时，有 2个不同的实零点；当 D = 0 时，有一个实零点；当 D < 0 时，没有实零点。
4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为 f(-b / (2a)) = c - (b^2 - 4ac) / (4a)；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为 f(-b / (2a)) = c + (b^2 - 4ac) / (4a)。
三、二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其开口方向、顶点、对称轴和零点等特征在前面已经介绍过。
关于图像的绘制，可以根据以下步骤进行：1. 确定顶点：顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。
2. 确定对称轴：对称轴的方程为 x = -b / (2a)。
3. 确定开口方向：根据 a 的正负性可以确定开口方向。
4. 确定零点：根据判别式 D 的值可以确定零点的情况。
除了以上内容，二次函数还与一些相关概念有密切联系：1. 判别式：二次函数的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况。
初中数学知识归纳二次函数的概念和性质
初中数学知识归纳二次函数的概念和性质二次函数是初中数学中重要的数学概念之一。
它是指函数的表达式中存在一个二次项，且其图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。
本文将逐步介绍二次函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二次函数的定义二次函数的定义是f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
a 决定抛物线的开口方向，正值表示开口朝上，负值表示开口朝下。
常数b和c则分别决定了抛物线的位置和纵坐标的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其对称轴为直线x=-b/2a。
若a>0，抛物线开口朝上，最低点的纵坐标为-c+b^2/4a；若a<0，抛物线开口朝下，最高点的纵坐标为-c+b^2/4a。
3. 二次函数的零点零点是指函数取值为0的横坐标。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来确定其零点。
根据判别式Δ=b^2-4ac 的值，可以判断二次函数的零点个数和形式：(1) 当Δ>0时，二次函数有两个不同的实数根；(2) 当Δ=0时，二次函数有一个重根；(3) 当Δ<0时，二次函数无实数根，但可能存在虚数根。
4. 二次函数的顶点顶点是指二次函数抛物线的最高点或最低点。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其顶点的横坐标为-xv=b/2a，纵坐标为-f(xv)=-Δ/4a。
顶点是抛物线的对称中心，对称轴经过顶点。
5. 二次函数的增减性和极值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，当a>0时，函数在对称轴左侧呈减少趋势，在对称轴右侧呈增长趋势；当a<0时，则相反。
当抛物线开口朝上时，最低点为函数的最小值；当抛物线开口朝下时，最高点为函数的最大值。
6. 平移与二次函数对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，平移是指将抛物线沿横轴或纵轴方向移动。
平移的规律如下：(1) 向左平移：f(x+a)的图像沿x轴正方向移动a个单位；(2) 向右平移：f(x-a)的图像沿x轴负方向移动a个单位；(3) 向上平移：f(x)+a的图像沿y轴正方向移动a个单位；(4) 向下平移：f(x)-a的图像沿y轴负方向移动a个单位。
二次函数的概念和性质
二次函数的概念和性质二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数是由二次方程演变而来的，其图像呈现出特殊的形状，同时具有一些独特的性质。
本文将介绍二次函数的概念和性质，并分析其在数学和实际问题中的应用。
一、二次函数的概念二次函数是指函数表达式中的最高次项为二次的函数。
在二次函数的一般形式中，ax^2代表二次项，bx代表一次项，c代表常数项。
二次函数的变量x可以取任意实数值，并对应一个唯一的函数值f(x)。
当二次函数的系数a、b、c满足一定条件时，其图像呈现出不同的特征，如开口向上或向下、对称轴等。
二、二次函数的性质1. 平移性：二次函数的图像可以通过平移来变换位置。
当二次函数的表达式中添加或减去一个常数h时，图像向左或向右平移h个单位；当表达式中添加或减去一个常数k时，图像向上或向下平移k个单位。
2. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴是通过顶点的垂直线，其方程可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。
3. 开口方向：二次函数的图像具有开口向上或向下的特征。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
a的绝对值决定了图像的开口程度。
4. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点可以通过解一元二次方程来求得，或者利用配方法化简二次函数的一般形式。
5. 最值：二次函数的最值即函数的最大值或最小值。
当二次函数的开口向上时，没有最小值；当二次函数的开口向下时，没有最大值。
最值的出现位置与顶点的坐标有关，顶点坐标可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。
三、二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
在数学中，研究二次函数可以深入理解函数的性质、变化规律和图像特征。
在实际问题中，二次函数可以用来描述和解决与二次关系相关的各类问题，如自由落体运动、抛物线轨迹、经济增长模型等。
二次函数的函数性质和二次函数定义
二次函数的函数性质和二次函数定义定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2).函数性质：1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数:Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
当Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变;当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0).7.定义域：R值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，正无穷);②[t，正无穷)奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);⑷Δ=b^2-4ac,Δ>0，图象与x轴交于两点：([-b+√Δ]/2a，0)和([-b-√Δ]/2a，0);Δ=0，图象与x轴交于一点：(-b/2a，0);Δ<0，图象与x轴无交点;②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为(h，t)，其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a。
二次函数定义高中
二次函数定义高中摘要：一、二次函数的定义1.一般形式2.顶点式3.交点式二、二次函数的性质1.开口方向2.顶点坐标3.函数的最值4.函数图象与系数的关系三、二次函数的应用1.求解交点2.估算最值3.实际问题中的应用正文：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数的定义、性质以及应用。
一、二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a≠0。
它有三种常见的表示形式：一般形式、顶点式和交点式。
1.一般形式：二次函数的通用形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是常数，且a≠0。
2.顶点式：二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k) 是顶点坐标，a 是抛物线开口方向的参数。
3.交点式：二次函数的交点式为f(x) = (x - x1)(x - x2)，其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是函数与x 轴的交点。
二、二次函数的性质二次函数具有许多重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和把握二次函数的特点。
1.开口方向：二次函数的开口方向由参数a 的正负性决定。
当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下。
2.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(h, k)，其中h = -b/2a，k = f(h)。
3.函数的最值：二次函数的最值即为顶点的y 坐标。
当a > 0 时，函数有最小值；当a < 0 时，函数有最大值。
4.函数图象与系数的关系：二次函数的图象与系数a、b、c 有密切关系。
当a > 0 时，函数图象向上开口；当a < 0 时，函数图象向下开口。
函数图象与x 轴的交点个数与b^2 - 4ac 的正负性有关。
三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景。
1.求解交点：二次函数在解析几何中常用来表示抛物线，求解抛物线与x 轴的交点有助于解决实际问题，例如求解方程ax^2 + bx + c = 0。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
二次函数百科
二次函数百科
摘要：
1.二次函数的定义与基本概念
2.二次函数的性质与图像
3.二次函数的应用领域
正文：
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量，y 为因变量。
它是一种多项式函数，也是数学中最基本、最重要的函数类型之一。
二次函数在数学、物理、化学、工程等领域具有广泛的应用。
二次函数的性质与图像：
1.开口方向：当a>0 时，二次函数的图像开口向上，表示函数有最小值；当a<0 时，二次函数的图像开口向下，表示函数有最大值。
2.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a，即直线x=-b/2a。
3.顶点：二次函数的顶点为(-b/2a, c - b^2/4a)，是函数的最值点。
二次函数的应用领域：
1.物理学：在物理学中，二次函数常常用于描述物体的位移、速度、加速度等运动规律。
2.工程学：在工程领域，二次函数被广泛应用于设计建筑物的拱形结构、机械设备的优化设计等。
3.经济学：在经济学中，二次函数可以用于描述生产成本、市场需求等经济指标的变化规律。
4.数学分析：在数学分析中，二次函数是微积分、概率论等高级数学分支的基础。
综上所述，二次函数作为一种基本的数学函数，具有重要的理论意义和广泛的应用价值。
二次函数的定义与性质
二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。
本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。
一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。
二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。
根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。
对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。
2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。
而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。
当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。
3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。
对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。
顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。
5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
二次函数概念和性质
轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋
m＝0 的两实数根是
()
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
练习：一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）设M为抛物线上一点，是否存在点M使得 S ,若存在，求出点M坐标；
ABC
3 4
S
ABM
已知抛物线y ax2 bx 3(a 0)的对称轴为直线x=1，且抛物线经过 点A(-1,0)，它与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C. （4）若P是X轴上一点，当△ACP是等腰三角形时，求点P的坐标； （5）在直线x=1上求一点N，使△ANC的周长最小； （6）设Q（m，n)（其中0<m<3）是抛物线上的一个动点，试求 △BCQ面积的最大值及此时点Q的坐标。
的二次函数表达式为
，
2.二次函数y 5(x 1)2 的图象上有三点 A( 2, y1),B(2, y2),C( 5, y3)
则 y1, y2 , y3 的大小关系是
，（用“>”连接）
3.已知二次函数 y 2x2 3x 1 图象上的两点A(x1, y), B(x2, y)
则 x1 x2
二次函数的概念和性质
一：二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常 数， a ≠０__)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的 最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊 的二次函数．
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一种重要的函数形式，具有较广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数的定义、性质、图像与变换、解析式、根与判别式、与其他函数的关系以及应用等知识点。
一、定义与性质：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
二次函数的定义域为全体实数集R，值域根据a的正负值有所不同。
二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下。
性质1：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。
性质2：当二次函数的对称轴为x=h时，最高/最低点的横坐标为x=h，纵坐标为f(h)。
性质3：如果a>0，则抛物线开口向上，最低点为最小值；如果a<0，则抛物线开口向下，最高点为最大值。
二、图像与变换：二次函数的图像为一条抛物线，关键要素有顶点、对称轴、开口方向以及最高/最低点等。
1.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。
2.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条线，其方程为x=-b/2a。
3.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。
4.最高/最低点：顶点即为最高或最低点，纵坐标为二次函数的最值。
变换1：平移变换二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于横轴上下平移h个单位的函数为f(x) = a(x-h)^2 + bx + c。
变换2：垂直伸缩与翻转二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于纵轴上下压缩k倍且翻转ξ度的函数为f(x) = a(k(x-ξ))^2 + bx + c。
三、解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
根据实际问题的要求，可以确定二次函数的具体形式。
二次函数的性质知识点总结
二次函数的性质知识点总结二次函数是高中数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
了解二次函数的性质是理解和解决相关问题的关键。
本文将对二次函数的性质进行详细总结，包括定义、图像特征、导数、极值点、零点和符号规律等方面的知识点。
一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的平方作为最高次幂的一类函数。
通常的形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的图像是一个拱形，其开口方向取决于二次系数a的正负性。
如果a > 0，则图像开口向上；如果a < 0，则图像开口向下。
2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
3. 零点：二次函数的零点是函数对应的方程f(x) = 0的解。
二次函数的零点可能有0个、1个或2个。
4. 极值点：如果二次函数的开口向上，那么它的最低点为最小值点；如果二次函数的开口向下，那么它的最高点为最大值点。
5. 单调性：二次函数在对称轴两侧有不同的单调性。
三、二次函数的导数对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数函数为f'(x) = 2ax + b。
导数函数的图像表示了原二次函数的斜率变化情况。
四、二次函数的极值点1. 极值点的存在性：二次函数存在极值点，当且仅当a ≠ 0。
当a > 0时，函数的最小值位于极值点上；当a < 0时，函数的最大值位于极值点上。
2. 极值点的横坐标：极值点的横坐标可以通过对称轴的方程得到，即x = -b / (2a)。
3. 极值点的纵坐标：将极值点的横坐标带入原函数得到对应的纵坐标。
五、二次函数的零点1. 零点的判定：二次函数的零点即为使函数值为零的自变量取值。
可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得零点。
2. 零点的个数：二次函数的零点个数可能为0个、1个或2个，取决于二次方程的判别式Δ = b² - 4ac的正负性。
二次函数的定义与性质
二次函数的定义与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的定义及其常见的性质，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
其中x为自变量，y为因变量。
二次函数可以用来描述很多现实生活中的问题，比如抛物线的轨迹、物体的自由落体运动等。
它的图像通常呈现出拱形，开口方向取决于二次函数的系数a的正负。
二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是指函数取值为0的点，也就是方程ax^2 + bx + c= 0的解。
求二次函数的零点可以使用求根公式或配方法。
2. 定点二次函数的顶点是指函数图像的最高点或最低点。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / 2a来求得，纵坐标则通过代入横坐标到二次函数中求得。
3. 对称轴二次函数的对称轴是图像的对称线。
它与顶点有关，对称轴的方程可以通过公式x = -b / 2a求得。
4. 单调性二次函数的单调性是指函数的增减趋势。
当a > 0时，函数开口朝上，趋于上升；当a < 0时，函数开口朝下，趋于下降。
特别地，当a = 0时，二次函数退化为一次函数，为线性函数。
5. 范围二次函数的范围是指函数的所有可能取值。
当函数开口朝上时，范围为(-∞, +∞)；当函数开口朝下时，范围有上限或下限，具体取决于顶点的纵坐标。
6. 最值二次函数的最值是指函数的最大值或最小值。
当a > 0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
7. 判别式二次函数的判别式是指判断二次函数的图像与x轴的交点情况的依据。
判别式的公式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，函数与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数与x轴有一个交点，且为切线；当Δ < 0时，函数与x轴没有交点。
8. 平移二次函数可以通过平移来改变其图像的位置。
二次函数的定义
二次函数的定义二次函数是指一种形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a \e 0$，$a$、$b$、$c$ 都是常数，$x$ 为自变量，$y$ 为因变量。
二次函数的图像呈现出一条对称轴为 $x=-b/(2a)$ 的抛物线，开口朝上或者朝下，具体开口的方向由 $a$ 的正负号决定。
下面分别介绍二次函数的基本性质和二次函数的应用。
一、基本性质1. 零点和交点零点指的是函数图像与 $x$ 轴相交的点，也就是函数的解。
当 $y = ax^2 + bx + c = 0$ 时，即可求出零点。
解二次方程可得：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$如果分母为零，则零点为无限大。
如果 $b^2 < 4ac$，则零点都是虚数。
交点指的是函数图像与 $y$ 轴相交的点，也就是函数图像在 $y$ 轴上的截距，即 $x=0$ 时的值。
当 $x=0$ 时，有 $y = c$，因此交点的纵坐标为 $c$。
2. 对称轴和顶点对称轴指的是函数图像的对称轴，也就是抛物线的中轴线，即 $x=-b/(2a)$。
顶点指的是抛物线的最高点或最低点，也就是函数图像的最值点，具体最值的大小由 $a$ 的正负号决定。
如果 $a>0$，抛物线开口朝上，此时顶点为最小值；如果 $a<0$，抛物线开口朝下，此时顶点为最大值。
顶点的坐标可用以下公式求解：$$x=-\\frac{b}{2a},\\quad y=ax^2+\\frac{b^2}{4a}+c$$3. 单调性与极值二次函数的单调性与极值都与 $a$ 的正负号密切相关。
如果 $a>0$，则函数图像是开口朝上的抛物线，函数单调递增的区间是在对称轴左侧 $(-\\infty,-\\frac{b}{2a})$ 和在对称轴右侧 $(\\frac{-b}{2a}, \\infty)$ 。
另外，函数在对称轴处取得了最小值，该值等于顶点的纵坐标。
二次函数概念及其性质
二次函数概念及其性质二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在代数学和几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念、性质以及一些相关的知识点。
一、二次函数的定义二次函数是一个以自变量的平方为最高次项的函数。
一般来说，二次函数的标准形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、二次函数的图像特征1. 首先，二次函数的图像通常为一条平滑曲线，被称为抛物线。
抛物线可以开口向上，也可以开口向下。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 其次，二次函数的图像关于其顶点对称。
顶点是抛物线的最低点或最高点，其中横坐标为-x轴方向的对称点。
顶点坐标可以通过求解二次函数的一次导数为零得到。
3. 最后，二次函数的图像可能与x轴相交于两个点、一个点或者没有交点。
这取决于二次函数与x轴的交点个数以及判别式的值。
三、二次函数的性质1. 首先，二次函数的导数是一个一次函数，它可以用来表示抛物线的切线斜率。
具体来说，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) =2ax + b。
2. 其次，二次函数的最值点即为其顶点。
当a>0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。
最值点的横坐标可以通过求解二次函数的一次导数为零得到。
3. 最后，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相等。
对称轴是抛物线的对称轴，它是一条垂直于x轴过抛物线顶点的直线。
对称轴的方程可以通过顶点的横纵坐标得到。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动的位移随时间的变化；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、收益等与产量的关系；在工程学中，二次函数可以用来优化问题和设计曲线等。
总结起来，二次函数是一种以自变量的平方为最高次项的函数。
它具有抛物线的图像特征，且与x轴的交点个数取决于判别式的值。
二次函数的性质知识点总结
二次函数的性质知识点总结二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它在解决实际问题和数学理论研究中都有着广泛的应用。
下面就来详细总结一下二次函数的性质知识点。
一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。
其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。
需要注意的是，当\（a ＝ 0\）时，函数就不再是二次函数，而是一次函数了。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
1、抛物线的开口方向由二次项系数\（a\）的正负决定。
当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
2、抛物线的对称轴对称轴的方程为\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。
3、抛物线的顶点坐标顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。
4、抛物线与\（x\）轴的交点通过求解方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）的根，可以得到抛物线与\（x\）轴的交点。
当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0\）时，抛物线与\（x\）轴有两个不同的交点；当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＝ 0\）时，抛物线与\（x\）轴有一个交点（即相切）；当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＜ 0\）时，抛物线与\（x\）轴没有交点。
三、二次函数的最值1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上，函数有最小值。
最小值为\（y ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼），在\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得。
2、当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下，函数有最大值。
最大值为\（y ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼），在\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得。
四、二次函数的平移对于二次函数\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）的图像，向左平移\（m\）个单位，得到\（y ＝ a(x h ＋ m)＾2 ＋ k\）；向右平移\（m\）个单位，得到\（y ＝ a(x h m)＾2 ＋ k\）；向上平移\（n\）个单位，得到\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k ＋ n\）；向下平移\（n\）个单位，得到\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k n\）。
二次函数的概念与性质
二次函数的概念与性质二次函数是数学中一个重要的概念，也是高中数学中的重要内容之一。
在本文中，我将详细介绍二次函数的概念与性质。
概念：二次函数是指具有形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c均为常数，且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的顶点位置。
二次函数的自变量为x，因变量为y。
1. 对称轴：二次函数的对称轴是指二次函数图像上的一条直线，将图像分为两个对称的部分。
对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b、c为二次函数的系数。
对称轴的位置决定了二次函数图像的整体形状。
2. 开口方向：二次函数的开口方向取决于二次项系数a的正负性。
当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。
开口方向也反映了二次函数图像的整体形态。
3. 顶点：二次函数的顶点即二次函数图像的最高或最低点。
顶点坐标可由x=-b/2a代入函数表达式得到。
当a大于零时，顶点为图像的最低点；当a小于零时，顶点为图像的最高点。
性质：二次函数有许多重要的性质，下面将介绍其中几个常用的性质。
1. 零点：二次函数的零点是指函数取值为零的自变量值。
二次函数的零点可通过解方程ax^2+bx+c=0得到。
零点的个数与二次函数与x轴的交点数相对应，最多有两个零点。
2. 极值：二次函数的极值即函数的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值恰好就是顶点的纵坐标。
当a大于零时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a小于零时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
3. 函数图像与轴的关系：二次函数图像与坐标轴有一定的关系。
当函数与x轴相交时，即为函数的零点；当函数与y轴相交时，即为函数的截距。
4. 函数的增减性：对于二次函数来说，其增减性分为两种情况。
当a大于零时，函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增；当a小于零时，函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减。
总结：二次函数是一种重要的函数类型，其概念与性质需要我们熟练掌握。
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重点、难点：用描点法画出二次函数的图象，从图象上认识二次函数的性质•会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题•重点、难点解析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型•二次函数也是一种非常基本的初等函数，它作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，对二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验•在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为进入高中后进一步学习函数知识奠定基础•一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：2形如1 - c，' ' ' ' ：■' （a丰0, a, b, c为常数）的函数为二次函数•2. 二次函数的性质：（1）二次函数y=ax2（a丰0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当av0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大•b 4ac-b2（2）二次函数—…一「的图象是一条抛物线•顶点为（-二：，仁）,对称轴iX =-—1二•b_当a>0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x >-【二,y随x的增大而增大，b_x v -—,b y随x的增大而减小；当a v 0时，抛物线开口向下，图象有最咼点，且x>- _-：,y随x的增大而减小,b_x v -二：，y随x的增大而增大4ac-b(3) 当a> 0时，当二时，函数有最小值-二 ;当a v 0时，当丄：时,函数有最大值4他一护：L!._ 23. 二次函数y=ax+bx+c(a丰0)的各项系数a、b、c对其图象的影响(1) a决定抛物线的开口方向和开口大小：a>0，开口向上；a v 0，开口向下.|a|的越大，开口越小.|a|相等，抛物线全等.(2) a与b决定抛物线对称轴的位置：a、b同号，抛物线的对称轴(即直线丄；)或顶点在y轴左侧；a、b异号，抛物线的对称轴(即直线二)或顶点在y轴右侧；b=0时，抛物线的对称轴是y轴.a , b都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.(3) c决定抛物线与y轴交点(0 , c)的位置：c> 0，抛物线与y轴交于正半轴；c v 0, 抛物线与y 轴交于负半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点.c相同的抛物线都过点(0 , c).这些内容应该能够由数得形、依形判数.典型例题:标是()的部分图象(如图)，图象再次与x轴相交时的坐(A) (5 , 0) (B) (6 , 0)C.已知抛物线(C) (7 , 0) (D) (8 , 0) 解：C1 )尸丄(「4)、3分析：由5 ■，可知其对称轴为 x=4,而图象与x 轴已交于(1 , 0)，则与x 轴的另一交点为(7, 0).2 .函数y=x 2-4的图象与y 轴的交点坐标是() A. (2 , 0) B.(-2 , 0) C.(0 , 4) D.(0 , -4)解：D分析：函数y= x 2-4的图象与y 轴的交点的横坐标为0, x=0时，y=-4，故选D.A.a v 0, b v 0, c > 0 C.a v 0, b >0, c >0 解：AB.a v 0, b v 0, c v 0 D.a > 0, b v 0, c > 0a v 0；与y 轴交于正半轴可知 c >0;抛物线的对称轴在b_y 轴左侧，可知-二：v 0.则b v 0.故选A.2▼ 4 .抛物线4(x+2) +5的对称轴是 ________________ 解：x=-2分析：抛物线y=a(x-h) 2+k 的对称轴为x=h.03 .已知二次函数b 、c 满足()i2 1-1rr r\-37 t分析：由抛物线开口向下可知5. y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示，则点M（a, be）在（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：由图可知：抛物线开口向上「a> 0.抛物线与南负半轴相交= c<0 '对称轴X = - 2在>轴右侧=>i<o[2a芋be > 0.•••点M（a, be）在第一象限.答案：A.点评：本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、e的符号. 66 .已知一次函数y=ax+e，二次函数y=ax?+bx+c（a丰0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）.分析：一次函数y=ax+c ,当a >0时，图象过一、三象限；当a v 0时，图象过二、四象限；c >0时，直线交y 轴于正半轴；当c v 0时，直线交y 轴于负半轴；对于二次函数 y=ax +bx+c （a 丰0）来讲：'开口上下决定辻的正负咗同右异（即对劇在施左侧上的棉与d 的符#相同;）来判别b 的符号 抛物线与涮的正半轴或负半轴扌胶确定c 的正负解：可用排除法，设当 a >0时，二次函数y=ax 2+bx+c 的开口向上，而一次函数 y=ax+c 应过一、三象限，故排除 C ;当a v 0时，用同样方法可排除 A ; c 决定直线与y 轴交点；也 在抛物线中决定抛物线与 y 轴交点，本题中c 相同则两函数图象在 y 轴上有相同的交点， 故 排除B.答案：D.二、图象的平移2抛物线 y=a(x-h) +k.在观察中发现，函数图象的平移就是顶点的平移（也可每个点都做相同的变换）,还可以引申到直线、双曲线的平移•在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图•典型例题下面看几个考查平移的问题1.（湖南长沙）把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是（） 2 2 2 2A. y=-2（x+1）B. y=-2（x-1）C. y=-2x +1D. y=-2x -1提示：这个题很基本，把顶点从原点处移至 （0 , 1）处，选C.抛物线y=ax 2平移 当 h >0, 物线 y=a(x-h) 当 h >0, 物线 y=a(x-h) k > 0 时, 2+k ；k v 0 时, 2+k ；把抛物线 ►抛物线y=a （x-h ）y=ax 2向右平移把抛物线 2y=ax 向右平移 2+kh 个单位，再向上平移 h 个单位，再向下平移 k 个单位，得到抛|k|个单位，得到抛 当 h v 0, 物线 y=a(x-h) 当 h v 0, k > 0 时, 2+k ；k v 0 时, 把抛物线 把抛物线 2 -,y=ax 向左平移 2 -, y=ax 向左平移 |h|个单位，再向上平移k 个单位，得到抛|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到在学习中，不要死记这些结论，以是其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移,A. 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位B. 向左平移1个单位，再向上平移 3个单位C. 向右平移1个单位，再向下平移 3个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移 3个单位 ■■■■_'' =-2(x+1) 2-3，即把顶点从(-1，-3)处移至原点处，因此写平移时需注意方向•选D.C 3.(湖北荆门)把抛物线y=x[+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移 2个 单位，所得图象的解析式为y=x 2-3x+5，则() A.b=3, c=7 B.b=6 , c=3C.b=-9 , c=-5D.b=-9 , c=21答案：A提示：此题两种方法：法一：先求出 y=x 2-3x+5的顶点，按平移过程求出原图象顶点，从而求出解析式，确定 b 、c 的值；法二：先求出图象与y 轴交点(0 , 5)按平移过程得原图象上一点 (-3 ,7)，再求y=x 2-3x+5上点(3 , 5)，按平移过程得原图象上一点(0 , 7)…4.(资阳市)在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()22A.y=2(x-2) +2B.y=2(x+2) -2 2 2C.y=2(x-2) -2D.y=2(x+2)+2提示：这是移轴的问题，需将它转化为移图象的问题一一把图象向下、 向左平移2个单位•可以先画图，总结规律•选B.三、二次函数的作图典型例题1 •通过配方，确定抛物线-的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图•解：二- _ J2 .（山西省）抛物线丁一-八1,平移方法是（）提示：此题要注意被移动的是抛物线=-2(只-2x) + 6= -2(?-2z + l-l) + 6 = -[2(x-l)a-2]+6=-2(X-1)3+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为(1 , 8).由对称性列表：X-2 -1 0 1 2 3 4y = -2X 3 +4H "-10 06 860 -10回顾与反思：(1) 列表时选值，应以对称轴 x=1为中心，函数值可由对称性得到(2) 描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然 后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点 •j探索：对于二次函数1--:■ ■，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空：对称轴 ___________ ，顶点坐标 ____________当顶点在y 轴上时，有解得；-.9 ■乜=0当顶点在X 轴上时，有-所以，当抛物线「「一的顶点在坐标轴上时,—2, 4, -8.3 •已知抛物线1； J - 十：二'的顶点在坐标轴上，求一：的值•分析：顶点在坐标轴上有两种可能： (1)顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0; (2)顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0.则抛物线的顶点坐标是 —,9-^- 2 4解:九1。