微专题之等和线

O

微专题之平面向量基本定理系数的等和线

【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】

（一） 平面向量共线定理

已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然 （二） 等和线

平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；

（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；

（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；

【解题步骤及说明】

1、 确定等值线为1的线；2

2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；

3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。 【典型例题】

例1、 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角

为0

120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。 若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。

跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1

cos 3

ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______

A

例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集

{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.

例3、如图，在扇形OAB 中，0

60AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，

OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.

跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，

设AE xAD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.

【强化训练】

1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.

2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ x AM yBN =+，则x y +的取值范围__________.

3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =

，2

3

BE BC =，若12DE AB AC λλ=+

A

C

（12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.

4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），

AP xAB y AD =+，则x y +的取值范围__________.

5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且0

30AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，

则

m

n

的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设

AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.

7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。若PMN ∆为以M 为直角顶点的直角三角

形，则x y - 取值的集合为_______。

8、平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中,OA OB 夹角为0

120，,OA OC 的夹角为0

30，且||||1OA OB ==，

||23OC =OC mOA nOB =+，则m n +的值为____________________。

9、如图，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若

OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围为___________。

10、已知O 为ABC ∆的外心，若(0,0),(2,0)A B ，21,3

AC BAC π

=∠=

，且AO AB AC λμ=+，则λμ+=________.

11、已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=，则对任意的正实数t ，1||c ta b t

++的最小

值为_______________.