第二章 第十节 函数模型及其应用

一、选择题

1．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( )

A．10% B．12%

C．25% D．40%

解析：利润300万元，纳税300·p%万元，

年广告费超出年销售收入2%的部分为

200－1000×2%＝180(万元)，

纳税180·p%万元，

共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，

p%＝1

4＝25%.

答案：C

2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件

时的生产成本为C(x)＝1

2x

2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企

业一个月应生产该商品数量为( )

A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件

解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－1

2(x－18)

2＋142，

当x＝18时，L(x)有最大值．

答案：B

3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提升1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )

A．100元B．110元

C．150元D．190元

解析：设售价提升x元，则依题意

y＝(1 000－5x)×(20＋x)

＝－5x2＋900x＋20 000

＝－5(x－90)2＋60 500.

故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元．

答案：D

4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )

A ．x ＝60t

B ．x ＝60t ＋50t

C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧

60t (0≤t ≤2.5)150－5t (x ＞3.5) D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)

150－50(t －3.5)(3.5＜t ≤6.5)

解析：到达B 地需要15060

＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；

当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150；

当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．

答案：D

5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )

A ．y ＝100x

B ．y ＝50x 2－50x ＋100

C ．y ＝50×2x

D ．y ＝100log 2x ＋100

解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．

答案：C

二、填空题

6．某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，

开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则

截取的矩形面积的最大值为________．

解析：依题意知：20－x x ＝y －824－y

，即x ＝54(24－y )， ∴阴影部分的面积

S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54

(－y 2＋24y )， ∴当y ＝12时，S 有最大值为180.

答案：180

7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．

解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有

3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，

即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，

则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115

(舍去)， 故1＋x %≥65

，解得x ≥20. 答案：20

三、解答题

8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)

. 其中x 是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

解：(1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，

从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－12x 2＋300x －20 000(0≤x ≤400)60 000－100x (x ＞400)

. (2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12

(x －300)2＋25 000， ∴当x ＝300时，有最大值25 000；

当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，

f (x )＜60 000－100×400＜25 000.

∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.

∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．

9．当前环境问题已成为世界注重的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减