4.2 Newton-Cotes求积公式
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数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
第4章==牛顿求积
f ′′(ξ ) b (b − a)3 RT = ∫a (x − a)(x − b)dx = − 12 f ′′(ξ) 2
(2)辛甫生公式余项Rs 辛甫生公式余项
RS = I − S = ∫
b a
f ′′′(ξ ) a +b (x − a)(x − )(x − b)dx 3 ! 2
b − a b − a 4 (4) =− ( ) f (ξ ),ξ ∈(a, b) 180 2
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
0
0.5
1
1.5
b−a , (k = 0,1,2,3,4) （3）n=4时， xk = a + k ⋅ ） 时 4
∫
b
a
f (x)dx ≈ I 4 =
b−a [7 f (x0 ) + 32 f (x1 ) +12 f (x2 ) + 32 f (x3 ) + 7 f (x4 )] 90
sin x 1 ∫0 x dx ≈ 90 (7 f (0) +32 f (0.25) +12 f (0.5) + 32 f (0.75) + 7 f (1)) = 0.9460830
1
I=0.9460831（准确值), 各阶牛顿 柯特斯求积结果 （准确值 各阶牛顿—柯特斯求积结果
n In m 1 2 3 0.9461109 3 4 0.9460830 5 5 0.9460830 5
且对应的函数值
f (xk ) = yk 为已知， 为已知，
n b
构造插值型求积公式
∫
b
a
f ( x)dx = ∑ f ( xk ) ∫ lk ( x)dx
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
4-2牛顿—柯特斯公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，
n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
第1节 Cotes型求积公式
ik
n
0
f ( n1) ( )t (t 1)( t 2)(t n)dt
Ak yk Rn [ f ]
k 0
n
从而得到Newton-Cotes型求积公式：
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
b a ( 1)n k n n Ak 0 (t i )dt n k! ( n k )! i 0
a a
b
b
(
b a k 0 i 0 ik
n
n
x xi ) yk dx xk xi
f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )dx a ( n 1)! ba 由变换： x a th, xi a ih xk a kh , h n
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 (b a ) 3 12
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
则由
n
Π
i= 0 i¹ k
n n ti x - xi (a th) (a ih) ki xk - xi ii 0 (a kh) (a ih) ii 0 k k
xi=a+ih, xk=a+kh
得到
i 0 ik
n
n n x xi (a th) (a ih) t i xk xi i 0 (a kh) (a ih) i 0 k i i k ik
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
4.2 牛顿-科特斯公式
k 0
k 0
证明……
5) 求积公式的余项：
1） 基于代数精度证明
ba f a f b T 2
2） 基于插值余项证明
b2 a 2 b a f ( x)dx xdx (a b ) 2 2 a a 但当 f ( x) x 2 时，
当 f ( x) x，
2
得： 1 b3 a 3 (b a ) 2 ( (b a 2 )) k 2! 3 2 (b a )3 k 12
Rn ( f )
f ( x )dx L
a a
b
b
n
( x ) dx
a
b
f ( n 1 ) ( ) n 1 ( x ) dx ( n 1 )!
§4.2 牛顿-科特斯公式
复习回顾
一、
数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
a
f ( x ) dx
b
f ( n 1 ) ( ) n 1 ( x ) dx ( n 1 )!
4)代数精度：
对求积公式 : f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
只要当 f ( x ) 分别为 { 1 , x , x 2 ,... x m
m 1 立，而当 f ( x )为 x 时 , 不能成立.
A
k 0
n
k
f ( x k ),
3)插值型求积公式：
7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法
n
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
数值分析4-2(牛顿-柯特斯公式)
作为插值型的求积公式n阶牛顿柯特斯公式至少具有n次代数精度那么两种特殊偶阶求积公式的代数精度辛甫生simpson公式首先它是二阶公式因此至少具有二次代数精度进一步当这时有si即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立又容易验证它对是不准确的因此二阶辛甫生公式实际上具有三次代数精度
第四章 数值积分与数值微分 牛顿—柯特斯公式 §2 牛顿 柯特斯公式
1−0
故一阶的牛顿—柯特斯公式为 故一阶的牛顿 柯特斯公式为
梯形公式
当n=2时， 时
2 (−1)2−0 1 (2) C0 = ∫0 (t −1)(t − 2)dt = 6 2⋅ 0!(2 − 0)!
(2) C1
1 2 4 = − ∫ (t − 0)(t − 2)dt = 20 6 1 2 1 (2) C2 = ∫ (t − 0)(t − 1)dt = 40 6 b−a a+b S= [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] 6 2
n n 1 n 1 b−a = Π ∫0 jΠ (t − j)dt ( h = n ) =0 n j=0 k − j j≠k j≠k n n 1 1 1 = ∫0 jΠ(t − j)dt n k ⋅ (k − 1)...1(−1)(−2)...(k − n) =0 j≠k
n n (−1)n−k = ∫0 jΠ (t − j)dt =0 nk!(n − k)! j≠k
所以
max | f
1≤x≤2
(4)
( x) |= f
(4)
(1) = 198.43
b − a b − a (4) 余项为 RS = − f (η) 180 2
4
(2 − 1) ≤ max | f (4) ( x) |= 0.06890 2880 1≤x≤2
第四章 数值积分与数值微分 牛顿—柯特斯公式 §2 牛顿 柯特斯公式
1−0
故一阶的牛顿—柯特斯公式为 故一阶的牛顿 柯特斯公式为
梯形公式
当n=2时， 时
2 (−1)2−0 1 (2) C0 = ∫0 (t −1)(t − 2)dt = 6 2⋅ 0!(2 − 0)!
(2) C1
1 2 4 = − ∫ (t − 0)(t − 2)dt = 20 6 1 2 1 (2) C2 = ∫ (t − 0)(t − 1)dt = 40 6 b−a a+b S= [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] 6 2
n n 1 n 1 b−a = Π ∫0 jΠ (t − j)dt ( h = n ) =0 n j=0 k − j j≠k j≠k n n 1 1 1 = ∫0 jΠ(t − j)dt n k ⋅ (k − 1)...1(−1)(−2)...(k − n) =0 j≠k
n n (−1)n−k = ∫0 jΠ (t − j)dt =0 nk!(n − k)! j≠k
所以
max | f
1≤x≤2
(4)
( x) |= f
(4)
(1) = 198.43
b − a b − a (4) 余项为 RS = − f (η) 180 2
4
(2 − 1) ≤ max | f (4) ( x) |= 0.06890 2880 1≤x≤2
4.1-4.2Newton-Cotes求积公式
b
a
n
Ak f ( x k )
(1 )
k 0
(1)为数值求积公式. Ak为求积系数, 且仅与求积节(结)点xk有关.
R[ f ] I [ f ] 称为求积余项。
n
Ak f ( x k )
(2 )
k 0
I [ f ] b f ( x )dx I R [ f ] n a n I n Ak f ( x k ) k 0 插值型求积公式 b Ak a lk ( x ) d x b 1 ( n 1 ) R[ f ] f ( ) n 1 ( x ) d x a ( n 1) !
i 1 i 0
(2)
A0
1 2
h, A1 A2 An 1 h, An
1 2
h
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图4-0所示，这就是----矩形公式：
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
1
0
Newton-Cotes公式PPT课件
Ai
xn x0 ji
(xxj
) d
x
(xi xj)
令 xath
n
(tj)h h d t(b a ) (1 )n i n
(tj)dt
0i j(ij)h
n i!(n i)!0i j
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k, 可查表得到. 与 f (x) 及区间[a,b]均无关。 .
Cotes系数
.
25
注意: Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间 [a,b]无关,且满足:
n
C
(n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
f ( ) (n1)
b
R(f) a
(n1)!wn1(x)dx
(n h n 1 2)!0 nf(n 1 )() jn 0(tj) dt与, x 有(a 关,b )
C
(n ) k
24
记
C(n) j
j!((n 1 )nj)j n ! 0nk0n ,k(jtk)d
t
则 A j (ba )C ( jn ), j0 ,1 ,2 , ,n
求积公式变为
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
变为
b a
n
f(x)dx(ba)
C(n) j
f(xj)
j0
称为n阶闭型Newton-Cotes求积公式.
当 f ( x ) x 2时
b f ( x ) dx
b x 2 dx 1 (b 3 a 3 )
a
a
3
S [ f ] b a ( f ( a ) 4 f ( b a ) f (b ))
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
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l1( x)
x
1 4
x
3 4
/
1 2
1 4
1 2
3 4
16
x
1 4
x
3 4
l2
(
x)
x
1 4
x
1 2
/
3 4
1 4
3 4
1 2
证明 充分性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多
项式
lk (x)
n j0
x xj xk x j
(k 0,1,, n)
jk
精确成立,即
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j )
j0
而
lk
(xj
)
kj
1 0
取 f (x) lk (x) 时
I1;
当f ( x)
x 2时(k
2), 1 f
3
(1)
4f
(0)
f (1)
1 (1 0 1) 3
2 3
I2;
当f (x)
x 3时(k
3), 1 f (1) 4
3
f (0)
f (1)
1 (1 3
0 1)
0
I3;
当f ( x)
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3 a3 3
ba 2
[a 2
b2 ]
例4.5 确定求积公式1 f ( x)dx 1 [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度.
1
3
解：
Ik
1 xkdx
1
当f ( x) 1时(k
1 (1)k 1 k 1
0), 1 f (1)
3
4
0,
k
2
1
,
f (0) f
k为 奇 数
k为 偶 数
(1) 1 (1 4
3
1
1)
2
I0;
当f ( x)
x时(k
1),
1 f (1) 4 f (0)
3
f (1)
1 (1 4 0 1) 0 3
2、求积余项
若 f C (n1)[a,b] , (4.2.5)是插值型求积公式,
b
n
b
b
R[ f ] I In
f (x)dx
a
Ak f (xk ) a [ f (x) Ln (x)]dx a Rn (x)dx
k 0
特别地, 如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数≤ n的多项 式 f (x)，其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数 精度．
n
定理4.2 形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
该公式为k0插值型（即：Ak
b
a lk ( x)dx ）
一组基函数,所以两个定义是等价的,但在具体应 用时，定义4.1′比定义4.1要方便的多．
b
N
I[ f ] f (x)dx a
Ak f ( xk )
k 0
由定义4.1’可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为m， 则求积系数Ak应满足线性方程组：
Ak b a ;
(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； (ii) 求积公式的误差估计和收敛性
为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定 求积方法精度高低准则.用什么标准来判定两个节点数相同的 求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高 低作为求积公式“好”与“差”的一个标准．在后面的讨论 中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求 出的积分近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度的定 义．
而当f(x)=x3时, 公式的左边=81h4 /4, 右边=18h4, 公式的左 边右边,说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立. 因此,公式只具有2次代数精度.
二、数值求积公式的收敛性与稳定性
即：初始数据的误差没有引起计算结果的误差增大，即计算是稳 定的。
定理4.1 若求积公式(4.2.1)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)， 则此求积公式是稳定的．
f (b)]
考察其代数精度。
分析：由等价定义, 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
解：逐次检查公式是否精确成立
f(x)
代入
P0
=
1：
b
1
a
dx
b
a
=
ba 2
[1
1]
f(a) a
f(b) b
代入
P1 =
x
：bx dx a
b2 a2 2
=
ba 2
[a
b]
代数精度 = 1
代入
§4.2 Newton-Cotes求积公式
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
k 0
(4.2.1)
又 f (x) Ln(x) R(x) 当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=Ln(x) , 其余项R(f )=0。因而这时求积公式至少 具有n次代数精度。
注意：n+1个节点的内插型求积公式至少具有n次代数 精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。
n
推论1 求积系数满足: Aj b a
f (x)dx 1dx
a
a
Ak b a
k 0
n
Ak b a 即A0 A1 An b a
k 0
例4.7 给定求积公式如下：
1
0
f ( x)dx
13 2
f
1 4
f
1 2
2
f
3 4
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积 公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念．由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一 个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为准确等式，是衡量该公 式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。
定义4.1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地 成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m 次代数精度．
故 Ak 有唯一解。
如果事先选定求积节点，如，以区间［a,b]的等距节点依次为节 点，这时取m=n，求解上述线性方程组(4.2.4), 即可确定系数 Ak 从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中 介绍。
梯形公式
例4.4
b
a f ( x)dx
b a[ f (a) 2
b a
f (n1) (x ) (n 1)!
n
(x xk ) dx
k 0
1 n1 !
b f n1
a
x
n 1 ( x)dx
则有余项公式
b
R[ f ] a
其中与变量x有关,记作 x 。
f
( n 1)
(n
( x
1)!
)
n1
(
x)dx，
(4.2.7)
其中n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
n
记
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
k 0
(4.2.3)
称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有
i0
n
bb
f (xi ) aa li (x)dx
i0
(积分的性质)
n
与f 无关,记为Ai
Ai f ( xi ) (4.2.5)
由 节点 决定，
i0
与 f (x) 无关
其中求积系数
b
Ai a li (x)dx, i 0,1, , n
(4.2.6)
定义4.4 对给定互异求积节点a x0 x1 xn b ,若求积系数 Ai (i 0，1， ，n)是由(4.2.6)给出的，则称该求积公式是插值型的。 此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）插值型求积公式。
n i0
f (xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
l i
i 0,1,, n
i0