第8、9、10节有理数乘除法与乘方

有理数的乘除及乘方运算

【知识要点】

一、有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积为0．△有理数乘法法则推广：

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0．△有理数乘法的运算律 （1）乘法交换律：ba ab =． （2）乘法结合律：()()bc a c ab = （3）分配律：()ac ab c b a +=+ 二、有理数除法法则

（1）除以一个数等于乘这个数的倒数．即：()01

≠⋅=÷b b

a b a （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 三、倒数与负倒数的概念

乘积为1的两个有理数，互为倒数．如－2与21-

，23-和3

2-． 乘积为－1的两个有理数互为负倒数，如：－2与21-，23-和3

2

-．

零没有倒数，也没有负倒数． 倒数等于它本身的数有1±． 四、有理数乘方的意义

求几个相同因数的积的运算叫乘方，一般地，几个相同的因数a 相乘，记作n a ，即

n a

n a a a a a =⨯⨯⨯⨯

个，乘方的结果叫做幂．在n a 中a 叫做底数，n 叫做指数，n a 从运算角度读作a 的n 次方，从结果角度读作：a 的几次幂．

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

【精典练习】

例1．计算

（1）⎪⎭⎫

⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-54411

（2）()⎪⎭

⎫

⎝⎛+⨯-31123.7

例2．计算

（1）⎪⎭⎫

⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛87871

（2）()100-÷

例3．计算

（1）()⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-3243260

（2）()()()85125-÷-÷-

（3）⎪⎭⎫

⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-601203524121

例4．运用简便方法计算

（1）()1265105+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛

（2）()()41005.025.0⨯-+⨯-

（3）()()3

1

3631323135⨯-+⨯+⨯-

例5．（1）把⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-6565656565写成乘方的形式．

（2）()6

5-表示的意义是什么？

例6．计算：（1）32（2）()3

2-（3）32-．

例8．若()0232

=-++b a ，求

ab

b

a +的值．

【精典练习】

一、选择题

1．在下列条件下，不能使b ab <的是（ ） A 、0,0>>b a B 、0,0<

C 、0,0<>b a

D 、0,0>=b a

2．计算：()⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-214的结果是（ ）

A 、－8

B 、8

C 、2

D 、－2

3．计算24247125

6521⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-的结果是（ ）

A 、－2

B 、－3

C 、－4

D 、－5

4．下列说法错误的是（ ） A 、一个数同0相乘，仍得0

B 、如果两个数的积等于1，那么这两个数互为相反数

C 、一个数同1相乘，仍得原数

D 、一个数同－1相乘，得原数的相反数

5．若一个数的相反数与这个数的倒数和为0，则这个数是（ ）

A 、2

B 、±1

C 、2

1

D 、3

6．如果两个数的高是—4，被除数是3

1

2，那么除数是（ ）

A 、127

B 、328-

C 、712

-

D 、12

7-

7．下面的说法正确的是（ ） A 、41

-和0.25互为倒数

B 、

4

1

与4-互为倒数 C 、0.1和10互为倒数

D 、0的倒数是0

8．若0<

A 、

b

a 11< B 、1

b C 、

1>b

a

D 、

1

a

9．下列说法，正确的是（ ） A 、一个数的奇次幂一定是负数 B 、一个数的偶次幂一定是正数

C 、任何一个小于1的数的平方都小于这个数

D 、任何一个大于1的数的平方都大于这个数 10．下列各对数中，互为相反数的是（ ） A 、23与32-

B 、32-与()3

2-

C 、23-与()23-

D 、()3

23-⨯与323⨯-

11．34-的结果是（ ） A 、－12 B 、12

C 、－64

D 、64

12．下列式子的值与()5

27--相等的是（ ）

A 、()()5

5

27-+-

B 、514

C 、103

D 、59-

二、填空题

1．2

1

3-的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ．

2．已知两个数的积是21

1-，其中一个数是－5，那么另一个数是 ．

3．当=x 时，x 23没有意义，当=x 时5

6

-x 的值是0．

4．若1=x x ，则x 0，若1-=x x

，则x 0．

5．比较下面两列算式结果的大小，在横线上填>，<或=”． 3423422⨯⨯+； ()()1221222⨯-⨯+-

2222222⨯⨯+

三、计算下列各题 1．5244361832411÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-

2．()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯÷⨯⨯÷-534.14312.043211

3．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-315131513151