偏微分方程模型

偏微分方程模型

一、弦的微小横振动

给定一根两端固定且拉紧的均匀,柔软的细弦,其长度为L .在垂直于弦线的外力作用下,弦在其平衡位置附近作微小的横振动,求弦的运动规律.术语及假设:

柔软:抗拉伸,不抗弯曲,从而拉力与弦线相切.均匀:弦的线密度为常数,可设为kg/m. 细:弦的截面直径比长度远远小于1,可视为理想的曲线.外力:已知,外力密度可表示为).

,(t x f 弦:有弹性,且在其弹性限度内.

弦的振动是一种机械运动.其基本定律是质点力学的牛顿运动学第二定律:

.

ma F 然而弦不是质点,该定律对整根弦并不适用.

但整根弦可以细分为许多极小的小段,每小段可以抽象为质点,即每个小段(质点)可以运用上述定律.

差分方程及其模型

)

()1(1t f t f y y y t t t -+=-=∆+1. 差分的定义定义1设函数

称

为函数的一阶差分；

t y 一、差分方程的基本概念

,2,1,0),(==t t f y t

称

2

()t t y y ∆=∆∆1t t

y y +=∆-∆211()()t t t t y y y y +++=---212t t t

y y y ++=-+为函数t y 的二阶差分. 为三阶差分. 同样，称

3

2

()

t t y y ∆=∆∆依此类推,函数的n 阶差分等.

定义2含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为差分方程.

差分方程的一般形式为

F(t,y t ,∆y t ,⋅⋅⋅, ∆n y t )= 0. (1)差分方程中可以不含自变量t和未知函数y

,但必须

t

含有差分.

式(1)中, 当n = 1时, 称为一阶差分方程；

当n = 2时, 称为二阶差分方程.

例如,差分方程

∆2y t+ 2∆y t= 0

可将其表示成不含差分的形式:

∆y t= y t+1-y t, ∆2y t= y t+2-y t+1+ y t,

代入得

y t+2-y t= 0.

由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.

定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称为差分方程.

其一般形式为

G(t,y t,y t+1, ⋅⋅⋅, y t+n) = 0. (2)定义3中要求y

,y t+1, ⋅⋅⋅, y t+n不少于两个.

t

例如,y

+y t+1= 0 为差分方程,

t+2

y t= t 不是差分方程.

差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为n, 则称差分方程为n 阶差分方程.

t S t t S r ,

)1(1t t t t S r rS S S +=+=+,

,2,1,0 =t t S ,

)1(0S r S t

t +=,

,2,1,0 =t 0S 例1（存款模型)为期存款总额，

利率，按年复利计息，则与有如下关系式：

这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中为初始存款总额.

为存款其通解为

设r 差分方程在经济问题中的简单应用

例3（筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每

月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女

的教育. 并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完

全部资金.要实现这个投资目标，20年内共要筹措多

少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月

利率为0.5%，10年后子女大学毕业用完全部资金.

该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年

分析

解设从现在到20年内共要筹措x 元资金，第n 个月每月存入资金a 元. 同时.

投资账户资金为I n 元，也设20 年后第n 个月投资帐户资金为S n 元，于是，20 年后，关于S n 的差分方程模型为

每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在

20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元，10内用完所有资金.

.

95.194=a 以及从而有即要达到投资目标，20 年内要筹措资金90073.45 元，平均每月要存入银行194.95 元.,

45.90073200005.11240240=-=a C I .

020010=-=a C I