1线性代数 3.2 n维向量空间

x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
5 标准正交基的概念
设n维向量e1,e2,…er是向量空间V的一个基， 如果e1,e2,…er两两正交，且都是单位向量，则称 e1,e2,…er是V的一个标准正交基．
, n 这个基下的坐标.
并记 （x1，x2， ，xn )
例3证明1 (1,0,1)T ,2 (1,1,0)T ,3 (0,1,1)T
是R3的一组基,并求 (2,3,4)T 在1,2 ,3
下的坐标.
证明:
1 1 0 1 1 0
A (1,2,3) 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1
那么,向量组a1,, ar 就称为向量空间V的一个基, r称为向量空间V的维数,记作dimV r, 并称V为r维向量空间.
若向量空间没有基, 那么V的维数为0. 0维向量空间只含一个零向量0.
若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是 向量组的最大线性无关组,V的维数就是向量组 的秩.
说明: 10.要注意向量空间的维数与向量的维数的区别: dimV V中最大无关组向量的个数. 向量的维数是指向量的分量个数.
X A1B.
(
A
B)
2 2
2 1 1 2
1 0
4 3
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
20.向量空间的基一般不惟 一.
30.全体n维实向量构成的向量空间Rn 是一个n维向量空间, dim Rn n; 其中任意n个线性无关的向量构成 的向量组都是Rn的一个基.
向量空间的构造
若向量组a1 , a2 ,, ar 是向量空间V的一个基, 则V可表示为
V
x
r
i ai
i 1
i R, i 1,2,, r .
3. 三角不等式 .
定理3.6 设, Rn ,则 | (, ) ||| |||| ||
（上式称为柯西-施瓦茨不等式）
证 当 =0时结论显然成立； 当 0时，作向量 t (t R)，因为
( t , t ) 0,由内积运算规律得
( , )t2 2( , )t (, ) 0
y=(a2,b2,c2) ∈V, ⇒a2+b2+c2=0 所以 (a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0
⇒ x+y=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)=0 ∈V λ a1+λ b1 +λ c1=0 ⇒ λ x=(λ a1, λ b1, λ c1) ∈V 这说明V满足向量加法和数乘运算的封闭性，因 此V是向量空间。
11 22 r 0 以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 . 同理可得2 r 0.故1,2 ,,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 ,,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,
则
称
1
,
2
,,
3.2 n维向量空间
3.2.1向量空间
定义 设V为 n维向量的集合，如果集合V非空，且 集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合V为向量空间．
所谓封闭, 是指在集合V中可以进行加法及
数乘两种运算:
(1)若 V , V ,则 V ; (2)若a V , R,则 V .
例1 下列向量的集合均为向量空间. (1)全体n维向量的集合Rn ;
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
~ r1 r3
m
2.子空间 定义 设有向量空间V 1及V 2 ,若V 1 V 2 ,就称V 1 是V 2的子空间.
任何由n维向量所组成的向量空间V都是 Rn的 子空间.
3. 基与维数 定义 设V为向量空间,如果r个向量a1, a2 ,,
ar V ,且满足 (1) a1, a2 ,, ar 线性无关; (2)V中任一向量都可由a1, a2 ,, ar 线性表示,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 (1,3 ) (2 ,3 ) 0
即
((21,,33))
x1 x1
因此, 可利用内积定义n维向量的夹角.
定义3.13 设非零向量 , Rn，定义
arccos (, ) || |||| ||
为与的夹角，记作(, ) .当(, ) 0时，称与正交。
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解 cos
18 2 3 26 2
称为由基生成的向量空间.
4.向量在一个基下的坐标
知Rn中任一向量 (a1, a2 ,, an )
a11 an n
定义3.10 设1,2 , ,n是n维向量空间Rn中 的一个基, 对于任一向量 Rn ,总有且仅有 一组数x1 , , xn使 x11 x22 xnn 则称有序数组(x1, x2 , , xn )为向量在1,2 ,
设
b1 x11a1 x21a2 x31a3 ,
b2 x12a1 x22a2 x32a3，
即
x11 (b1 ,b2 ) (a1 ,a2 ,a3 ) x21
x31 记作B AX .
x12 x22 , x32
对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为E，
则a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为
(3)( , ) (, ) (, )
(4)(,) 0,(,) 0当且仅当 0
2、向量的长度及性质
定义2 令 (, ) a12 a22 an2 ,
称 为n维向量的模或长度,范数.
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 0时, 0;当 0时, 0; 2. 齐次性 ;
.上式左端是t的二次三项式，且t2的系数( , ) 0,因此
4(, )2 4(, )( , ) 0,
即
(, )2 (, )( , ) || ||2 || ||2,
故 |(, ) ||| || || ||
由定理3.6可知，对任何非零向量，，总有 1 (, ) 1, . || || || ||
3 / 2
(1,2 ,3 )1/ 2
5 / 2
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解 要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要证a1, a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.
.
4
3.2.3、向量空间的标准正交基
１ 正交的概念
当(, ) 0时, 称向量与 正交.
由定义知,若 0,则 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量1,2,,r是一组两两正交的 非零向量,则1, 2,, r线性无关. 证明 设有 1,2 ,,r 使
(因为 {x (a1, a2 ,, an )T }, {y (b1,b2 ,, bn )T }, R {x y (a1 b1, a2 b2 ,, an bn )T }V1 {x (a1, a2 ,, an )T }V1,
即任何两个n维向量的和仍为n维向量, 数乘n维向量仍为n维向量);
(2)集合V1 x (0, x2,, xn ) | x2,, xn R;
有 0,a2 b2 ,,an bn T V1
0, a2 ,, an T V1 . V1是向量空间.
(3)集合V2 x | , R,
, 为两个已知的n维向量
证明(3)
x1 1 1 V2 , x2 2 2 V2，
有 x1 x2 (1 2 ) (1 2 ) V2,
kx1 (k1) (k1) V2.
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
解 1, a2,, an T V2,
2 2,2a2,,2an T V2.
1 1 0 0 1 1,
0 0 2
R( A) rank(1,2,3) 3 dim R3 1 , 2 , 3线性无关, 且为R3的一个基.
设 x11 x2 2 x33
即(1, 2
,3
)
x1 x2
x3
1 则0
1 1
10
x1 x2
AX
1 0 1 x3
对( A B)施行初等行变换, 若A能变为E,
2 内积是向量的一种运算,如果, 都是列
向量,内积可用矩阵记号表示为:
( , ) a1b1 a2b2 anbn
b1
a1
(a1,
a2
,,
an
)
b2
bn
T
(b1,
b2
,,
bn
)
a2
an
T
内积的运算性质
其中, , 为n维向量,为实数:
(1)(, ) (,) (2) (, ) (, );
(, ) a1b1 a2b2 anbn T (或 T )
例如、设 (1,1,0,2)T ， (2,0,1,3)T ， 则
T (1) 2 1 0 0 (1) 2 3 4
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0
2
,
e4
1
0 2
V2不是向量空间 .
说明: 判断向量的集合是否构成向量空间，需 看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若 封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空 间．
一般地,由向量组a1 , a2 ,, am 所生成的向量 空间为
V
x
m
i ai
i 1
i R, i 1,2,, m.
它就是1,2 ,
,
的全体线性组合构成的集合。
r3 r2
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1
0
2 3
1
0
0
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
习题1 证明: 三维行向量空间R3中的向量集合 V={(x,y,z)|x+y+z=0}是向量空间，并求出它的维数 和一个基。
证明 任取向量x=(a1,b1,c1) ∈V, y=(a2,b2,c2) ∈V, λ ∈R. 因为 x=(a1,b1,c1) ∈V, ⇒a1+b1+c1=0
由x+y+z=0 ⇒z=-x-y
这说明第三个分坐标可以由前两个表示，因此， V的维数为2。
显然，x=(1,0,-1),y=(0,1,-1)线性无关，且都属于 V,因此，它们就是V的一组基。
3.2.2 向量的内积
定义3.11 设有n 维向量
a1
a2
,
an
b1
b2
,
bn
规定与的内积为
B变为X A1B
1 1 02 1 1 02 1 1 02 ( AB) 0 1 13 0 1 13 0 1 13
1 0 14 0 1 12 0 0 25
1 1 0 2 1 1 0 2
0 0
1 0
1
3
15 / 2
0 0
1 0
01/
2
15 / 2
1 0 03 / 2
0
1
01/
2
0 0 15 / 2