Newton-Cotes求积公式
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数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
chap4第1节 Cotes型求积公式
令：Ak
ba n
k i dt
0 i 0 i k
n
n
t i
b a ( 1) n
b
(t i )dt k! ( n k )!
0 i 0 i k
n k 0
n k
n n
则得定积分的近似计算公式： f ( x )dx Ak f ( x k )
a
1 0 2
(
4
1 0 11
利用 Simpson 公式
b
a
ba ab f ( x )dx f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b ) 6
1 4 1 0 4 4 0 1 x 2 dx 6 4 4 1 1 1 3.1333 1 4 利用Cotes公式得
R1[ f ]
12
f ( )
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 12
(b a )
3
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
R2 [ f ]
(b a ) 2880
5
f
(4)
( ) , (a , b)
Cotes求积公式
b
f ( x )dx
ba 90
a
7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x4 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
Chapter6_1_Newton-Cotes公式
插值型求积公式
在积分区间[a,b] 上取n+1个节点xi，i=0,1, 2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗
日插值公式）: n
Ln (x) l j (x) f (x j )
j0
则有
f (x) Ln (x) Rn (x)
于是有
R(x)
f (n1) ( )
(n 1)! wn1 (x)
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法
来计算.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函 数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计 算极不方便.例如函数
n
C (n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
b f (n1) ( )
R( f ) a
(n 1)! wn1(x)dx
hn2 (n 1)!
n 0
f
(
n j0
(t
j)dt
(9)
, (a,b)
与x有关
• 定理2 当阶数n为偶数时, Newton-Cotes 公式(8)至少具有n+1次代数精度.
n n
0
(t k0,k j
k )dt
(6)
则
Aj
(b
a)C
( j
n)
,
j 0,1,2,, n
(7)
求积公式(4)变为
b a
f (x)dx (b a)
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
newton-cotes计算积分近似值
newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。
具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。
此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。
7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法
n
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和 收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意： 对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab
数值分析英文版课件1
则有
B
Qn (
f
) Qn (
f
)
max 0kn
f ( xk )
f ( xk )
( x )dx
a
21
8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收 敛性（3）
关于Gauss 求积公式
b
(
a
x
)
f
(
x
)dx
n
k 0
Ak( n
)
f
(
xk( n
)
)
的收敛性有如下定理，上式中特别标出了求积系 数与节点和 n 有关。
2
8.5 Gauss 型求积公式（3）
对于给定的节点数目 n+1，适当调整其位置，是 否会提高求积公式的代数精度？
例8.5.1 对于求积公式
1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
1
试确定其节点 x0, x1 及求积系数 A0, A1，使其代 数精度尽可能高
22
8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收 敛性（4）
定理8.5.5
设 f C [a, b]
令 Qn ( f ) n Ak( n ) f ( xk( n ) ) k 0
则有
b
lim
n
Qn
(
f
)
( x ) f ( x )dx
a
23
今日课题
第八章 数值积分与数值微分
8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5Gauss型求积公式
那么相应的正交多项式为 Legendre多项式 Pn(x)
P0 ( x ) 1
Pn (
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
牛顿-柯特斯公式
) f ( b )] (2.7)
( ),
[ a , b ].
证明：在[a, b]区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值 条 件（带导数插值）：
H ( a ) f ( a ), H ( ab 2 ) f( ab 2 ), H ( b ) f ( b ), H ( ab 2
i0 b n 1 x i 1
f ( x )d x [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i0 2
n 1 i 1
n 1 h
h 2
[ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )].
记为
Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 i0 2 i0
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
nБайду номын сангаас
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
2 n 2
h
n n n n n
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
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不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
a i
k 0 k i k
b
n
i 0,1,, m
但对m 1次多项式却不能准确成 立,即只要
b
a
m1 x m 1dx Ak xk k 0
n
则称该求积公式具有m次的代数精度.
代数精度也称 代数精确度
可以证明，求积公式
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
定理7.2.1 Newton-Cotes求积公式的余项可表示为：
（1）对n为奇数的情形，设函数f ( x) Cn+1[a, b], 则
Rn [ f ] rnhn2 f ( n1) ()， [a, b]
其中
n 1 rn ( 1)( n)d (n 1)! 0
(2)
1 1 A0 h, A1 A2 An 1 h, An h 2 2
积分中值定理
I f ( x)dx (b a) f ( ),
a
b
[a, b]
但 具体位置一般是不知道的，
f ( ) 称为函数y=f(x)在区间[a, b]上的平均高度。
这样，只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地 便获得一种数值求积方法。 一般地，我们取[a,b]内若干个节点处的高度的加权平均的 方法近似地得出平均高度。
ba 为步长 n
其中 h
f ( x)的Lagrange 插值多项式及余项分别 为
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0
n
f ( n 1) ( ) Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其中 lk ( x)
n1 ( x) ( x xi ),
第七章 微积分的数值计算方法
§ 7.1
基本概念
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分
是微积分学中的基本问题。
I f ( x )dx
a
传统方法的困境 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 代数精度问题
返回章
b
传统方法的困境
对于积分
I ( f ) f ( x )dx
b a
b
b
I ( f ) f ( x)dx
a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx R ( x)dx
b
k 0 k k
a
n
Ak f ( xk ) Rn ( x)dx
k 0
n
b
a
其中 Ak lk ( x)dx
a
b
b
a
0 j n j k
（2）对n为偶数的情形，设函数f ( x) C n+2 [a, b], 则
Rn [ f ] rnhn3 f ( n2) ()， [a, b]
其中
n 1 2 rn ( 1)( n )d (n 2)! 0
2、低阶Newton-Cotes公式及其余项
记数值积分公式为
I n Ai fi , 即
i 0
n
I I n Rn
特点： 把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的 代数运算。 xi为节点 ，Ai 为求积系数。 需要做的工作： 1. 确定节点和求积系数；
2. 估计余项；
3. 讨论公式的算法设计及其数值稳定性。
插值型求积公式
I ( x 4 ) I1 ( x 4 )
所以该积分公式具有3次代数精确度
1、Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
设函数f ( x) C[a , b]
将积分区间 [a , b]分割为n等份
各节点为
xk a kh , k 0,1,, n
x
图7-0 矩形规则
如果改用许多小梯形之和近似曲边梯形的面积，如图7-1，就 会更精确些，这就是----梯形公式。
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1
xn-1
fn
xn =b
x
图7-1 梯形规则
b
a
f 0 f1 f1 f 2 f n 1 f n f ( x )dx h h h 2 2 2 n 1 n f0 fn h h f i Ai f i 2 i 1 i 0
a
b
如果知道f ( x)的原函数F ( x),则由Newton Leibniz 公式有
b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b ) F ( a )
b
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
(1) f ( x)的解析式根本不存在 , 只给出了f ( x)的一些数值 (2) f ( x)的原函数F ( x)求不出来, 如F ( x)不是初等函数 (3) f ( x)的表达式结构复杂 , 求原函数较困难
k 0 n
(2)
称为求积余项。
I [ f ] b f ( x )dx I R[ f ] n a n I n Ak f ( xk ) k 0 插值型求积公式 b Ak lk ( x )dx a b 1 ( n 1) R [ f ] f ( )n 1 ( x )dx ( n 1)! a
h ( 1)n k n (t j )dt k !( n k )! 0 0 j n
jk
n ( 1)n k (b a ) (t j )dt n k !( n k )! 0 0 j n jk
( n) Ak ˆ (b a) Ck
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数，也称求积系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图7-0所示，这就是----矩形公式：
判断求积公式“好”与“差”的标准
————代数精度
因此定义代数精度的概念:
定义1. 若求积公式
I ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) I n ( f )
b a
k 0
n
对任意次数不超过 m次的代数多项式 P ,即 i ( x)(i m)都准确成立
P ( x)dx A P ( x )
n
具有m次代数精度的充要条件是它对
f ( x) 1, x,, x
都能准确成立, 但对
m
f ( x) x
不能准确成立.
m1
显然，一个求积公式的代数精度越高， 它就能对更多的被积函数f(x)准确成立， 从而具有更好的实际计算意义。
结论： 含有n+1个节点的插值型求积公式 的代数精度至少为n.
最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式, 具体步骤如下:
在积分区间 [a , b]上取一组节点 a x0 x1 xn b
作f ( x)的n次插值多项式
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0 n
其中：lk ( x)(k 0,1,, n)为插值基函数
i0
0 j n jk n
x xj xk x j
( xk )( x xk )
' n 1
n1 ( x)
,
[ a, b]
而 f ( x) Ln ( x) Rn ( x) 因此对于定积分 I ( f ) a f ( x )dx 有 I ( f ) f ( x )dx a [ Ln ( x) Rn ( x)]dx
0
h
I1 1dx 2
h2 I1 2
对于 f ( x) x2
I
h 0
3 h x 2 dx 3
1 h3 3 2 ( 2 a ) h I1 ah [0 2h] 2 2 1 a 12