计算方法-4.2-4.4牛顿柯特斯求积公式
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数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT
求积节点为
n
a
xk xk+1
b
xk a kh，k 0,1,..., n
在每个小区间 [xk , xk1 ]
上应用梯形公式，得：
(k 0,1, … , n 1)
个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。 • 新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间
上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区 间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。 此即复合求积公式的基本思想。
4.3.1 复合梯形公式及其误差
将积分区间[a, b]划分为n等分,步长为 h b a
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
0.55 15 1 2880 16 0.53 0.5
0.52 15 2880 16
1 0.5
0.25 15 1 2880 16 0.707
0.0001151
| R2(f) | 0.0001151
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，是通过将积分区间分割成若干个子区间，在每个子区间上用一个多项式来逼近被积函数，然后通过对这些多项式进行求和来得到整个积分的近似值的方法。
牛顿-柯特斯公式的基本思想是将被积函数在每个子区间上进行插值近似。
首先，我们将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，即h=(b-a)/n，其中n为等分的个数。
对于每个子区间，我们使用一个多项式来逼近被积函数。
对于每个子区间[xi, xi+1]，我们可以通过使用牛顿插值公式将被积函数在这个子区间上用一个多项式f(xi,x)=f(xi)+f[xi,xi-1]·(x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2]·(x-xi)·(x-xi-1)+...来近似。
其中f(xi)代表被积函数在xi处的函数值，f[...]代表被积函数在对应节点处的高阶差商。
然后，我们将这个多项式进行积分。
根据牛顿插值多项式的性质，多项式的积分可以用其在区间上的若干个节点处的函数值和差商来表示。
因此，我们可以对多项式进行积分，得到在每个子区间上的近似积分值。
最后，我们将这些近似积分值求和，得到整个积分的近似值。
具体而言，牛顿-柯特斯公式的一种常见形式是梯形公式。
梯形公式的基本思想是将积分区间[a, b]等分成n个子区间，并在每个子区间上使用一个线性函数来近似被积函数。
这个线性函数由被积函数在两个节点上的函数值和斜率确定，因此得名“梯形”。
对于一个子区间[xi, xi+1]，梯形公式的积分近似值可以通过积分公式∫(xi,xi+1) f(x) dx ≈ (f(xi) + f(xi+1))·h/2来计算。
其中，f(xi)和f(xi+1)分别为被积函数在两个节点处的函数值，h=xi+1-xi为子区间的宽度。
最后，将所有子区间上的积分近似值求和，我们可以得到整个区间[a, b]上的积分值的近似值。
牛顿-柯特斯公式不仅仅包括梯形公式，还包括其他形式的多项式插值，如Simpson公式和Boole公式等。
4-2牛顿—柯特斯公式
而 n= 4时的牛顿—柯特斯公式为
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90 ba x k a kh, h 这里 4
特别称为 柯特斯(Cotes)公式*
注：其余柯特斯系数详见书上p104表4-1.
二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
作为插值求积公式，n阶牛 顿 — 柯特斯公式至少具有 n 次 代数精度，那么
是否有更进一步的结果？
两个简单偶阶求积公式的代数精度
辛甫生(Simpson)公式
ba ab S [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数 精度，进一步考察当 f(x)=x3时，
n
0
t j dt j 0 k j jk
n
1 n 1 n j 0 k j
jk
0
n
( t j )dt ( h b a ) j 0
jk
n
n
n n 1 1 1 ( t j )dt n k ( k 1)...1 ( 1)( 2)...( k n) 0 j 0 jk
所以 余项为
max | f ( x ) | f (1) 8.1548
1 x 2
f ( ) | RT | (b a ) 3 12
( 2 1) max | f ( x ) | 0.6796 12 1 x 2
3
用辛甫生公式计算
1 1 21 1.5 2 e dx ( e 4 e e ) 2.0263 1 6
解
2
dx 的近似值，并估计余项。
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
牛顿科特斯公式数值积分方法
牛顿科特斯公式数值积分方法牛顿科特斯公式是常用的数值积分方法之一，其基本思想是通过在一定的节点上对被积函数进行逼近，从而计算积分值。
具体地，我们将区间[a,b]等分为n段，然后在每个小区间上选择一个节点，例如取节点x0=a，x1=a+h，x2=a+2h，……，xn=b，其中h=(b-a)/n。
这些节点构成了一个等差数列，被称为插值节点。
然后，我们在每个小区间上采用一个低次多项式来逼近被积函数。
由于这里我们采用的是插值多项式，因此牛顿科特斯公式也被称为插值型数值积分方法。
具体地，我们设f(x)在插值节点上的函数值为f(x0),f(x1),…,f(xn)。
对于每个小区间[a+kh,a+(k+1)h]，我们可以采用以下的插值多项式：P(x)=b0+b1(x-xk)+b2(x-xk)(x-xk+1)+…+bn(x-xk)(x-xk+1)…(x-xn-1)其中bk的值可以通过牛顿插值公式来求得。
对于每个小区间上的积分，我们可以将其转化为对插值多项式的积分。
不难发现，这些小区间的积分加起来就是整个区间[a,b]上的积分。
因此，我们只需要计算出每个小区间上的积分值，然后将它们相加即可得到整个区间上的积分值。
具体地，我们可以采用以下的牛顿-科特斯公式来计算：∫[xk,xk+1]f(x)dx=h/2[f(xk)+f(xk+1)]+h^2/12[f′(xk)f′(xk+1)]+h^4/720[f(ξk)+f(ξk+1)]其中f′(x)和f(x)分别表示f(x)在x处的一阶和三阶导数，ξk和ξk+1是在[xk,xk+1]上的某个点。
从上式可以看出，牛顿科特斯公式的精度随着n的增大而提高，但随着n的增大，计算量也会增大。
因此，在实际应用中需要根据精度和计算量的折衷来选择合适的n值。
数值分析 -牛顿-科特斯公式
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T
h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk
1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h
b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j
2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx
b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)
f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
4.2 牛顿-科特斯公式
k 0
k 0
证明……
5) 求积公式的余项：
1） 基于代数精度证明
ba f a f b T 2
2） 基于插值余项证明
b2 a 2 b a f ( x)dx xdx (a b ) 2 2 a a 但当 f ( x) x 2 时，
当 f ( x) x，
2
得： 1 b3 a 3 (b a ) 2 ( (b a 2 )) k 2! 3 2 (b a )3 k 12
Rn ( f )
f ( x )dx L
a a
b
b
n
( x ) dx
a
b
f ( n 1 ) ( ) n 1 ( x ) dx ( n 1 )!
§4.2 牛顿-科特斯公式
复习回顾
一、
数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
a
f ( x ) dx
b
f ( n 1 ) ( ) n 1 ( x ) dx ( n 1 )!
4)代数精度：
对求积公式 : f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
只要当 f ( x ) 分别为 { 1 , x , x 2 ,... x m
m 1 立，而当 f ( x )为 x 时 , 不能成立.
A
k 0
n
k
f ( x k ),
3)插值型求积公式：
牛顿-柯特斯公式
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
n
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
n
2
h
2
12
( b a ) f ( ), ( a , b )
2、复化辛普森公式
记 [ xi , xi 1 ]的中点为 xi 1，在每个小区间上应用
2
辛普森 公式 ,
则得复化 辛普森公式
f ( x )d x [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] , 2 i06 n 1 n 1 h 即 S n [ f ( a ) 4 f ( xi 1 ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 6 i0 i 1 4 n 1 h h (4) 余项 R I S n f ( i ) , i ( xi , xi 1 ), 180 2 i 0 4 当 f C [ a , b ]时 , 4 b a h (4) b a 4 (4) R I S n h f ( ), ( a , b ). f ( ) 1 80 2 2 880 步长h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以 证明，当n 时，用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于 积分值，而且算法具有数值稳定性。 I
4.1-4.2Newton-Cotes求积公式
b
a
n
Ak f ( x k )
(1 )
k 0
(1)为数值求积公式. Ak为求积系数, 且仅与求积节(结)点xk有关.
R[ f ] I [ f ] 称为求积余项。
n
Ak f ( x k )
(2 )
k 0
I [ f ] b f ( x )dx I R [ f ] n a n I n Ak f ( x k ) k 0 插值型求积公式 b Ak a lk ( x ) d x b 1 ( n 1 ) R[ f ] f ( ) n 1 ( x ) d x a ( n 1) !
i 1 i 0
(2)
A0
1 2
h, A1 A2 An 1 h, An
1 2
h
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图4-0所示，这就是----矩形公式：
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
1
0
42 牛顿-柯特斯公式 - 天津商业大学阳光网站
a ( x x j )dx .
j 0
b
引进变换 x a th, 并注意到 x j a jh, 有
R[ f ]
n 2 n h 0
(t
j 0
n
j )dt ,
n n 若 n为偶数，则 为整数，再令 t u , 进一步有 2 2
R[ f ] hn 2
0 t ( t 2)dt
2
4 6
( 2) C2
1 4
1 0 t ( t 1)dt 6 .
2
相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式
S ba ab [ f (a ) 4 f ( ) f (b)], 6 2
（2.3）
n 4 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式， 其形式是
ba C [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )], 90
这里 xk a kh,
ba h . 4
（2.4）
按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.
表4 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 1 6 1 8 7 90 19 288 41 840 751 17280 989 28350 1 2 2 3 3 8 16 45 25 96 9 35 3577 17280 5888 28350 1 6 3 8 2 15 25 144 9 280 1323 17280 928 28350 Ck( n )
证明
我们只要验证，当 n为偶数时，牛顿-柯特斯
公式对 f ( x) x n1 的余项为零. 由于这里 f ( n1) ( x) (n 1)!, 按余项公式
求积公式
(4.10)
结束
这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差 估计有如下定理： 定理 4.1 设f(x)为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的 余项为 (证明)
R1
即
b
a
ba (b a)3 f ( x)dx f ξ f (a) f (b).1 求积公式
数值积分
对定义在区间［a,b］上的定积分
I [ f ] f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但 有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难 于求出或计算.如被积函数为:
f ( x) x , 左边
3
0 右边 (1) 0 1
1 3 3 4 3 3 1 3
3
f ( x) x , 左边
4
15 ( 1)5 5
4 4 4 2 4 1 2 5 右边 1 ( 1 ) 0 1 3 3 3 3
结束
h 2 h 2 h A2 t (t -1)dt . 2! 0 2 3 3
所以抛物形公式为
a
b
h ab f ( x)dx f (a) 4 f f (b) 3 2
(4.12)
其中h=(b-a)/2,上式也可写成:
a
b
ba a b f ( x)dx f (a) 4f f (b) 6 2
b b
(4.7)
f ( n1) ( ) Rn [ f ] ( x)dx (n 1)! a
b
(4.8)
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f ( ) (b a )3 2 6
(b a) 3 f ( ) 12
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梯形公式具有1次代数精度
25
2.辛普森公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
柯特斯系数为 C ( 2 ) 1 2(t 1)( t 2 )dt 1 0 4 0 6
a i
k 0 k i k
b
n
i 0,1,, m
但对m 1次多项式却不能准确成 立,即只要
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b
a
x m 1dx Ak xk
k 0
n
m1
则称该求积公式具有m次的代数精度
代数精度也称 代数精确度
7
不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。 一般的要使机械求积公式具有m次代数精度，只要令它对于
Ak lk ( x)dx
a
b
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13
由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项
R f I I n
b
a
f ( n1) ( ) ( x)dx (n 1)!
式中 与变量
x 有关.
由插值型的求积公式的余项可推得 定理1 形如 I n Ak f ( xk ) 的求积公式至少有n次代数精度
17
设函数f ( x) C[a , b]
f ( x)的Lagrange 插值多项式及余项分别 为
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0
n
f ( n 1) ( ) Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其中 lk ( x )
0 j n jk
x xj xk x j
[ a , b] n 1 ( x) ( x xi )
i 0
n
而
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
因此对于定积分
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I ( f ) f ( x )dx
a
18
b
有
I ( f ) f ( x )dx
k 0 n
的充分必要条件是，它是插值型的.
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§ 4.2.4 求积公式的收敛性与稳定性
定义2 在机械求积公式中，若
lim Ak f ( xk ) f ( x)dx
b n k 0 h 0 a
n
其中 定理2
h max ( xi xi 1 )，则称此求积公式是收敛的
1 i n
若求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ), n)
则此求积公式是稳定的.
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思考:
I( f )
试确定下面积分公式中的参数使其代数精确 度尽量高
h
0
h f ( x)dx [ f (0) f (h)] ah 2 [ f (0) f (h)] I1 ( f ) 2
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9
例：
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10
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11
§ 4.2.3 插值型的求积公式
积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的一种 方法是利用插值多项式来构造数值求积公式 具体步骤如下:
在积分区间 [a , b]上取一组节点
a x0 x1 xn b
且已知函数 f ( x) 在这些节点上的值，作插值函数Ln ( x)
ba h n
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h ( 1)n k n (t j )dt 0 k !( n k )! 0 j n
jk
21
n ( 1)n k (b a ) (t j )dt n k !( n k )! 0 0 j n jk
梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替 曲边梯形的面积
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梯形公式的余项为
RT I1 T R1 ( x)dx
a
b
b
a
f ( ) ( x a )( x b)dx 2
f ( ) b ( x a )( x b)dx 2 a
[ a , b]
在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也 最重要的三个公式,称为低阶公式 1.梯形公式及其余项
取n 1, 则x0 a , x1 b , h b a
柯特斯系数为
C
( 1) 0
1 (t 1)dt 0 2
1
C
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( 1) 1
1 tdt 0 2
以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法
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对于I ( f )
f ( x)dx ，若
a
b
f ( x) 0 则I对应于曲边梯形的面积。
a, b
b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
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3
如果我们用两端点“高度” f (a) 与 的近似值，这样导出的求积公式
6 6 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f (b )] 6 2 6
上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 S I 2 ( f ) 辛普森公式的余项为
RS R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
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1
(1) f ( x)的解析式根本不存在 , 只给出了f ( x)的一些数值
( 2) f ( x)的原函数 F ( x)求不出来, 如F ( x)不是初等函数
I1
I2
0
n
exp( 2 )d
exp( a
2
2
4a
2
0
)da
(3) f ( x)的表达式结构复杂, 求原函数较困难
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20
Ak的计算 :
注意是等距节点 b b x xj Ak lk ( x)dx dx a a 0 j n xk x j
j k
假设x a th
由 x [a, b]
可知 t [0, n]
b x xj n (t j )h dx Ak a h dt 0 0 j n xk x j 0 j n ( k j )h j k j k
x xj xk x j
dx
Ak 称为求积公式系数
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I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶牛顿-柯特斯求积公式
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
牛顿-柯特斯公式的余项(误差)
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n ) I ( f ) In ( f )
1
23
求积公式为
( 1) I 1 ( f ) (b a ) Ck f ( xk ) k 0 1
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
ba [ f ( x0 ) f ( x1 )] 2
0
0.5
1
1.5
上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为
(b a ) T I1( f ) [ f ( a ) f (b )] 2
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从积分定义的分析中可看出：积分是和式的极限
b
a
f ( x)dx lim
n
f (
k 1
n
k )xk
y
f ( x)
其几何意义是曲边梯形的面积。 求积分的基本方法是四步： ①分割：把曲边梯形分成若干小曲边梯形；
O
②近似：用矩形面积近似小曲边梯形； ③求和：把分量加起来得到总近似值； ④取极限：求得积分的准确值。
§ 4.2 数值积分 § 4.2.1 数值求积的基本思想
对于积分
I ( f ) f ( x )dx
a
b
如果知道f ( x)的原函数F ( x),则由Newton Leibniz 公式有
b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b ) F ( a )
b
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
f (b)
的算术平均作为平均高度 f ( )
ba f (a) f (b) T 2
这就是我们熟悉的梯形公式
ab 如果改用区间中点 c 的“高度” f (c) 近似地取代平均 2
高度
f ( )
，则又可以导出所谓中矩公式（简称矩形公式）
ab R (b a) f ( ) 2
由于代数多项式 Ln ( x) 的原函数是容易求出的，我们取
I n Ln ( x)dx
a
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b
作为积分 I 求积公式
b
a
的近似值，这样构造出来的 f ( x)dx
n
I n Ak f ( xk )
k 0
称为是插值型的，式中求积系数 Ak 通过插值基函数 lk ( x) 积分得出
C
(2) 1
1 2 t (t 2 )dt 0 2 1 2 (t 1)tdt 4 0
4 6 1 6
2 k 0
C
(2) 2
求积公式为