计算方法-4.2-4.4牛顿柯特斯求积公式

k 0 n
的充分必要条件是，它是插值型的.
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§ 4.2.4 求积公式的收敛性与稳定性
定义2 在机械求积公式中，若
lim Ak f ( xk ) f ( x)dx
b n k 0 h 0 a
n
其中 定理2
h max ( xi xi 1 )，则称此求积公式是收敛的
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§ 4.2.2 代数精度的概念
定义1. 若求积公式
I ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) I n ( f )
b a
k 0
n
对任意次数不超过 m次的代数多项式 P ,即 i ( x)(i m)都准确成立
P ( x)dx A P ( x )
在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也 最重要的三个公式,称为低阶公式 1.梯形公式及其余项
取n 1, 则x0 a , x1 b , h b a
柯特斯系数为
C
( 1) 0
1 (t 1)dt 0 2
1
C
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( 1) 1
1 tdt 0 2
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Ak的计算 :
注意是等距节点 b b x xj Ak lk ( x)dx dx a a 0 j n xk x j
j k
假设x a th
由 x [a, b]
可知 t [0, n]
b x xj n (t j )h dx Ak a h dt 0 0 j n xk x j 0 j n ( k j )h j k j k
8
写成一般形式

i 0
n
Ai xik
1 (b k 1 a k 1 ) k 1
k 0,1,2, , m
-----(2)
(2)式由m 1个方程组成，包含n 1个节点xi以及n 1个待定的求积 系数Ai。若事先选定xi，求(2)式可确定Ai，从而使求积公式(1)至少 具有n次代数精确度。如果适 当选择xi 及Ai，求解(2)式可能使求积 公式(1)式具有2n 1次代数精确度。由此可 知，构造数值求积公式 实际上是求xi 与Ai的代数问题。
f (b)
的算术平均作为平均高度 f ( )
ba f (a) f (b) T 2
这就是我们熟悉的梯形公式
ab 如果改用区间中点 c 的“高度” f (c) 近似地取代平均 2
高度
f ( )
，则又可以导出所谓中矩公式（简称矩形公式）
ab R (b a) f ( ) 2
Ak lk ( x)dx
a
b
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由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项
R f I I n
b
a
f ( n1) ( ) ( x)dx (n 1)!
式中 与变量
x 有关.
由插值型的求积公式的余项可推得 定理1 形如 I n Ak f ( xk ) 的求积公式至少有n次代数精度
1 i n
若求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 中系数
b k 0
n
Ak 0 (k 0,1,, n)
则此求积公式是稳定的.
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思考:
I( f )
试确定下面积分公式中的参数使其代数精确 度尽量高
h
0
h f ( x)dx [ f (0) f (h)] ah 2 [ f (0) f (h)] I1 ( f ) 2
1
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求积公式为
( 1) I 1 ( f ) (b a ) Ck f ( xk ) k 0 1
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
ba [ f ( x0 ) f ( x1 )] 2
0
0.5
1
1.5
上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为
(b a ) T I1( f ) [ f ( a ) f (b )] 2
a
b
[ Ln ( x) Rn ( x)]dx
a
b

b n
a
f ( x )l ( x)dx R ( x)dx
b
k 0 k k
a
n
Ak f ( xk ) a Rn ( x)dx
k 0
n
b
其中 Ak lk ( x)dx a
b a
b
0 j n j k
C
(2) 1
1 2 t (t 2 )dt 0 2 1 2 (t 1)tdt 4 0
4 6 1 6
2 k 0
C
(2) 2
求积公式为
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(2) I 2 ( f ) (b a ) Ck f ( xk )
26
I 2 ( f ) (b a )[ 1 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 1 f ( x2 )]
6 6 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f (b )] 6 2 6
上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 S I 2 ( f ) 辛普森公式的余项为
RS R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2

x xj xk x j
[ a , b] n 1 ( x) ( x xi )
i 0
n
而
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
因此对于定积分
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I ( f ) f ( x )dx
a
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b
有
I ( f ) f ( x )dx
f ( x) 1, x, xm
都能准确成立，这就要求

b
awk.baidu.com
f ( x)dx
Ak b a 1 2 2 A x ( b a ) k k 2 A x m 1 (b m 1 a m 1 ) k k m 1
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1
(1) f ( x)的解析式根本不存在 , 只给出了f ( x)的一些数值
( 2) f ( x)的原函数 F ( x)求不出来, 如F ( x)不是初等函数
I1
I2


0
n
exp( 2 )d
exp( a
2

2
4a
2
0
)da
(3) f ( x)的表达式结构复杂, 求原函数较困难
以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法
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对于I ( f )
f ( x)dx ，若
a
b
f ( x) 0 则I对应于曲边梯形的面积。
a, b

b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
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如果我们用两端点“高度” f (a) 与 的近似值，这样导出的求积公式
a x1 x2
b
x
数值积分的基本思想：求解前三步，得到积分的近似值
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式中
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
-----(1)
xk 称为求积结点； Ak
称为求积系数，亦称伴随结点
xk
的权。这类数值积分方法通常称为机械求积。
为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。
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从积分定义的分析中可看出：积分是和式的极限

b
a
f ( x)dx lim
n
f (
k 1
n
k )xk
y
f ( x)
其几何意义是曲边梯形的面积。 求积分的基本方法是四步： ①分割：把曲边梯形分成若干小曲边梯形；
O
②近似：用矩形面积近似小曲边梯形； ③求和：把分量加起来得到总近似值； ④取极限：求得积分的准确值。

x xj xk x j
dx
Ak 称为求积公式系数
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I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶牛顿-柯特斯求积公式
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
牛顿-柯特斯公式的余项(误差)
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n ) I ( f ) In ( f )
f ( ) (b a )3 2 6
(b a) 3 f ( ) 12
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梯形公式具有1次代数精度
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2.辛普森公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
柯特斯系数为 C ( 2 ) 1 2(t 1)( t 2 )dt 1 0 4 0 6
梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替 曲边梯形的面积
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梯形公式的余项为
RT I1 T R1 ( x)dx
a
b

b
a
f ( ) ( x a )( x b)dx 2
f ( ) b ( x a )( x b)dx 2 a
[ a , b]
a i
k 0 k i k
b
n
i 0,1,, m
但对m 1次多项式却不能准确成 立,即只要

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b
a
x m 1dx Ak xk
k 0
n
m1
则称该求积公式具有m次的代数精度
代数精度也称 代数精确度
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不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。 一般的要使机械求积公式具有m次代数精度，只要令它对于
( n) Ak ˆ (b a) Ck
( n) Ck 称为Cotes系数
所以牛顿-柯特斯公式化为
(n) I n ( f ) Ak f ( xk ) (b a ) Ck f ( xk ) k 0 k 0 n n
也称等距内插求积公式
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§4.3.2 几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项
§ 4.2 数值积分 § 4.2.1 数值求积的基本思想
对于积分
I ( f ) f ( x )dx
a
b
如果知道f ( x)的原函数F ( x),则由Newton Leibniz 公式有

b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b ) F ( a )
b
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
由于代数多项式 Ln ( x) 的原函数是容易求出的，我们取
I n Ln ( x)dx
a
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b
作为积分 I 求积公式

b
a
的近似值，这样构造出来的 f ( x)dx
n
I n Ak f ( xk )
k 0
称为是插值型的，式中求积系数 Ak 通过插值基函数 lk ( x) 积分得出
ba h n
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h ( 1)n k n (t j )dt 0 k !( n k )! 0 j n
jk
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n ( 1)n k (b a ) (t j )dt n k !( n k )! 0 0 j n jk
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例：
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§ 4.2.3 插值型的求积公式
积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的一种 方法是利用插值多项式来构造数值求积公式 具体步骤如下:
在积分区间 [a , b]上取一组节点
a x0 x1 xn b
且已知函数 f ( x) 在这些节点上的值，作插值函数Ln ( x)
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设函数f ( x) C[a , b]
f ( x)的Lagrange 插值多项式及余项分别 为
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0
n
f ( n 1) ( ) Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其中 lk ( x )
0 j n jk
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§ 4.3 等距节点求积公式 § 4.3.1 柯特斯系数
牛顿-柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值 多项式建立的数值求积公式
将积分区间 [a , b]分割为n等份
各节点为
xk a kh , k 0,1,, n
ba 其中 h 为步长 n
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