研究生数值分析(23-24-25)Newton-Cotes求积公式
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newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
数值分析 -牛顿-科特斯公式
f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理 设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用 复合公式 ✓ 用 非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然 后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
研究生数值分析(23,24,25)
§4 复化求积公式
为了提高计算结果的精度，常常采用
复合求积的方法。
复合求积，就是先将积分区间[a,b] 分成几个小区间 [ xk 1 , xk ] (k 1,2, , n; x0 a, xn b)
然后在每个小区间上计算积分
xk
xk 1
f ( x)dx
的近似值并取它们的和作为整个区间[a， b]上的积分
(k 0,1, 2,3, 4)
这个公式称为科茨（Cotes）公式。 下面，我们给出梯形公式，辛普森公 式和科茨公式的截断误差（余项）和它们 的代数精度的几个结论。
定理3 若 f '' ( x) 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤ 的余项为
(b a)3 R1 f (1 ), 12
和复合科茨公式
b
a
n 1 n 1 n 1 h f ( x)dx [7 f (a) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) 32 f ( x 3 ) k k k 90 k 0 k 0 k 0 4 2 4
14 f ( xk ) 7 f (b)] Cn
C0
1 2 1 6 1 8 7 90
(n)
C
( n) 1
C2( n)
1 6
3 8
C3( n ) C4( n ) C5( n ) C6( n )
1 2
4 6 3 8 16 45 25 96 9 35
2
3 4 5
19 288
41 840
2 15
25 144
1 8 16 45
25 144
6
9 280
34 105
4 ( a, b)
可以看出，科茨公式具有五次代数精度。
牛顿-柯特斯公式
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
newton-cotes计算积分近似值
newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。
具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。
此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。
数值分析英文版课件1
则有
B
Qn (
f
) Qn (
f
)
max 0kn
f ( xk )
f ( xk )
( x )dx
a
21
8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收 敛性（3）
关于Gauss 求积公式
b
(
a
x
)
f
(
x
)dx
n
k 0
Ak( n
)
f
(
xk( n
)
)
的收敛性有如下定理，上式中特别标出了求积系 数与节点和 n 有关。
2
8.5 Gauss 型求积公式（3）
对于给定的节点数目 n+1，适当调整其位置，是 否会提高求积公式的代数精度？
例8.5.1 对于求积公式
1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
1
试确定其节点 x0, x1 及求积系数 A0, A1，使其代 数精度尽可能高
22
8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收 敛性（4）
定理8.5.5
设 f C [a, b]
令 Qn ( f ) n Ak( n ) f ( xk( n ) ) k 0
则有
b
lim
n
Qn
(
f
)
( x ) f ( x )dx
a
23
今日课题
第八章 数值积分与数值微分
8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5Gauss型求积公式
那么相应的正交多项式为 Legendre多项式 Pn(x)
P0 ( x ) 1
Pn (
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
数值分析
ba 右端 [ f (a ) f (b )] b a 2
b b b
当f(x)=x时，左端 a f ( x )dx a
2 2 ba b a [ f (a ) f (b )] 右端 2 2
b
b2 a 2 xdx 2
3 3 b a x 2dx 3
b
a
f ( x )dx Ln ( x )dx [ f ( xk )lk ( x )]dx
b b a a
f ( xk ) lk ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0 a k 0
n
k 0
n
Ak lk ( x )dx
abBiblioteka 2 梯形求积公式先看n=1的情况
这里
ba 4(b a ) 2 A0 A2 , A1 (b a ) 6 6 3
Simpson求积公式的几何意义 以抛物线为顶的曲边梯形面积来近似曲线f(x) 为顶的曲边梯形面积.
Simpson公式几何意义
定理 若函数f(x)在[a,b]上有连续的四阶导数, 则Simpson公式的截断误差为
或者写成
其中
ba A0 A1 2
b
a
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
梯形求积公式的几何意义
用梯形面积来近似曲边梯形面积.
梯形公式几何意义
梯形求积公式的误差
R1[ f ]
b a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b )] 2
定理 若函数f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,
则梯形公式的截断误差为 ( b a )3 R1[ f ] f ( ), (a b) 12 中矩形求积公式 还可以利用函数f(x)在[a,b]中点的值来近似：
b b b
当f(x)=x时，左端 a f ( x )dx a
2 2 ba b a [ f (a ) f (b )] 右端 2 2
b
b2 a 2 xdx 2
3 3 b a x 2dx 3
b
a
f ( x )dx Ln ( x )dx [ f ( xk )lk ( x )]dx
b b a a
f ( xk ) lk ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0 a k 0
n
k 0
n
Ak lk ( x )dx
abBiblioteka 2 梯形求积公式先看n=1的情况
这里
ba 4(b a ) 2 A0 A2 , A1 (b a ) 6 6 3
Simpson求积公式的几何意义 以抛物线为顶的曲边梯形面积来近似曲线f(x) 为顶的曲边梯形面积.
Simpson公式几何意义
定理 若函数f(x)在[a,b]上有连续的四阶导数, 则Simpson公式的截断误差为
或者写成
其中
ba A0 A1 2
b
a
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
梯形求积公式的几何意义
用梯形面积来近似曲边梯形面积.
梯形公式几何意义
梯形求积公式的误差
R1[ f ]
b a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b )] 2
定理 若函数f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,
则梯形公式的截断误差为 ( b a )3 R1[ f ] f ( ), (a b) 12 中矩形求积公式 还可以利用函数f(x)在[a,b]中点的值来近似：
Newton-Cotes公式PPT课件
Ai
xn x0 ji
(xxj
) d
x
(xi xj)
令 xath
n
(tj)h h d t(b a ) (1 )n i n
(tj)dt
0i j(ij)h
n i!(n i)!0i j
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k, 可查表得到. 与 f (x) 及区间[a,b]均无关。 .
Cotes系数
.
25
注意: Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间 [a,b]无关,且满足:
n
C
(n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
f ( ) (n1)
b
R(f) a
(n1)!wn1(x)dx
(n h n 1 2)!0 nf(n 1 )() jn 0(tj) dt与, x 有(a 关,b )
C
(n ) k
24
记
C(n) j
j!((n 1 )nj)j n ! 0nk0n ,k(jtk)d
t
则 A j (ba )C ( jn ), j0 ,1 ,2 , ,n
求积公式变为
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
变为
b a
n
f(x)dx(ba)
C(n) j
f(xj)
j0
称为n阶闭型Newton-Cotes求积公式.
当 f ( x ) x 2时
b f ( x ) dx
b x 2 dx 1 (b 3 a 3 )
a
a
3
S [ f ] b a ( f ( a ) 4 f ( b a ) f (b ))
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式
教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。
据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。
这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。
以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。
但对很多实际问题，上述公式却无能为力。
这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。
2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。
因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。
§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。
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b a
f
( x)dx
h[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
(xk )
f
(b)]
Sn
和复合科茨公式
b a
f
(x)dx
h [7 90
f
(a)
n1
32
k 0
f
n1
(
x
k
1 4
)
12
k
0
f
n1
(
x
k
1 2
)
32
3.50674932
1/2
3.20000000
5/8
2.87640449
3/4
2.56000000
7/8
2.26548673
1
2.00000000
解：这个问题有明显的答案
1
I 4 arctan x 3.141592652
0
现在用复合求积公式进行计算。
将积分区间[0，1]划分为8等分，取 n=8 应用复合梯形公式
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
证 1、因 f ''(x) 在[a , b]上连续，
由Newton-Cotes求积公式的截断误差
Rn
hn2 (n 1)!
n 0
f
(n1) ( )[
n j0
(t
j)]dt
请推到此式
且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出
C0( n
)
,
C1(
n
)
,,
C (n) n
32
f
(x1)
12
f
( x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
其中
xk
ak
ba 4
(k 0,1, 2,3, 4)
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式
1 2
计算积分 1 e x dx 的近似值，并估计截断误差。
解：用梯形公式计算，得
2 1 e x dx
2
1 (e
1
e2
)
2.1835
1
2
1
f (x) e x ,
f
( x)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
得积分 xk f (x)dx 的近似值 xk 1
xk xk1
f
(x)dx
Ik
xk
xk1 [ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
h[ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
于是
(k 1, 2, , n)
b
n
f (x)dx
a k 1
xk xk 1
f
(x)dx
如图所示
y
y f (x) C
y L2 (x) B
A
0a
ab 2
bx
为了便于应用，我们把部分科茨系数
列在下表中。利用这张科茨系数表，可以
很快写出各种牛顿—科茨公式。
n
C C C C (n) 0
(n) 1
C (n)
(n)
2
3
C C (n)
4
(n) 5
(n) 6
11
1
2
2
21
4
1
6
6
6
31
3
n→∞时，In(f)不收敛于 I(f)。这说明，NewtonCotes求积公式并不是对 所有在[a，b]上可积的 函数都收敛。
n In(f) 2 5.4902 4 2.2776 6 3.3288 8 1.9411 10 3.5956
多节点的Newton-Cotes求积公式
的数值稳定性是没有保证的。
§4 复化求积公式 为了提高计算结果的精度，常常采用 复合求积的方法。 复合求积，就是先将积分区间[a,b] 分成几个小区间 [xk1, xk ] (k 1,2, ,n; x0 a, xn b) 然后在每个小区间上计算积分
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
1
e2
)
2.0263
1
2
f
(4) (x)
1 ( x8
12 x7
36 x6
24 x5
)e
1 x
max f (4) (x) f (4) (1) 198.43
1 x2
截断0
max
1 x 2
k
0
f
(
x
k
3
)
4
其中
n
14 f (xk ) 7 f (b)] Cn k 1
x
k
1
4
xk
1 4
h,
x
k
1
2
xk
1
2
h,
x
k
3 4
xk
3 h, h 4
ba n
下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森
公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。
定理5 若f '' (x) 在积分区间[a，b]上连续， 则复合梯形公式的余项为
n
Ik
k 1
h 2
n
[f
k 1
(xk1)
f
(xk )]
若将近似值记作 Tn ，并注意到 x0 a 和 xn b
则由上式可得复合求积公式
b a
f
( x)dx
Tn
h[ 2
f
n 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
该公式称为复合梯形公式。
用类似方法可以导出复合辛普森公式
R1
(b
a)3 2!
1
f ( )t(t 1)dt
0
其中 (a th) (a,b) 。
设 (a th) 在 0 t 1 上连续。 由于 f ( (a th)) 在 0 t 1 上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号， 故根据积分中值定理，必存在 ~t [0,1] 使得下式成立
b a
f
(x)dx Tn
ba 12
h2
f
(1),
1 [a,b]
若 f (4)(x) 在积分区间[a，b]上连续，
则复合辛普森公式的余项为
b a
f
(x)dx
Sn
ba 180
(h)4 2
f
(4) (2 ),
2 [a,b]
若 f (6)(x) 在积分区间[a，b]上连续， 则复合科茨公式的余项为
例如，当 n=1时，有
C (1) 0
1
(t 1)dt
0
1 2
,
C (1) 1
1
tdt
1
0
2
相应的牛顿—科茨公式为
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
⑤
这就是前面提到的梯形公式。
当 n=2时，有
C (2) 0
2
t(t
1)dt
1
0
6
C (2) 1
科茨公式
b a
f
(x)dx
ba 90
[7
f
(x0 )
32
f
(x1)
12
f
( x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
截断误差为
R4
8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
可以看出，科茨公式具有五次代数精度。
定理4 梯形公式⑤的代数精度为1； 辛普森公式⑥的代数精度为3； 科茨公式⑦的代数精度为5。
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]