函数概念和几种常见函数的性质及应用
函数的应用课件ppt课件ppt
然后根据复合函数的解析式确定图像的变换方式。
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复合函数的性质
复合函数具有一些特殊的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。这些性
质可以通过分析复合函数的解析式和基本初等函数的性质来得出。
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函数在实际问题中应用
经济学中函数应用
需求分析
通过构建需求函数，描述 商品价格与需求量之间的 关系，帮助企业预测市场 变化。
不等式在解决实际问题中的应用
通过建立不等量关系式，即不等式，来求解实际问题中的范围或最优解。例如，求解经 济中的最优化问题、工程中的约束条件问题等。
方程和不等式在解决实际问题中的综合应用
有些问题既需要建立等量关系又需要建立不等量关系，这时就需要综合运用方程和不等 式来求解。例如，求解金融中的投资组合问题、物流中的运输优化问题等。
分析和设计。
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微分学在函数研究中应用
微分学基本概念与性质
微分定义
微分是函数局部变化率的线性近似，描述了函数 在某一点附近的变化趋势。
微分性质
微分具有线性性、可加性、乘法法则等基本性质 ，这些性质在解决复杂问题时非常有用。
高阶微分
高阶微分描述函数更高层次的变化率，如加速度 、加加速度等。
微分法在函数研究中应用
函数与方程关系探讨
函数与方程的联系
方程是函数值为零的特殊情况，函数图像与x轴的交点即为方程的 解。
函数与方程的区别
函数表示一种对应关系，而方程则表示一种等量关系。
函数思想在解方程中的应用
通过构造函数，利用函数的性质（如单调性、连续性等）来求解方 程。
函数与不等式关系探讨
函数与不等式的联系
不等式可以看作是函数值大于或小于零的情况，函数图像在x轴上 方的部分对应不等式大于零的解集，下方的部分对应小于零的解
初中所有函数归纳总结大全
初中所有函数归纳总结大全初中数学学习过程中，函数是一个重要的概念和工具。
函数是描述两个变量之间关系的一种方法，它在数学以及实际问题中有着广泛应用。
本文将对初中阶段所学的各种函数进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。
一、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是一种最简单的函数形式，其表达式为 y = kx + b，其中k 和 b 是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的斜率和倾斜的方向，常数 b 决定了直线与 y 轴的截距位置。
2. 幂函数幂函数的表达式一般为 y = ax^n，其中 a 和 n 是常数。
幂函数的图像通常是曲线，根据指数 n 的不同，可以分为增函数和减函数。
指数 n 的大小决定函数图像的陡峭程度。
3. 指数函数指数函数的表达式一般为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是幂指数。
指数函数的图像通常是曲线，底数a 的大小决定函数图像的增长速度。
4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般表达式为y = logₐx，其中 a 是底数，x 是函数的值。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线 y = x 的对称图像。
5. 二次函数二次函数的表达式一般为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是抛物线，开口方向由 a 的符号决定，开口向上为正，开口向下为负。
6. 分段函数分段函数是由多个函数段构成的函数，每个函数段在不同的区间内有不同的表达式。
分段函数的图像通常是由几个不同形状的函数图像拼接而成。
二、函数的性质及应用1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的所有可能值，值域是函数输出的所有可能值。
在解题过程中，要注意确定函数的定义域和值域，以避免出现无意义的结果。
2. 奇偶性若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。
数学函数知识点简洁归纳
数学函数知识点简洁归纳一、函数概念1. 函数：对于给定的两个集合A与B，如果存在一种对应法则，使得A中的每一个元素，按照法则的要求，对应到B中的某一个元素，那么这种对应关系称为从A到B的函数，记作y = f(x)。
2. 变量：在函数关系式中，令x与y互相替换得到的新式子称为由x所对应的y的值，其中的x与y称为变量。
3. 值域：函数在其定义域内任取一个x的值，根据对应法则，可以得到唯一确定的y的值，这个集合称为函数的值域。
二、基本初等函数1. 幂函数：形如y=x^a(a为实数)的函数称为幂函数。
2. 指数函数：形如y=a^x(a>0且a≠1)的函数称为指数函数。
3. 对数函数：形如y=log(a) x(a>0且a≠1)的函数称为对数函数。
4. 三角函数：数学中常用的一类周期性函数，主要有正弦、余弦、正切、余切等。
三、函数性质1. 增减性：对于定义域内的某个区间来说，如果在该区间内y随x的增大而增大，则该函数在该区间内具有增函数性质；如果在该区间内y随x的增大而减小，则该函数在该区间内具有减函数性质。
2. 有界性：对于任意给定的x值，对应的y值总有范围限制。
四、复合函数两个函数$f(u)$和$u=g(x)$的复合函数可以表示为$y=f[g(x)]$，通常简称为复合过程。
复合过程通常有两种类型：外层函数与内层函数的变量顺序相反，这两种情况通常也可以看成一种模型化的对应关系，即将已知对象视为变量的一种形式化方法。
具体在解析几何中常用的变比方程（参数方程、极坐标方程）就属于这一类型。
此类形式主要用于多元微积分的函数分析。
注意区别其他三种情况的对应关系模型和符号。
五、其他知识点1. 图像：函数的图像是函数的图形在平面直角坐标系上的表示方法，是研究函数的重要工具。
图像可以是单值图像或复值图像。
单值图像是指每一个输入值对应一个输出值；复值图像是指输入值的对应输出值除了数值之外还带有某种其他信息。
复值图像常见于如坐标轴的交叉点或对称点等位置信息等表示方法。
常用函数的性质和应用
常用函数的性质和应用函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在数学中，函数是从一个集合到另一个集合的映射关系，它将每一个输入值映射到唯一的输出值。
常用函数具有一些特定的性质和应用，下面将对几个常用函数的性质和应用进行探讨。
一、线性函数线性函数是函数中最简单且最基础的一种类型。
它的定义可以表达为f(x) = ax + b，其中a和b是给定的常数。
线性函数的性质有以下几点：1. 一次函数: 线性函数也称为一次函数，因为它的最高次项的指数为1。
2. 直线特征: 线性函数的图像是一条直线，具有线性关系。
通过两个不同的点，就可以唯一确定一条直线。
3. 恒定斜率: 不同的线性函数可能具有不同的斜率，但在函数的定义域中，斜率是一个常数。
线性函数的应用非常广泛，比如在经济学中，用于描述供求关系、成本函数等；在物理学中，用于描述直线运动的速度、时间关系；在工程学中，用于建立线性电路的分析模型等。
二、指数函数指数函数是以一个正实数a为底数的函数，表达式为f(x) = a^x。
指数函数的性质如下：1. 多样增长趋势: 指数函数的图像可以呈指数增长或指数衰减的趋势。
2. 渐进性: 当x趋向正无穷时，指数函数趋于正无穷；反之，当x趋向负无穷时，指数函数趋于0。
3. 递增或递减性: 当底数a大于1时，指数函数递增；当底数a小于1时，指数函数递减。
指数函数在自然科学、经济学等领域中有广泛的应用。
比如在生物学中，用于描述生物群体的增长模型；在金融学中，用于计算复利的增长；在物理学中，用于描述一些衰变过程等。
三、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数。
对数函数的性质如下：1. 反函数关系: 对数函数和指数函数互为反函数，即logₐ(a^x) = x。
2. 变化的增长速度: 对数函数的增长速度随x的增大而减小，也就是说，对数函数的斜率随着自变量的增加而逐渐减小。
3. 特殊底数的用途: 常用的底数是10和e(自然对数的底数)，对数函数能够方便地将复杂的指数运算转化为简单的乘法和加法运算。
高二数学知识点及公式总结5篇
高二数学知识点及公式总结5篇第一篇：高二数学必备知识点及公式总结1.函数的概念及其性质函数是一种特殊的关系，它将一组自变量的值映射到另一组因变量的值上。
函数的三要素为定义域、值域和对应关系。
常见的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，不同的函数具有不同的性质。
常见函数的公式：一次函数：y = kx + b二次函数：y = ax^2 + bx + c指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)2.三角函数及其应用三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等。
由于三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等特点，因此在物理、工程、数学等领域中被广泛应用。
三角函数的公式：正弦函数：y = sinx余弦函数：y = cosx正切函数：y = tanx割函数：y = secx余割函数：y = cotx3.微积分基础微积分是研究函数变化的过程的一门学科，包括导数和积分两个方面。
导数表示函数在某一点的变化率，积分则表示函数在一段区间内的累积变化量。
微积分在自然科学、社会科学、工程技术等领域中均有广泛应用。
微积分的公式：导数公式：f'(x) = lim├_(∆x→0) (f(x + ∆x) - f(x))/∆x积分公式：∫_a^b f(x)dx = lim├_n→∞ □(□(□(Δx )))Σ▒f(xi)Δx第二篇：高二数学解析几何知识点及公式总结1.向量及其运算向量是数学中的一种对象，具有大小和方向两个要素。
向量的运算包括加、减、数乘、点乘等，可以用来描述物体的运动、力的作用等。
向量运算的公式：向量加法： A + B = (Ax + Bx, Ay + By)向量减法： A - B = (Ax - Bx, Ay - By)向量数乘： kA = (kAx, kAy)向量点乘：A·B = |A||B|cosθ2.平面及直线的方程平面是空间内的一种二维图形，可以通过点和法向量来确定。
小学数学函数知识点总结
小学数学函数知识点总结函数是数学中非常重要的一个概念，它在小学阶段的数学学习中占据着重要地位。
了解函数的定义、性质及其应用，对于解决数学问题和提高数学思维能力都具有重要作用。
本文将对小学数学函数的知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一个集合之间的关系，它将某个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在小学数学中，我们通常用代数式表示函数关系，如y = f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数关系。
函数关系可以用表格、图像以及公式等形式来表示。
二、函数的性质1. 定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围。
对于小学数学来说，通常要求函数的定义域是实数集或某个给定的数集。
2. 值域：函数的值域是指因变量的取值范围，也就是函数在定义域内实际能够取到的值。
3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内是否单调递增或单调递减。
可以通过求导数或观察函数图像来确定函数的单调性。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系是否满足f(-x) = f(x)。
如果满足，则函数为偶函数；如果不满足，则函数为奇函数。
5. 对称轴：对于偶函数来说，它存在对称轴，对称轴是y轴；对于奇函数来说，它不存在对称轴。
三、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是函数关系y = kx + b，其中k和b分别是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜方向和斜率大小，截距b决定了直线和y轴的交点位置。
2. 平方函数：平方函数是函数关系y = x²，其中x为任意实数。
平方函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
平方函数的顶点为坐标原点(0, 0)，函数图像关于y轴对称。
3. 开方函数：开方函数是函数关系y = √x，其中x为非负实数。
开方函数的图像是一个开口朝右上方的抛物线。
4. 绝对值函数：绝对值函数是函数关系y = |x|，其中x为任意实数。
绝对值函数的图像是一条折线，以原点为转折点。
5. 倒数函数：倒数函数是函数关系y = 1/x，其中x不等于0。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中的重要概念和工具，它们在解决实际问题和数学推理中起着关键的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结。
一、函数的概念与性质：1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和因变量之间的一种变化规律，它将每一个自变量值映射到唯一的因变量值。
在函数中，自变量通常表示为x，因变量表示为y或f(x)。
2. 函数的性质：函数有以下几个重要性质：a. 定义域：函数的自变量取值范围的集合。
b. 值域：函数的因变量的取值范围的集合。
c. 单调性：函数的增减关系。
可以分为增函数和减函数。
d. 奇偶性：函数关于y轴的对称性。
可以分为奇函数和偶函数。
e. 周期性：函数在一个周期内的性质重复出现。
3. 常见函数类型：a. 线性函数：y = kx + b，其中k和b是常数，描述了一条直线的方程。
b. 幂函数：y = ax^b，其中a和b是常数，x的指数为整数。
c. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，指数为变量。
d. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为常数。
e. 三角函数：如sin(x)、cos(x)和tan(x)等。
4. 函数的运算：a. 函数的加法和减法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的加法和减法得到新的函数。
b. 函数的乘法和除法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的乘法和除法得到新的函数。
二、方程的概念与性质：1. 方程的定义：方程是一个等式，其中包含未知数和已知的数之间的关系。
在方程中，通常需要求解未知数的值使等式成立。
2. 方程的解：方程的解是能够使方程成立的未知数的值。
根据方程不同类型的解，可以将其分为实数解、复数解和无解。
3. 一元方程：只含有一个未知数的方程称为一元方程。
求解一元方程的方法包括等式两边同时加减、乘除相同的数等。
4. 二元方程：含有两个未知数的方程称为二元方程。
求解二元方程的方法包括代入法、消元法和配方法等。
5. 线性方程组：由多个线性方程组成的方程组称为线性方程组。
函数的概念的认识
函数的概念函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系，帮助我们更好地理解现实世界中的许多问题。
本篇文档将介绍函数的概念，包括函数的定义、函数关系、函数性质以及函数应用等方面。
一、函数定义函数是一个数学表达式，它描述了两个或多个变量之间的关系。
在一个函数中，每个输入值（或自变量）都对应一个输出值（或因变量）。
函数定义通常包括以下要素：1. 定义域：输入值的范围。
2. 对应关系：输入值与输出值之间的对应关系。
3. 值域：输出值的范围。
例如，函数f(x) = x^2的定义域为全体实数，对应关系是将每个自变量x映射到x^2，值域也是全体实数。
二、函数关系函数关系是指变量之间的依赖关系。
函数关系可以表现为多种形式，如线性关系、二次关系、指数关系等等。
理解函数关系对于解决实际问题非常重要，因为它可以帮助我们描述和预测变量之间的关系。
例如，在物理学中，重力加速度与距离的关系可以用二次函数来表示。
在经济学中，价格与需求量之间的关系可以用线性函数来表示。
三、函数性质函数性质是指函数本身的特征和属性。
以下是几种常见的函数性质：1. 奇偶性：如果一个函数的定义域关于原点对称，并且f(-x)=f(x)，则该函数为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。
2. 单调性：如果一个函数在某区间内单调递增（或递减），则该函数在该区间内是单调的。
3. 周期性：如果存在一个正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数。
4. 连续性：如果在一个函数的定义域中，任意两点之间的差值都小于一个给定的正数，则该函数在该区间内是连续的。
四、函数应用函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在科学研究中，函数被用来描述物理、化学等自然现象的变化规律；在工程设计中，函数被用来描述性能指标与设计参数之间的关系；在金融领域中，函数被用来描述资产价格的变化规律等等。
此外，函数还在计算机科学、社会科学等领域有着广泛的应用。
函数的概念与常见函数类型
函数的概念与常见函数类型函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学领域中扮演着至关重要的角色。
简单来说，函数是一种将一个或多个输入值映射到唯一的输出值的规则或关系。
函数可以用来描述各种现实世界中的问题，从经济学到物理学，从计算机科学到生物学，都离不开函数的概念。
函数的定义包括三个要素：定义域、值域和对应关系。
定义域是指函数的输入值可以取的范围，而值域则是函数的输出值可能的取值范围。
对应关系则是指函数中每个输入值与输出值之间的对应关系。
函数可以用数学公式、图表或者文字描述来表示。
在数学中，常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。
下面将逐一介绍这些函数类型。
线性函数是最简单的函数类型之一。
它的定义可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在代数学中具有重要的意义，它可以用来描述直线的性质和变化趋势。
二次函数是一种常见的非线性函数。
它的定义可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。
二次函数在几何学和物理学中有广泛的应用，例如描述物体的抛射运动。
指数函数是一种以常数e为底的指数幂函数。
它的定义可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正常数。
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，它的特点是随着x的增大或减小，函数值呈指数级增长或衰减。
指数函数在经济学、生物学和物理学等领域中有广泛的应用。
对数函数是指数函数的反函数。
它的定义可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a是一个正常数。
对数函数的图像是一个递增的曲线，它的特点是随着x的增大，函数值增长得越来越慢。
对数函数在计算机科学和信息论中有重要的应用，例如在算法复杂度分析和数据压缩中。
除了以上介绍的函数类型，还有许多其他类型的函数，如三角函数、双曲函数、多项式函数等等。
九年级函数知识点归纳
九年级函数知识点归纳函数是数学中非常重要的概念，在九年级数学课程中也有着重要的地位。
为了帮助大家对九年级函数的知识点有更清晰的理解，下面将对函数的定义、函数的性质以及函数的图像等几个方面进行归纳总结。
1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中唯一的元素上。
函数通常用符号表示，如 y=f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量，f表示函数的规则。
2. 函数的性质(1) 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
(2) 单调性：函数可以是递增的（随着自变量的增加，因变量增加）、递减的（随着自变量的增加，因变量减小）或者常数函数（因变量保持不变）。
(3) 奇偶性：如果函数满足 f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果函数满足 f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
(4) 周期性：如果存在正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。
3. 函数的图像函数的图像是了解函数性质的一种重要方式。
(1) 直角坐标系中的图像：在直角坐标系中，自变量x位于横轴上，因变量y位于纵轴上，通过将各个自变量对应的因变量连接起来，可以得到函数的图像。
(2) 坐标轴上的特殊点：对于函数图像上的特殊点，如最大值、最小值、切线与坐标轴的交点等，可以通过求导数来判断。
(3) 函数的变化趋势：通过观察函数图像的上升下降、拐点等特点，可以判断函数的单调性、极值点等性质。
4. 常见函数类型(1) 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数，a为斜率，b为截距。
(2) 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不等于0，其图像为抛物线。
(3) 绝对值函数：y=|x|，该函数的图像为以原点为对称轴的V 字形。
(4) 幂函数：y=x^a，其中a为常数，具体形态根据a的值的正负和大小而定。
(5) 反比例函数：y=k/x，其中k为常数，该函数的图像为双曲线。
初中数学函数概念介绍
初中数学函数概念介绍数学函数在初中阶段是一个非常重要且基础的概念。
函数可以用来描述数值之间的关系，并在数学和实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍初中数学函数的定义、性质及其应用。
一、函数的定义函数是一种数学工具，用来描述两个数值集合之间的关系。
在数学中，通常用字母表示函数。
一个函数通常包含两个部分：定义域和值域。
定义域是所有可能作为输入的数值的集合，值域是所有可能作为输出的数值的集合。
函数的关系可以用一个方程、图表或者文字描述。
二、函数的性质1. 定义域：函数的定义域是指能够输入函数的数值的范围。
在定义函数时，需要考虑输入是否满足约束条件，比如分母不能为零等。
2. 值域：函数的值域是指函数所有可能的输出值。
值域也可以称为函数的取值范围。
3. 单调性：函数可以是递增的或递减的，也可以是常数函数。
当输入增大时，如果函数的值也增大，则函数是递增的；当输入增大时，如果函数的值减小，则函数是递减的；如果函数的值保持不变，则函数是常数函数。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数、偶函数或者其他函数。
奇函数以原点对称，满足f(-x)=-f(x)；偶函数以y轴对称，满足f(-x)=f(x)。
5. 零点：函数的零点是指函数的输出值为零的输入值。
在图表中，零点对应于函数与x轴的交点。
三、函数的应用函数在数学和实际生活中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1. 实际问题：函数可以用来模拟和解决实际问题。
比如，利润可以用收入和成本之间的关系来表示；身高和体重之间的关系可以用函数来描述。
2. 图表分析：函数可以用来绘制和分析图表。
通过绘制函数的图表，可以更直观地观察到函数的性质，比如最大值、最小值、变化趋势等。
3. 几何关系：函数可以用来描述几何图形之间的关系。
比如，直线可以由一元一次函数表示，圆可以由二元二次函数表示。
4. 统计分析：函数可以用来分析统计数据和概率。
比如，平均值、方差和概率分布可以用函数来描述。
总结：初中数学中，函数是一个基础且重要的概念。
函数的概念与应用
函数的概念与应用函数是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域中。
它不仅在数学中具有重要地位，而且在计算机科学、物理学、经济学等学科中也扮演着重要的角色。
本文将介绍函数的概念、基本性质以及其在不同领域中的应用。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个变量映射到另一个变量。
通常表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数可以用公式、图形、表格等形式来表示，它描述了不同自变量和因变量之间的关系。
函数具有以下几个重要性质：1.定义域与值域：函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合，而值域是所有可能的因变量的集合。
2.单值性：函数中的每个输入值只能对应唯一的输出值，即一个自变量只能有一个因变量。
3.可逆性：如果函数中的每个输出值只对应唯一的输入值，那么函数是可逆的。
4.相等性：两个函数在其定义域内的所有自变量对应的因变量相等时，这两个函数相等。
二、函数的应用1.数学分析中的函数：在数学分析中，函数是研究的基本对象之一。
通过对函数的性质和行为进行研究，可以解决诸如极限、连续性、导数和积分等数学问题。
函数的概念和理论为数学建模和解决实际问题提供了强有力的工具。
2.计算机科学中的函数：在计算机科学中，函数是编程中的重要概念。
编程语言中的函数可以接收输入参数并返回输出结果，可以用来组织和管理程序的结构。
函数的调用和使用可以提高代码的重用性和可读性。
3.物理学中的函数：在物理学中，函数广泛应用于描述物理现象和定律。
例如，位移-时间函数可以用来描述物体的运动轨迹，力-位移函数可以用来描述弹簧的压缩性能。
通过使用函数，可以对物理现象进行建模和分析。
4.经济学中的函数：在经济学中，函数被广泛用于描述经济关系和规律。
例如，需求函数描述了商品的需求量与价格的关系，成本函数描述了生产成本与产量的关系。
经济学家可以通过分析这些函数来预测市场行为和决策。
总结：函数是数学中的重要概念，具有定义域、值域、单值性和可逆性等基本性质。
初中所有函数知识点归纳
初中所有函数知识点归纳函数是数学中的一种基本概念，也是初中数学中非常重要的内容。
在初中阶段，学生主要学习了一次函数、二次函数和分段函数等几种常见类型的函数，下面对这些内容进行归纳。
一、一次函数：1. 函数的定义：一次函数是指函数表达式为 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
2.函数图像：一次函数的图像是一条直线，通过其中两个点就能确定这条直线。
3.函数性质：一次函数是一个线性函数，特点是斜率恒定，即直线的倾斜度保持一致。
4.斜率：斜率是一次函数的重要特征，用来描述函数图像的倾斜程度。
二、二次函数：1. 函数的定义：二次函数是指函数表达式为 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。
2.函数图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.函数性质：二次函数的最高次项是二次的，代表抛物线的弯曲程度。
4.零点和顶点：二次函数的零点即方程的根，顶点是抛物线的顶点，二次函数的顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
三、分段函数：1.函数的定义：分段函数是指在不同的区间采用不同的函数表达式来定义的函数。
2.函数图像：分段函数的图像是由不同的线段或抛物线拼接而成。
3.区间和定义域：分段函数的定义域是所有给定函数的定义域的并集，区间是定义域的数据范围。
四、函数的运算：1.函数的加减法：两个函数的加减法运算规则是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f+g)(x)=f(x)±g(x)。
2.函数的乘法：两个函数的乘法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f*g)(x)=f(x)*g(x)。
3.函数的除法：两个函数的除法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f/g)(x)=f(x)/g(x)。
五、函数的应用：1.函数的问题解决：函数在数学中有很多实际应用，如利用函数关系解决实际问题，通过函数图像分析问题等。
高中所有函数类型总结归纳
高中所有函数类型总结归纳在高中数学学习中，函数是一个非常重要的概念。
函数可以描述两个变量之间的关系，并且在各种数学问题中起着至关重要的作用。
在高中数学中，我们学习了许多不同类型的函数，每种函数都具有特定的性质和特点。
本文将对高中所有函数类型进行总结和归纳，以帮助学生更好地理解和应用这些函数。
一、线性函数线性函数是最为简单和直观的一类函数。
它的函数关系可以用一条直线来表示。
一般形如：y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的特点是斜率恒定，即直线的斜率在整个定义域上保持不变。
线性函数可以表示两个变量之间的线性关系，如速度和时间的关系等。
二、二次函数二次函数是高中数学中较为复杂的一类函数。
它的函数关系可以用一个抛物线来表示。
一般形如：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的特点是抛物线的开口朝上或朝下，其顶点坐标可以通过平移、伸缩以及翻折等变换来得到。
三、指数函数指数函数是以底数为常数、指数为变量的函数。
一般形如：y = a^x，其中a大于0且不等于1。
指数函数的特点是底数为常数，指数为变量，指数变量可以是实数。
指数函数的图像可以是递增或递减曲线，取决于底数的大小和指数的正负。
四、对数函数对数函数是指以对数为变量的函数。
一般形如：y = logₐx，其中a 是底数，x是正实数。
对数函数的特点是底数为常数，对数变量可以是正实数。
对数函数和指数函数是互逆的，即对数函数可以将指数函数的运算逆转。
五、三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的图像可以是周期性波动的曲线，对应于角度或弧度的变化。
三角函数在几何、物理等领域中有广泛的应用，如描述周期性运动等。
六、反三角函数反三角函数是将三角函数的运算逆转的函数。
常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反三角函数的定义域和值域与对应的三角函数相反。
数学中的函数分析
数学中的函数分析函数分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的性质和行为。
函数分析在数学和其他学科中都有广泛的应用，涉及到泛函分析、调和分析、傅里叶分析等领域。
下面将从函数的定义、性质和应用三个方面来进行介绍函数分析。
一、函数的定义在数学中，函数是一种关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数的定义包括定义域、值域和关系。
具体来说，一个函数f是一个二元关系，它将集合X中的元素映射到集合Y中的元素。
函数的定义域是X，值域是函数f(X)中的元素。
函数可以用不同的表示方法来描述，比如显式表示、隐式表示和参数表示等。
显式表示是最常见的，通过一个公式或一个算法来明确给出函数的计算方法。
隐式表示则是通过一组方程或不等式来描述函数的关系。
参数表示是通过一个参数来确定函数的形式。
函数的性质是函数分析的重要研究内容，包括连续性、可微性、可积性等。
连续函数是指函数在定义域上的每一点都有极限，并且其极限与函数在该点的函数值相等。
可微函数是指函数在定义域上每一点都有导数。
可积函数则是指函数在定义域上的积分存在。
二、函数的性质函数的性质是研究函数分析的核心内容，它涉及到函数的连续性、可导性、可积性等方面。
下面将介绍几个常见的函数性质。
1. 连续性连续性是函数分析中的一个重要概念，它用来描述函数在某一点的极限与函数在该点的函数值之间的关系。
如果函数在某一点的左极限等于右极限，并且与函数在该点的函数值相等，则函数在该点是连续的。
连续函数是指在定义域上的每一点都是连续的函数。
2. 可导性可导性是函数分析中的另一个重要概念，它用来描述函数在某一点的导数存在与函数在该点的函数值之间的关系。
如果函数在某一点的导数存在，并且与函数在该点的函数值相等，则函数在该点是可导的。
可导函数是指在定义域上的每一点都是可导的函数。
3. 可积性可积性是函数分析中的另一个重要概念，它用来描述函数在某一区间上的积分存在与该区间上的函数值之间的关系。
免费初高中函数知识点总结
免费初高中函数知识点总结一、函数的定义和基本性质1. 函数的定义函数是一种特殊的对应关系，即对于每一个自变量的取值，对应且仅对应一个因变量的取值。
符号表示为：y = f(x)，其中y称为因变量，x称为自变量，f(x)为函数符号。
函数通常用一种对图表或几何图形的表示方法来表达。
2. 函数的基本性质（1）定义域：函数中自变量的取值范围。
（2）值域：函数中因变量的取值范围。
（3）奇偶性：若函数满足f(x) = f(-x)，称为偶函数；若函数满足f(x) = -f(-x)，称为奇函数；若既不是偶函数也不是奇函数，称为非奇非偶函数。
（4）单调性：函数在定义域内的值随自变量的增大而增大(或减小)的性质。
（5）周期性：若存在正数T，使得对于函数f(x)，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
二、常见函数类型及图像特征1. 一次函数形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
特征：图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
2. 二次函数形式为y = ax² + bx + c，其中a≠0。
特征：图像为开口朝上或者开口朝下的抛物线，抛物线的开口方向取决于a的正负值，抛物线在y轴上的交点为c。
3. 幂函数形式为y = x^n，其中n为常数。
特征：n为偶数时，函数图像在第一和第四象限均为非负值，n为奇数时，函数图像在整个坐标系都有定义。
4. 指数函数形式为y = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1。
特征：函数图像在经过点(0,1)，当a>1时函数图像递增，当0<a<1时函数图像递减。
5. 对数函数形式为y = logₐx，其中a为常数且a>0，a≠1。
特征：函数图像在x轴的正半轴上有定义，对数函数的导数在x>0时为正值。
6. 三角函数包括正弦函数y = sinx，余弦函数y = cosx，正切函数y = tanx等。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于不同领域的数学和科学研究中。
在本文中，我们将探讨函数的基本概念以及其相关的性质。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它建立起自变量和因变量之间的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
具体而言，一个函数将每一个自变量值映射到唯一的因变量值上。
函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
通过定义域和值域，我们可以确定函数的范围和可行域。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性用来描述函数在定义域内的变化趋势。
如果函数随着自变量的增加而增加，则称其为递增函数；如果函数随着自变量的增加而减小，则称其为递减函数。
如果函数在定义域内递增和递减交替出现，则称其为摆动函数。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于任意的x 值，f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x值，f(-x) =f(x)，则称函数为偶函数。
奇函数通常关于原点对称，偶函数通常关于y轴对称。
3. 周期性：周期函数是指在一定范围内满足f(x + T) = f(x)，其中T为最小正周期。
常见的周期函数包括正弦函数和余弦函数，它们在数学建模和信号处理等领域有着广泛的应用。
4. 极值：函数的极值包括最大值和最小值，它们表示函数在特定区间内取得的最大和最小的因变量值。
通过导数可以求得函数的极值点，这对于优化问题的求解非常有用。
5. 零点：函数的零点是指满足f(x) = 0的自变量值。
通过求解方程f(x) = 0，可以确定函数的零点。
零点在许多应用领域中具有重要的意义，比如方程的根、函数的交点等。
三、函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
函数的图像有助于我们分析函数的特征，比如在哪些区间内函数递增或递减，是否具有对称性等。
初三数学教材函数的定义与性质
初三数学教材函数的定义与性质初三数学教材中，函数的定义与性质是一个重要的学习内容。
函数作为数学中的一个重要概念，既具有确定性，又有灵活性，可以描述不同事物之间的关系以及规律。
本文将从函数的定义、函数的性质以及函数的应用方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个数集之间的某种对应关系。
具体而言，设有两个数集A和B，如果对于A中的每个元素x，都存在唯一的B中的元素y与之对应，那么我们就称这种对应为函数，记作y=f(x)。
其中，x称为自变量，y称为因变量，函数用f来表示。
二、函数的性质1. 定义域和值域：对于函数f(x)，其定义域是x的取值范围，值域是f(x)的取值范围。
在实际问题中，需要根据题目给出的条件确定函数的定义域和值域。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数图像某一部分上升或下降的趋势。
如果函数在定义域内任意两个不同的点x1和x2，都满足f(x1)≤f(x2)，那么函数是递增的；如果函数在定义域内任意两个不同的点x1和x2，都满足f(x1)≥f(x2)，那么函数是递减的。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。
如果对于函数f(x)，对于定义域内任意一个点x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数是奇函数；如果对于函数f(x)，对于定义域内任意一个点x，都有f(-x)=f(x)，那么函数是偶函数。
4. 幂函数与指数函数：幂函数和指数函数是常见的函数类型。
幂函数为f(x)=ax^n，其中a和n为常数且a≠0；指数函数为f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
5. 复合函数：当一个函数的自变量是另一个函数时，称这个函数为复合函数。
对于函数f(x)和g(x)，复合函数表示为f(g(x))。
复合函数的性质可以根据具体题目进行分析和推导。
三、函数的应用函数作为数学中的基本工具，在生活、自然和科学中都有广泛的应用。
最全函数知识点总结高中
最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。
在数学上，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示就是：对于两个集合A和B，如果存在一个规则f，它使得对于A中的每个元素x，都有一个唯一的y属于B与之对应，那么我们说f是从A到B的一个函数，记作f:A→B。
其中A称为定义域，B称为值域。
1.2 函数的概念在我们的日常生活中，我们可以看到很多函数的例子。
比如，将一个数字加上3，或者乘以2，这就是两个函数的例子。
我们可以看到，函数本质上就是一种输入与输出的关系。
1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示，其定义为：y=f(x)，表示x是自变量，y是因变量。
1.4 函数的自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，它在定义域中取值；而因变量是输出的值，它在值域中取值。
1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示，它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。
1.6 函数的性质函数有很多的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等等。
1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。
初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。
1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B，对于B中的每一个y，存在一个唯一的x属于A与之对应，那么我们称这个函数有逆函数，记作f^(-1)。
1.9 复合函数如果有两个函数f和g，使得f的值域是g的定义域，那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，这就是复合函数。
1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律，比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。
对于这些性质和变化，我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。
1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算，还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。
二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。
数学函数的基本概念
数学函数的基本概念数学函数是数学中非常重要的概念，在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数学函数的基本概念，包括函数的定义、性质以及常见类型的函数。
1. 函数的定义函数是数学中一个非常重要的概念，广义地说，函数是一个关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。
狭义地说，函数是一种特殊的关系，它满足每个自变量（输入）对应唯一的因变量（输出），即每个输入值都对应一个唯一的输出值。
数学函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用各种方式表示，例如公式、图表或者文字描述。
函数的定义域是所有自变量可能的取值范围，值域是所有因变量可能的取值范围。
2. 函数的性质函数具有一些重要的性质，包括奇偶性、单调性和周期性等。
2.1 奇偶性一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任何实数x，f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
反之，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任何实数x，f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于y轴对称。
2.2 单调性一个函数被称为单调增加的，当且仅当对于任何实数x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
反之，一个函数被称为单调减少的，当且仅当对于任何实数x1和x2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。
2.3 周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，使得对于所有实数x，f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定范围内重复。
3. 常见类型的函数数学函数有许多不同的类型，每种类型的函数都有其独特的特点和应用。
3.1 线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
3.2 平方函数平方函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
平方函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
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∴
k +1 <0 ,
函数概念和几种常见函数的性质及应用
� 池海中 �
“函 数 及其 图 象” 内容 是 中学 数 学 的重 要 内容 之 一 , 它在 生产 实践中 应用最 为广 泛 , 也是数 学 “数 形结 合” 思想的重要体现 . 因而 学习本内 容的关 键是掌 握利 用几何图形研 究代 数问 题的 方法 . 为 了帮 助大 家对 本 内容的学习 , 下面 就此 内容 作系 统归 纳并 精选 出一 些 例题 , 供大家参考. 一、 函数概念 函数 :设 在某 变化 过程中 有两个 变量 x , y , 如 果对 于 x 在 某一 范围 内的 每一 个确 定的 值 , y 都有唯一确定 的值与它对应 , 那么就说 y 是 x 的函数 , x 叫自变量 . 根据函数的 含义 , 需 使自 变量 的每 一 个值 都有 确 定的函数值 , 因此 根据 函数 的解 析式 求自 变量 取值 范 围的原则是 : 自变量的取值必 须保证该 式有意 义. 具体 要求如下表所示 : 函数解析式
5 的 图象上 , 求 x
x+4 (2 ) y = ; x- 3 ( 3 ) y = ( | x| - 1) 0 ; (4) y = x +2
3 2
2x- 1
.
这个矩形的面积 . 分析 : 如图所示 , 根据题意 , 矩形的第四个顶点在 y
= 5 上. 设这个点的横坐标是 a , 则这个 点的纵坐 标是 x 5 5 , 从而得出这个矩形的边长分 别为 | a | 和 | | . 这样 a a
( 1 ) 整式 ( 2 ) 分式 ( 3 ) 偶次根式 ( 4 ) 奇次根式
时 , 则必 须逐 一求 得 x 的取值范围 , 再取 其公共部 分才 是所求 .
( 2 ) 求具有实际意 义的函 数自变 量的取值 范围时 ,
既要使解析式有意义 , 还要使问题有实际意义. 二、 求函数解析式 求函数的解 析式 , 实 际上 就是 求该 函 数解 析 式中 待定常数的值 . 求 正比 例函 数 y = kx 或反比例函 数 y =
即可求出这个矩形的面积 . 解 :设这 个矩 形的第 四个 顶 点的横坐标 为 a , 则纵坐 标为
5 . a
∴ 这个 矩形 的边长 分别 为
笔 , 求买铅笔支数 x 与余数 y ( 元) 之间的函数关 系式及
16
数学学习 2002 年第六期
自变量 x 取值范围的求法
x 可取任意实数
线顶点的坐标 . (3) 两根 式 : y = a ( x - x1 ) ( x - x2) , 其 中 x1 , x2 为 抛物线与 x 轴的两个交 点的 横坐标 , 也 是相 应方程 a 2 + bx + c = 0 的两个实数根 . 以上 不论哪种形 式 , 都 涉及到三个 常数需要确 定 , 故求二次函数的解析式 , 需已 知三个条 件. 至于设 二次 函数的解析式为何种形式 , 要 视已知条 件来定 : 若 已知 图象经过 一般 的 三 个点 , 可用 一 般 式 ; 若 已 知 顶点 坐 标 ,则应用顶点 式 ; 若已 知图 象与 x 轴交 点 , 则使 用两 根式较为简单 . 三、 几种常见函数的性质 几种常 见函数 , 是四类简 单的初等函 数 , 其 性质主 要指函数变量变化的规律 . 1、 一次函数的性质 : 当 k > 0 时 , y 随 x 的 增大而增
- a = 2 k, - 3 = ak.
是( -
b 4 ac - b2) , . 2a 4a ( 4 ) 增减性 : 当 a > 0 时 , 若 x < b , y 随 x 的增大 2a
b , y 随 x 的增大而增大 ; 当 a < 0 时 , 2a b b 若 x< , y 随 x 的 增大而 增大 ; 若 x > , y 随x 2a 2a 的增大而减少 .
解 : 设 P 点的坐标为 ( a , b) . ∵ 点 P 在一次函数 y = 2 x + 1 的图象上 , ∴ b = 2 a + 1. 又 ∵ a , b 是关于 x 的二次方程 x2 - ( m - 3) x + m = 0 的两个根 , ∴ 即
a + b = m - 3, ab = m. a + (2 a + 1) = m - 3 , a ( 2 a + 1) = m. a = 2, a = - 1,
k 的 解析 式 , 只须确定 k 的值 , 而求一 次函数 y = kx + x b 的解析式 , 需确定 k , b 两个值 .
求二次函数的解析式 , 需确定 a , b , c 三个值 . 二次 函数的解析式的求法常见的有如下三种 :
( 1 ) 一般式 : y = ax2 + bx + c. (2) 顶点 式 : y = a ( x - h) 2 + k , 其 中 ( h , k) 为 抛物
| a| 和| 5 5 | , S 矩形 = | a | = 5. a a 注 :事实上 , 无论 P 点 在曲 线的任 何位 置 , 该矩 形 x
∴ m = - 1 , 或 m = 2. 将 m = - 1 代入方程得 x2 + 4 x = 0 , 此方程 两根为
x1 = - 4 , x2 = 0 , 不合题意 ,
3、 二次函数的性质 : (1) 开口方 向 : 当 a > 0 时 , 抛 物线的 开口 向上 , 并
自变量的取值范围 . 分析 :本题 的自 变量 的取 值范 围既 要 考虑 函 数解 析式有意义 , 又要使问题有实际意义. 解 : 由题意知 : y = 20 - 0. 5 x. ∵
x≥ 0 , x 为整数 , 20 - 0. 5 x ≥ 0.
的面积是个定值 . 也 就是 说矩 形的 面积 只与 y = k 中 的 k 有关 ; 另外 ,反 过来 , 如知道 矩形的 面积 , 是否 也可 以求出反比例函数的解析式 ? 大家可试试看 ! 例6 已知点 P 在一 次函数 y = 2 x + 1 的 图象 上 , 点 P 的横坐标和纵坐标是关于 x 的 一元二次方程 x2 ( m - 3) x + m = 0 的两个根 , 求 m 的值 .
∴ x 是整数 ,且 0 ≤x ≤ 40.
且向上无限伸展 ; 当 a < 0 时 , 抛物线 的开口 向下 , 并向 下无限伸展 .
b . 2a 2 (3) 顶点坐标 : 抛物线 y = ax + bx + c 的顶 点坐标 (2) 对称性 : 对称轴是直线 x = -
例3 已 知一 个函 数的 图象 是一条直 线 , 该直线经 过 ( 0, 0) , ( 2, - a ) , ( a , - 3) 三个点 , 且函 数值随 自变量 x 的值的增大而减少 ,求此函数的解析式 . 分析 : ∵ 函数的图象是一条直线 , ∴ 该函数是一次函数 , 又由 直线 经过 (0 , 0) , 可判 断函数是正比例函数 . 由直 线经 过 ( 2 , - a ) , ( a , - 3 ) 两 点可求其解 . 解 : ∵ 直线过 ( 0, 0) , ∴ 设函数的解析式为 y = kx. 又函数图象过 ( 2 , - a ) , ( a , - 3) , ∴
∴ m = - 1 舍去. 将 m = 2 代入方程得 x2 - 2 x - 3 = 0 ,此方程两根为 x1 = - 1 , x2 = 3 , 即 A( - 1, 0) , B (3 , 0) . 设 C (0 , y) . ∵ △ABC 为直角三角形 , 得 △ACO∽ △CBO , ∴ y2 = | x1| | x2| = 3 , y = ± 3. 取 y = 3 , 即 c = 3 , 再利用根与系数关系 : x1 + x2 = 3 b c = 2 , x1 x2 = = - 3, a a 3
而减少 ; 若 x > -
b 时 , 若 a > 0 , 则 y 有 最 小值 2a 2 4 ac - b 4 ac - b2 ; 若 a < 0 ,则 y 有最大值 . 4a 4a ( 5 ) 最值 : 当 x = 4 、反比例函数的性质 : ( 1 ) 当 k > 0 时 , 函数 图象的 两个分支 分别位 于第
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令分母 ≠ 0 ,求 x 的取值 令被开方式 ≥ 0 , 求 x 即可
x 可取任意实数 x 可 取任 意实 数
①正整数 次 幂 (5) 幂的形式 ② 零次幂 ③负整数 指 数幂
令底数 ≠ 0 ,求 x 即可 先化 为 正 整 数 指 数 幂 , 令分母 ≠ 0
注意的两个问题 ( 1 ) 当函 数式 同时 出现 以上 几种 形式 中的 若干 种
( 2 ) 两个分支都无限接近但 永远不能 达到 x 轴和 y 轴.
例4 关于 x 的二次函数的图象 的顶点坐标 为 ( 1 ,
- 1) , 而且图 象过 点 (0 , - 3) , 求这 个 二次 函数 的 解析
式. 分析 :题意 已知 二次 函数 的顶 点和 图 象经 过 的一 个点 , 因此用顶点式求解. 解 : 设二 次函 数为 y = a ( x - 1) 2 - 1 , 把 x = 0 , y =
数学学习 2002 年第六期
大 ; 当 k < 0 时 , y 随 x 的增大而减少 . 2、 正比例 函数 的性 质 : 当 k > 0 时 , 它 的图 象 在第 一、 三象限内 , y 随 x 的增大而增大 ; 当 k < 0 时 , 它的图 象在第二 、 四象限内 , y 随 x 的增大而减少 .
- 3 代入 求 a , ∴ a = - 2 ,
四、 应用举例 例1 求 下列 函数 中自 变量 x 的取值范围 :
(1) y = x ; 2x- 1
即 y = - 2( x - 1) 2 - 1 = - 2 x2 + 4 x - 3. 例5 一个矩形的三个顶点分别在原点 、 x 轴、 y轴 上 , 第四 个顶 点在 一个 反比 例函数 y =