高等数学_大一_上学期知识要点

高数总复习(上)

一、求极限的方法：

1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =

(除法运算) ()0,lim ()f x A

B g x B ≠=若

推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n

f x A f x f x A === (n 为正整数)

推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =

②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则

0lim ()()x

x

f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；

①定义1: 若0

lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞

=） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:

若lim 1β

α

=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ.

②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.

性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'',

且lim βα''存在, 则

(因式替换原则)

常用等价无穷小:

sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x

()()2

12

1cos ~,1~,11~,ln 1~,x

x x e x x x x x μ

μ--+-+

1~ln ,x a x a -()0→x

3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；

①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123;

(2)lim lim n n

n n y z a →∞→∞

==,

则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞

=.

②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。

0sin lim 1x x x →= 1

0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x

x e x

→∞+=

5、利用洛必达法则。

未定式为0,,,0,00∞

∞∞-∞⋅∞∞

类型.

①定理(x a

→时的

0型): 设

(1)lim()lim()0

x a x a

f x F x

→→

==;

(2) 在某(,)

U aδ内, ()

f x及()

F x都存在且()0

F x≠;

()

(3)lim

()

x a

f x

F x

→

'

'

存在(或为无穷大)

()()

lim lim

()()

x a x a

f x f x

F x F x

→→

'

=

'

则，

二、求导数和微分：

1.定义

①导数：函数()

y f x

=在

x x

=处的导数：

000

()()()()

()lim lim.

x x x

f x f x f x x f x

f x

x x x

→∆→

-+∆-

'==

-∆

函数()

y f x

=在区间I上的导函数：

()()

()lim.

x

f x x f x dy

f x

x dx

∆→

+∆-

==

∆

②函数的微分：().

dy f x dx

'

=

2.导数运算法则（须记住P140导数公式）

①函数和差积商求导法则：函数()

u x、()

v x可导，则：

(()())()()

u x v x u x v x

αβαβ

'''

+=+

(()())()()()().

u x v x u x v x u x v x

'''

=+

()

2

(()0)

u u v uv

v x

v v

''

-

''

=≠

②反函数求导法则：若()

x y

ϕ

=的导数存在且()0

y

ϕ'≠，则反函数()

y f x

=的导数也存在且为

1

().

()

f x

y

ϕ

'=

'

③复合函数求导法则(链式法则)：()

u x

ϕ

=可导，()

y f u

=可导，

则(())

y f x

ϕ

=可导，且

.

dy dy du

dx du dx

=

④隐函数求导法则:

⑤参数方程求导法则:

(),

()

x t

y t

ϕ

ψ

=

⎧

⎨

=

⎩

若()0

t

ϕ'≠则()

()

dy t

dx t

ψ

ϕ

'

=

'.