平面向量的夹角

即
并规定
a b | a || b | cos
a0 0
一、几个概念 1） 两个向量的夹角的定义
教学过程
a b
O
A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
| CD |2 CD CD (CA AB BD )2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2 AB BD b 2 a 2 b 2 2b 2 cos120 a 2 b2
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A
B
CD a2 b2

A
CD a2 b2 c2
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与 的交点为B，且l⊥m，l⊥n， 求证：l⊥ 分析：由定义可知，只需证l与平面 内任意直线g垂直。 要证l与g垂直，只需证l· g ＝0 l 而m，n不平行，由共面向 l m 量定理知，存在唯一的有 g g 序实数对(x,y)使得 n n m g=xm+yn 而l · m ＝0 ，l · n ＝0
注意： 数量积不满足结合律
（a b) c a (b c)
二、 课堂练习
2 1. 已知 a 2 2 , b , a b 2 2 则a , b所夹的角为________ .
2.判断真假： 1 ） 若a b 0, 则a 0, b 0 2) (a b) c a (b c) 3) p 2 q 2 ( p q ) 2 4) p q p q p 2 q 2 ( ) ( ) ( ) ( )
3.1.3空间向量的数量积
复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O， 作OA= a,OB= b,则 AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B
B
A
O
A
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积，记作 a b
| AC | 85
A'
B'
D
C
A
B
练2.已知线段 、 在平面 AB BD
BD AB 内，
AC ，线段
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
解：∵
| CD |2 (CA AB BD)2
D a b B
c
| CA |2 | AB |2 | BD |2 a 2 b2 c 2
2）两个向量的数量积
设OA a, 则有向线段OA 的长度叫做向量 a的长度或模, 记作： a 已知空间两个向量 a, b，则 a b cos a, b叫做向量a, b的数量积， 记作： a b,即 a b a b cos a, b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
DBD 30 ，如 ，线段 BD AB ，线段 DD ，
果 AB a , AC BD b ，求 C 、 D 之间的距离。 解：由 AC ，可知 AC AB .
C D b b a D'
由DBD 30 知 CA , BD 120.
证明：在内作不与m、n重合的任 一条直线g,在l、m、n、g上取非 零向量l、m、n、g，因m与n相交， 得向量m、n不平行，由共面向量 定理可知，存在唯一的有序实数 对（x，y），使
例2：利用向量知识证明三垂线定理 已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线， OA是PA
在内的射影，a , 且a OA 求证： a PA
练1
已知在平行六面体 ABCD ABC D中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D' C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA )2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA ) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
P
证明：在a上取非零向量a 又OA a, OA a 0
而PO , PO a PO a 0
A a

O
又PO, OA相交，得PO, OA不平行，由共面向量 定理可知，存在唯一的 有序实数对 x, y , 使 PA x PO yOA PA a PO a OA a 0 a PA, 即a PA.
3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ，有：
1) a b a b 0 2) a a a
2
注意： ①性质1）是证明两向量垂直的依据；
②性质2）是求向量的长度（模）的依据；
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) ( a) b (a b) 2) a b b a (交换律） 3） a (b c) a b a c (分配律）
要证l· g＝0,只需l· g= xl· m+yl· n=0 故 l· g ＝0
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l 与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
l
l
g
g n n m
m
g=xm+yn, l· g=xl· m+yl· n ∵ l· m=0,l· n=0 ∴ l· g=0 ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于 平面内的任一条直线，所以l⊥