微专题之等和线
高中数学应用等和线
一：等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +µOB ,()R ∈µλ,，若点 P 在直线AB 上或在平行AB 的直线上则=+µλ k(定值),反之也成立,我们把直线 AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。
（1当等和线恰为直线 AB 时，k=1；（2当等和线在O 点和直线AB 之间时,()1,0∈K ； （3当直线AB 在O 点和等和线之间时,()∞+∈.1K ； （4当等和线过O 点时,k =0；（5若两等和线关O 点对称，则定值k 互为相反数； （6定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；例1:给定两个长度为1的平面向量OA ,OB ,它们的夹角为 120°如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC =x OA +y OB ，则 x+y 的最大值是___________.例2：在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP =x AB +y AF ,则 x+y 的取值范围__________.____333的取值范围是，则若上的一个动点，为弧，中，：如图，在扇形例y x OB y OA x OC AB C AOB OAB ++==∠π例4：如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为AB 边上一动点，Q 为△SMN 内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=则x+y 的取值范围是______.OD OB y OA x OC OD OC λλλ==+==，那么若λλλ=+=+y x yx 即,1二：平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =−−===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BCDCOB +BC BD OC=CBB SS S +OB +CB CS S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++===∴ CB A S S S OD +−=OA∴CB A S S S +−OA =C B B S S S +OB +CB CS S S +OC ∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆ 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC C OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOBCOA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆∴C B A S S SAOB COA BOCtan :tan :tan ::=∆∆∆DO ABC四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
微专题7 等和线、奔驰定理、三角形四心
微专题7 等和线、奔驰定理、三角形四心1.平面向量等和线定理平面内一组基底OA→，OB →及任一向量OP →，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，且k ＝|OP ||OF |＝|OB 1||OB |＝|OA 1||OA |，则λ＋μ＝k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1，(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k ＝0. 2.三角形“四心”(1)点O 是△P 1P 2P 3的重心⇔OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0⇔S △P 2OP 3＝S △P 1OP 3＝S △P 1OP 2＝13S △P 1P 2P 3；(2)点O 是△P 1P 2P 3的垂心⇔OP 1→·OP 2→＝OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→⇔tan P 1·OP 1→＋tanP 2·OP 2→＋tan P 3·OP 3→＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝tan P 1∶ tan P 2∶tan P 3(△P 1P 2P 3不是直角三角形)；(3)点O 是△P 1P 2P 3的内心⇔aOP 1→＋bOP 2→＋cOP 3→＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝a ∶b ∶c (其中a ，b ，c 是△P 1P 2P 3的三边，分别对应角P 1，P 2，P 3)； (4)点O 是△P 1P 2P 3的外心⇔|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|⇔OP 1→sin ∠P 2OP 3＋OP 2→sin ∠P 1OP 3＋OP 3→sin ∠P 1OP 2＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝sin 2P 1∶sin 2P 2∶sin 2P 3. 3.奔驰定理如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.类型一 利用等和线求基底系数和的值利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.例1 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 答案 12解析 法一(通法) 由题意作图如图.∵在△ABC 中，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23. 故λ1＋λ2＝12.法二(利用等和线) 如图，过点A 作AF→＝DE →，连接DF .设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ， ∴AF ＝12AH ， 因此λ1＋λ2＝12.训练1 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34 C.23 D.12答案 B解析 法一(通法) ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA→＋μBD →，∴λ＝12，μ＝14， 则λ＋μ＝34.法二(等和线法) 如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|BE ||BF |.由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B.类型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值和最小值.例2 给定两个长度为1的平面向量OA→和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O 为圆心的弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________.答案 2解析 法一(通法)以O 为坐标原点，OA →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)， 由OC→＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.法二(等和线法) 如图所示，设x ＋y ＝k ，则直线AB 为k ＝1的等和线，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心O 最远，即此时k 取得最大值， 易知OE ⊥AB ， ∵OA ＝1，∠AOB ＝2π3， ∴OE ＝12，则k ＝|DO ||OE|＝112＝2，即x ＋y 的最大值为2.训练2 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32解析 法一(通法)分别以边OA ，OC 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则OC →＝(0，1)，OD →＝(2，0)，设P (x ，y )，OP→＝(x ，y )， ∴(x ，y )＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μ，y ＝λ， ∴λ＋μ＝12x ＋y ，设z ＝12x ＋y ，则y ＝－12x ＋z ，所以z 是直线y ＝－12x ＋z 在y 轴上的截距，由图可知，当该直线过点B (1，1)时，它在y 轴上的截距最大，为32；和直线CD 重合时，在y 轴上的截距最小，为1，故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，即λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.法二(等和线法) 如图，设λ＋μ＝k ，则直线CD 为k ＝1的等和线，所有与直线CD 平行的直线中，过点B 的直线离点O 最远，此时k 的值最大，且此时k ＝|OE ||OD |， 易知AD ＝DE ＝1，故此时k ＝32， 显然k 的最小值为1， 即λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.类型三 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题已知P 为△ABC 内一点，且xP A →＋yPB →＋zPC →＝0(x ，y ，z ∈R ，xyz ≠0，x ＋y ＋z ≠0)，则有(1)S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝|x |∶|y |∶|z |； (2)S △PBC S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x ＋y ＋z ， S △P AC S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋y ＋z ，S △P AB S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z x ＋y ＋z . 例3 (1)(2022·青岛模拟)已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13P A →，QR →＝13QB →，RP →＝13RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )A.14∶3B.19∶4C.24∶5D.29∶6答案 (1)C (2)B解析 (1)法一(通法) 延长CO 到点M ，使得OM→＝－m 3OC →，因为OA →＋2OB →＋mOC →＝0， 所以－m 3OC →＝13OA →＋23OB →， 即OM →＝13OA →＋23OB →， 所以A ，B ，M 三点共线， 又因为OC→与OM →反向共线，所以|OM →||CM →|＝m m ＋3，所以S △AOB S △ABC ＝|OM →||CM →|＝m m ＋3＝47，解得m ＝4.法二(奔驰定理法) 由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →＝0， 又OA→＋2OB →＋mOC →＝0， ∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m . ∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m＝47⇒m ＝4.(2)法一(通法) ∵QR →＝13QB →，∴以PQ 为底的△PQR 与△PQB 的高之比为1∶3， ∴S △PQB ＝3S △PQR ，即S △PRB ＝2S △PQR ，∵以BR 为底的△PBR 与△BCR 的高之比为1∶3， ∴S △BCR ＝3S △PBR ＝6S △PQR ， ∴S △PBC ＝2S △PBR ＝4S △PQR ， 同理可得S △ACP ＝S △ABQ ＝6S △PQR ， 所以S △ABC S △PBC ＝S △BCR ＋S △ACP ＋S △ABQ ＋S △PQR S △PBC＝19S △PQR 4S △PQR＝194.法二(奔驰定理法) 由QR→＝13QB →，得PR →－PQ →＝13(PB →－PQ →)，整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29P A →， 由RP→＝13RC →，得RP →＝13(PC →－PR →)， 整理得PR→＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29P A →， 整理得4P A →＋6PB→＋9PC →＝0， ∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.训练3 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________. 答案 4解析 法一(通法)∵D 为AB 的中点，则OD→＝12(OA →＋OB →)，又OA→＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD→＝－OC →，∴O 为CD 的中点. 又∵D 为AB 的中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ， 则S △ABCS △AOC＝4. 法二(奔驰定理法) 因为OA →＋OB →＋2OC →＝0， 根据奔驰定理， 所以S △ABC S △AOC＝1＋1＋21＝4.类型四 与三角形四心有关的问题所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.解题时，要结合题目已知条件，充分利用各“心”的性质，巧妙转化.例4 过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC→＝34AC →，QC →＝nBC→，则n 的值为________.答案 35解析 如图，因为O 是重心，所以OA→＋OB →＋OC →＝0， 即OA →＝－OB →－OC →，PC→＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC → ＝－34OB →－12OC →.QC→＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ → ＝nOB→＋(1－n )OC →， 因为P ，O ，Q 三点共线， 所以OP→∥OQ →， 所以－34(1－n )＝－12n ， 解得n ＝35.训练4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝________. 答案 π6解析 由G 是△ABC 的重心， 则GC→＝－GA →－GB →，因此aGA →＋bGB →＋33c (－GA →－GB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c GA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c GB →＝0，又GA→，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0， 即a ＝b ＝33c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0<A <π，故A ＝π6.一、基本技能练1.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若CD→＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13C.－13D.－23答案 A解析 由于D 是AB 边上一点，所以A ，B ，D 三点共线，所以13＋λ＝1，λ＝23. 2.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 A解析 法一(通法) 设BM→＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2， ∴λ＋μ＝12.法二(等和线法) 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ， 则k ＝|AN →||AM →|.由图易知，|AN→||AM →|＝12，故选A.3.(2022·武汉质检)已知△ABC ，平面内一动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则动点P 过△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心答案 A解析 ∵AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB→，AC → 方向上的单位向量，∴AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与∠BAC 的角平分线一致. ∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP→的方向与∠BAC 的角平分线一致，∴一定通过△ABC 的内心.4.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →，则m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 B解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点， ∴AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM→＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →， ∴m ＝3.5.若H 为△ABC 所在平面内一点，且|HA →|2＋|BC →|2＝|HB →|2＋|CA →|2＝|HC →|2＋|AB →|2，则点H 是△ABC 的( ) A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心答案 D解析 ∵|HA →|2－|HB →|2＝|CA→|2－|BC →|2， ∴(HA→＋HB →)·BA →＝(CA →＋CB →)·BA →， 即(HA→＋HB →－CA →－CB →)·BA →＝0，即(HC →＋HC →)·BA →＝0， ∴AB→⊥HC →， 同理AC→⊥HB →，BC →⊥HA →， 故H 是△ABC 的垂心.6.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( ) A.32 B. 3 C.3 D.23答案 C解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB→＝－OC →， 故点O 是BC 的中点，且△ABC 是直角三角形，又△ABC 的外接圆半径为1， |OA→|＝|AB →|， ∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°， ∴CA→·CB →＝3×2×32＝3. 7.点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( ) A.29，49 B.49，29 C.19，29 D.29，19 答案 A解析 根据奔驰定理，得 3OA→＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0， 整理得AO→＝29AB →＋49AC →，故选A.8.(2022·广州调研)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.33 B. 3 C.32 D.23答案 A解析 ∵OA→＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心， ∴S △OBC ＝13S △ABC ， ∵AB→·AC →＝2， ∴|AB→||AC →|cos ∠BAC ＝2， ∵∠BAC ＝60°，∴|AB→||AC →|＝4，又S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3， ∴△OBC 的面积为33.9.若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( ) A.12 B.13 C.14 D.2 答案 A解析 法一(通法) 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →， 从而BD→＝2BM →， 即M 为BD 的中点， 于是S △ABM S △ACM ＝S △AMD 2S △AMD ＝12.法二(奔驰定理法) 由BA →＋BC →＝4BM →，得AM→＋2BM →＋CM →＝0， 根据奔驰定理得，S △ABM S △ACM ＝12.10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC→＝a ，BD →＝b ，且AF →＝λa ＋μb ，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12答案 A解析 (等和线法)如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB→＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为________.答案23解析 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AO ||AM |. 由题设知O 为△ABC 重心，|AO ||AM |＝23. 12.设O 为△ABC 内一点，且AO →＝13AB →＋14AC →，则S△OAB ∶S △OBC ＝________. 答案 35解析 由AO→＝13AB →＋14AC →可得－12OA →＝4(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)，整理得5OA →＋4OB →＋3OC →＝0，∴S △OAB ∶S △OBC ＝35. 二、创新拓展练13.如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围为( )A.[0，1]B.[0，2]C.[0，3]D.[0，4]答案 C解析 (等和线法)设λ＋μ＝k ，则直线BC 为k ＝1的等和线，所有与BC 平行的直线中，过点A 时，k ＝0，过点D 的距离BC 最远，由于△BCD 与△ABC 的面积之比为2，故二者的高之比也是2，故k 的最大值为3，即λ＋μ∈[0，3].14.已知正三角形ABC 的边长为2，D 是边BC 的中点，动点P 满足|PD →|≤1，且AP →＝xAB →＋yAC →，其中x ＋y ≥1，则2x ＋y 的最大值为( ) A.1 B.32 C.2 D.52答案 D解析 ∵动点P 满足|PD→|≤1， ∴P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆及内部，设圆D 与边AB 交于点B 1，连接B 1C ，则B 1C ⊥AB ，且B 1是AB 中点， 则AB 1＝12AB ， ∵AP→＝xAB →＋yAC →， ∴AP →＝2xAB 1→＋yAC →， ∵x ＋y ≥1，由等和线性质知P 点在直线B 1C 左下方，如图，作直线B 1C 的平行线l 与圆D 相切于P ，由等和线性质知，此时2x ＋y 有最大值，延长AB 交l 于点B 2，∴(2x ＋y )max ＝AB 2AB 1＝1＋12＋11＝52. 15.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF→(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________.答案 [3，4]解析 (等和线法)直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM .设正六边形的边长为2，则AN ＝3，AM ＝1，AD ＝4，故α＋β∈[3，4]. 16.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B ＝________. 答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心， ∴GA→＋GB →＋GC →＝0， 又sin A ·GA→＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，∴sin A ＝sin B ＝sin C ，即a ＝b ＝c ，则△ABC 是等边三角形， 故B ＝60°.。
专题三 平面向量的等和线(含解析)
专题七 平面向量的等和线根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →＝xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y ＝1，反之如果x ＋y ＝1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1．以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y ＝0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →＝kPF →(其中k ＝|PC ||PF |＝|PE ||P A |＝|PD ||PB |)，则PC →＝kPF →＝kλP A →＋kμPB →．又PC →＝xP A →＋yPB → (x ，y ∈R )，所以x ＋y ＝kλ＋kμ＝k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数． 考点一 根据等和线求基底系数和的值 【方法总结】根据等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA→＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)．答案 ①③ 解析 由向量共线的充要条件可得，当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA →＋vOB →成立，且u ＋v ＝1，所以点P 位于阴影区域内的充要条件是“满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v ＞0，u ＋v ＞1”．①因为1＋2＞1，所以点P 位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正确；⑤原式＝34OA →＋(OA →－OB →)＋23OB →＝74OA →－13OB →，而－13<0，故不符合条件．综上可知，只有①③正确．(2)设向量OA →，OB →不共线(O 为坐标原点)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且0≤λ≤μ≤1，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A 解析 当λ＝0时，OC →＝μOB →，故点C 所有可能的位置区域应该包括边界OB →或OB →的一部分，故排除B ，C ，D 项．故选A 项．(3)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．1答案 A 解析 通法 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN ||AM |．由图易知，|AN ||AM |＝12，故选A ．(4)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析 通法 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF→＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43． 等和线法 如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |＝43，故选B ． A(5)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为_______．答案 23 解析 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k＝|AO ||AM |．由图易知，|AO ||AM |＝23． B(6)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于()BA ．1B ．34C ．23D ．12答案 B 解析 通法 ∵为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．等和线法 如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B ．(7)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．54答案 C 解析 法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．等和线法 如图，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，则MT 为值是1的等和线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AB ||AT |．由图易知，|AB ||AT |＝45，故选C ．(8) (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→答案 12 解析 如图，过点A 作AF →＝DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ，∴DF ＝12BH ，因此λ1＋λ2＝12．(9)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，且AF →＝λa ＋μb ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．12答案 A 解析 等和线法 如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G 三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A ．C考点二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围) 【方法总结】根据等和线求基底的系数和的最值(范围)的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．当点P 是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线l ，因点P 无论在l 何处，对应α＋β的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”(或“等值线”)，然后将“等和线”l 在动点P 的“可行域”内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法”．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈答案 [3，4] 解析 等和线法 直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[AN AM ，ADAM]＝[3，4]．(2)(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2 解析 通法 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．等和线法 令x ＋y ＝k ，所有与直线AB 角度，不难得到k ＝|DO ||OE |＝2．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法 过动点P 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 等和线法 如图，作CE ⊥BD 于E ，由△CDE ∽△DBA 知CE DA ＝CD BD ，即CE 1＝110，所以CE ＝1010，设与BD 平行且与圆C 相切的直线交AD 延长线于点F ，作DH 垂直该线于点H ，显然DH ＝2CE ＝105，由△DFH ∽△BDA 得DF BD ＝DH BA ，即DF10＝105 3，所以DF ＝23，过点P 作直线l ∥BD ，交AD 的延长线于点M ，设t ＝AMAD，则x ＋y ＝t ，由图形知“等值线”l 可从直线BD 的位置平移至直线FH 的位置(不包括BD 和FH )，由平面几何知识可得1＝AD AD <AM AD <AF AD ＝53，即1<t <53，故x ＋y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53.(5)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 为CD 的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 上一动点，Q 为三角形SMN 内一点(含边界),若PQ →＝xAM →＋yBN →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 [34，1] 解析如图，作PE →＝BN →，PF →＝AM →，过S 直线MN 的平行线，由等和线定理知，(x ＋Ay )max ＝1，(x ＋y )min ＝34．(6)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．等和线法 BM →＝xBA →＋yBD →＝2x (12BA →)＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，作出值1为的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB ||PB |＝2．∴2x ＋y 取得最大值2．故选C ．(7) 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1，0) 解析 通法 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．等和线法 如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．(8)已知点O 为△ABC 的边AB 的中点，D 为边BC 的三等分点，DC ＝2DB ，P 为△ADC 内(包括边界)任一点，若OP →＝xOB →＋yOD →，则x －2y 的取值范围为________．答案 [－8，－1] 解析 等和线法 如图，延长DO 至点E ，使DO ＝2OE ，则OE →＝－12OD →，则OP →＝xOB →＋yOD →＝xOB →＋(－2y ) OE →，令z ＝－2y ，则x －2y ＝x ＋z ，OP →＝xOB →＋zOE →，设过点A ，C ，P 与BE 平行的直线分别为为l 1，l 2，l ，设l ，l 2交线段OD 延长线于点M ，H ，l 1交线段OD 于点K ，令x ＋z ＝t ，由图形知，t ＝－OMOE ，“等和线”l 可从l 1的位置平移至l 2的位置，由平面几何知识可知△OBE ≌△OAK ，△DBE∽△DCH ，所以OE OK ＝OB OA ＝1，BD CD ＝DE DH ＝3OE DH ＝12，所以1＝OK OE ≤OM OE ≤OH OE ＝OD ＋DH OE ＝2OE ＋6OEOE ＝8，则－8≤t ≤－1，故x －2y 的取值范围为[－8，－1]．(9)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________．答案 12 解析 通法 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，C (1，1)，D (0，1)．设P (cos θ，sin θ)，∴AC →＝(1，1)，AP →＝(cos θ，sin θ)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，∵AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝⎛⎭⎫λ2＋μcos θ，－λ＋μsin θ＝(1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，∴λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ．∴(λ＋μ)′＝6＋6sin θ－3cos θ(2cos θ＋sin θ)2>0，故λ＋μ在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，∴当θ＝0，即cos θ＝1时，λ＋μ取最小值为3＋0－22＋0＝12．等和线法 由题意，作AK →＝DE →，设AD →＝λAC →，直线AC 与PK 直线相交于点D ，则有AD →＝λxAK →＋λyAP →，由等和线定理，λx ＋λy ＝1，从而x ＋y ＝1λ，当点P 与B 点重合时，如图，λmax ＝2，此时，(x ＋y ) max ＝12．(10) (2013·安徽)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．22B ．23C ．42D ．43答案 D 解析 等和线法 如图，分别作OC →＝－OA →，OD →＝－OB →．当λ≥0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域1；当λ≥0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域2；当λ<0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域3；当λ<0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域4．综上所述可得，点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域即图中的矩形区域，其面积S ＝2×23＝43．故选D ．【对点训练】1．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →， 则λ＋μ的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4]ABCDO 1342A1．答案 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝0，(λ＋μ)max ＝3．故选C ．2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →， 则μ的取值范围是________．2．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 通法 由题意可求得AD ＝1，CD＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上， ∴DE →＝λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 等和线法 如图，(1＋μ)min ＝1，μmin ＝0．(1＋μ)max ＝32，μmax ＝12．3．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意 一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________．3．答案 [1，32] 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝1，(λ＋μ)max ＝32．4．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上 运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．24．答案 B 解析 通法 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋ 2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2．等和线法 确定值为1的等和线AB ，过动点C 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|CO ||PO |．由图易知，当等和线与圆相切时，k 取最大值，此时|MO ||NO |＝2，∴x ＋y 取得最大值2．故选B ．5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆 上及其内部的动点，设AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________．5．答案 [2，5] 解析 等和线法 如图1时，m ＋n 的值最小且m ＋n ＝ANAB ＝2，如图2时，m ＋n 的值最大且m ＋n ＝AMAB＝5，6．如图，已知点P 为等边三角形ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为______．F6．答案 73 解析 等和线法 由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为|AP ||AM |＝43，x 2＋y 2的最小值为|AQ ||AM |＝13．故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|(2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)| ≤43＋13＝73．7．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．7．答案 [1，3] 解析 等和线法 依题意，OC →＝xOA →＋3y (OB →3)，如图，作OB ′→＝OB →3，重新调整基底为OA →，OB →′，设k ＝x ＋3y ，显然，当C 在A 点时，经过k ＝1的等和线，当C 在B 点时，经过k ＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．8．如图，G 为△ADE 的重心，P 为△GDE 内任一点(包括边界)，B ，C 均为AD ，AE 上的三等分点(靠近 点A )，AP →＝αAB →＋βAC →，则α＋12β的取值范围是________．P8．答案 ⎣⎡⎦⎤32，3 解析 等和线法 如图，在线段AE 上取点F ，使AC ＝CF ，则AP →＝αAB →＋12βAF →，设12β ＝γ，则AP →＝αAB →＋γAF →，连接BF ，延长EG 交AD 于点H ，因为G 为△ADE 的重心，所以H 为AD 的中点，又B ，C 均为AD ，AE 上靠近点A 的三等分点，所以AF FE ＝ABBH ＝2，所以BF ∥HE ，过点P 作直线l ∥HE 交AD 于点M ，设α＋γ＝t ，则t ＝AMAB ，由图形知，“等值线”l 可从直线HE 的位置平移到过点D 的位置，由平面几何知识可知32＝AH AB ≤AM AB ≤AD AB ＝3，故32≤t ≤3，即α＋γ∈⎣⎡⎦⎤32，3，故α＋12β的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3． 9．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC xOA yOB =+．其中x ，y ∈R ，则23x y +的最大值是( )AB ．3 CD ．5 9．答案 A 解析 通法点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，∴可以设圆的参数方程cos x θ=，sin y θ=，[0θ∈︒，90]︒，232cos 3sin )x y θθθϕ∴+=+=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=，3513x y∴+，当且仅当sin()1θϕ+=时取等号．x y ∴+当三角函数取到1时成立．故选A ．等和线法 OC →＝xOA →＋yOB →＝2x (12OA →)＋3y (13OB →)＝2xOE →＋3yOF →，2x ＋3y ＝k ，则k ＝|OD ||OM |＝13．10．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y的最大值为________．10．答案 2 解析 通法 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋ 2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2． 等和线法 可转化为例2(2)．11．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， 则5λ＋3μ的最大值为______． 11．答案102解析 通法 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0， 3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．等和线法 AP →＝λAB →＋μAD →＝5λ→)＋3μAD →)＝5λAM →＋3μAN →，5λ＋3μ＝k ，则k＝102．12．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x －y 的取值范围是________．BAN12．答案[1-，1]解析通法设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中1(2A；(1,0)B；(cos,sin)Cθθ（其中(0)3BOCπθθ∠=，有若OC→＝xOA→＋yOB→＝(cosθ，1sin)(2xθ=(1y+，0)；整理得：1cos2x yθ+=sinxθ=，解得xcosyθ=，则cos cos2sin()6x yπθθθθ-=-+-=-，其中(0)3πθ；易知cos cos2sin()6x yπθθθθ-==-=-，为增函数，由单调性易得其值域为[1-，1]，故答案为[1-，1]．等和线法13．如图，在直角梯形ABCD中，AB AD⊥，//AB DC，2AB=，1AD DC==，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为12，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC=+，其中x，y∈R，则4x y-的最大值为()A．34-B．3+C．2D．3+ 13．答案B解析以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A，(0,1)D，(1,1)C，(2,0)B，直线BD的方程为220x y+-=，C到BD的距离d，∴圆弧以点C为圆心的圆方程为221(1)(1)4x y-+-=，设(,)P m n则(,)AP m n=，(0,1)AD=，(2,0)AB=，(1,1)BC=-，若AP xAB yBC=+，(m∴，)(2n x y=-，)y，2m x y∴=-，n y=，P在圆内或圆上，221(21)(1)4x y y∴--+-，设4x y t-=，则4y x t=-，代入上式整理得2280(4816)870x t x t-+++，A设22()80(4816)870f x x t x t =-+++，1[2x ∈，3]2，则1()023()02f f ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得5232t +，故4x y -的最大值为3，故选B ．等和线法14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝π3，C 为弧AB 上，且与A ，B 不重合的一个动点，OC→＝xOA →＋yOB →，若u ＝x ＋λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( )A ．1(, 1)2B ．(1, 3)C ．1(, 2)2D ．1(, 3)314．答案 C 解析 通法 以O 为原点，OB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设(0)3COB πθθ∠=<<， 1OB =，则(cos ,sin )C θθ，(1,0)B ，1(2A ，由OC xOA yOB =+，得1cos 2sin y x θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴cos x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos (0)3u x y πλθλθθ∴=+=+<<，(0)u x y λλ=+>存在最大值，()u θ∴存在极值点，sin u θλθ'∴=-在(0,)3πθ∈上有零点．令0u '=，则tan θ，(0,)3πθ∈，∴tan θ，∴122λ<<，λ∴的取值范围为1(,2)2．故选C ．等和线法15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点A ，B 满足||||2OA OB ==，1OA OB =，则点集{}|, ||||2, , P OP OA OB λμλμλμ=++∈R 所表示的区域的面积是( )A ．B ．C ．D ．15．答案 D 解析2cos 1OA OB AOB =⨯∠=，1cos 2AOB ∴∠=，即60AOB ∠=︒．（1）若0λ>， 0μ>，设2OE OA =，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=+，||||2λμλμ+=+，故当2λμ+=时，E ，F ，P 三点共线，故点P 表示的区域为OEF ∆，此时1sin602OEF S ∆=⨯︒=．(2)若0λ<，0μ>，设2OE OA =-，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=-+，||||2λμλμ+=-+，故当2λμ-+=时，P ，E ，F 三点共线，故点P表示的区域为OEF ∆，此时1sin1202OEF S ∆=⨯︒=同理可得：当0λ>，0μ<时，P 点表示的区域面积为当0λ<，0μ<时，P点表示的区域面积为，综上，P 点表示的区域面积为4=．故选D ．等和线法。
微专题——等和线
【基本定理】
(—)面向量共线定理
已知OA=AOB-^^uOC，若2+“=1，则A.B.C三点
共线；反之亦然
OP=/JOA+,若点P在直线4&上或者
在平行于丸B的直线上,则兄+“=&(定值)，反之也成立,我们把直线加以及与直线加平行的直线称为等和线。
(1)当等和线恰为直线如时〃=1；
(2)当等和线在O点和直线脑之间时，k e(0,1)；
(3)当直线肋在点。
和等和线之间时，k e(1,+s);
(4)当等和线过O点时，k=0;
(5)若两等和线关于0点对称，则定值卅互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、等值线为1的线；
2、平移(旋传或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致「本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要硏究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
引例1•若点4B,C互不重合，卩是/I,场C三点所在平面上的任意一点耳满足PC=xPA+y两，则A.SC三点共线o耳+y=1•
证明:⑴由兀+»=1n A,B,C三点共线.
由x+尹=1得凤=xPA+y两=xPA+(1_JV)两^~PC-~PB=x(PA-~PB)^>BC=xBA.
即BC7BA共线故/L B,C三点共线.
⑵由A.B.C三点共线=>x+y=1.
由ZC三点共线得BC.BA共线，即存在实数x使得
BC=xBA.
故比-同=x{PA-PB)^>PC=xPA+(\-x)PB.令y=1—兀,则有x+尹=1.。
平面向量的等和线问题.ppt
平面向量 复习课(2)
平面向量共线定理 : 已知OA OB OC , 若 1, 则A, B , C 三点共线, 反之亦然. 等和线 : 平面内的一组基底OA, OB及任一向量OP , OP OA OB , 若点P 在直线AB上或平行于AB的直线上, 则 k (定值 ), 反之亦成立.我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线. (1)当等和线恰为AB时, k 1; ( 2)当等和线恰在O点与AB之间时, k (0,1); (3)当直线AB在O点与等和线之间时, k (1, ); ( 4)当等和线过O点时, k 0; (5)若两等和线关于O点对称, 则定值互为相反数; (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
航空都获得了一定程度的发展。
(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，
一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的
联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
平面向量等和线的应用
平面向量等和线的应用前文《向量运算，莫失良“技”（1）》提及的第一个技巧，就是运用共起点的三个向量终点共线的充要条件（即：如图，已知OB OA ,不共线，设OB OA OP μλ+=，则P B A ,,三点共线1=+⇔μλ）解决问题．其中的点P 可以是直线AB （即l ）上的任意一点．那么，当点P 不在直线l 上时，μλ+的值当然也不再为1，那它的值有什么变化特点呢？这正是本文要研究的问题．设μλ+=k ，如图，若点P 在与直线l 平行的直线上时，k 仍是定值，只是不再为1，我们把直线l 以及它的平行线都叫做等和线，这正是本文的主角，它具有以下性质：1．当等和线： ①过点O 时，0=k ；②在点O 与直线l 之间时（如2l ），)1,0(∈k ； ③为直线l 时，1=k ；④与点O 分居直线l 的两侧时（如1l ），),1(+∞∈k ． 2．若两条等和线关于点O 对称，则它们的k 值互为相反数． 3．同号的k 值之比等于点O 到等和线的距离之比．现在，等和线由原来一条变成一类，无数条；和值也变成无数个，能取到任意实数．拓展之后，又可以生发出新的解题技巧，真可谓是一线生“技”呀！下面举例展示．一、求k 值例1 （2013年江苏高考10）设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，BC BE AB AD 32,21==，若AC AB DE 21λλ+=（R ∈21,λλ），则=+21λλ ．分析：如图，通过作辅助线把DE 转移到AG 处，然后根据等和线的性质 3求解．解：如图，过点D 作BC DF //交AC 于F ，则F 是边AC 的中点；延长BC 到H ，使得BE EH =，连接AH ，交DF 于G ．则DE AG =．因为DF 就是关于AC AB ,的一条等和线，且21=k ，AG 的终点G 在直线DF 上，所以2121=+λλ． 评注：等和线应用的前提是共起点的三个向量，本例条件不具备这个前提，采用了平移向量的方法凑齐了三个这样的向量．细心的你或许会发现，其实本例的答案与点E 的位置无关，它可以是边BC 上的任2FG H一点．变式1 （2018年安徽安庆二模）在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得AC AB BM μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21 B ．21- C ．2 D ．2- 分析：如图，以MB MA ,为邻边建立平行四边形，把BM 转移到EA 处，进而得AC AB AE μλ--=，即可运用等和线求解．解：如图，以MB MA ,为邻边建立平行四边形MAEB ，连接ME ， 由BDME 是平行四边形，可得BC ME //．因为AC AB AE BM μλ+=-=，所以AC AB AE μλ--=，所以21=--μλ，所以21-=+μλ．选B ． 评注：本题是运用平行四边形转移向量.运用等和线解决问题，与运用三点共线的充要条件一样，关键也是建立共起点．．．的三向量的线性关系式． 二、求k 的最值或范围（一）求k 的最值例2 （2017年高考全国Ш卷12）在矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AD AB AP μλ+=，则μλ+的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2分析：如图，显然直线BD 是1=k 时的等和线，向右下平移直线BD ，则会产生一系列等和线，它们先后与圆相交，相切，相离，其中与圆相切于点P 的等和线，是距离点A 最远的等和线，所以它的k 值最大．如何求解呢？还是依据性质3，运用点A 到等和线的距离之比等于k 之比求解．解：如图，等和线为BD 时，1=k ．设与BD 平行的圆的另一条切线为l ，则当点P 在l 上， 即点P 为切点时，μλ+的值最大．因为CE 等于圆的半径，且PD CE ⊥，所以点A 到切线l 的距离等于到直线BD 距离的3倍，所以μλ+的最大值为3．选A ．评注：求k 的最值，一般需先找到1=k 时的等和线，然后EAB运用等和线的性质3求解．大家可以尝试或查阅一下本例的常规解法，那是相当繁复而崎岖，毕竟它是当年高考压台的选择题．而用等和线呢？让我们一起再次引吭高呼那两个字：秒杀！变式2 （2019年绍兴高一期中）给定两个长度为1的平面向量OB OA ,，它们的夹角为︒120，点C 在以O 为圆心的劣弧AB 上，若),(R y x OB y OA x OC ∈+=，则y x +的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：把题意转化成点C 在扇形及其内部不影响最终结果．如图，直线AB 是1=k 的等和线，过弧AB 中点N 的直线l 应是k 值最大 的等和线（根据垂径定理和切线的性质定理易知），所以y x +的最大值为21==⨯OMOA OM ON ．选B ． 变式3 （2019年云南昆明高一期末）在ABC ∆中，BC AB BC AB ⊥==,8,6，M 是ABC ∆外接圆上一动点，若AC AB AM μλ+=，则μλ+的最大值为（ ）A ．1B ．45 C ．34D ． 2 解：如图，直线BC 是1=k 的等和线，平移直线BC 至l ，使直线l 与圆相切于点M ，则M 为劣弧BC 的中点（根据垂径定理和切线的性 质定理），则直线l 就是使k 值最大的等和线．易求圆O 的半径为5，所以23525=-=-=-=ABON OM NM ． 所以μλ+的最大值为为=+=+⨯6261AB NM AB 34．选C ．评注：上述三个题都是当动点在圆（圆弧）上时，求k 的最值问题，这个最值往往在切点处取得，求解时离不开垂径定理和切线的性质定理.（二）求k 的范围例3 （2019年湖南郴州高三模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AD n AB m AP +=，则n m +的取值范围是 ．分析：先找到1=k 时的等和线，然后找到最高圆和最低圆， 则两圆与1=k 等和线平行的其中一条切线就应分别是使得k 值取M NA BOlAD Al得最值的两条等和线，进而求解.解：如图，直线BD 是1=k 的等和线．圆B 和圆C 分别是圆Q 的最低和最高位置，分别在两圆的外侧作直线BD 的平行线l m ,，则它们分别是使n m +取得最小值和最大值的两条等和线． 所以n m +的最小值为421221221-=-⨯，最大值为422221241+=+⨯，所以n m +的取值范围是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-422,421．变式4 （2019年浙江杭州高二期末）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若AD n AB m AP +=，则n m +的取值范围是 ．解：是个福利题，答案：)2,1(变式5 （2019年衡水中学高三模拟）已知直角ABC ∆中，5,4,3===BC AC AB ，I 是ABC ∆的内心，P 是IBC ∆内部（不含边界）的动点，若)R ,(∈+=μλμλAC AB AP ，则μλ+的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,127B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,31)C ．⎪⎭⎫⎝⎛127,41D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41解：如图，直线BC 是1=k 的等和线，过点I 且与直线BC 平行的直线l 是使k 值最小的等和线．因为点A 到直线BC 的距离为512543=⨯，圆I 的半径为154343=++⨯，所以直线l 对应的12751215121=-⨯=k ．所以μλ+的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,127．（三）求与k 相关的量的范围例4 （黑龙江省实验中学2020届高三月考）如图，圆O 是边长为32的等边ABC ∆的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，),(R y x BD y BA x BM ∈+=，则y x +2的最大值为（ ）ClA ．2B ．3C ．2D ．22分析：解答本题的关键是给y x +2办身份证，还得与等和线联系起来，方法是把条件式中的向量BA 换成BE ，则x 就变成了x 2，则DE 就是1=k 的等和线，AC 就是使k 取得最大值的等和线.解：如图，直线DE 是1=k 的等和线，AC 就是使k 取得最大值的等和线. 因为DE AC //，且DE AC 2=，所以y x +2的最大值为2．选C ． 评注：若你有兴趣，可求一下y x +2的最小值.变式 6 （2017年浙江温州期末考试）如图，在OMN ∆中，B A ,分别是ON OM ,的中点，若),(R y x OB y OA x OP ∈+=，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则21+++y x y 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,31C ．⎦⎤⎢⎣⎡43,41D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,41解：直线AB 是1=k 的等和线，直线MN 是2=k 的等和线，所以]2,1[∈k ．因为无论点P 落在何处，0≥y ，所以当0,2==y k 时，21+++y x y 取得最小值41．对于每一条等和线，k 是定值，y 的最大值恰好是k ，所以21+++y x y 的最大值函数为21)(++=k k k f211+-=k ，所以当2=k 时，21+++y x y 取得最大值43． 所以21+++y x y 的取值范围是⎦⎤⎢⎣⎡43,41．选C ．E。
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地 OA, OB 及任一向量 OC ，OC = λOA + μOB(λ，μ ∈ R)，若点C 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ + μ = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及直线 AB 平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线 AB 时， k =1；（2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k ∈(0,1)；（3）当直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k ∈(1,+∞)；（4）当等和线过 O 点时， k =0；（5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数；（6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比；⎛ x y ⎫简证，如图1若 OC = λOD ，那么 OC = xOA + yOB = λ OA + OB⎪ = λOD ，λ λ⎝ ⎭从而有x+y= 1 ，即x+y= λ．另一方面，过C点作直线l // AB，在l上任作一λ λ点 C'，连接 OC'⋂ AB = D'，同理可得，以 OA, OB 为基底时，OC'对应的系数和依然为λ .三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形 ABCD中， AB =1， AD =2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ的最大值（）A .3B .22C . 5D .2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时，λ + μ最大，此时λ + μ =AF=AB+BE+EF=3AB=3,故选 A .AB AB AB练习 1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM // AB ，点 P 在由射线 OM 、射线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 OP = xOA + yOB（1）则 x 的取值范围是；（2）当 x = - 1 时， y 的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然 x <0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0< x + y <1，结合 x = -12，可得12< y <32.练习2：(衡水中学 2018届高三二次模拟)如图4，边长为 2 的正六边形ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为1，圆心在线段 CD （含短点）上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP = m AB + n AF(m, n ∈ R)，则 m + n 的取值范围是（）A .(1,2] B .[5,6] C .[2,5] D .[3,5]【分析】如图5，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AG = 2 AB = 2 .此为m+n1 AB AB的最小值；同理，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AH = 5 .此为m+n2 AB的最大值.综上可知 m + n ∈[2,5].（二）基底起点不同例 2：（2013 年江苏高考第 10 题）设 D , E 分别是 ∆ABC 的边 AB , BC 上的点，且有 AD =12 AB , BE = 23 BC , 若 DE = λ1 AB + λ2 AC (λ1 , λ2 ∈ R )，则 λ1+ λ2 的值为【分析】过点 A 作 AF = DE ,设 AF , BC 的延长线交于点 H ，易知 AF = FH ，即 AF = FH ，即 DF 为 BC 的中位线，因此 λ1 + λ2 =12 .练习 3：如图 7，在平行四边形 ABCD 中，M , N 为 CD 的三等分点，S 为 AM 与 BN 的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 ∆SMN 内一点（含边界），若 PQ = x AM + y BN ，则 x + y 的取值范围是 .【分析】如图 8 所示，作 PS = AM ，PT = BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理⎡3 ⎤可知， x + y ∈ ⎢ ,1⎥ .4 ⎣ ⎦（三）基底一方可变例 3：在正方形 ABCD 中，如图 9， E 为 AB 中点， P 以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 AC = x DE + y AP ，则 x + y 的最小值为 .【分析】由题意，作 AK = DE ，设 AD = λ AC ，直线 AC 与直线 PK 相交与点 D ，则有AD = λx AK + λy AP ，由等和线定理，λx + λy =1，从而 x + y =λ1，当点 P与点 B 重合时，如图10，λmax= 2 ，此时，(x+y)min=1 2．练习4：在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P 在曲线Γ：y = 1 -x42(x≥ 0)上，曲线Γ与 x 轴相交于点 B ，与 y 轴相交于点 C ，点 D(2,1)和 E(1,0)满足OD = λCE + μOP(λ,μ ∈ R)则λ + μ的最小值为___.【分析】作CE = OA ，令 OD1= xOD ,有 OD1= xλOA + xμOP ，由等和线定理， xλ + xμ =1，所以λ + μ =1x，如图11，再由等和线定理，得(λ + μ)min=12 .（四）基底合理调节例题4：（2013 年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A, B 满足 OA = OB = OA⋅OB =2，则点集{P OP = λOA + μOB,λ + μ ≤1,λ,μ ∈ R}所表示的区域面积是（）A .22B .23C .42D .4 3【分析】由 OA = OB = OA⋅OB =2可知，OA, OB = π3 .如图 12 所示，当 λ ≥ 0，μ ≥ 0 时，若λ + μ = 1 ，则点P位于线段AB上；当λ ≥ 0，μ ≤ 0 时，若λ - μ = 1，则点P位于线段 AB'上；当λ ≤0，μ ≥0时，若- λ + μ =1，则点 P 位于线段 A' B 上；当λ≤ 0，μ ≤ 0 时，若- λ - μ = 1 ，则点P位于线段A'B'上；又因为λ + μ ≤ 1 ，由等和线定理可知，点 P 位于矩形 ABA' B'内（含边界）.其面积 S =4S∆AOB=4 3 .衡阳市数学学会练习5：如图13所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若 OC = mOA + nOB ，则 m + n 的取值范围是.【分析】作 OA, OB 的相反向量 OA1, OB1，如图14所示，则 AB // A1 B1，过 O 作直线 l // AB ，则直线 l ， A1 B1为以 OA, OB 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，-1 ，由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线 l 与直线 A1 B1之间，所以 m + n ∈(-1,0).练习6：如图15，在扇形 OAB 中，∠AOB =π3， C 为弧 AB 上的一个动点，若OC = xOA + yOB ，则 x +3 y 的取值范围是．【分析】，令 OB'=OB，依题意， OC = xOA +3 y OB⎪⎛ ⎫⎪3⎝ 3 ⎭重新调整基底 OA, OB'.显然，当 C 在 A 点时，经过 k =1的等和线， C 在 B 点时经过 k =3的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和x+ 3 y∈[1,3].（五）“基底+”高度融合例 5 ：已知三角形∆ABC 中， BC =6 ， AC =2 AB ，点 D 满足AD = 2x AB + y AC ，设f(x,y)= AD ， f (x, y)≥ f (x , y )恒成立，2(x+y)x + y 0 0则 f (x0, y0)的最大值为.【分析】衡阳市数学学会本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图16所示，以 BC 为 x 轴，中垂线为 y 轴建立直角坐标系，易知点 B 的轨迹方程是(x -5)2+ y 2 = 16 ．取AC中点F，延长AB 到 E ，且 AB = BE .于是，AD =2xAB +yAC ，∴ AD =x (2 AB)+ y ⎛ 1 AC ⎫⎪ ，即有x + y 2(x+y) x + y (x + y)⎝2 ⎭AD =xAE +yAF ，从而 D ∈ EF ，进一步得到x + y x + yf (x, y)≥ f (x0, y0)= AK ,且有 AK =2 BG ，因为EF恒过∆ACE重心H，所以AK =2 BG ≤2 BH =4，即 f (x0, y0)max=4.思路2：如图17所示，同上分析， D ∈ EF .当 AD ⊥ EF 时，f(x,y)=AD取得最小值，此时 f (x0, y0)= AD .易知∆ABC ≅ ∆AEF ，则AD=AH≤r=4.四、解题总结1、确定等值线为 1 的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。
高考数学平面向量等和线法
思考：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用等和线 呢？
思考这个问题，下节课一起探讨：
2
1 2
思考：若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？
考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等 操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我 们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底 的系数和
典型例题
例4、(2013杭州一模17)如图，在扇形OAB中，AOB ， 3
yOBx, y R,则x y的最大值是_____.
解析： 所有与AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时取得k最大 结合角度，不难得到kmax 2
思考：如果起点不同，是否能用“等和线”做呢？
我们高中阶段研究的是自由向量，向量是可以任意平移的。 在使用等和线解题的时候，若是起点不同一定要将向量平移到起 点重合。 实际上，对于向量而言，若起点没有约束，单纯研究终点是没有 任何意义的。
C为弧AB上的一个动点，若OC xOA yOB， 则x 3y的取值范围是____.
解析：
OC
xOA
ห้องสมุดไป่ตู้
3
y
OB 3
,
令OB'
OB 3
，那么则要考虑以向量
OA,OB为' 基底。显然，当C在A点时，经过k 1的等和线，
C在B点时，经过k 3的等和线，这两个分别是最近跟最远
典型例题
微专题 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题(六大题型)(学生版)
妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +ny 问题题型五：yx 问题题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。
(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一：x +y 问题(系数为1)1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是() A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()A.14B.13C.1D.43(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC，则m +n =()A.23B.13C.-13D.-23题型二：mx +ny 问题(系数不为1)1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0 ，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,12(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA=1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,233题型三：mx -ny 问题1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-12时，y 的取值范围是2(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是．(填写所有正确说法的序号)①存在点P ，使得AP =12AB +2AC；②存在点P ，使得AP =-12AB+2AC ；③存在点P ，使得AP =12AB -2AC；④存在点P ，使得AP =12AB +32AC．3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，CD =-35BC,EC =12AC ,AF =13AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13DC+xDE ，则实数x 的取值范围为.题型四：m x +ny问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为83，则正数t的值为2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2nt >0 的最小值为3，则正数t 的值为.3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2n的最小值为.题型五：y x问题1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μλ=.2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1μ的最小值为．3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3μ的取值范围是A.233,+∞B.[2,+∞)C.174,+∞D.(2,+∞)题型六：x 2+y 2问题1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC ，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λμ=，λ2-μ的最小值为.3(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.【过关测试】一、单选题1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.12B.13C.14D.12(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC，则λ+μ=()A.-1B.-12C.-2D.-323(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，满足OA +OB +OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,324(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m+tn的最小值为3，则正数t 的值为()A.2B.3C.83D.1135(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1n的最小值为()A.2 B.1+23C.1+223D.1+233二、多选题6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=357(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 ，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的值可能为()A.97B.117C.137D.1578(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC，则() A.λ=2μB.λ=μC.14λ+μ的最小值为1D.4λ+μ的最小值为49(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μB.λ=μC.λ-2 2+μ2的最小值为2D.λ-2 2+μ2的最小值为52三、填空题10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为11(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.12(2024·四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA+yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =35BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC +λDE ，则实数λ的取值范围为16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1μ的取值范围是．四、解答题17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB．(1)求x 的取值范围；(2)当x =-12时，求y 的取值范围．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)。
微专题 平面向量(解析版)
微专题平面向量【秒杀总结】结论1：极化恒等式1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2(1)DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2(2)(1)(2)两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 2.极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式(1)平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(2)三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2结论3：三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在λ∈R 使OP =(1-λ)OA +λOB ．特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP =12OA+12OB ．结论4：等和线【基本定理】(一)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(二)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；(4)当等和线过O 点时，k =0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；结论5：奔驰定理【奔驰定理】若O 为ΔABC 内任一点，且αOA +βOB +γOC =0 ，则S ΔBOC :S ΔAOC :S ΔAOB =α:β:γ【典型例题】例1.在ΔABC 中，M 是BC 的中点，AM =3,BC =10，则AB ⋅AC =____．【答案】-16【解析】因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB ⋅AC =AM 2-14BC 2=9-14×100=-16．例2.正三角形内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA ⋅PB的取值范围是．【答案】[-2,6]【解析】取AB 的中点D ，连结CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC =2OD =2，所以CD =3，AB =23(也可用正弦定理求AB )又由极化恒等式得：PA ⋅PB =PD 2-14AB 2=PD 2-3因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max =3当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min =1所以PA ⋅PB∈[-2,6]例3.已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．【答案】[41-2,41+2]【解析】以PA ,PB 为邻边作矩形PAQB ，则|AB |=|PQ |由|OP |2+|OQ |2=|OA |2+|OB |2得|OQ |2+4=9+36，即|OQ |=41，Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为41的圆，|PM |=41-2,|PN |=41+2，∴|AB |=|PQ |∈[41-2,41+2]．例4.在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,2【答案】D【解析】因为AP =AB 1 +AB 2，所以四边形AB 1PB 2是平行四边形，又AB 1 ⊥AB 2 ，所以四边形AB 1PB 2是矩形，从而|OA |2+|OP |2=|OB 1 |2+|OB 2 |2=2，因为|OP |<12，所以74<|OA |2≤2，即72<|OA |≤2.例5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ,CD =13CA+λCB ，则λ=()A.13B.23C.-13D.-23【答案】B【解析】∵AD =2DB ，∴CD =CA +AD =CA +23AB =CA +23(CB -CA )=13CA +23CB又∵CD =13CA +λCB ，∴λ=23．例6.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为1200，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC =xOA +yOB，其中x ,y ∈R ，则x +y 的最大值是__________．【答案】2【解析】(秒杀)作平行于AB 的直线l ，当且仅当l 与圆相切时，x +y 的取最大值2．令OC =λOD ，则由OC =λOD =xOA +yOB得OD =x λOA+y λOB ．由A ,B ,D 三点共线可得x λ+y λ=1⇒x +y =λ=OCOD ≤2【过关测试】一、单选题1.(2023·北京西城·高三统考期末)在△ABC 中，AC =BC =1,∠C =90°．P 为AB 边上的动点，则PB⋅PC的取值范围是( )A.-14,1B.-18,1C.-14,2D.-18,2【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则A 0,1 ,B 1,0 ，直线AB 所在直线方程为y =-x +1，设P t ,-t +1 ，t ∈0,1 ，则PB=1-t ,t -1 ，PC =-t ,t -1 ，PB ⋅PC =-t 1-t +t -1 2=2t -34 2-18，当t =0时，PB ⋅PC max =1，当t =34时，PB ⋅PC min =-18，故其取值范围为-18,1，故选：B .2.(2023·北京昌平·高三统考期末)已知向量a ,b ,c 满足a =2,b =1,a ,b =π4,c -a⋅c -b =0，则c的最大值是( )A.2-1 B.5-12C.5+12D.2+1【答案】C【解析】把a ,b平移到共起点，以b 的起点为原点，b 所在的直线为x 轴，b 的方向为x 轴的正方向，见下图，设OB =b ,OA =a ,OC =c ，则c -a =AC,c -b =BC又∵c -a ⋅c -b =0∴AC ⊥BC 则点C 的轨迹为以AB 为直径的圆，又因为a =2,b =1,a ,b=π4,所以B 1,0 A 1,1 故以AB 为直径的圆为x -1 2+y -122=14，所以c 的最大值就是以AB 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为12+122+12=5+12故选：C3.(2023·广西桂林·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为( )A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B4.(2023·全国·高三专题练习)如图，在半径为4的扇形AOB 中，∠AOB =120∘，点P 是AB上的一点，则AP ·BP的最小值为( )A.-8 B.-3C.-2D.-4【答案】A【解析】设∠BOP =θ0≤θ≤2π3 ，如图，以OB 所在的直线为x 轴，以OB 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.则由已知可得，O 0,0 ，B 4,0 ，∠AOB =2π3，根据三角函数的定义知A -2,23 ，P 4cos θ,4sin θ .则AP =4cos θ+2,4sin θ-23 ，BP =4cos θ-4,4sin θ ，所以，AP ·BP =4cos θ+2,4sin θ-23 ⋅4cos θ-4,4sin θ =-8cos θ+3sin θ +8=-16sin θ+π6+8，因为，0≤θ≤2π3，所以π6≤θ+π6≤5π6.则，当θ+π6=π2，即θ=π3时，该式子有最小值为-8.故选：A .5.(2023·全国·高三专题练习)在平面内，定点A ,B ,C ,D 满足|DA |=|DB|=|DC |，DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足|AP |=1，PM =MC ，则|BM |2的最大值是( )A.434B.494C.47+634D.37+2334【答案】B【解析】由题意知|DA |=|DB |=|DC |，即点D 到A ,B ,C 三点的距离相等，可得D 为△ABC 的外心，又由DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA=-2，可得DA ⋅DB -DB ⋅DC =DB ⋅(DA -DC )=DB ⋅CA=0，所以DB ⊥AC ，同理可得DA ⊥BC ,DC ⊥AB ，所以D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 的外心与垂心重合，所以△ABC 为正三角形，且D 为△ABC 的中心，因为DA ⋅DB =DA DB cos ∠ADB =DA 2×-12 =-2，解得DA =2，所以△ABC 为边长为23的正三角形，如图所示，以A 为原点建立直角坐标系，则B (3,-3),C (3,3),D (2,0)，因为AP=1，可得设P (cos θ,sin θ)，其中θ∈[0,2π]，又因为PM =MC ，即M 为PC 的中点，可得M 3+cos θ2,3+sin θ2，所以BM 2=3+cos θ2-3 2+3+sin θ2+3 2=37+12sin θ-π6 4≤37+124=494.即BM 2的最大值为494.故选：B .6.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为( )A.0 B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O 作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是△ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在△ABC 中，AB =CB -CA ，则|AB |2=|CA |2+|CB |2-2CA ⋅CB ，即CA ⋅CB =|CA |2+|CB|2-22，CO ⋅CA =CO CA cos ∠OCA = CD ⋅ CA =12 CA 2，同理CO ⋅CB =12|CB |2，因此，OC ⋅AB +CA ⋅CB =OC ⋅CB -CA+CA ⋅CB =CO ⋅CA -CO ⋅CB +CA ⋅CB=12|CA |2-12|CB |2+|CA |2+|CB |2-22=|CA |2-1，由正弦定理得：|CA |=|AB|sin B sin ∠ACB =2sin B sin π4=2sin B ≤2，当且仅当B =π2时取“=”，所以OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为3.故选：C7.(2023·全国·高三专题练习)AB 为⊙C ：(x -2)2+(y -4)2=25的一条弦，AB =6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA ⋅PB的取值范围是( )A.[0，100] B.[-12，48]C.[-9，64]D.[-8，72]【答案】D【解析】取AB 中点为Q ，连接PQ∴PA +PB =2PQ ，PA -PB =BA ∴PA ⋅PB =14(PA +PB )2-(PA -PB )2=144|PQ |2-|BA |2 ，又∵|BA |=6，CQ =25-62 2=4∴PA ⋅PB =|PQ|2-9，∵点P 为⊙C 上一动点，∴|PQ |max =5+CQ =9,|PQ |min =5-CQ =1∴PA ⋅PB的取值范围[-8，72].故选：D .8.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD =13AB +12AC ，则S △BCDS △ACD=( )A.16B.12C.13D.23【答案】B【解析】如图，设AD 交BC 于E ，且AE =xAD =x 3AB +x 2AC，由B ,E ,C 三点共线可得：x3+x 2=1⇒x =65，∴AE =25AB +35AC ，∴25AE -AB =35AC-AE ⇒2BE =3EC .设S △CED =2y ，则S △BED =3y ，∴S △BCD =5y .又AE =65AD ⇒AD =5DE ，∴S △ACD =10y ，∴S △BCD S △ACD =5y 10y =12.故选：B .9.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b ，c 满足a =4，a 在b 方向上的投影为2，c ⋅c -a=-3，则|b -c|的最小值为( )A.3-1B.3+1C.23-2D.23+2【答案】A【解析】设a ，b 向量的夹角为θ，则a cos θ=2，则cos θ=2a =24=12，因为θ∈0,π ，所以θ=π3.不妨设a =OA =2,23 ，b =OB =m ,0 m >0 ，设c =OC=x ,y ，则c ⋅c -a=x ,y ⋅x -2,y -23 =-3，整理得x -1 2+y -3 2=1，所以点C 的轨迹是以1,3 为圆心，半径r =1的圆，记圆心为D ，又b -c =m -x ,-y ，即|b -c |=m -x 2+y 2=BC ，当直线BC 过圆心D ，且垂直于x 轴时，BC 可取得最小值，即BC min =3-r =3-1.故选：A .10.(2023·全国·高三专题练习)已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足BE =2EC ，AE ⋅BD =-23，则AF ⋅EF 的最小值为( )A.-23B.-43C.-15275D.-7336【答案】D【解析】由题意知：BE =23BC ，设∠DAB =θ∴AE ⋅BD =AB +BE ⋅AD -AB =AB ⋅AD -AB 2+23BC ⋅AD -23BC ⋅AB=4cos θ-4+83-83cos θ=-23∴cos θ=12 ⇒θ=π3以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：∴A -3,0 ，E 233,-13，设F 0,t 则AF =3,t ，EF =-233,t +13 ∴AF ⋅EF =-2+t t +13 =t 2+13t -2当t =-16时，AF ⋅EF min =136-118-2=-7336本题正确选项：D11.(2023·全国·高三专题练习)P 是ΔABC 所在平面上的一点,满足PA +PB +PC =2AB,若S ΔABC =6,则ΔPAB 的面积为( )A.2 B.3C.4D.8【答案】A【解析】∵PA +PB +PC =2AB =2PB -PA ，∴3PA =PB -PC =CB ，∴PA ∥CB ，且方向相同．∴S ΔABC S ΔPAB =BCAP =CB PA =3，∴S ΔPAB =S ΔABC3=2．选A ．12.(2023·全国·高三专题练习)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A.3B.22C.5D.2【答案】A【解析】[方法一]：特殊值法x =2,y =1+255λ+μ=x 2+y =1+255>22,故选A [方法二]：解析法如图所示，建立平面直角坐标系.设A 0,1 ,B 0,0 ,C 2,0 ,D 2,1 ,P x ,y ,易得圆的半径r =25，即圆C 的方程是x -2 2+y 2=45，AP =x ,y -1 ,AB =0,-1 ,AD =2,0 ，若满足AP =λAB +μAD ，则x =2μy -1=-λ，μ=x 2,λ=1-y ，所以λ+μ=x2-y +1，设z =x 2-y +1，即x 2-y +1-z =0，点P x ,y 在圆x -2 2+y 2=45上，所以圆心(2,0)到直线x 2-y +1-z =0的距离d ≤r ，即2-z 14+1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A .二、多选题13.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，O 为△ABC 内的一点，设AO =λAB +μAC ，则下列说法正确的是( )A.若O 为△ABC 的重心，则λ+μ=23 B.若O 为△ABC 的内心，则λ+μ==25C.若O 为△ABC 的外心，则λ+μ=910 D.若O 为△ABC 的垂心，则λ+μ=15【答案】ACD【解析】对于A 选项，重心为中线交点，则OA +OB +OC =0 ，即AO =OB +OC，因为AO =λAB +μAC =λOB -OA +μOC -OA ，则AO =λ1-λ-μOB +μ1-λ-μOC ，所以λ1-λ-μ=1，μ1-λ-μ=1，所以λ+μ=23，故A 正确；对于B 选项，内心为角平分线交点，则BC ⋅OA +AC ⋅OB +AB ⋅OC =0，即4OA +3OB +3OC =0 ，所以AO =34OB +34OC ，由A 选项，则λ1-λ-μ=34，μ1-λ-μ=34，所以λ+μ=35，故B 错误；对于C 选项，外心为垂直平分线交点，即△ABC 的外接圆圆心，因为AB =AC =3，设D 为边BC 的中点，所以AD =12AB +AC ，AO ⎳AD ，所以λ=μ，因为AO =λAB +μAC ，所以AO 2=λ2AB 2+λ2AC 2+2λ2AB ⋅AC ，在△ABC 中，cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC=9+9-162×3×3=19，则sin A =1-cos 2A =459，BCsin A=2R =2AO ，所以42×4592=9λ2+9λ2+2λ2⋅3×3×19，易知λ>0，所以λ=920，所以λ+μ=910，故C 正确；对于D 选项，垂心为高线交点，设BE ⊥AC ，垂足为边AC 上点E ，则B ，E ，O 共线，由C 选项，因为AO =λAB +μAC，λ=μ，所以AO ⋅AC =λOB -OA⋅AC +λAC 2，因为OB ⊥AC ，则AO ⋅AC =-λOA ⋅AC +λAC 2，即1-λ AO ⋅AC =λAC 2，因为AO =AE +EO ，所以1-λ AE +EO ⋅AC =λAC 2，即1-λ AE ⋅AC =λAC 2，因为S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin A =12AC ⋅BE ，所以BE =453，所以AE =AB 2-BE 2=32-4532=13，所以1-λ ×13×3=λ×32，解得λ=110，所以λ+μ=15，故D 正确；故选：ACD14.(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是互不相等的非零向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，c =xa+ybx ,y ∈R ，记OA =a ，OB =b ，OC =c ，则下列说法正确的是( )A.若a -c⋅b -c =0，则O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上B.若a -c ⋅b -c =0，则c的最大值为2C.若c =1，则a -c ⋅b -c 的最大值为22+1D.若c=1，则x +y 的最小值为-2【答案】AD【解析】对于A 选项，如图，若a -c ⋅b -c =0，则CA ⋅CB =0，所以CA ⊥CB ，又a ⊥b ，所以∠AOB +∠ACB =π，所以O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上，故A 正确；对于B 选项，若a -c⋅b -c =0，由A 选项知，O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上，又c =OC ，则其长度为圆上弦的长度.当线段OC 为该圆的直径时，c最大，且最大值等于AB =a 2+b 2=2，故B 错误；对于C 选项，由题可得A ，B ，C 均在以O 为圆心、1为半径的圆上，设OA =cos α,sin α ，OC =cos β,sin β ，又OA ⊥OB ，则OB =cos π2+α ,sin π2+α =-sin α,cos α .其中α，β∈0,2π .则a -c⋅b -c =OA -OC ⋅OB -OC=cos α-cos β ⋅-sin α-cos β +sin α-sin β ⋅cos α-sin β =sin αcos β-sin βcos α-cos αcos β+sin αsin β +1=sin α-β -cos α-β +1=1+2sin α-β-π4≤1+2，当α-β=3π4时取等号.故C 错误.对于D 选项，由C 选项分析结合c =xa+yb 可知cos β=x cos α-y sin αsin β=x sin α+y cos α .又c=1，则x cos α-y sin α 2+x sin α+y cos α 2=1⇒x 2cos 2α+sin 2α +y 2cos 2α+sin 2α -2xy cos αsin α+2xy cos αsin α=1⇒x 2+y 2=1，则由重要不等式有：x +y 2=x 2+y 2+2xy ≤2x 2+y 2 =2.得x +y ≥-2，当且仅当x =y =-22时取等号.故D 正确.故选：AD15.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有( )A.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-66【答案】ACD【解析】对A ，由奔驰定理可得，OA +2OB +3OC =S A ⋅OA +S B ⋅OB+S C ⋅OC =0 ，又OA 、OB 、OC不共线，故S A :S B :S C =1:2:3，A 对；对B ，S C =12×2×2×sin ∠AOB =1，由2OA +3OB +4OC =0 得S A :S B :S C =2:3:4，故S △ABC =94S C =94，B 错；对C ，若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则S A :S B :S C =3:4:5，又S A :S B :S C =12ar :12br :12cr =a :b :c (r 为内切圆半径)，三边满足勾股定律，故∠C =π2，C 对；对D ，若O 为△ABC 的垂心，则∠BOC +∠A =π，OB ⋅OC =OB ⋅OC cos ∠BOC =-OB⋅OCcos ∠A ，又OB ⋅AC =OB ⋅OC -OA =0⇔OB ⋅OC =OB ⋅OA ⇔OCcos ∠A =OA cos ∠C ，同理OC cos ∠B =OB cos ∠C ,OA cos ∠B =OB cos ∠A ，∴OA :OB :OC=cos ∠A :cos ∠B :cos ∠C ，∵3OA +4OB +5OC =0 ，则S A :S B :S C =3:4:5，且S A :S B :S C =12OB OC sin ∠BOC :12OA OC sin ∠AOC :12OAOB sin ∠AOB=cos ∠B cos ∠C sin ∠A :cos ∠A cos ∠C sin ∠B :cos ∠A cos ∠B sin ∠C =sin ∠A cos ∠A :sin ∠B cos ∠B :sin ∠C cos ∠C=tan ∠A :tan ∠B :tan ∠C 如图，D 、E 、F 分别为垂足，设AF =m ，tan ∠A =3t t >0 ，则FC =3mt ,BF =34m ,AB =74m ,AC =9t 2+1⋅m ，又AE :EC =BE tan ∠A :BE tan ∠C =5:3，故AE =58AC ,BE =3t ⋅AE =15t8AC ，由AB ⋅FC =AC ⋅BE ⇔74m ⋅3mt =15t 89t 2+1 m 2，解得t =55，由tan 2∠C =1cos 2∠C-1=5⇒cos ∠C =66，故cos ∠AOB =-cos ∠C =-66，D 对故选：ACD 16.(2023·全国·高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中∠COD=2π3,OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD ，则下列说法正确的是( )图1 图2A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2 D.PA ⋅PB ≥112【答案】ABD【解析】如图，作OE ⊥OC ,分别以OC ,OE 为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则A (1,0),C (3,0),B -12,32 ,D -32,332 ,设Q (cos θ,sin θ),θ∈0,2π3，则P (3cos θ,3sin θ),由OQ =xOC +yOD 可得cos θ=3x -32y ,sin θ=332y ，且x >0,y >0 ，若y =x ，则cos 2θ+sin 2θ=3x -32x 2+332x2=1，解得x =y =13 ，(负值舍去)，故x +y =23，A 正确；若y =2x ，则cos θ=3x -32y =0，OA ⋅OP =(1,0)⋅(0,1)=0，故B 正确；AB ⋅PQ =-32,32 ⋅(2cos θ,2sin θ)=3sin θ-3cos θ=23sin θ-π3 ，由于θ∈0,2π3 ，故θ-π3∈-π3,π3，故23sin θ-π3 ≥-3，故C 错误；由于PA =(3cos θ-1,3sin θ),PB =3cos θ+12,3sin θ-32，故PA ⋅PB =(3cos θ-1,3sin θ)⋅3cos θ+12,3sin θ-32 =172-3sin θ+π6 ，而θ+π6∈π6,5π6，故PA ⋅PB =172-3sin θ+π6 ≥172-3=112，故D 正确，故选：ABD17.(2023·全国·高三专题练习)如图，圆О是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM =xBA +yBD(x ，y ∈R )，则2x +y 可以取值为( )A.16B.13C.23D.1【答案】CD【解析】根据三角形面积公式得到12×l 周长×r =S =12×AB ×AC ×sin60°，可得到内切圆的半径为1；以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，可得到点的坐标为：B (-3,0)，C (3,0)，A (0,3)，D (0,0)，M (cos θ,1+sin θ)，BM =(cos θ+3,1+sin θ)，BA =(3,3)，BD=(3,0)，∵BM =xBA +yBD∴BM=(cos θ+3,1+sin θ)=(3x +3y ,3x )，∴cos θ=3x +3y -3，sin θ=3x -1，∴x =1+sin θ3y =cos θ3-sin θ3+23，2x +y =cos θ3+sin θ3+43=23sin θ+π3 +43，∵-1≤sin θ+π3≤1，∴23≤2x +y ≤2，故选项CD 满足.故选：CD .18.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.若O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC=OC ⋅OA，则( )A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-∠ACBC.OA :OB :OC=sin ∠BAC :sin ∠ABC :sin ∠ACBD.tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0【答案】ABD【解析】A 项：OA ⋅OB =OB ⋅OC ，即OA ⋅OB -OB ⋅OC =0，OB ⋅OA -OC =0，OB ⋅CA =0，OB ⊥CA ，同理可得OA ⊥CB ，OC⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心，A 正确；B ：如图，延长AO 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点E ，延长CO 交AB 于点F ，因为OA ⊥CB ，所以∠ADB =90∘，∠BAO =90∘-∠ABC ，因为OB⊥CA ，所以∠BEA =90∘，∠ABO =90∘-∠BAC ，则∠AOB =π-∠ABO -∠BAO =π-90∘-∠BAC -90∘-∠ABC =∠BAC +∠ABC =π-∠ACB ，B 正确；C 项：在△AOB 中，由正弦定理易知OA sin ∠ABO =OBsin ∠BAO，因为∠BAO =90∘-∠ABC ，∠ABO =90∘-∠BAC ，所以OA sin 90∘-∠BAC =OBsin 90∘-∠ABC，即OA cos ∠BAC =OB cos ∠ABC ，OA OB =cos ∠BACcos ∠ABC，同理可得OB OC =cos ∠ABCcos ∠ACB ，故OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠ACB ，C 错误；D 项：∠AOB =π-∠ACB ，同理可得∠AOC =π-∠ABC ，∠BOC =π-∠BAC ，则S A =12⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BOC =12⋅OB ⋅OC⋅sin π-∠BAC=12⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BAC =12⋅OA⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BAC OA ，同理可得S B =12⋅OA ⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠ABC OB ，S C =12⋅OA⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠ACB OC，因为S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，所以将S A 、S B 、S C 代入，可得sin ∠BAC OA⋅OA+sin ∠ABC OB ⋅OB +sin ∠ACB OC⋅OC =0 ，因为OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠ACB ，所以sin ∠BAC OA :sin ∠ABC OB :sin ∠ACBOC=tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB ，故tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0成立，D 正确，故选：ABD .三、填空题19.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是_____________.【答案】23【解析】如图，取BC 中点为M ，做PN ⊥BC ，则PB ⋅PC =14PB +PC 2-PC -PB 2 ，又PB +PC =2PM，PC -PB =BC ，则PB ⋅PC =PM 2-14BC 2，得PB ⋅PC +BC 2=PM 2+34BC 2.注意到S △ABC =12⋅BC⋅2PN =BC ⋅PN =2，则BC =2PN .又由图可得PM ≥PN ，则PM 2+34BC 2≥PN 2+3PN2≥2PN 2⋅3PN 2=23，当且仅当PM ⊥BC ，且PN 2=3PN 2，即PN =43时取等号.故答案为：2320.(2023·四川南充·统考一模)已知向量a 与b 夹角为锐角，且a =b =2，任意λ∈R ，a -λ⋅b 的最小值为3，若向量c 满足c -a ⋅c -b =0，则c的取值范围为______．【答案】3-1,3+1【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，0<θ<π2，则a ⋅b =2×2×cos θ=4cos θ，a -λ⋅b =a -λ⋅b 2=a 2-2λa ⋅b +λ2b 2=4-8λcos θ+4λ2=4λ2-8cos θ ⋅λ+4，所以当λ=--8cos θ2×4=cos θ时，a -λ⋅b 取得最小值为3，即4cos θ 2-8cos θ ⋅cos θ+4=41-cos 2θ =2sin θ=3，所以sin θ=32,θ=π3.如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c，三角形OAB 是等边三角形，设O 1是AB 的中点，则OO 1 =3，由于c -a ⋅c -b =AC ⋅BC =0，所以∠ACB =π2，所以C 点的轨迹是以AB 为直径的圆，圆的半径为12AB =1，根据圆的几何性质可知，OC 即c的取值范围为3-1,3+1 .故答案为：3-1,3+121.(2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)已知圆O 半径为1，P 、A 、B 是圆O 上不重合的点，则PA ⋅PB的最小值为_____.【答案】-12【解析】取AB 中点C ，劣弧AB 的中点D ，PA ⋅PB =PC +CA ⋅PC +CB =PC 2-CB 2，显然，P 为劣弧AB 的中点D 时，PC 2=DC 2最小，记DC =a ,CB =b ，由垂径定理可得：1-a 2+b 2=1，即b 2=2a -a 2，则PA ⋅PB ≥a 2-b 2=2a 2-2a =2a -12 2-12，当a =12时，PA ⋅PB 取最小值，最小值为-12.故答案为：-1222.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足|b |⋅|c |=1，若|3a -(b +c )|=|a ⋅b |⋅|c |，则-a 2+2b 2+c2的最小值是_____________．【答案】21-12【解析】设<a ,b >=α,<b ,c >=β，由|3a -(b +c )|=|a ⋅b |⋅|c|，根据三角不等式，有|3a |-|(b +c )|≤|3a -(b +c )|=|a ⋅b |∙|c |=|a ||b |cos α|∙|c |=|a cos α|≤|a|，得|2a|≤|b +c |，故-a 2+2b 2+c 2≥-14|b +c |2+2|b |2+|c |2=74|b |2+34|c |2-12b ⋅c=74|b |2+34|c |2-12|b ||c |cos β≥274|b |2⋅34|c |2-12=21-12.故答案为：21-12.23.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a 、b 、c 满足：a 与b 的夹角为2π3,c -a⋅c -b =0,a + b =2，记M 是c -a -b的最大值，则M 的最小值是__________．【答案】3+12【解析】如图，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,E 为AB 中点，令|a |=x ,|b |=y ,|AB |=2r ,|OE |=t ，则∠AOB =2π3,x +y =2 ①，因为OE =12(OA+OB ),AB =OB -OA ，故有OA ⋅OB =|OE |2-14|AB |2⇒-12xy =t 2-r 2，cos ∠AOB =x 2+y 2-4r 22xy ⇒-xy =x 2+y 2-4r 2⇒4r 2=(x +y )2-xy ②，由①②得r 2=1-xy 4，从而t 2=r 2-12xy =1-34xy ,xy ∈(0,1]，因为c -a ⋅c -b=0，所以AC ⊥BC ，即点C 在以AB 为直径的圆E 上.∵|c -a -b |=|c -(a +b)|=|OE +EC -2OE |=|EO +EC |≤|EO |+|EC |，∴M =|c -a -b|max =|EO |+|EC |=t +r =1-34xy +1-14xy ≥1+32，当且仅当|a|=|b |=1时，即xy =1时等号成立.故答案为：3+1224.(2023·全国·高三专题练习)点M 在△ABC 内部，满足2MA +3MB+4MC =0 ，则S △MAC :S △MAB =____________．【答案】34【解析】如图，分别延长MA 至D ,MB 至E ,MC 至F ，使MD =2MA ,ME=3MB ，MF =4MC ，连接DE ,EF ,DF .由2MA +3MB +4MC =0 ，得MD +ME +MF =0 ，∴点M 是△DEF 的重心，延长EM 交DF 于G ，则MG =13EG ，过M 作MH ⊥DF 于H ，过E 作EI ⊥DF 与I ，则MH =13EI ，故S △MDF =13S △DEF ，同理可证S △MDE =S △MEF =13S △DEF ，∴S △MDE =S △MEF =S △MDF ，设S △MDE =1，设S △MEF =S △MDF =S △MDE =12⋅MD ⋅ME ⋅sin ∠DME =1，则S △MAB =12⋅MA ⋅MB ⋅sin ∠DME =12⋅12⋅MD ⋅13⋅ME ⋅sin ∠DME=12×13×12⋅MD⋅ME⋅sin∠DME=16，同理S△MAC=12×14×S△MDF=18，∴S△MAC:S△MAB=18：16=3:4.故答案为：3:4.。
微专题 等和线的应用
微专题：等和线一、基础知识回顾 O 是直线AB 外一点，则,,A B C 三点共线,1OC OA OB λμμλ=+⇔+=。
特别地，C 为AB 中点时，12λμ== 如图，直线11//A B AB ，且直线11,A B AB 位于点O 的同侧，11OA OB k OA OB ==。
在直线11A B 任取一点1C 设，1OC xOA yOB =+，连接1OC 交直线AB 于点C ，则必有OC =,1OA OB λλμμ=++且1OC kOC =，故1,OC kOC k OA k OB x y k λλμ==++=+k k μ=，我们称直线11A B 为等和线x y k +=。
考虑直线22//A B AB ，且直线22,A B AB 位于点O 的同侧。
若22OA OB k OA OB==，对于直线22A B 任取一点2C ，2OC xOA yOB =+，同理可得x y k +=-，我们称直线22A B 为等和线x y k +=-。
一般地，我们有如下结论，O 是直线AB 外一点，满足0,OC xOA y y x t OB =++=为定值的所有点C 的集合是一条平行于AB 的直线l ，并满足如下性质：（1）00t =时，直线l 过点O ；00t <时，直线,l AB 位于点O 异侧；00t >时，直线,l AB 位于点O 同侧；特别地，01t =时，直线l 即为直线AB （2）点O 到直线l 与AB 距离之比为0t 。
二、典例精讲类型一：直接利用等和线解题例1．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．3B ．225．2解：如图，若点P 在线段BD 上，则1λμ+=。
注意到表达式AP AB AD λμ=+同起点A ，几何上易知点A 到直线BD 的距离，直线BD 与其过点C 的平行线间的距离，过点C 的平行线与另一靠上平行切线间的距离，这三个距离均相等，故可知BD 的两条平行线分别满足2λμ+=与3λμ+=，故λμ+的最大值为3，选A 。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时.可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UIUB.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底oNoS及任一向量亦.亦二人花+ 〃亦（人若 0 P在直线朋上或在平行于肋的直线上，则2+“ =尿定值）仮Z也成孙我们把直线*〃以及与宜线.4B 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线时.A=l：⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.仁（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜仏+00）；（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称.则左值《互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA,OB及任一向量帀・帀“鬲+ “亦亿C为线段的中点.若点P在直线0C上或在平行于CC的買线上.则八戸=灿上值八反Z也成匕我们把fL线"以及线OC半行的直线称为等差线.（1）当等荃线恰为直线OC时，A=0：（2）斗等差线过X点时.A=l：（4）当等差线与阳延长线相交时.2（1卄8）；⑶ 当等差线在直线0C与点/之何时.JtG（0,l）:（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足为相反数:（四）等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・ 丽=几刃+ “亦（入“wR ）・若 点P 在以苴线OA.OB 为渐近线的女曲线上.则“为足值I 反Z 也成必 我们 把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线（1） 当双曲线有一支金厶103内时，k>0t（2） 当双曲线的两支都不在乙4OB 内时.X <0：（3） 特别的.若tU=（a 上讥加= （“,"），点P 住双曲线（五）等商线点P 在过O 点（不与0/1重合〉的直线上，则虫=川定值），反之也成立。
向量压轴专题之等和线的应用(mathtype WORD精编版)
向量压轴专题之等和线的应用一. 等和线知识介绍如图所示，,OA OB 不共线，由平面向量基本定理，OP OA OB λμ=+，当点P 在直线AB 上时，1λμ+=；当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP xOM yON =+，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：,OM kOA ON kOB ==，其中OMk OA=则OP xOM yON kxOA kyOB =+=+，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k (x ＋y )＝k . 把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)如图所示的情况下，当MN 向右上角平移的过程中，k 值在逐渐变大二. 标准的等和线问题对于标准的等和线问题，题目中一般涉及到这样的条件和问题，OP OA OB λμ=+(三个向量共起点)，求λμ+(后面两个向量的系数和)的值或者范围.解题流程如下：(1)连接AB (后面两个共起点向量的终点)与OP 交于点Q ；(2)判断动点在什么位置时取最大或者最小值(利用等和线相关结论的第5个)(3)求出OPOQ的值(通常根据平行线构造“A ”字型或“8”字型相似求解)首先我们来看看标准的等和线求值问题：(2020 成都期末统考 15)在矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =. 若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为________.【答案】75【解析】法一：向量转化(非边长转边长)12AE AB BE AB AD =+=+，13AF AD DF AB AD =+=+ 故132AC AE AF AB AD μλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又AC AB AD =+故13112μλλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩故75λμ+=法二：等和线如图所示，根据等和线解题流程首先连接EF 交AC 于点H ，则ACAHλμ+=接下来重点思考如何求出该比例，从利用平行线构造相似入手，我们发现利用//CF AB 可以构造一个“8”字型相似，故延长FE 交AB 于点GHFE DCBA利用CE EB =易得CF BG =，故25CF AG = 故75AC AH =，故75λμ+= 【点评】方法一利用传统的向量转化思想，一般是将非边长向量转成边长向量，然后建立方程求解；方法二是利用等和线进行求解，难点在于利用平行线构造相似求解比例接下来我们看看标准等和线的求范围问题：(2017 全国3卷 12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2 【答案】A【解析】 如图，由等和线定理可知， 当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3AB AB＝3，故选A ．【点评】本题是2017年全国卷3的第12题，如果用常规方法可以考虑建系，求出圆的方程，然后利用圆的参数方程设出P 的坐标，然后通过向量的坐标运算反解出λ和μ，最后将λμ+用三角函数表示出来，利用辅助角求出其最值，有一定的分析难度和计算量；如果用等和线可以快速判断出取得最值的位置，然后通过平行线截线段成比例求出最值，显得尤为简单如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+(m ，n 为实数)，则m ＋nGHAB CDEF的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5]【答案】C【解析】随着动点圆心Q 在线段CD (含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G (P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H (P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2.此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5.此为m ＋n 的最大值． 综上可知，m ＋n ∈[2,5]．【点评】利用等和线性质5找到最大值和最小值的位置，然后利用平行线截线段成比例求出最值(2021 绵阳三诊 12)已知点F 为抛物线2:4E x y =的焦点，()0,2C -，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，点P 为抛物线上任意一点，若CP mCA nCB =+，则m n +的最小值为( ) A.13B. 12C. 23D. 34【答案】A【解析】根据等和线的几何意义， 连接CP 与AB 交于点Q ，则CP m n CQ +=，需要判断CPCQ何时最小 可以过点P 作直线AB 的平行线， 过C 点作AB 的平行线， 根据平行线截线段成比例，当过P 点的平行线越往右下角移动时，比例越小，极端位置为相切 求导易得此时的切线方程为1y x =- 根据平行线截线段成比例易求出最小值为13三. 等和线的常见变形问题(三向量不共起点)如果所给的平面向量基本定理的三个向量不共起点，则需要将其中不共起点的向量平移至共起点，然后再用等和线去解答，我们来看一个例题：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则______.λμ+=【答案】85【解析】将向量BN 平移至AE ，则AC AM AE λμ=+ 根据等和线解题步骤，连接EM 与AC 交于点F ，则ACAFλμ+=考虑利用平行线截线段成比例，故延长EM 交AB 于点G ，则3BG EC ==GFEDC MBA故35CF EC FA AG ==，则85AC AF λμ+== (2018 成都高二期末零诊理 16)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P在曲线):0y x Γ=≥上，曲线Γ与x 轴的相交于点B ，与y 轴相交于点C ，点()2,1D 和点()1,0E 满足(),OD CE OP R λμλμ=+∈，则λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】将CE 平移到起点为O ，利用等和线直接判断当P 点与B 点重合时，λμ+最小，计算可得最小值为12在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的范围是_______.【答案】1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示AC xDE y AP xAF y AP =+=+ 由等和线的几何意义可知， 当P 与D 重合时，x y +最大，为51AC AG =(根据相似计算) 当P 与B 重合时，x y +最小，为21AE AB= (2019 成都期末统考 10)如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE mAB nAC =+，则m n +的值是( )A. 15- B. 15 C. 25- D. 25【答案】C【解析】在下侧补一个正方形，则BE mAB nAC mBG nBH =+=+EFD CBAFDA连接GH 与BE 交于点I ，则BE m n BI+=-根据相似可得35BG FH =，32BE EF =，给322535BE BI ⨯==，故25m n +=-四. 等和线的常见变形问题(系数不匹配)如果所给的平面向量基本定理的向量的系数与所求系数和不匹配，则需要将所给向量的系数按照所求系数进行转化，使之相等，然后再按照等和线进行求解，我们来看一个例题：如图，在扇形OAB 中，3AOB π∠=，C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+，则3x y+的取值范围是 ．【答案】[]1,3【解析】33'3OBOC xOA y xOA y OB =+⋅=+⋅， 其中'B 点为OB 的三等分点，如图所示 显然，当C 在A 点时，3x y +有最小值为1； 当C 在B 点时，，3x y +有最大值为3 故取值范围为[]1,3在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB x AE y AF =+，则_____.x y -=【答案】2【解析】AB xAE y AF xAE y AH =+=-连接EH 交AB 于点G ，则ABx y AG-=延长HI 交EB 的延长线与J ，则13BG BE HJ EJ ==故12BG IJ =，故G 为AB 中点，故2AB x y AG -==五.小结从以上例题可以看出，等和线用于求值时，和常规方法难度差不了太多，熟悉等和线之后关键在于利用平行线截线段成比例去求值，如果初中平面几何学的不错的同学，用此方法还是要更快一些，但是等和线用于求范围问题，通常会显得很简单，而此类题目又往往出现在压轴位置，因此掌握好等和线还是非常有必要的。
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O
微专题之平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
（一） 平面向量共线定理
已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然 （二） 等和线
平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；
（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；
（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、 确定等值线为1的线；2
2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角
为0
120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。
若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。
跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1
cos 3
ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______
A
例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集
{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.
例3、如图，在扇形OAB 中，0
60AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，
OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.
跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，
设AE xAD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.
【强化训练】
1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.
2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ x AM yBN =+，则x y +的取值范围__________.
3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =
，2
3
BE BC =，若12DE AB AC λλ=+
A
C
（12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.
4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），
AP xAB y AD =+，则x y +的取值范围__________.
5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且0
30AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，
则
m
n
的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设
AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.
7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。
若PMN ∆为以M 为直角顶点的直角三角
形，则x y - 取值的集合为_______。
8、平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中,OA OB 夹角为0
120，,OA OC 的夹角为0
30，且||||1OA OB ==，
||23OC =OC mOA nOB =+，则m n +的值为____________________。
9、如图，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若
OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围为___________。
10、已知O 为ABC ∆的外心，若(0,0),(2,0)A B ，21,3
AC BAC π
=∠=
，且AO AB AC λμ=+，则λμ+=________.
11、已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=，则对任意的正实数t ，1||c ta b t
++的最小
值为_______________.。