研究生数值分析(23-24-25)Newton-Cotes求积公式

§3 Newton-Cotes求积公式 将积分区间的等分点作为求积节点， 构造出来的求积公式称为牛顿-科茨 （Newton-Cotes）公式。 1、牛顿-科茨公式 将积分区间[a，b]等分，取分点
xk a kh (h (b a) / n;k 0,1, ,n)
作为求积节点，并作变量替换
的余项为
(b a)3 R1 12
f (1),
1 (a,b)
若 f (4)(x) 在[a,b]上连续，则辛普森公式⑥
的余项为
R2


1 90
(b
2
a )5
f
(4) (2 ),
2 (a,b)
若 f (6) (x) 在[a,b]上连续，则科茨公式⑦
的余项为
R4


8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
证 1、因 f ''(x) 在[a , b]上连续，
由Newton-Cotes求积公式的截断误差
Rn

hn2 (n 1)!
n 0
f
(n1) ( )[
n j0
(t
j)]dt
请推到此式
且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差
b a
f
(x)dx Cn


2(b a) 945
( h)6 4
f
(6) (4 )
4 [a,b]
证明略
例2
对于
f
( x)

4 1 x2
利用数据表计算积分
I
1 0
1
4 x2
dx
xk
f (xk )
0
4.00000000
1/8
3.93846154
1/4
3.76470588
3/8

n
Ik
k 1

h 2
n
[f
k 1
(xk1)
f
(xk )]
若将近似值记作 Tn ，并注意到 x0 a 和 xn b
则由上式可得复合求积公式
b a
f
( x)dx
Tn

h[ 2
f
n 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
该公式称为复合梯形公式。
用类似方法可以导出复合辛普森公式
f (),
(a,b)
可以看出，梯形公式具有一次代数精度。
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
截断误差为
R2


1 90
(b
2
a )5
f
(4) (2 ),
2 (a,b)
可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。
b a
f
( x)dx

h[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k

1 2
)

2
k
1
f
(xk )
f
(b)]
Sn
和复合科茨公式
b a
f
(x)dx

h [7 90
f
(a)
n1
32
k 0
f
n1
(
x
k

1 4
)

12
k
0
f
n1
(
x
k

1 2
)

32
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出
C0( n
)
,
C1(
n
)
,,
C (n) n
b a
f
(x)dx Tn

ba 12
h2
f
(1),
1 [a,b]
若 f (4)(x) 在积分区间[a，b]上连续，
则复合辛普森公式的余项为
b a
f
(x)dx
Sn


ba 180
(h)4 2
f
(4) (2 ),
2 [a,b]
若 f (6)(x) 在积分区间[a，b]上连续， 则复合科茨公式的余项为
3
1
8
8
8
8
47
16
2 16
7
90 45 15 45
5 19
25
25
25
288 96 144 144
6 41
9
9
34
90
25 19
96 288
9
9
41
840 35 280 105 280 35 840
例如，当 n=4时，有
b a
f
(x)dx

b a [7 90
f
(x0 )
32
f
(x1)
12
k
0
f
(
x
k

3
)
4
其中
n
14 f (xk ) 7 f (b)] Cn k 1
x
k

1
4

xk

1 4
h,
x
k

1
2

xk

1
2
h,
x
k

3 4

xk

3 h, h 4

ba n
下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森
公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。
定理5 若f '' (x) 在积分区间[a，b]上连续， 则复合梯形公式的余项为
1
f ( )t(t 1)dt

f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
(b a)3 R1 12
xk f (x)dx xk 1
的近似值并取它们的和作为整个区间[a， b]上的积分
b
a f (x)dx
的近似值。用此方法得到的数值积分公 式，统称为复合求积公式。
比如，在小区间 [xk1, xk ]上应用梯形公式
其中 xk a kh
(k 0,1, , n)
h (b a) / n 称为步长
3.50674932
1/2
3.20000000
5/8
2.87640449
3/4
2.56000000
7/8
2.26548673
1
2.00000000
解：这个问题有明显的答案
1
I 4 arctan x 3.141592652
0
现在用复合求积公式进行计算。
将积分区间[0，1]划分为8等分，取 n=8 应用复合梯形公式
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5

1
e2
)

2.0263
1
2
f
(4) (x)

1 ( x8

12 x7

36 x6

24 x5
)e
1 x
max f (4) (x) f (4) (1) 198.43
1 x2
截断误差估计为
R2

(2 1)5 2880
max
1 x 2

32
f
(x1)
12
f
( x2 )

32
f
( x3 )

7
f
( x4 )]
其中
xk

ak
ba 4
(k 0,1, 2,3, 4)
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式
1 2
计算积分 1 e x dx 的近似值，并估计截断误差。
解：用梯形公式计算，得
2 1 e x dx

2
1 (e
lim
n
I
n
(
f
)

I
(
f
)
这是Newton-Cotes求积公式
b a
f
( x)dx

n
( n ) k
k 0
f
(a k
ba) n
的收敛问题。
先看一个例子，f
(x)

1 1 x2
, [a,b] [4,4]
此时有 I ( f ) 2 arctan4 2.6516
In(f)的一些计算结果如表 从表可以看出，当
n→∞时，In(f)不收敛于 I(f)。这说明，NewtonCotes求积公式并不是对 所有在[a，b]上可积的 函数都收敛。
n In(f) 2 5.4902 4 2.2776 6 3.3288 8 1.9411 10 3.5956
多节点的Newton-Cotes求积公式
的数值稳定性是没有保证的。
§4 复化求积公式 为了提高计算结果的精度，常常采用 复合求积的方法。 复合求积，就是先将积分区间[a,b] 分成几个小区间 [xk1, xk ] (k 1,2, ,n; x0 a, xn b) 然后在每个小区间上计算积分
b a
f
( x)dx
Tn

h[ f 2
n 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
为
Ak
h
n t(t 1)
0
(t k 1)(t k 1) k !(1)nk (n k )!
(t n) dt
若记
C (n) k

(1)nk n k !(n k)!
n
t(t 1)
0
(t k 1)(t k 1)
(t n)dt
③
则 Ak (b a)Ck (n) 于是得相应的插值型数值积分公式
如图所示
y
y f (x) C
y L2 (x) B
A
0a
ab 2
bx
为了便于应用，我们把部分科茨系数
列在下表中。利用这张科茨系数表，可以
很快写出各种牛顿—科茨公式。
n
C C C C (n) 0
(n) 1
C (n)
(n)
2
3
C C (n)
4
(n) 5
(n) 6
11
1
2
2
21
4
1
6
6
6
31
3
f (4) (x)
0.06890
§4 Newton-Cotes求积公式的 收敛性与数值稳定性
记
b
I ( f ) f (x)dx , a
In
(
f
)

n k 0
(n) k
f
(a

k
b
n
a
)
其中
(n) k
(k

0,1,,
n)
是Newton-Cotes求积系数
今考察是否对任何在[a,b]上可积的函数f (x)都有
科茨公式
b a
f
(x)dx

ba 90
[7
f
(x0 )

32
f
(x1)
12
f
( x2 )

32
f
( x3 )

7
f
( x4 )]
截断误差为
R4


8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
可以看出，科茨公式具有五次代数精度。
定理4 梯形公式⑤的代数精度为1； 辛普森公式⑥的代数精度为3； 科茨公式⑦的代数精度为5。
得积分 xk f (x)dx 的近似值 xk 1
xk xk1
f
(x)dx

Ik

xk
xk1 [ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
h[ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
于是
(k 1, 2, , n)
b
n
f (x)dx
a k 1
xk xk 1
f
(x)dx
R1

(b
a)3 2!
1
f ( )t(t 1)dt
0
其中 (a th) (a,b) 。
设 (a th) 在 0 t 1 上连续。 由于 f ( (a th)) 在 0 t 1 上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号， 故根据积分中值定理，必存在 ~t [0,1] 使得下式成立
例如，当 n=1时，有
C (1) 0

1
(t 1)dt
0

1 2
,
C (1) 1

1
tdt

1
0
2
相应的牛顿—科茨公式为
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
⑤
这就是前面提到的梯形公式。
当 n=2时，有
C (2) 0

2
t(t
1)dt

1
0
6
C (2) 1
f
( x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
⑦
其中
xk
ak
ba 4
(k 0,1, 2,3, 4)
这个公式称为科茨（Cotes）公式。
下面，我们给出梯形公式，辛普森公
式和科茨公式的截断误差（余项）和它们
的代数精度的几个结论。
定理3 若 f ''(x) 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤


1 2
2 t(t 2)dt 4
0
6
C (2) 2
1 4
2 (t 1)(t 2)dt 1
0
6
相应的牛顿-科茨公式为
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
⑥
这个公式称为辛普森（Simpson）公式。
辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的 抛物线 y L2(x) 代替y= f(x)所得曲边梯形的面积。

1
e2
)

2.1835
1
2
1
f (x) e x ,
fHale Waihona Puke Baidu
( x)


1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
x a th
那么插值型求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
的求积系数
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
科茨公式
b a
f
(x)dx

ba 90
[7
f
( x0 )