4.2 Newton-Cotes求积公式

(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； (ii) 求积公式的误差估计和收敛性
为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定 求积方法精度高低准则.用什么标准来判定两个节点数相同的 求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高 低作为求积公式“好”与“差”的一个标准．在后面的讨论 中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求 出的积分近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度的定 义．
0), 1 f (1)
3

4
0,


k
2
1
,
f (0) f
k为 奇 数
k为 偶 数
(1) 1 (1 4
3

1

1)

2

I0;
当f ( x)
x时(k
1),
1 f (1) 4 f (0)
3
f (1)

1 (1 4 0 1) 0 3
问题：
当给定节点a x0 x1 xn b及f ( xi )(i 0,1,, n), 如何选择 求积系数A0 ,, An，使求积公式代数精度尽量高？
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f
(xi ))，求得 Ln (x)

I1;
当f ( x)

x 2时(k

2), 1 f
3
(1)
4f
(0)
f (1)
1 (1 0 1) 3

2 3

I2;
当f (x)

x 3时(k

3), 1 f (1) 4
3
f (0)
f (1)
1 (1 3
0 1)

0

I3;
当f ( x)

数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积 公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念．由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一 个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为准确等式，是衡量该公 式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。
定义4.1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地 成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m 次代数精度．
l1( x)
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x

1 4

x

3 4

/
1 2

1 4

1 2

3 4


16
x

1 4

x

3 4

l2
(
x)


x

1 4

x

1 2

/
3 4

1 4

3 4

1 2

右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式．其中xk称 为积分节点, Ak为求积系数, 也称之为伴随节点xk的权．
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。

8
x

1 4

j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
因此有
b
b
n
数.
解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有
解之得
3h=A0+ A1+ A2
9 2
h2=0
+
A1h+
A22h
9h3=0 + A1h2+ A24h2
A0=
3 4
h,
A1=0,
A2=
9 4
h.
故求积公式的形式为
30hf(x)dx

3h 4
f(0)
+
9h 4
f(2h)
由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;
一组基函数,所以两个定义是等价的,但在具体应 用时，定义4.1′比定义4.1要方便的多．
b
N
I[ f ] f (x)dx a
Ak f ( xk )
k 0
由定义4.1’可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为m， 则求积系数Ak应满足线性方程组：





Ak b a ;
特别地, 如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数≤ n的多项 式 f (x)，其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数 精度．
n
定理4.2 形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
该公式为k0插值型（即：Ak
b
a lk ( x)dx ）
x 4时(k

4), 1 f
3
(1) 4
f (0)
f
(1)
1 (1 0 1) 3

2 3

2 5

I
。
4
所以该求积公式的代数精度m=3。
例4.6
试构造形如 3h 0
f(x)dx

A0
f(0)+
A1
f(h)+
A2
f(2h)
的数
值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶
n
记
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
k 0
(4.2.3)
称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有
P2
=
x2
：b a
x2dx

b3 a3 3

ba 2
[a 2

b2 ]
例4.5 确定求积公式1 f ( x)dx 1 [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度.
1
3
解：
Ik
1 xkdx
1
当f ( x) 1时(k
1 (1)k 1 k 1
Ak
x

1 2
(b2

a2
)
;



Ak xm

1 (bm1 m 1
am1) .
（4.2.4）
这是关于Ak的线性方程组，其系数矩阵
1 1

x0
x1

x02
x12

x0m x1m
1
xn

xn2


xnm
是范得蒙矩阵,
当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,
注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多
项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm 精确成立即可。
因此有等价定义。
等价定义4.1´若(4.2.1)对于1，x,…,xm都精确成立，对xm+1不精
确成立，则称(4.2.1)的代数精度为m。
因为函数组(1，x,…, xm)是 Pn[a,b] 的
证明 充分性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多
项式
lk (x)
n j0
x xj xk x j
(k 0,1,, n)
jk
精确成立,即
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j )
j0
而
lk
(xj
)

kj

1 0
取 f (x) lk (x) 时
n i0
f (xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
l i
i 0,1,, n
i0
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
又 f (x) Ln(x) R(x) 当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=Ln(x) , 其余项R(f )=0。因而这时求积公式至少 具有n次代数精度。
注意：n+1个节点的内插型求积公式至少具有n次代数 精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。
n
推论1 求积系数满足: Aj b a
b a
f (n1) (x ) (n 1)!
n
(x xk ) dx
k 0
1 n1 !
b f n1
a
x
n 1 ( x)dx
则有余项公式
b
R[ f ] a
其中与变量x有关,记作 x 。
f
( n 1)
(n
( x
1)!
)
n1
(
x)dx，
(4.2.7)
其中n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
试证此求积公式是插值型的求积公式
证:设
x0

1 4
,
x1

1 2
,
x2

3,则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为
4
l0 (x)


x

1 2

x

3 4

/
1 4

1 2

1 4

3 4


8
x

1 2

x

3 4

f (b)]
考察其代数精度。
分析：由等价定义, 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
解：逐次检查公式是否精确成立
f(x)
代入
P0
=
1：
b
1
a
dx

b

a
=
ba 2
[1

1]
f(a) a
f(b) b
代入
P1 =
x
：bx dx a
b2 a2 2
=
ba 2
[a

b]
代数精度 = 1
代入
b
b
n
a f (x)dx a lk (x)dx Ajlk (x j )
j0
k j k j
b
所以有Ak a lk (x)dx ,即求积公式为插值型求积公式
证:必要性
设n+1个节点的求积公式
b
a
n
f (x)dx Ak
f (xk )
为插值型求积公式,求积系数为
b
k 0
Ak a lk (x)dx
2、求积余项
若 f C (n1)[a,b] , (4.2.5)是插值型求积公式,
b
n
b
b
R[ f ] I In
f (x)dx
a
Ak f (xk ) a [ f (x) Ln (x)]dx a Rn (x)dx
k 0

f (x)dx 1dx
a
a
Ak b a
k 0
n
Ak b a 即A0 A1 An b a
k 0
例4.7 给定求积公式如下：
1
0
f ( x)dx
13 2
f

1 4


f

1 2


2
f

3 4

证明: 对 0, 若取 ,对k 0,
ba
, n,都有 f (xk ) fk ,则有
n
n
| Rn | Ak f (xk ) f (xk ) Ak (b a) .
k 0
k 0
所以求积公式(4.2.1)是稳定的．
定理4.1 表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0,1,…,n)， 就能保证计算的稳定性．
i0
n
bb
f (xi ) aa li (x)dx
i0
(积分的性质)
n
与f 无关,记为Ai
Ai f ( xi ) (4.2.5)
由 节点 决定，
i0
与 f (x) 无关
其中求积系数
b
Ai a li (x)dx, i 0,1, , n
(4.2.6)
定义4.4 对给定互异求积节点a x0 x1 xn b ,若求积系数 Ai (i 0，1， ，n)是由(4.2.6)给出的，则称该求积公式是插值型的。 此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）插值型求积公式。
故 Ak 有唯一解。
如果事先选定求积节点，如，以区间［a,b]的等距节点依次为节 点，这时取m=n，求解上述线性方程组(4.2.4), 即可确定系数 Ak 从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中 介绍。
梯形公式
例4.4
b
a f ( x)dx
b a[ f (a) 2
而当f(x)=x3时, 公式的左边=81h4 /4, 右边=18h4, 公式的左 边右边,说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立. 因此,公式只具有2次代数精度.
二、数值求积公式的收敛性与稳定性
即：初始数据的误差没有引起计算结果的误差增大，即计算是稳 定的。
定理4.1 若求积公式(4.2.1)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)， 则此求积公式是稳定的．
§4.2 Newton-Cotes求积公式
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
k 0
(4.2.1)