中考数学锐角三角函数(大题培优易错试卷)及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62
或
23
.
【解析】
【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=1
2
EK=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,
∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠3
∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=1
2
EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=1
2
PF=1,3OH=23
∴()2
2
12362
+-=
如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴OP=
33OE=233
, 综上所述:OP 的长为62 或
23
3
. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E.设P 是上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与
PD ,PD 交AB 于点G. (1)求证:△PAC ∽△PDF ; (2)若AB =5,
,求PD 的长;
(3)在点P 运动过程中,设=x ,tan ∠AFD =y ,求y 与x 之间的函数关系式.(不要求写出
x 的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD =∠FPC ,得到∠APC =∠FPD ,又由∠PAC =∠PDC ,即可证明结论. (2)由AC=2BC ,设
,应用勾股定理即可求得BC ,AC 的长,则由AC=2BC 得
,由△ACE ∽△ABC 可求得AE ,CE 的长,由
可知△APB 是等腰直角三角
形,从而可求得PA 的长,由△AEF 是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF 的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴与之间的函数关系式为.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
3.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm.
(1)AE的长为 cm;
(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;
(3)求点D′到BC的距离.
【答案】(1);(2)12cm;(3)cm.
【解析】
试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案:
∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.
∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,∴(cm).
∵点E为CD边上的中点,∴AE=DC=cm.
(2)首先得出△ADE为等边三角形,进而求出点E,D′关于直线AC对称,连接DD′交AC