直方图修正法

直方图修正法
分为直方图均衡化和直方图规定化
目的：采用直方图修整后可使图像的灰度间距拉开或使灰度分布均匀，从而增大反差，使图像细节清晰，从而增强图像。

1.直方图均衡化
通过对原图像进行某种变换使原图像的灰度直方图修正为均匀的直方图的一种方法
以r 和s 分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正后的图像灰度。

即 1,0≤≤s r 在[]1,0区间内的任一个r ，经变换T （r ）都可产生一个S ，且 S=T(r)
T(r)为变换函数，应满足下列条件：
（1）在10≤≤r 内为单调递增函数（保证灰度级从黑到白的次序不变）；
（2）在10≤≤r 内，有1)(0≤≤r T 。

（确保映射后的像素灰度在允许的范围内） 由概率论理论可知，如果已知随机变量r 的概率密度为
)(r p r ,而随机变量s 是r 的函数，则s 的概率密度)(s p s 可以由)(r p r 求出。

假定随机变量s 的分布函数
用)(s F s 表示，根据分布函数定义，则有
⎰⎰∞-∞-==
s r r s s dr r ds s s p p F )()()([])()(1s ds
d s T p p r s -=⇒ （1） 因为归一化假定 1)(=s p s
由（1）得dr r ds p r )(= 两边积分得 ⎰==r
r
dr r r T s p 0)()( （变换函数） 上式表明当变换函数T （r ）是原图像直方图累积分布函数时，能达到直方图均衡化的目的。

对于灰度级为离散的数字图像，用频率来代替概率。

∑∑=====k j k j j j r k k n r T n r p s 00)()(
1,,2,1,0,10-=≤≤L k r k
2.直方图规定化（直方图匹配）
使原图像灰度直方图变成规定形状的直方图而对图像作修正的增强方法。

假设)(r p r 和)(z p z
分别表示已归一化的原图像灰度概率密度函数和希望得到
的图像概率密度函数。

首先对原图像进行直方图均衡化处理，即求变换函数：
⎰==r
r
dr r r T s p 0)()( 假定已得到了所希望的图像，对它也进行均衡化处理，即
⎰==z
z
dr r z G v p 0)()( （2） 它的逆变换是 )(1v z G -=
即由均衡化后的灰度级得到希望图像的灰度级。

这样，如果我们用原图像均衡得到的灰度来代替变换中的v ， 其结果为 )(1s z G -=
假定)(1s G -是单值的，根据上述思想，总结出直方图规定化增强处理的步骤如下：
（1）对原始图像作直方图均衡化处理；
（2）按照希望得到的图像的灰度级概率密度函数
)(z p z ，由式（2）求得变换函数G （z ）;
（3）用步骤（1）得到的灰度级S 作逆变换)(1s z G -=。

那么经过以上得到的图像的灰度级分布将具有规定的概率密度函数)(z p z 的形状。

当)()(1r T r G =-时，直方图规定化处理就简化为直方图均衡化处理了。