静电场的环路定理
9-5-静电场的环路定理解析
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
静电场的安培环路定理
静电场的安培环路定理静电场的安培环路定理是电磁学中非常重要的一条定理，它描述了静电场中电流所沿路径的总和。
在这篇文章中，我们将会介绍什么是安培环路定理、它的应用以及如何使用它来解决问题。
什么是安培环路定理？安培环路定理是由法国物理学家安培提出的，它表明在任何一个闭合的回路中，电流的总和等于穿过该回路的磁通量的变化率。
这个定理的意义在于，它提供了一种计算电流的方法，尤其是在复杂的电路中。
安培环路定理可以简化电路分析的过程，因为它允许我们通过观察磁场的变化来推断电流的大小和方向。
应用安培环路定理在电路分析中有着广泛的应用。
在解决电路问题时，我们可以选择一个合适的回路并应用安培环路定理来计算电流。
这个回路可以是任何形状，只要它能够完全包括电流所通过的路径即可。
除了电路分析，安培环路定理还有其他应用。
例如，在磁感应强度不均匀的磁场中，我们可以通过应用安培环路定理来计算磁场的强度。
此外，它还可以用于分析电感器、变压器和电机等电磁设备。
如何使用安培环路定理？在使用安培环路定理时，首先需要选择一个合适的闭合回路。
然后，需要注意该回路中的电流方向。
如果电流方向与所选择的回路方向相同，则电流对于回路的贡献为正；如果电流方向与所选择的回路方向相反，则电流对于回路的贡献为负。
接下来，需要计算穿过回路的磁通量的变化率。
这个磁通量的变化率可以通过测量磁场强度和磁通量来计算。
如果磁场强度和磁通量之间的关系已知，则可以直接计算出磁通量的变化率。
否则，可以使用麦克斯韦方程组来计算。
将电流的总和与穿过回路的磁通量的变化率相等，即可得到安培环路定理的表达式。
总结安培环路定理是电磁学中非常重要的一条定理，它可以用于计算闭合回路中电流的总和。
它在电路分析、磁场计算以及电磁设备分析等方面有着广泛的应用。
在使用安培环路定理时，需要选择一个合适的回路并注意电流方向，计算穿过回路的磁通量的变化率，最后将电流的总和与磁通量的变化率相等。
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环路定理表达式及其物理意义
静电场的环路定理表达式及其物理意义
静电场的环路定理是利用有限定义的电流环路来描述静电场中电场强度的一个重要定理。
这个定理有两个版本，即古典环路定理和现代环路定理。
环路定理的实质是说明了在有限的环路中，电流的大小和方向可以由电位差来确定，这个电位差是环路中电、电阻器及其他元件所产生的。
对于古典环路定理，它定义了环路中电位差与电流之间的关系，它可以用来求解电流环路中的电流大小和方向。
现代环路定理是由普朗克提出的，主要是为了求解电流环路中的电动势，它可以表达为：在有限的电流环路中，环路中定义的每个电和电阻器之间的电势差的积分，加上环路中的电动势，等于零。
环路定理的物理意义是，在有限的电流环路中，电流的大小和方向可以由电位差来确定。
电位差是指电和电阻器之间的电势差，这个电势差是由于环路中定义的电和电阻器所产生的。
环路定理的物理意义是，在有限的电流环路中，电流的大小和方向可以由电位差来确定，而电位差是指电和电阻器之间的电势差，这个电势差是由于环路中定义的电和电阻器所产生的。
古典环路定理和现代环路定理可以用来求解电流环路中的电流大小和方向，古典环路定理定义了环路中电位差与电流之间的关系，而现代环路定理描述了在有限的电流环路中，环路中定义的每个电和电阻器之间的电势差的积分，加上环路中的电动势，等于零。
环路定理是电路理论的基础，它可以用来解决复杂的电路问题，也可以用来研究复杂的电路系统。
环路定理可以用来描述复杂的静电场，电路中的电势差和电流的关系，从而有助于理解电路的工作原理，并且可以用来求解复杂的电路问题。
环路定理可以用来描述复杂的静电场，使用它可以更好地理解电路工作原理，并且可以用来求解复杂的电路问题。
10.4静电场环路定理
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
静电场的环路定理
它是反映电场本身“能的属性”的物理量，与 场中是否存在电荷无关。 要注意，电势和电势能是两个不同的概念，不 能混为一谈。
Wa E dl 定义电势 ua q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
Wa q0 E dl
a
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
三 电势
电势差
1、电势能 分析：当检验电荷 q 0 从a点移到b点，电 场力要做功，而功是能量转化的量度， 这说明 q 0 从a点移到b点有能量变化。不 管 q 0 从a点沿哪一条路径移到b点，电 场力对电荷 q 0 做的功都是相同的，这说 明电荷 q 0 在a﹑b两点的能量差是一定 的，其值由这两点的位置决定。这种由 电荷在电场中的位置决定的能量，叫做 电势能。显然，电势能是电荷 q 0 和电场 共同具有的。检验电荷在a﹑b两点的电 位能，分别用 W a ﹑W b 表示。
电势能
例2、求均匀带电圆环轴线 上的电势分布。 已知：R、q
解:方法一 微元法
Y
dl
r
x
P
Z
R
X
O
方法二 定义法 由电场强度的分布 qx E 2R 3 dl 2R 2 2 2 4 0 ( x R ) uP du 4 0 r 4 0 r 0 qxdx u Edx 3 q 2 2 2 xp x p 4 ( x R ) 0 2 2 4 0 R x
则ab电场力的功 Aab q0 E dl Wa Wb
b
取 W 0
注意
Wa Aa
q0 E dl
高等物理静电场环路定理
a
a 20
V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y
4 0 r
xz
2 ) 定义法:
1
Vp
4 0r
dq
q
qx
x 40(R2x2)3/2dx
q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q
4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp
q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z
4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外
1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p
VEdr drrC
q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场环路定理
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
静电场的高斯定理和环路定理
静电场的高斯定理和环路定理
静电场是指电荷分布静止不动的情况下所产生的电场。
在静电场中，高斯定理和环路定理是两个非常重要的定理。
高斯定理是描述电场通量的定理，它表明：在任何闭合曲面内，电场的通量等于该曲面内的电荷总量除以介质常数。
即：ΦE = ∫E · dS = Q/ε0
其中，ΦE表示电场的通量，E表示电场强度，dS表示曲面元素的面积，Q表示该曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的介电常数。
环路定理则是描述电场中电势的变化的定理，它表明：沿着任意闭合回路的线积分等于该回路内的电荷的代数和除以电容。
即：∮Edl = 0
其中，∮Edl表示沿着回路的电场强度的线积分，E表示电场强度，dl表示回路的微元长度，如果回路内有电荷则其代数和为Q。
电容则是电荷和电势之间的比值。
高斯定理和环路定理是静电学中的基本定理，对于研究静电场的性质和计算电场强度、电势等都具有重要的意义。
- 1 -。
环路定理的公式
环路定理的公式
1. 静电场环路定理。
- 公式：∮_L→E· d→l = 0。
- 含义：
- 在静电场中，电场强度→E沿任意闭合路径L的线积分等于零。
这表明静电场是保守场，电场力做功与路径无关，只与始末位置有关。
2. 安培环路定理（真空中稳恒磁场）
- 公式：∮_L→B· d→l=μ_0∑_i = 1^nI_i。
- 含义：
- 对于稳恒磁场，磁感应强度→B沿任意闭合路径L的线积分等于真空磁导率μ_0乘以穿过以该闭合路径为边界的任意曲面的电流的代数和∑_i = 1^nI_i。
这里电流的正负由右手螺旋定则确定，当电流方向与闭合路径的绕行方向符合右手螺旋关系时，电流取正，反之取负。
环路定理
∑
i
U =
∫
dQ 4 πε 0 r
Q
r E =
∫
Q
r r dQ （连续） 3 4πε 0 r
r Qi r 3 （分立） 4πε 0 ri
2、根据电势的定义
r E ⇒U
2、是否可
U =
∫
0势
r
r r E ⋅ dr
r U ⇒E
？
L = x +r
2
p
2
x
P点电势： 点电势： 点电势
O r
R
dr
1 dq U =∫ 4πε0 r
= 1 4πε
0
⋅ 2πσ ∫
R
0
σ rdr 2 2 = ( R + x − x) x +r 2ε0
2 2
电势的计算例题
求一均匀带电球面的电势分布。 例3. 求一均匀带电球面的电势分布。
解：由高斯定理知，电场分布为 E = 由高斯定理知，
v r b v r b v v v r Aab = ∫ F ⋅ d r =∫ q0 E ⋅ dr = ∫ q0 ( E1 + E 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + E n ) ⋅ dr
a
a
b
a
=∫
b
a
v b v r b v s v q0 E1 ⋅ dr + ∫a q0 E 2 ⋅ dr + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫a q0 E n ⋅ dr
半径为R的均匀带电圆环轴线上的电势分布 例1.半径为 的均匀带电圆环轴线上的电势分布。 半径为 的均匀带电圆环轴线上的电势分布。
讨论：
(1)x = 0 处
U =
P
q 4πε R
第10章 静电学 - 3 - 静电场环路定理
由此可见, 在点电荷q的电场中, 电场力的功只与路径的起 点和终点位置有关, 而与路径形状无关。 此结论可通过场强叠加原理推广到任意点电荷系(包括带电 体)的电场。
2
即：电场力做功只与路径的起点和终点位置有关, 而与所经
过的路径无关——电场力是保守力。
A F dl q0 E dl 0 E dl 0
R2 ln 1 R1
dV R2 E0 ln E0 0 令 dR1 R1
A
R2 e R1
B
R1
Vmax
R2 E0 =33kV e
R2
22
例10-19一半径为R的均匀带电球面，带电量为q；球面外有一 均匀带电细线，电荷线密度为 , 长为l, 细线近端离球心距离 为ro, 求细线受的力和细线在球面电场中的电势能。
A
A e(U A U B ) eV
B
1 eV m 2 , =1.03107(m/s) 2
21
(4)若击穿场强Eo=200kV/cm, R1可调整, 能承受的最大电压是 多少?
E
V R2 r ln R1
显然r=R1处的场强最强，最先击穿，令E=E0
R2 得： V E0 R1 ln R1
§10. 4 1.电场的环量
静电场环路定理 l
dl
----场强沿闭合路径的线积分。即
E dl E cos dl
l l
E
设想将试验电荷q0沿闭合路径移动一周，则电场力作功
A l F dl l q0 E dl q0 l E cos dl
n
n
4 o ri
qi
式中: Ui代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势。
静电场的环路定理
无限扩展的源电荷(如无限长带电圆柱面)只 能选在有限区域内的任一点为电势零点。
2 电势差UAB=VA-VB
UABVA VB AB E dl
静电场中A、B两点电势差UAB，在数值上等于把
单位正电荷从A点移到B点时，静电场力所作的功。 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
们的代数和也必然与路径无关。
3 结论：
一试验电荷q0在静电场中从一点沿任意路径
运动到另一点时，静电场力对它所作的功，仅与
试验电荷q0及路径的起点和终点的位置有关，而
与该路径的形状无关。
说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。
二 静电场的环路定理
q0沿闭合路径l移动一周，电场力作功为：
W
l
q E dl 0
8-6 静电场的环路定理 电势能
一 静电场力所作的功
B
1 点电荷电场中移动试验电荷q0
正点电荷q固定于原点o，
试验电荷q0在q的电场中，由
A点沿任意路径ACB到达B点。
点电荷q的电场强度为：
E
1
4
0
q r2
er
q
o
C
E
q0
r
A
q0移过元位移dl 时，电场力作的元功为：
dW q0E dl
电势大小是相对的，与电势零点的选择有关。
一般情况下，电势是源电荷和空间位置的函数，
当电势分布已知时，可以方便地求出电荷q在电 场中某点的电势能和在电场中移动电荷q时静电
场力作的功。
EpA qVA WAB q0VA q0VB q0UBA
静电场的环路定理
b
a ( L1 )
v v b q0 E ⋅ dl − ∫
v v q0 E ⋅ dl
环路定理
=0
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 根据保守力的定义，任何力场， 根据保守力的定义，任何力场，只要其场强的环流 为零，该力场就叫保守力场 势场。 保守力场或 为零，该力场就叫保守力场或势场。可以引入相应 的势能，即电势能。 的势能，即电势能。
q 4πε 0 x
•从电荷分布求场强，再由场强分布求电势 从电荷分布求场强， 从电荷分布求场强
U P = ∫ E • d r （场强积分法） 场强积分法）
P ∞
例4 求均匀带电球面的电场中电势的分布 解 由高斯定理可以求的球面内外的场强分布为
+ P1 + + + + +
2
r <R r ≥R
对球外一点P 对球外一点
二 电势
某点电势电W 之比只取决于电场， 某点电势电 a与q0之比只取决于电场，定义电该 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势. 单位：伏特（V） 电势电
W a = q0 ∫
"0"
a
v E ⋅ dl
电势
WA VA = q0
=∫
"0"
A
v E⋅ E⋅ dl
由上式可以看出, 由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上 等于单位正电荷放在该点处时的电势能, 等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 正电荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处) 时电场力所做的功。 时电场力所做的功。
3.3 静电场的环路定理 大学物理
R
+
o + + +
4 0 r （3）确定电势分布；
2
E
er
(r R)
主讲：张国才
U P E dl E dr + r+ r r + + 1 q q r p + + 2 dr R R 4 + + 4 o R 0 r o + + (2)当r>R时 + + + + U P E dl E dr + + "P" r
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理
基础物理学
4
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时，电场力对q0做的功W=？
L
W q0 E dl 0
E dl 0
L
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理 静电场的 Nhomakorabea路定理基础物理学
5
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分（称为场强的环流）恒为零。
2 2
0
主讲：张国才
q 4 0 R x
2 2
基础物理学 3.3 静电场的环路定理 二、从电荷分布求场强，从场强分布求电势。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R，总带电量为q。
13
解：
q
+
+ + + +
+ +
+
（1）取无穷远处为电势零点； + （2）由高斯定律可知电场分布为； + E 0 (r R) + + 1 q
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➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理