案例分析《圆的认识》

案例分析

1、案例描述

两位教师上《圆的认识》一课。

教师A在教学“半径和直径关系”时，组织学生动手测量、制表，然后引导学生发现“在同一圆中，圆的半径是直径的一半”。

教师B在教学这一知识点时是这样设计的：

师：通过自学，你知道半径和直径的关系吗?

生1：在同一圆里，所有的半径是直径的一半。

生2：在同一圆里，所有的直径是半径的2倍。

生3：如果用字母表示，则是d=2r。r=d／2。

师：这是同学们通过自学获得的，你们能用什么方法证明这一结论是正确的呢?

生1：我可以用尺测量一下直径和半径的长度，然后考查它们之间的关系。

师：那我们一起用这一方法检测一下。

……

师：还有其他方法吗?

生2：通过折纸，我能看出它们的关系。

……

思考题：

（1）两案例的主要共同点是什么？

（2）是否真正了解学生的起点？

（3）从线性与非线性的观点分析两教法。预测两教法的教学效果。

案例分析：P25

两个案例都注重学生的实践操作,通过动手操作来理解直径和半径的特征及

联系

B教师设计,是学生不断激活“内存”的过程。建构主义是非常强调个体的经验的，个体的一切学习活动都是以经验为基础展开的，让学生充分调集和展示经验，是师生高效对话的前提。我们不仅要充分承认学生不是一张白纸，还要尽可能了解学生已经有了哪些颜色。

很明显，第二位老师已经为学生创设了一次成功的数学活动，我们可以预测这样的活动一定能让学生感受到了数学的无穷魅力。这种魅力，一方面是因为它承接了学生原有的认知经验，学生感受到数学很简单、很日常、很好玩，有信心，有兴趣去学习。另一方面，学生通过多感官的活动，探究这些亲切有趣的现象背后的原理，建立一定的数学模型，培养一定的数学能力，由此得到更多的发展空间和持续动力。

2、案例描述：

教学“乘数是三位数的乘法”时，原题的内容是一个粮店三月份售出面粉674袋，每袋25千克，一共售出面粉多少千克?这样一道例题让学生感觉与自己生

活太远，和白己的关系又不是很密切，所以不能激发学生学习的兴趣，如果照着原例题讲，学生肯定会觉得枯燥无味。于是，我们联系学生的生活来进行延伸。

上课伊始，就让学生猜测一个滴水的水龙头每天要白白流掉多少千克水?学生们一听是生活中经常能遇到的事情，兴趣盎然，有的猜测5千克，有的猜测10千克，还有的猜测20千克，有个别学生看到了课后的内容说出来是12千克。教师接着问，照这样计算，一年要流掉多少千克水?学生马上算出平年是4380千克，闰年是4392千克。随着计算结果的出现，学生觉得非常吃惊：“哇!这么多呀!”看着学生吃惊的样子，教师又提出新的要求：“你家所住的楼房一共有多少户?如果按一家一个水龙头计算，一年要白白流掉多少水?”

思考题：原题与改动后的题目比较有什么异同（包括与学生生活的联系、目标的维度、教学效果）？

案例分析P51

“乘数是三位数的乘法”是一个比较抽象化的数学知识练习，但是它同样包含

了丰富的过程性学习目标，教师在教学时应提供具体有趣的素材，引导学生通过

观察、比较、思考，使学生获得“乘数是三位数的乘法”的学习体验，并掌握“乘数是三位数的乘法”算理。

从上面的两个情景中，我们可以看出第一个情景，由于学生缺乏真实的体验，缺少吸引学生的素材，学生很难对这教材产生学习积极性，也不可能很好的参与学习的过程了。

不少专家指出，“教科书，只是教与学的工具，决不是唯一的资源”。“大胆而创造性处理教材，甚至重组或改编教材，那时教师的业务权利”。因此，在第二个教学情景中，老师进行了大胆的替换改造，用学生熟悉的、感兴趣的、贴近学

生实际的生活素材来取代。在上面的片段中，我们可以深刻体会到学生已初步学会了用数学的思维方式去观察、分析周围世界，并且在这现实的、有意义的、富

有挑战性的探究活动中，学生加深了对数学知识的理解与掌握，真正体会到了生活中充满了数学，感受到数学的真谛与价值。

3、案例描述

北师大版二年级下册“派车”的教学片断：

（1）出示问题：假期里，我们班将组织25名优秀学生进行社会实践夏令营，学校安排面包车、小轿车两种车接送。其中面包车每辆限乘8人，小轿车每辆限乘3人。假如你是老师，你将如何派车？

（2）学生独立思考后并在小组内交流。

（3）学生汇报：

生1：派2辆面包车和3辆小轿车，算式：2×8=16（人）3×3=9（人）。

师：掌声鼓励！

生2：派4辆面包车，留7个坐位放行李。算式：8×4-7=25（人）

生3：派5辆面包车。

师：说说你的理由。

生3：每辆面包车坐5人，留3个坐位放行李，算式：5×5=25（人）

师：也可以！

生4：派6辆面包车，其中5辆面包车每辆坐4人，一辆坐5人，空位放行李。

……

学生海阔天空的答，而教师不管学生如何回答，都一一加以肯定，以示教学的民主，体现“鼓励解决问题策略的多样化”。待过了20分钟，学生说出了11种派车方案（其中有8种方案空位超过一辆车的坐位）时，教师小结并布置了练习：同学们真能干，想出了这么多的方案，每种方案都有自己的特色。如果增加4位教师，共有29人，你又会怎样派车呢？

……

案例分析（从解题策略多样化要注意的有关问题的角度分析）：

解决问题策略的多样化是对几十个人去解决同一个问题而言的，并不是每一个学生都要求能用不同的方法去解决同一个数学问题。因此，对于学生个体来说，不同学习能力的学生应有不同的要求，学习能力低的学生只要求能用一种方法解决问题，学习能力高的学生要求用不同方法解决同一问题。

过于追求算法多样化，往往会造成学生对每种算法的理解不够深入，思维仅仅停留在横向的比较层面上。而现在一般强调的算法要优化，实质是为了使学生的思维能够纵向地、深入地发展，同时算法的优化也有利于更好完成一堂课的教

学目标，如本课“寻求租车的多种方案”的目标。因为优化的方法往往是已经公认的、适合大多数学生掌握的、有推广和使用价值的方法，学生只有在掌握优化方法的前提下，才有可能去完成熟练的技能。

4、案例描述：

师：（呈现一个长方形和一个正方形）这两个图形分别是什么？

生：左边的是长方形，右边的是正方形。

师：今天我们继续学习长方形与正方形。

师：（边比划边说）通过折一折量一量，你能发现长方形与正方形的边有什

么特点，用直角三角板的直角量一量长方形与正方形的四个角，你能发现什么？

（学生以四人小组为单位根据教师提供的材料与指定的方法探索）

生1：我们组发现了长方形对边相等，四个角都是直角。

师：通过什么方法发现的？

生1（边比划边说）：用尺子量、用折纸的方法发现了长方形的对边相等、

正方形的四条边相等，用直角三角板的直角量长方形和正方形的角，发现四个角都是直角。

师：还有不同的吗？

生2：我们组是用绳子量的方法发现长方形的对边相等、正方形四条边相等的。

案例分析（从问题的品质的角度分析）：参考：论述题中什么样的问题是好

问题？

一是应当明确、具体可感；

二是应当具有思考价值；

三是要关注多维教学目标的达成；

四是问题要具有情境功能。

5、[案例描述] 平行四边形面积公式推导的教学片断：

⒈教师布置学生独立思考的内容：我们如何把平行四边形转化为已经知道面积公式的平面图形来研究它的面积公式呢？

⒉学生合作交流不到2分钟，当教师发现有一个小组的同学“过平行四边形的一个顶点作平行四边形的高，把平行四边形分割成一个直角三角形和一个直角梯形，然后再等量拼成一个长方形，所以平行四边形的面积就是底乘高”的方法后，就立即宣布合作结束。

[案例分析] （主要从与合作学习有关的因素的角度上加以分析）

作为新课程倡导的三大学习方式之一，小组合作学习在形式上成为了有别于传统教学的一个最明显特征。它有力地挑战了教师的“一言堂”的专制，在课堂上给了学生自主、合作的机会，当前，很多教师都已经有意识地把它引入课堂，但

很多时候的小组合作只是作了个形式而已。

在组织小组合作学习前，你可以先回答下列问题：（1）为什么这节课（或者这个环节）要进行小组合作学习？不用可以吗？（2）如果要用，什么时候进行？问题怎么提？大概需要多少时间？可能会出现哪些情况？教师该如何点拔、

引导？（3）如何把全班教学、小组教学、个人自学三种具体的教学形式结合起

来，做到优势互补？（4）学习中，哪些内容适合进行班级集体教学、哪些内容

适合小组合作学习、哪些内容适合个人自学？

小组合作学习与传统的教学形式不是替代的关系，而是互补的关系。广大的教师在小组合作学习的研究和实践中要有一个科学的态度，不要从一个极端走向另一个极端，从而将传统的教学形式说得一无是处。不讲原则的过多的合作学习

也可能限制学生思考的空间，对学生个人能力的发展也是不利的。

6、[案例描述]

北师大版三年级上册《需要多少钱》（两位数乘一位数的口算）的教学片断：

①出示买卖的情境图（图标有泳圈的单价12元，篮球的单价15元）。

②引导学生提出数学问题。

③探索算法多样化。

师：买3个球需要多少钱？算式怎样列？

生：15×3=

师：应该怎样算呢？

生1：我用加法15+15+15=30+15=45（元）

生2：我用乘法10×3=30 5×3=15 30+15=45（元）

生3：把15看成3个5，共有9个5，得45（元）

师：你喜欢用什么方法？

生1：用加法。

师：用加法也可以。

生2：用乘法。

师：好的。

④练习13×3 70×5 24×2 13×5 31×3 34×2 24×4

师：你喜欢用什么方法就用什么方法。

学生练习时笔者观察了7位小朋友所用的方法，其中有4位是采用加法的……

[案例分析] （主要从算法多样化与优化的层面上加以分析）：有的教师认为，如果对算法进行优化，那就谈不上算法多样化，似乎多样化与优化之间存在矛盾。其实不然，方法和方法之间根本不存在优劣之分，任何优越性与不足都是与一定的环境相联系的。算法优化是学生个体的学习、体验与感悟的过程，不是群体或教师的优化。对个体而言，是个体对原有的计算方法优化的过程，是个体思维发展、提高的过程。如果不对算法进行优化，那么我们的学

生就没有收获，没有提高。

在优化算法的过程，教师必须注意两点：第一，优化的主体是学生，要尊重

学生的想法，教师应把选择判断的主动权交给学生，优化的过程是学生自我完善的过程，产生修正自我的内需，从而“悟”出属于自己的最佳方法。教师在评价算法时，不要讲“优点”，而要讲“特点”，把优点让学生自己去感悟，这才能达到优

化的目的。第二，教师要明确“优化”并不是统一一种方法，把优化的过程作为引

导学生主动寻找更好方法的过程，尊重学生的选择，只要学生认为合适、自己喜欢，教师就应加以肯定和鼓励。

7、请你举一个体现以学生为主体的教学设计的片断。

【案例描述】

8、[案例描述]

一年级上册P34《跳绳》（8和9的加减法）的主题图上有：1幢教学楼，教学楼边上有1面五星红旗和许多树木，操场上有8个小朋友在跳绳，问题是“说一说”。下面是教师B按教材教的教学片断：

①出示挂图。

②提问题。

师：看了这幅图，你发现了什么？

生1：我看见了房子？

师：你真能干。

生2：我发现了红旗。

生3：我发现了树木。

生4：我发现了小朋友在跳绳。

生5：我发现了地上有小草。

……

教师不管学生如何回答，都一一加以肯定，以示教学的民主。待过了5分钟，教师急忙抛出：“谁能提出有关8的加减法？”

[案例分析]（主要从问题的目的性与开放性的角度分析）：

我们广大教师在设计问题时，首先考虑到的是问题的开放性，在数学探究过程中，设计出了大量的开放性的，具有一定思维空间的问题。但是，这些问题同

样存在了目的性不强，答案不着边际的弊端，学生在回答这类问题时，出现了这样那样的答案，老师对他们的回答只能作出一些合理性的评价，但是，学生的回答，和老师的评价使得我们的数学课堂离我们心目中的理想的数学课堂却越来越

远。所以我们老师在设计问题题不仅要充分考试问题的开放性，更要考虑设计问题的目的性，你设计的问题应当明确，具体可测，大部分学生能寻求到比较正确的答案。（可参考案例4）

9、[案例描述]《带分数乘法》教学片断：

⒈学生根据应用题“草坪长5米，宽2米，求草坪的面积。”列出算式：5×2

⒉算式一出现，教师就立即组织四人小组交流算法。

其中一个组，在小组交流时，由于三位同学还没有想出方法，整个合作过程只好由一位同学讲了三种方法：①（5+）×（2+）②5.8×2.5 ③×，其他同学拍手叫好而告终。

[案例分析]请你根据上述教学片断进行反思（主要从合作交流与独立思考的

层面分析）。

以上现象是教师在使用小组合作时经常出现的一种问题。就是没有处理好小组合作和独立思考的关系。

教师要处理好合作学习与独立思考的关系

强调合作学习不是不要独立思考。独立思考应是合作学习的前提基础，合作学习应是独立思考的补充和发挥。多数学习能通过独立思考解决的问题，就没必

要组织合作学习。而合作学习的深度和广度应远远超过独立学习的结果。当然，

宜独宜合，应和教学情景、学生实际结合，择善而用，才能日臻完美。

我们在设计学生合作学习时，能否认真的思考以下三个问题：

学生在合作交流前，你让学生经历过独立思考吗？

学生在合作交流时，他们有充分的时空吗？

学生在合作交流时，有否进行明确的角色分工呢？

10、[案例描述]记得那是一节顺利而精彩的课，上课内容是“分数的意义”。在课的结尾，教者没有安排学生围绕知识点去小结，而是让学生在小组内、班里用分数表述一下自己这节课的学习情绪。令人难忘的是有一位学生在小组里的表

，高兴的占了3份，即3/4高兴，遗憾述：“我把整节课的学习情绪看成单位‘1’

的占了一份，即1/4遗憾。因为面对这么多的老师听课，我们班的同学一个个都

正确地回答了老师的提问，展示了我们班的风采，为班级争了光，我为我们班而自豪，感到十分高兴。我之所以遗憾，是因为整堂课我一直认真思考，积极举手，许多问题又不难，但老师没有给我一次机会，我感到很遗憾……”

下课后我找到这位同学了解情况：

问：小朋友，你知道老师为什么没让你发言吗？

答：老师有可能没有看到我举手，也有可能怕我回答不准确吧，因为数学这门课我学得不太好。

问：平时课堂上，老师都叫哪些同学发言呢？

答：差不多都是成绩较好的同学。

[案例反思]（可以从面向全体的角度分析）：

这是我们数学课堂中存在的普遍想象，我们的数学课堂教学如何来面向全

体学生呢？我们想，我们可以采用开展小组合作交流，让学生的个人想法在小组内得到展示，在小组内得到表现。……

11、案例描述

师:今天，在学习小数的加减法之前，请你们独立解决一个问题:笑笑在书店买一套《中国儿童百科全书》花了148元，还剩下53元，笑笑带了多少钱?

师:淘气跟笑笑一起到书店买书，也有一个问题，看谁有办法帮他解决?

淘气在书店买一本《童话故事》，花了 3. 2元，他又买了一本数学世界，花了11. 5元。淘气一共花了多少元?(鼓励学生迎接挑战，认真审题，先列出算式，教师巡堂，再到黑板前列出算式：３.２＋１１.５＝?)

师：（指着算式）这是我看到的一些同学所列的算式，有没有列式和这个

不同的？（学生还可能列出１１.５＋３.２＝?教师也把它写到黑板上，给予肯定）

师：为了帮淘气解决付钱的问题，大家都列出了正确的算式。可我们都没有尝试过两个小数怎么相加。现在就来试一试看谁能独立发现小数加法的算法。

（１）学生独立思考，自主探索。

（２）在独立思考的基础上，小组交流。

（３）看一看教材中三位小朋友是怎么计算的。其中哪种算法和你的一样，哪种你没想到？你还有不同的算法吗？

（４）小组讨论：教材中的三种算法各有什么特点和相同之处？小数相加时，

为什么智慧老人特别强调“小数点一定要对齐？”

（５）全班围绕“为什么小数点一定要对齐”交流，教师归纳小结，明晰小数加法的算理。

师：多位数相加时，个位数字一定要对齐。这是为什么呢？因为相同数

位（单位）上的数才能相加；个位对齐了，所有的数位也都对齐了。小数相加时，小数点一定要对齐也是这个道理。只要小数点对齐了，所有的数位也都对齐了。

教材中前两种算法的共同特点是化去小数点，把小数相加变成整数相加，但“相同单位的数才能相加”的算理没有变。所以，只要小数点对齐了，小数加法的计

算与多位数加法的计算就没有什么不同了。

问题讨论

（1）“小数加法”这一课，教材是让学生直接进行尝试的，本案例中教师

引入时先安排了整数加法的内容，你对此有什么看法?直接安排学生尝试，对学生理解小数加减法是否有帮助？

（2）教师在学生讨论完之后，安排了看书的环节，你认为有必要吗？

为什么？

（3）书中三种算法的共性是什么？为什么要让学生讨论这个问题?

案例分析（围绕上述问题分析）

略（根据以上问题来回答）

12、案例《9加几》前半节课的教学过程：

（⒈创设9+5的情境，列出数学算式。

（⒉学生合作交流9+5=？

（⒊比较算法多样化，得出“凑十法”。

（⒋教师布置学生以四人小组的为单位，通过摆小棒计算9+6=

9+7= 9+4= 9+3=

笔者仔细观察各小组的活动情况，大多数小组同学先写出得数，再摆小

棒，有一个组的同学纯粹在玩小棒。为什么会这样呢？为了弄清原因，于是我又出了一些9加几的算式让学生口答，每人5题，抽测了十位同学，只有一

人算错了1题。问他们怎样算的，多数同学回答，想出来的，在幼儿园里就会算了。位数不少的同学能把“凑十法”的过程说得头头是道、明明白白。

思考题：（1）摆小棒计算时学生为什么先写得数再摆小棒？

（2）我们应如何对待书中所安排的动手操作？

案例分析：

上课前我们要充分了解学生的知识起点，了解学生的已有经验，竟然学生大部分都能正确口算了，为什么还要为了追求算法多样化而让学生经历摆小棒的实

践操作过程呢？真的要摆一摆，可以采用让一个学生上前来板演，没必要让每个学生都亲身经历这个操作过程了（也许我们的学生在课堂之前早就经历摆小棒的

学习过程了）。

我们应如何对待书中所安排的动手操作？根据学生实际情况，课堂需要，可以删除这个操作活动。

13、设计一个你认为较理想的问题情境，并加以分析。

略（只要是一个学生比较感兴趣的，而又紧密联系课堂学习目标设计的教学

情境就是一个比较理想的问题情境）

14、案例描述：这样的合作有效果吗？

场景1

一位教师在教学“两位数减一位数的退位减法”一课时，在学生根据情境列出16-7这样一个算式之后，马上让同学们以小组为单位，讨论应该怎样计算

16-7。

场景2

某校四年级六班有56名同学，老师在教学实践活动课“秋游计划”一课时，在让学生合作制订购买秋游所需物品及所需钱数之后，又设计了一个活动——乘车与买门票。“一辆大客车可坐50人，每辆300元；一辆中型客车可坐30人，每辆200元。个人票每人10元，团体票每人8元(10人为一组)。”让学生根据

教师提供的这些数据，讨论交流应该怎样租车、怎样购买门票比较合理（在第二次合作学习时，有的学生在继续计算买哪些吃的更好，有的在互相玩计算器）。

场景3 ．

一位教师在教学二年级数学课“克和千克”一课时，让小组合作称自己感兴

趣的东西。在小组汇报时，有一个学生说：“我称的是竖笛，它的重量是8克。”老师问道：“是8克吗?”坐在旁边的学生提醒了一下：“它的重量是85克。”这名学生终于说出了合理的答案。

思考题：场景1的合作缺少了什么？场景2在第二次合作学习时，有的学

生在继续计算买哪些吃的更好，有的在互相玩计算器的主要原因是什么？场景3中为什么会出现第一次说是8克而第二次说是85克的情况呢？

案例分析：P63(红)

15、案例描述：《平行四边行的面积》教学片段

教师演示将平行四边形转化成长方形的过程。随着演示活动的进行，教师随即提出以下问题：

师：同学们，我们是沿着什么将平行四边形剪开的?

生：高。

师：我们把平行四边形分成了哪两个图形?

生：(直角)三角形、(直角)梯形。

教师把三角形平移到梯形的另一面(并大声强调了几遍——“平移”这个词)，拼成一个长方形。

师：这个拼成的长方形的面积与原来的平行四边形的面积怎么样?

生：相等!

师：为什么?

生：面积既没有多也没有少。

师：很好!那长方形的长、宽分别对应着原来平行四边形的什么?

生：长方形的长对应着原来平行四边形的底，长方形的高对应着原来平

行四边形的高。

师：现在你能说出如何求平行四边形的面积了吗?

生：因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

(为了强调可以沿任意一条高剪开，老师又重复地操作了一遍，将平行四

边形分成两个直角梯形，转化成长方形。由于问题的提问与前面相仿，笔者不再赘述)

教师又出示了大量变式练习进行提问与训练，学生进入习题操练过程……

问题探讨：

（1）从提问目的、层次、开放上分析上述教学你认为怎样？

（2）这样的教学是否表明学生们已经很好地掌握了相应的知识和方法？

（3）这样的教学与新理念比较你认为怎样？

案例分析：P79（红）

16、案例《长方体和正方体的认识》的教学过程片断：

⒈为长方体和正方体的棱、顶点下定义。

⒉通过动手操作得出长方体和正方体的面、棱、顶点的个数。

师：请同学们拿出准备好的长方体的模型，闭上眼睛摸一摸，睁开眼睛看一看、数一数，长方体有几个面？几条棱？有几个顶点？

（生按要求操作并回答）。

课后笔者进行了一个小调查：

调查对象：还没有学习《长方体和正方体的认识》的同一个学校、同一个年

级的五（3）班学生。

调查内容：长方体有（）个面，有（）条棱，有（）个顶点（学生填空前先

学习长方体的面、棱、顶点的概念）。

调查结果：全班56人，六个面答对的有50人，12条棱答对的有37人，8个顶点答对的有51人。

案例分析：

教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上，体现学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。学生不是简单被动地接受信息，而是对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得知识的意义。学习的过程是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是由内向外的生长，而不是由外向内的灌输，其基础是学生原有的知识和经验。学生原有的知识和经验是教学活动的起点。

奥苏伯尔有句名言：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学生学习新知的惟一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。”这位老师的教学，没有考虑学生的已有知识经验水平，使的课堂得探究活动显得乏味。我们必须认真体会新课程提倡的“数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础

之上”这条理念。