奥数讲座交叉问题集合法

交叉问题集合法

在典型应用题中，由于两个或三个数量所涉及到的对象有交叉关系，这种关系可以用下面的示意图表示出来：

其中，符号

A∩B表示同时属于A、B的部分；

A∩C表示同时属于A、C的部分；

B∩C表示同时属于B、C的部分；

A∩B∩C表示同时属于A、B、C的部分。

我们就把这类问题称为“交叉”问题。请看下面的两个例子。

（1）某班参加文娱活动的有35人，参加体育活动的有38人，既参加文娱活动又参加体育活动的有25人。问参加这两类活动的总人数是多少？

显然，本题中的数量关系可以用图（①）来示意。即

A表示参加文娱活动的（记｜A｜=35）；

B表示参加体育活动的（记｜B｜=38）；

A∩B就表示两类活动同时参加的（记｜A∩B｜=25）。

那么，要求参加这两类活动的总人数，在示意图中是A、B两圆总共覆盖了的部分，我们用符号A∪B表示。想一想，你能根据示意图求出｜A∪B｜=？

（2）某班参加文娱活动的有38人，参加体育活动的有35人，参加绘画活动的有30人，参加文娱和体育活动的有32人，参加文娱和绘画活动的有28人，参加体育和绘画活动的有25人，参加文娱、体育和绘画活动的有20人。问这个班参加三类活动的总人数是多少？

显然，本题中的数量关系可用图（②）来示意。即

A表示参加文娱活动的（记｜A｜=38），

B表示参加体育活动的（记｜B｜=35），

C表示参加绘画活动的（记｜C｜=30），

A∩B表示参加文娱和体育活动的（记｜A∩B｜=32），

A∩C表示参加文娱和绘画活动的（记｜A∩C｜=28），

B∩C表示参加体育和绘画活动的（记｜B∩C｜=25），

A∩B∩C表示参加文娱、体育和绘画三类活动的（记｜A∩B∩C｜=20）。

那么，要求参加这三类活动的总人数，在示意图中就是A、B、C三个圆总共覆盖了的部分。我们用符号A∪B∪C表示。想一想，你能根据示意图求出｜A∪B∪C｜=?

如果分别用A∪B和A∪B∪C表示图（①）中两个圆和图（②）中三个圆所覆盖了的部分。那么，你能分别写出图（①）中

｜A∪B｜与｜A｜、｜B｜、｜A∩B｜及图（②）中

｜A∪B∪C｜与｜A｜、｜B｜、｜C｜、｜A∩B｜、｜A∩C｜、｜B∩C｜、｜A∩B∩C｜之间的关系式吗？

【规律】

图（①）中：

｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜。

图（②）中：

｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-｜A∩B｜-｜A∩C｜-｜B∩C｜+｜A∩B∩C｜。

【练习】

1.团结小学三（2）班共有学生45人，都至少参加了一项课外活动。参加文娱活动的有28人，参加绘画活动的有34人。问同时参加两项活动的有多少人？

2.某天四（2）班完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，两科作业都完成的有31人。问本班今天共有多少人做了作业？

3.某班共有学生48人，都至少完成了一科作业。完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，完成自然作业的有28人，完成语文和数学两科作业的有31人，完成语文和自然两科作业的有25人，完成数学和自然两科作业的有24人。问三科作业都完成的有多少人？

4.求不超过100的自然数中，既是3的倍数又是5的倍数的数有多少个？

5.求100以内，是2的倍数、是3的倍数及是5的倍数共有多少个？

6.在不超过50的自然数中，不能被2整除和不能被3整除的数共有多少个？

7.求右图中阴影部分的面积（单位：平方厘米）。