第二章导数的概念

k lim x x0
f (x) f (x0)
x x0
o
tan
x0 x x
f (x) f (x0) x x0
5
瞬时速度
v
lim
tt0
f
(t) f (t0 ) t t0
切线斜率
k lim x x0
f (x) f (x0)
x x0
两个问题的共性 :
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
解: y lim f ( x x) f ( x)
0
x0
x
即 ( C ) 0
例2. 求函数 f ( x) xn (n Z )在 x a 处的导数.
解: f (a) lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
f (x) lim f (x h) f (x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 1 2 cos(x h )sin h
h0 h
22
lim
cos( x h ) sin
h 2
cos x
h0
2h
2
即 (sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
h0
h
例7.
设 f (x0 )存在, 求极限
lim
h0
f (x0
h) f (x0 2h
h) .
是否可按下述方法作:
令解:t
原 x式0
hlim, h0
则
f
( x0
h) 2h
f
(x0 )
f
( x0
h) f 2(h)
(x0 )
原式
1 2
f
(x0 )
1 2
f
(x0 )
f
(x0 )
15
例8. 设 f (x)存在, 且 lim f (1) f (1 x) 1, 求 f (1).
h0
h
h0
h
lim 1
h0 h lim
x1 hx
lim 1 h h0 h x
h0
1 lim x h0
即 (ln x) 1 x
1 ln e 1
x
x
14
例6. 证明函数 f (x) x 在x = 0 不可导.
证: f (0 h) f (0) h
h
h
1,
1,
h0 h0
lim f (0 h) f (0) 不存在, 即 x 在x = 0不可导.
x0
2x
解:
lim
f (1)
f (1 x) lim
f (1 x) f (1)
x0
2x
x0
2x
1 lim f (1 (x)) f (1)
2 x0
(x)
1 f (1) 1 2
所以 f (1) 2.
16
定义2. 设函数 定义, 若极限
y
f
(x) 在点
x0
的某个右邻域内有 (左)
( x 0) ( x 0)
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 线密度 电流强度
是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限
化 率 问 题
6
二.导数的定义
定义1. 设函数
在点 的某邻域内有定义,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
tt0
t t0
自由落体运动
s 1 gt2 2
f (t0 )
o t0
f (t)
s
t
4
2. 曲线的切线斜率
曲线C : y f ( x) 在 M 点处的切线 y
割线 MN 的极限位置MT
(当 时)
y f (x)
N
CM
T
切线 MT 的斜率
k tan lim tan 割线 M N 的斜率
xa
n an1
10
说明：对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1 （以后将证明）
例如： (
x
)
1
(x 2 )
1 2
x
1 2
1 2x
1 x
(x1) x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
7
x4
xx
4
11
例3. 求函数 f (x) sin x 的导数.
解: 令 h x , 则
x0
存在, 则称这个极限值为 f (x)在 x0处的(左右)导数, 记作
2
第一节 导数概念
第二章
一.引例 二.导数的定义 三.导数的几何意义 四.函数可导性与连续性的关系
3
一.引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动的位置函数为
s f (t)
则 t0 到 t 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 t0时刻的瞬时速度为
v lim f (t) f (t0 )
12
例4. 求函数 f (x) a x (a 1, a 1)的导数.
解: (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim ah 1 h0 h
ax ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(ex ) ex
13
例5*. 求函数 f (x) ln x 的导数.
解: f (x) lim f (x h) f (x) lim ln( x h) ln x
xx0 x x0
x0 x
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0处可导, 并称此极限为
在点 x0的导数. 记作:
y x x0 ; f ( x0 ) ;
dy ;
d x x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
d f (x) d x x x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
7
运动质点的位置 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 ) 曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
f (x0 )
8
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
若上述极限不存在, 就说函数 f ( x)在点 x0不可导.
若 lim
x0
y x
,
也称
f
( x)在x0的导数为无穷大
.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导。此时导数值构成的新函数称为导函数,
记作: y ; f ( x) ; d y ; d f ( x) .
dx dx
注意:
f
( x0Fra Baidu bibliotek)
f
( x)
x x0
d
f (x0 ) dx
.
9
例1. 求函数 f ( x) C (C 为常数) 的导数.
第二章 导数与微分
导数思想最早由法国数学家 Fermat 在研究极值问题中提出
微分学的创始人
英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
（1642 ~ 1727）
（1646 ~ 1716） (1601~1665)
1
第二章 导数与微分
微分学
导数 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)