2020年湖南中考数学复习题型一 规律探索题
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
中考数学复习攻略 专题1 规律探索与归纳推理(含答案)
重点专题突破专题一 规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列 规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1； 第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)； 第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。
2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)
2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。
中考数学专题复习— 探索规律问题 完整版 后附真题剖析
解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案 为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等 腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右 上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只 要我们善于观察、勤于思考，就可以发现 它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已
2020届中考数学试题分类汇编：规律探索(含精析)
（2020•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=﹣．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据题意可知a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，…故a n=﹣．解答：解：通过分析数据可知第n个等式为：a n=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．（2020，娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.（2020•益阳）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是21 ．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …考点：规律型：数字的变化类．分析：根据第一行第3个数是前两个数值之和，进而得出答案．解答：解：根据题意可得出：a=13+5=21．故答案为：21．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．（2020，永州）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 .（请填入方块上的字母）3()图甲A B C D GE F2341322422221111111133()图乙00（2020•荆州）观察下面的单项式：a ，﹣2a 2，4a 3，﹣8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ﹣128a 8．考点： 规律型：数字的变化类． 专题：规律型． 分析： 根据单项式可知n 为双数时a 的前面要加上负号，而a 的系数为2（n ﹣1），a 的指数为n ．解答：解：第八项为﹣27a 8=﹣128a 8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．（2020•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2020BC 和∠A 2020CD 的平分线交于点A 2020，则∠A 2020= 度。
中考规律探索题(类型一：数式规律)
中考规律探索题——（类型一：数式规律）一、典题讲解题型1 :数的变化规律例1（2020云南昆明）观察下列一组数： -23，69，-1227，2081，-30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 .例2：（2021湖南怀化）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002m =，用含m 的代数式表示这组数的和是 .例3．（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ．题型2 :式的变化规律例1（2021甘肃）一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2﹣2b 3，a 3+2b 5，a 4﹣2b 7，…，则第n 个式子是 ．例2（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）题型3:数阵的变化规律例1. (2021荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．例2．(2021湖北十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019题型4:表格数的变化规律例1.(2020湖北十堰)根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n （）A. 17B. 18C. 19D. 20例2.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。
已知二进位制与十进位制的比较如下表：请将二进位制10101010写成十进位制数为．二、跟踪练习1.（2015•永州）设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6．则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015= ．2. (2016郴州16题)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 ．3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是( ) A. n 2a n ＋1 B. n 2a n－1C. n n a n ＋1D. (n ＋1)2a4. (2020张家界14题3分)观察下面的变化规律： 21×3＝1－13，23×5＝13－15，25×7＝15－17，27×9＝17－19，… 根据上面的规律计算：21×3＋23×5＋25×7＋…＋22019×2021＝________．5. (2021湘潭16题3分)天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)6. (万唯原创)观察下列等式：第一个等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)； 第二个等式：a 2＝14×7＝13×(14－17)；第三个等式：a 3＝17×10＝13×(17－110)；第四个等式：a 4＝110×13＝13×(110－113)；…按照上述规律，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝( ) A. 20212022 B.20226067 C.20202021 D.606660677.（2020湖南娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．1898.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．239.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22021的末位数字是( ) A ．8B ．6C ．4D ．010．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
2020年 中考数学一轮复习之探索规律题补充练习解析版
2020年中考数学一轮复习之探索规律题补充练习解析版一、选择题1.下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（）A. 34B. 36C. 38D. 482.下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案n需几根火柴棒（）A. 2+7nB. 8+7nC. 4+7nD. 7n+13.仔细观察下列数字排列规律，则a＝（）A. 206B. 216C. 226D. 2364.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（）A. （63，32）B. （64，32）C. （63，31）D. （64，31）5.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A. 56B. 64C. 72D. 906.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为（）A. (1200,125)B. (600,0)C. (600,125) D. (1200,0) 7.计算 11×3 + 13×5 + 15×7 + 17×9 +…+ 137×39 的结果是（ ） A. 1937 B. 1939 C. 3739 D. 38398.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 1:y =√33x +1 与直线 l 2:y =√3x 交于点 A 1 ，过 A 1 作 x 轴的垂线，垂足为 B 1 ，过 B 1 作 l 2 的平行线交 l 1 于 A 2 ，过 A 2 作 x 轴的垂线，垂足为 B 2 ，过 B 2 作 l 2 的平行线交 l 1 于 A 3 ，过 A 3 作 x 轴的垂线，垂足为 B 3 …按此规律，则点 A n 的纵坐标为（ ）A. (32)nB. (12)n +1C. (32)n−1+12D.3n −129.按一定规律排列的单项式：x 3 ， －x 5 ， x 7 ， －x 9 ， x 11 ， ……第n 个单项式是( ) A. (－1)n －1x 2n －1 B. (－1)n x 2n －1 C. (－1)n －1x 2n ＋1 D. (－1)n x 2n ＋110.a 是不为1的有理数，我们把 11−a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为 11−2=−1 ， −1 的差倒数11−(−1)=12 ，已知 a 1=5 ， a 2 是 a 1 的差倒数， a3 是 a 2 的差倒数， a4 是 a 3 的差倒数…，依此类推， a 2019 的值是（ ）A. 5B. −14 C. 43 D. 4511.公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个.求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）A. 84B. 86C. 160D. 16212.按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ）A. 9999B. 10000C. 10001D. 1000213.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（）A. 84B. 56C. 35D. 2814.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A. 12B. 14C. 16D. 1815.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2……，第n次移动到A n，则△OA2A2018的面积是（）A. 504 m2B. 10092m2 C. 10112m2 D. 1009m216.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（）A. 11B. 13C. 15D. 1717.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A. B. C. D.18.将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A. 2019B. 2018C. 2016D. 201319.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）A. （√2）n﹣1B. 2n﹣1C. （√2）nD. 2n二、填空题20.观察下列式子第1个式子：2×4+1＝9＝32第2个式子：6×8+1＝49＝72第3个式子：14×16+1＝225＝152……请写出第n个式子：________.21.观察下列一组数的排列规律：1 3,15,25,19,29,13,117,217,317,417,133,233,111,433,533…那么，这一组数的第2019个数是________.22.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝________.23.观察一列数：−3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是________.24.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依次规律，则点A8的坐标是________.25.我国古代数学家的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图这个三角形的构造法其两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.利用规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1的值为________.26.如图，∠AOB=45∘，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4…则第一个黑色梯形的面积S1=________；观察图中的规律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积S n=________.27.观察下列顺序排列的等式：1×2×100+25＝1522×3×100+25＝2523×4×100+25＝3524×5×100+25＝452…根据以上的规律直接写出结果：2009×2010×100+25＝________.28.求21+22+23+…+2n的值，解题过程如下：解：设：S＝21+22+23+…+2n①两边同乘以2得：2S＝22+23+24+…+2n+1②由②﹣①得：S＝2n+1﹣2所以21+22+23+…+2n＝2n+1﹣2参照上面解法，计算：1+31+32+33+…+3n﹣1＝________.29.如图，填在各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=________.30.如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1,P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1，P2，P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形-..·△ABC的三个顶点和它内部的点P1，P2，P3，…，P n，把△ABC分成________个互不重叠的小三角形.31.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则第n个图中小黑点的个数为________.32.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n＝________.33.如图，已知A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1）、A5（2，﹣1）、….则点A2019的坐标为________.34.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=√3x+√3与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原A1作x轴的垂线交直线l2:y=√33点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个C2019B2019B2020的面积是________.35.如图，点A1，A2，A3…，A n在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，C n在y轴正半轴上，a，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝B n﹣1B n＝√32A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，A n B n⊥B n C n，…，则第n个四边形OA n B n C n的面积是________.36.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n，则S n＝________.（n≥2，且n为整数）37.如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为________.38.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1 A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y=√33x+√33上，且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°，OA1=1，则点C6的坐标是________．39.如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC 于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是________.答案一、选择题1.根据数据，结合图形，不难发现：后边的图形总比前边的图形多6.即第n个图形中，有8+6（n-1）=6n+2.所以，第（6）个图形中，火柴棒的根数是6×6+2=38.故答案为：C.2.解：∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：8+7=15根；图案③需火柴棒：8+7+7=22根；…∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；故答案为：D.3.解：观察发现：2＝1×2﹣0；10＝3×4﹣2；26＝5×6﹣4；50＝7×8﹣6；…a＝15×16﹣14＝226，故答案为：C.4.∵OC1＝OA1＝B1C1＝A1B1＝1，∴B1（1，1），∵A2在直线y＝x+1上，∴A2（1，2），∴C1C2＝B2C2＝2∴B2（3，2），同理可得B3（7，4），B4（15，8）…所以B n（2n﹣1，2n﹣1），所以B6的坐标为（63，32）；故答案为：A.5.第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；⋯⋯，第n个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；则第8个图形中花盆的个数为：（8+1）（8+2）=90.故答案为：D.6.解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上.∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，∴AB= √OA2+OB2=5，∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)，∴点C100的横坐标为100×6=600，∴点C100的坐标为(600，0).故答案为：B.7.解：原式＝12×(1−12+12−13+13−15+15−17+17−19+ (1)37−139)＝12×(1−139)＝1939。
专题14 规律探索、新定义、阅读理解题-2020年中考数学真题分专题训练(湖南专版)(教师版含解析)
2020年中考数学真题分项汇编(湖南专版)专题14 规律探索、新定义、阅读理解题1. (2020年湖南长沙中考)2020年3月4日，是人类第一个“国际数学日”，这个节日的昵称是“π(Day)”。
国际数学日之所以定在3月4日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字。
在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志。
我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年。
以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数； ②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比； ④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比。
其中表述正确的是( )A. ②③B. ①③C. ①④D. ②④ 【答案】A【解析】本题考查圆周率的基本概念及无理数的定义，回溯到“知其所以然”的数学思想。
圆周率是一个无理数，并且是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比(π=dc)，②③正确。
故选A 。
2.(2020年湖南常德市中考)如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是( )A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【分析】设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝21k (k +1)，然后根据题目中所给的第k 次依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格， 因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝21k (k +1)，应停在第21k (k +1)﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤21k (k +1)﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时， 21k (k +1)﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋， 若7＜k ≤2020，设k ＝7+t (t ＝1，2，3)代入可得，21k (k +1)﹣7p ＝7m +21t (t +1)， 由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．3.(2020年湖南常德中考)阅读理解：对于x 3﹣(n 2+1)x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x 3﹣(n 2+1)x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x (x 2﹣n 2)﹣(x ﹣n )＝x (x ﹣n )(x +n )﹣(x ﹣n )＝(x ﹣n )(x 2+nx ﹣1)． 理解运用：如果x 3﹣(n 2+1)x +n ＝0，那么(x ﹣n )(x 2+nx ﹣1)＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣(n 2+1)x +n ＝0的解． 解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为 ．【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得(x ﹣2)[x (x +2)﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得． 解：∵x 3﹣5x +2＝0， ∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0， ∴x (x 2﹣4)﹣(x ﹣2)＝0， ∴x (x +2)(x ﹣2)﹣(x ﹣2)＝0，则(x ﹣2)[x (x +2)﹣1]＝0，即(x ﹣2)(x 2+2x ﹣1)＝0， ∴x ﹣2＝0或x 2+2x ﹣1＝0， 解得x ＝2或x ＝﹣12 ，故答案为：x ＝2或x ＝﹣1+2或x ＝﹣1﹣2．4.(2020年湖南怀化中考)如图，11OB A △，122A B A △，233A B A △，…，1n n n A B A -△，都是一边在x 轴上的等边三角形，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数(0)y x x=>的图象上，点1A ，2A ，3A ，…，n A ，都在x 轴上，则n A 的坐标为________．【答案】()【解析】如图，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，过点B 2作B 2D ⊥x 轴于点D ，过点B 3作B 3E ⊥x 轴于点E ，先在△OCB 1中，表示出OC 和B 1C 的长度，表示出B 1的坐标，代入反比例函数，求出OC 的长度和OA 1的长度，表示出A 1的坐标，同理可求得A 2、A 3的坐标，即可发现一般规律．【详解】如图，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，过点B 2作B 2D ⊥x 轴于点D ，过点B 3作B 3E ⊥x 轴于点E ，∵△OA 1B 1为等边三角形， ∴∠B 1OC=60°，∴11B Ctan B OC=OC∠B 1C= ，设OC 的长度为x ，则B 1的坐标为(x )2= 解得，x=1或x=-1(舍去)， ∴OA 1=2OC=2， ∴A 1(2，0)设A 1D 的长度为y ，同理，B 2D y ，B 2的坐标表示为()2y +，代入函数关系式可得(2y +=解得：1或y=1-(舍去)∴A 11，A 1A 2=2，OA 2=22+=∴A 2(0)设A 2E 的长度为z ，同理，B 3E ，B 3的坐标表示为()z ，代入函数关系式可得(z=解得：z=舍去)∴A 2，A 2A 3=OA 3==∴A 3(0)，综上可得：A n (0)，故答案为：()．5.(2020年湖南湘西中考)观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是,AB BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，60NOC ∠=︒； (2)如图②，在正方形ABCD 中，点M ，N 是,AB BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，90NOD ∠=︒； (3)如图③，在正五边形ABCDE 中，点M ，N 是,AB BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，108NOE ∠=︒；……根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是1223,A A A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也会有类似的结论．你的结论是_________________．【答案】1A N =n A M ，(2)180n n NOA n-⋅︒∠=【解析】根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出(1)、(2)、(3)的结论，根据以上规律可得出正n 边形的结论．【详解】(1)∵正三角形ABC 中，点M 、N 是AB 、AC 边上的点，且AM=BN ， ∴AB=AC ，∠CAM=∠ABN=()()218032180603n n-⋅︒-⋅︒==︒，∵在△ABN 和△CAM 中，AB AC ABN CAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABN ≌△CAM(SAS)， ∴AN= CM ，∠BAN=∠MCA ，∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°， 故结论为：AN= CM ，∠NOC=60︒；(2)∵正方形ABCD 中，点M 、N 是AB 、BC 边上的点，且AM=BN ， ∴AB=AD ，∠DAM=∠ABN=()()218042180904n n-⋅︒-⋅︒==︒，同理可证：Rt △ABN ≅Rt △DAM ， ∴AN= DM ，∠BAN=∠ADM ，∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°， 故结论为：AN= DM ，∠NOD=90︒；(3)∵正五边形ABCDE 中，点M 、N 是AB 、BC 边上的点，且AM=BN ， ∴AB=AE ，∠EAM=∠ABN=()()2180521801085n n-⋅︒-⋅︒==︒，同理可证得：Rt △ABN ≅Rt △EAM ， ∴AN= EM ，∠BAN=∠AEM ，∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，故结论为：AN= EM ，∠NOE=108︒；∵正三角形的内角度数为：60°， 正方形的内角度数为：90°， 正五边形的内角度数为：108°， ∴以上所求的角恰好等于正n 边形的内角()2180n n-⋅︒，在正n 边形1234n A A A A A 中，点M ，N 是1223,A A A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ，结论为：1A N =n A M ，(2)180n n NOA n-⋅︒∠=．故答案为：1A N =n A M ，(2)180n n NOA n-⋅︒∠=．6.(2020年湖南省衡阳市中考)如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标,22⎛ ⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP (n 为正整数)，则点2020P 的坐标是_________．【答案】(0，-22019)【解析】根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n -1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案．【详解】解：∵点P 1的坐标为22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1； ∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…， ∴OP n =2n -1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上， ∴点P 2020的坐标是(0，-22019)． 故答案为：(0，-22019)．5.(2020年湖南张家界市中考)观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，…… 根据上面的规律计算：222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．【答案】20202021【解析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题． 【详解】由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b=-•(,a b 均为奇数，且2b a =+)． 故222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯111111111111111202011()()()13355720192021335520192019202120212021-+-+-++-=+-+-++--=-=． 故答案：20202021． 7.(2020年湖南湘潭中考)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边ABC 的重心为点O ，求OBC 与ABC 的面积．(2)性质探究：如图(二)，已知ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABCSS是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ． ①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若1CMES=，求正方形ABCD 的面积．【答案】(2)都是定值，1=2OD OA ，13OBCABCS =S ；(3)①EM =12． 【解析】 【分析】(1)连接DE ，利用相似三角形证明12OD AO =，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解即可；(2)根据(1)的证明可求解； (3)①证明△CME ∽△ABM 得12EM BM =，再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题； ②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可. 【详解】(1)连接DE ，如图，∵点O 是ABC 的重心，AD ∴，BE 是BC ，A C 边上的中线，D E ∴，为BC ，AC 边上的中点，DE ∴为ABC 的中位线，//DE AB ∴，12DE AB =， ~ODE OAB ∴，12OD DE OAAB ∴==，2AB ∴=，1BD =AD ∴=，OD =，1122233OBCSBC OD ∴=⨯⨯=⨯⨯=11222ABCSBC AD =⋅⋅=⨯= (2)由(1)可知，12OD OA =是定值；112132OBC OABC BC OD S OD S AD BC AD ⋅===⋅是定值； (3)①∵四边形ABCD 是正方形，//CD AB ∴，4AB BC CD ÷==，CMEAMB ∴EM CEBM AB∴=E 为CD 的中点，122CE CD ∴==BE ∴=12EM BM ∴= 13EM BE ∴=，即EM = ②1CME S ∴=，且12ME BM = ∴2BMCS=，12ME BM =， 214CME AMBS ME SBM ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4S 4AMBCME S∆∴==，246ABCBMCABMSSS∴=+=+=，又ADC ABC S S =△△6ADCS∴=∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．8.(2020年湖南张家界市中考)阅读下面材料：对于实数,a b ，我们定义符号min{,}a b 的意义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b 时，min{,}a b b =，如：min{4,2}2,min{5,5}5-=-=． 根据上面的材料回答下列问题： (1)min{1,3}-=______； (2)当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围． 【答案】(1)﹣1 ；(2)x≥134【解析】 【分析】(1)比较大小，即可得出答案； (2)根据题意判断出2x 3x+223－≥ 解不等式即可判断x 的取值范围． 【详解】解：(1)由题意得min{1,3}-=﹣1 故答案为：﹣1； (2)由题意得：2x 3x+223－≥3(2x －3)≥2(x+2) 6x －9≥2x+4 4x≥13 x≥134∴x 的取值范围为x≥134． 的。
2020年中考数学一轮专项复习——规律探索(含答案)
2020年中考数学一轮专项复习——规律探索中考备考攻略规律探索型问题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.纵观宜宾近五年中考，往往以选择题、填空题形式出现，这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖.其目的是考查收集、分析数据、处理信息的能力.所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题.规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，既考查分析、解决问题能力，也考查观察、联想、归纳能力以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空题、选择题或解答题.中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ ）A .5B .－14C .43D .451.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ ）A. a 10＋b 19 B .a 10－b 19 C .a 10－b 17 D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数： .3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116，1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ .4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，①则2S＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.②②－①，得2S－S＝S＝22 019－1.∴S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a＋a2＋…＋a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n、…，若前n行点数和为930，则n＝（）A.29B.30C.31D.325.将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57911131517192123252729………………根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（）A.639B.637C.635D.633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（）A B C D6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … 火柴棒根数4710131619…（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 .8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 .中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 .,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 .5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ .6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形共有 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 （1）问前4个台阶上数的和是多少？ （2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.10.一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x －1）个车站发给该站的邮包（x －1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n －x ）个车站的邮包（n －x ）个.（1）根据题意，完成下表：车站序号 在第x 个车站启程时邮政车厢上的邮包总个数1 n －12 （n －1）－1＋（n －2）＝2（n －2）3 2（n －2）－2＋（n －3）＝3（n －3）4 3（n －3）－3＋（n －4）＝4（n －4）5 … … n 0（2）根据上表写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有的邮包个数y （用x 、n 表示）； （3）当n ＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？参考答案中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ D ）A .5B .－14C .43D .45【解析】∵a 1＝5，a 2＝11－a 1＝11－5＝－14，a 3＝11－a 2＝11－⎝⎛⎭⎫－14＝45，a 4＝11－a 3＝11－45＝5，…，∴数列以5、－14、45三个数依次不断循环.∵2 019÷3＝673，∴a 2 019＝a 3＝45.1.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ B ）A .a 10＋b 19B .a 10－b 19C .a 10－b 17D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数：2n －1n 2＋1Ｗ. 3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116， 1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ 1190 Ｗ. 4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法： 设S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，① 则2S ＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.② ②－①，得2S －S ＝S ＝22 019－1.∴S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1＋2＋22＋…＋29＝ ； （2）3＋32＋…＋310＝ ；（3）求1＋a ＋a 2＋…＋a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）.解：（1）210－1；（2）311－12； （3）设S ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n ，①则aS ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1.②②－①，得（a －1）S ＝a n ＋1－1.∴S ＝a n ＋1－1a －1，即1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝an ＋1－1a －1.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n 、…，若前n 行点数和为930，则n ＝（ B ）A .29B .30C .31D .32【解析】设前n 行的点数和为S ，则S ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（2n ＋2）n2＝n （n ＋1）. 若S ＝930，则n （n ＋1）＝930，即（n ＋31）（n －30）＝0，∴n 1＝－31（不合题意，舍去），n 2＝30.5.将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ A ） A .639 B .637 C .635 D .633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（ B ）A B C D【解析】根据题意可知前面4个笑脸循环出现，因为2 018÷4＝504……2，所以第2 018个图形是循环出现到第2个图形.6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … n火柴棒根数4 7 10 13 16 19 … 3n ＋1（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？解：（1）见上表；（2）由3（n ＋1）＋1＝22，解得n ＝6. ∴这位同学最后摆的图案是第7个图案.图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ C ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h 2＝1＋12h 1，依次得出h 3、h 4、…、h n ，再对h n 进行计算变形即可.,7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ D ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 （505，505） .【解析】根据各个点（点A 1和第四象限内的点除外）分别位于象限的角平分线上，逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，根据规律推出点A 2 018的坐标.通过观察可得序号是4的倍数的点在第三象限，由2 018÷4＝504……2，得点A 2 018在第一象限，其横、纵坐标都为（2 018－2）÷4＋1＝505.,8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 （47，16） Ｗ.中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ D ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 （2n －1，2n －1） Ｗ.,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1 838 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 （－22 017，22 0173） Ｗ.5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ 1 Ｗ.6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 （3n ＋1） 枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形共有 6 058 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 （1）问前4个台阶上数的和是多少？ （2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.解：尝试 （1）由题意，得－5－2＋1＋9＝3，故前4个台阶上的数字的和是3； （2）由题意，得－2＋1＋9＋x ＝3，所以x ＝－5；应用 由题意知台阶上的数从下到上每4个循环，因为31÷4＝7……3，所以7×3＋1－2－5＝15， 即从下到上前31个台阶上数的和是15. 发现 “1”所在的台阶数为4k －1.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.解：（1）1n －1n ＋1；（2）1－1n ＋1；[原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.]（3）∵x －1＋（xy －2）2＝0，∴x －1＝0，xy －2＝0， 解得x ＝1，y ＝2.则原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 018×2 019＝1－12 019＝2 018 2 019.10.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x－1）个车站发给该站的邮包（x－1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n－x）个车站的邮包（n－x）个.（1）根据题意，完成下表：（2（3）当n＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？解：（1）见上表；（2）y＝x（n－x）；（3）当n＝18时，y＝x（18－x）＝－x2＋18x＝－（x－9）2＋81.当x＝9时，y取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多.。
2020年湖南省中考数学专题复习函数图象探究题含答案
函数图象探究题1.已知y是x的函数，x的取值范围为任意实数，下图是x与y的几组对应值：小华同学根据研究函数的已有经验探索这个函数的有关性质，并完成下列问题．(1)如图，小华在平面直角坐标系中描出了上述几组值对应的点，请你根据描出的点画出函数的图象；(2)请根据你画的函数图象，完成下列问题：①当x＝－4时，求y的值；②当2012≤|y|≤2019时，求x的取值范围．第1题图2.某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x2－4|x|的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：第2题图(1)列表：直接写出m＝________，n＝________；(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质：性质1________________________________________________________________________性质2________________________________________________________________________(3)若方程x2－4|x|＝k有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．3.某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3－3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：(1)列表：请直接写出m，n的值；(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；(3)若函数y＝x3－3x的图象上有三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且x1<－2<x2<2<x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为________(用“<”连接)．第3题图4.有这样一个问题：探究函数y＝－x＋2＋|x|的图象与性质．小军根据学习函数的经验，对函数y＝－x＋2＋|x|的图象与性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝－x＋2＋|x|的自变量x的取值范围是________；(2)下表是y与x的几组对应值；在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，函数的最小值是________；(4)进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质(函数最小值除外)：________________．第4题图5.小明根据学习函数的经验，对函数y＝1x－1＋1的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数y＝1x－1＋1的自变量x的取值范围是______；(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝________，n＝________；(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；第5题图(4)结合函数的图象，解决问题：①写出该函数的一条性质：__________________； ②当函数值1x －1＋1>32时，x 的取值范围是______；③方程1x －1＋1＝x 的解为________．6. 数学综合实践课上，老师提出问题：如图①，有一张长为4 dm ，宽为3 dm 的长方形纸板，在纸板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来(实线为剪裁线，虚线为折叠线)，做成一个无盖的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学根据学习函数的经验，进行了如下的探究：第6题图①(1)设小正方形的边长为x dm，长方体体积为y dm3，根据长方体的体积公式，可以得到y与x的函数关系式是____________________，其中自变量x的取值范围是________________；(2)列出y与x的几组对应值如下表：x/dm (1)814381258347819854…y/dm3… 1.3 2.2 2.7____ 3.0 2.8 2.5____ 1.50.9…(注：补全表格，保留1位小数)(3)如图②，请在平面直角坐标系中描出补全后表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；(4)结合函数图象回答：当小正方形的边长约为________dm时，无盖长方体盒子的体积最大，最大值约为________dm3.第6题图②参考答案函数图象探究题1.解：(1)画出函数图象如解图；第1题解图(2)①当x ＝－4时，y ＝4；②由题知，当x ≥0时，y ＝x ；当x ＜0时，y ＝－x ， ∴y ＝|x |，∵y ＝|x |≥0，2012≤|y |≤2019. ∴2012≤y ≤2019， ∴2012≤|x |≤2019，当x ＜0时，y 随着x 增大而减小， ∴－2019≤x ≤－2012.当x ≥0时，y 随着x 增大而增大， ∴2012≤x ≤2019，综上，x 的取值范围为－2019≤x ≤－2012或2012≤x ≤2019. 2. 解：(1)5，－3；【解法提示】将x ＝－5代入得m ＝(－5)2－4×|－5|＝5；将x ＝3代入得n ＝32－4×|3|＝－3. (2)补全函数图象如解图． 性质1：函数图象关于y 轴对称；性质2：函数图象在x ＝2或x ＝－2时取得最小值，最小值为－4；(性质不唯一，从最值、对称轴、增减性等方面写出即可，如当x ＜－2或0＜x ＜2时y 随x 的增大而减小；当－2＜x ＜0或x ＞2时y 随x 的增大而增大；当－4＜x ＜4时y ＜0，当x ＞4或x ＜－4时y ＞0)(3)－4＜k ＜0.【解法提示】如解图，直线y ＝k 与函数y ＝x 2－4|x |的图象有四个不同的交点时，k 的取值范围是－4＜k ＜0，则方程x 2－4|x |＝k 有四个不同的实数根时，k 的取值范围是－4＜k ＜0.第2题解图3. 解：(1)98，－2；【解法提示】当x ＝－32时，m ＝x 3－3x ＝(－32)3－3×(－32)＝98；当x ＝1时，n ＝x 3－3x ＝13－3＝－2.(2)补全函数图象如解图所示；第3题解图(3)y 1＜y 2＜y 3.【解法提示】∵x 1＜－2＜x 2＜2＜x 3，∴结合表中数据和函数图象可得，y 1＜－2＜y 2＜2＜y 3，∴y 1＜y 2＜y 3.4. 解：(1)x ≥－2；【解法提示】要使根式有意义，则x ＋2≥0得，x ≥－2， ∴函数y ＝－x ＋2＋|x |的自变量x 的取值范围是x ≥－2. (2)该函数的图象如解图所示；第4题解图(3)－1.41；(4)当－2≤x ＜0时，y 随x 的增大而减小． 5. 解：(1)x ≠1；【解法提示】要使分式有意义，则 x －1≠0，即x ≠1.∴函数y ＝1x －1＋1的自变量x 的取值范围是x ≠1.(2)12；3； 【解法提示】当x ＝－1时，m ＝1（－1）－1＋1＝12；当x ＝32时，n ＝132－1＋1＝3.(3)画出画数图象如解图所示；第5题解图(4)①关于点(1，1)中心对称；或当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜0或x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0；②1＜x ＜3；【解法提示】不等式1x －1＋1>32表示函数y ＝1x －1＋1的图象在y ＝32函数图象上方的时候x 的取值范围，由函数图象可得，当1<x <3时，1x －1＋1>32.③x 1＝0；x 2＝2.【解法提示】方程1x －1＋1＝x 的解是函数y ＝1x －1＋1与函数y ＝x 图象交点的横坐标，由图象可知，两个交点的坐标分别为(0，0)，(2，2)，故x 1＝0，x 2＝2.6. 解：(1)y ＝4x 3－14x 2＋12x ；0<x <32；【解法提示】由已知得y ＝x (4－2x )×(3－2x )＝4x 3－14x 2＋12x ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧x >04－2x >03－2x >0，解得0<x <32.(2)3.0，2.0；【解法提示】当x ＝12时，y ＝3.0；x ＝1时，y ＝2.0.(3)画出函数图象如解图；第6题解图(4)0.55，3.03.(误差在0.01～0.02皆对)．。
中考数学专题训练1.规律探索题
规律探索类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺．12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ①第二个式子：4×22－32 ②第三个式子：4×32－52 ③…根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075.4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二 图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA3B3，…，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是________．第7题图(2019，－1)【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P的下标．观察发现规律：P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，－1)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，∴P4n(4n，0)，P4n＋1(4n＋1，1)，P4n ＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为________．第8题图(－1，－1)【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，∴BO 与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O 成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×3 2＝3n－1 3.∴B n到ON的距离h n＝3n－1 3.10. 如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0，2)，O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009)【解析】由A(0，2)和A1(2，4)可知直线AA1的解析式为y＝x＋2，由图可知点A1，A2，…，A n的纵坐标分别为22，23，…，2n＋1，将y＝2n＋1代入y＝x＋2，得2n＋1＝x＋2，∴x＝2n＋1－2，∴点A n的坐标为(2n＋1－2，2n＋1)，由图可知O2n横坐标与A n的横坐标相同，O2n纵坐标是A n的纵坐标的12，∴O2n的坐标为(2n＋1－2，2n)，∴当n＝1009时，O2018的坐标为(21010－2，21009)．。
2020年中考数学选择填空压轴题汇编规律探索含解析
2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020甘肃天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020贵州铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020黑龙江鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为2，∴第2个等腰直角三角形的面积4＝22，∵A4（10，4），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020黑龙江绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．6.（2020•湖北鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m1，∴OB2＝2，设A3（a，2n），则有n＝a（2a）＝1，解得a，∴OB3＝2，同法可得，OB4＝2，∴OB n＝2，∴B n（0，2）．故选：D．7．（2020湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．8．（2020湖北仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y x上，∴1x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝2，∴P2020的横坐标为221010，故答案为：21010．9.（2020湖南常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．10.（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020湖南怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y得t•t，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y得（2+m）m，解得m1或m1（舍去），∴A1D，A1A2，OA2，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2n，n），把B3（2n，n）代入y得（2n）•n，∴A2E，A2A3，OA3，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．12.（2020湖南湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n．13．（2020山东德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020山东菏泽）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是，故选：D．15．（2020山东威海）如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是m、n 同为奇数或m、n同为偶数．【解答】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．16．（2020山东潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是4039π．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长．故答案为：4039π．17．（2020四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是（﹣1，1）；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝，S1+S2+S3+…+S100的值为．【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（，0），直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（，0），∴S K||×1，∴S1；∴S1+S2+S3+…+S100[][（1）+（）+…+（）]（1）．故答案为（﹣1，1）；；．18．（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若．（n为正整数），则n的值为4039 ．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵，∴，∴2×（1），∴2×（1），1，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020四川自贡）如图，直线y x+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60 ．【解答】解：设直线y x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y x+b，∴当y＝0时，x b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，∴∠ADO＝60°．∵直线y x+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，∴x+b，整理得，x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2k，即EB•FC k，∵cos60°，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝22，∴E1E2＝44，即第二个三角形的周长为1212，设D3（4a，a），由题意（4a）•a＝4，解得a＝22，即第三个三角形的周长为1212，…，晨鸟教育∴第四个三角形的周长为1212，∴前25个等边三角形的周长之和12+1212+1212121212121260，故答案为4，60．Earlybird。
2020年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题36-规律探索
规律探索一.选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．B．C．D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•山东威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•山东日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a +b ）3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； （a +b ）4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4； （a +b ）5=a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5； （a +b ）6=a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6； （a +b ）7=a 7+7a 6b +21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7； 第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1； 第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则（a +b ）10的展开式第三项的系数为45． 故选B ．点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…. 按照上述规律，第2015个单项式是（ ）(A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015. 【答案】C 【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n －1），而后面因式x 的指数是连续自然数，因此关于x 的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7．(2015·河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，－1） C . （2015,1） D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π， ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P (2015，－1) . 图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n =（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17考点： 规律型：图形的变化类．.分析： 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n 个图形中小圆的个数为n （n ﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n 的值． 解答： 解：第一个图形有：5个○， 第二个图形有：2×1+5=7个○， 第三个图形有：3×2+5=11个○， 第四个图形有：4×3+5=17个○， 由此可得第n 个图形有：[n （n ﹣1）+5]个○， 则可得方程：[n （n ﹣1）+5]=245 解得：n 1=16，n 2=﹣15（舍去）． 故选：C ．点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l 个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l 9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ） A .231π B .210π C .190π D .171π9. （2015•浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上第8题的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【 】 A .201521 B .201421 C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，… ∴21111122h =+=-， 32211111222h =++=-，42331111112222h =+++=-，…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-.故选D . 二.填空题1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数．题．2. （2015•浙江衢州,第15题4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点的坐标是▲ .【答案】．【考点】探索规律题（图形的变化类－－－－循环问题）；正六边形的性质；含30度角角三角形的性质．【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.∵，∴经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.∵，∴在中，.∴.∴在中，.∴.∴的横坐标为，纵坐标为.∴经过2015次翻转之后，点的坐标是．3. （2015•浙江湖州，第16题4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是__________________________【答案】.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.4. （2015•四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；…n=n时，根数为：2n（n+1）．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．(2015·深圳，第15题分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有个太阳。
中考数学 专题一 规律探索与猜想复习1
专题一 规律探索与猜想
规律探索与猜想问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一 系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题．在中考中主要包括 “数字规律探索”、“代数式规律探索”和“图形规律探索”及“坐 标规律探索”四种类型． 解决规律探索问题的策略是：通过对所给的一组(或一串)式子及结论进 行全面细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想 出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用．
分析：由图可知：第1个图案中有5＋1＝6根小棒，第2个图案中有2×5 ＋1＝11根小棒，第3个图案中有3×5＋1＝16根小棒，…由此得出第n个 图案中有(5n＋1)根小棒．
坐标规律
【例3】(2015·成都)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对 角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在 直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形 B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形 B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按 此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则 点An的坐标为___(_3_n－__1，__0_)__． 分析：由题意，点A1的坐标为(1，0)，点A2的坐标为(3，0)，即(32－1， 0), 点A3的坐标为(9，0)，即(33－1，0)，A4的坐标为(27，0)，即(34－1，0) ，…，∴点An的坐标为(3n－1，0)．
1000a＋100b＋10c＋d 11
＝
1000a＋100b＋10b＋a 11
＝
1001a＋110b 11＝Leabharlann 91a＋10b
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例3题图
题型一 规律探索题
满分技法 对于图形规律中求第n个点的坐标，有两种考查形式：一种是点坐标变换在同一象限 内递推变化；另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环变化．解决方法如下： (1)定类型：根据图形中点坐标的变换特点判断出属于哪一个类型(递推型或循环型)； (2)找规律：根据图形的递变规律分别求出第1、2、3、4个点的横坐标和纵坐标，用 含n的代数式表示出第n个点的坐标．
(衡阳2017～2019.18，2015、2014.20；岳阳2016.16)
典例精讲
例3 把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆在平面直角 坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标 为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角 板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二 块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3 与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…；按此规律继续 下去，则点B2017的坐标为___(0_，__－__(___3_)_2_01_8_)_____．
(n≥1)．
2
题型一 规律探索题
2. 数字循环规律：对于求某个大数或式子的末位数字或所在位置，一般用循环规律解 题，先找到一个循环周期，用项数除以周期，余数即为第一个周期内对应的末位数字 或所在位置． 3. 求第n个数字或式子的步骤： (1)标序数(1，2，3，…，n)； (2)找规律：仔细观察所给数字、式子，找出其与序数之间的关系．若所给数字、式子 的正负号交替出现，则用(－1)2n或(－1)2n－1表示符号；若所给数字、式子既有整数又 有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律．
第4题图
题型一 规律探索题
5. (2019娄底改编)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，
圆心角为120°的 »AB 多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A(A为坐标原点)出发，
以每秒
2 3
π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为____－__1______．
1 a11＝a3×4－1 17＝42＋1
n
(－1)n a3n－1 n2＋1
题型一 规律探索题
满分技法
1. 常见的数字规律：
A．自然数数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)；
B．正整数数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)；
C．奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)；
D．偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)；
题型一 规律探索题
4. (2015郴州)请观察下列等式的规律： 1 ＝ 1 (1－ 1 )， 1 ＝ 1 ( 1－ 1 )， 1 ＝ 1( 13 2 3 35 2 3 5 57 2
－1 )，1 57 50
101
1＝ ( 1 －1 )，1 …，则 79 2 7 9＋Fra bibliotek 1＋ 13 35
＋1 …＋ 57
例2题图
题型一 规律探索题
【思维教练】 序号
菱形个数 与序号关系
1 1 2×1－1
2 3 2×2－1
3 5 2×3－1
n 2×n－1
题型一 规律探索题
满分技法 对于图形规律探索题具体步骤如下： (1)写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； (2)数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数； (3)寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图 形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量 的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数； (4)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
第2题图
题型一 规律探索题
3. (2016衡阳)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部 分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．
第3题图
现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为___1_0____．
题型一 规律探索题
类型三 图形中点的坐标规律
题型一 规律探索题
湖南中考真题精选
1. (2017岳阳)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根
据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017的末尾数字是( B )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
2. (2017郴州)已知a1＝－ 17
32，a2＝
E．正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝ n n 1 (n≥1)；
2
F．正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)；
G．正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)；
H．正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1(n≥1)；
I．每两个相邻数字之间的差以1为单位递增：1，3，6，10，15，21，28，… n n 1
第2题图
题型一 规律探索题
3. (2017衡阳)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2， A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是 ___2_20_1_7__．
第3题图
题型一 规律探索题
4. (2019衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1， 1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2 作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下 去，则点A2019的坐标为__(_－__1_0_1_0_，__1_0_1_0_2)__．
1 ＝________． 99 101
题型一 规律探索题
类型二 图形累加规律
(衡阳2016.18；益阳2016.14，2015.13)
典例精讲
例2 (2019甘肃省卷)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱 形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝__1_0_1_0___．
题型一 规律探索题 湖南中考真题精选
1. (2015益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6 根小棒，第2个图案有11根小棒，…，则第n个图案中有__5_n_＋__1__根小棒．
第1题图
题型一 规律探索题
2. (2016益阳)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子， 第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个 图案的棋子数是_1_3______枚．
5 5
，a3＝－
7 10
，a4＝
9 17
，a5＝－
11 26
，…，则a8＝
____6_5___．
题型一 规律探索题
3. (2019益阳)观察下列等式：
① 3－2 2 ＝( 2 －1)2， ② 5－2 6 ＝( 3 － 2 )2， ③ 7－2 12 ＝( 4 － 3 )2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式__1_3_－__2___4_2__＝__(__7__－____6_)_2__．
第1题图
题型一 规律探索题
2过. (点20A118(衡1，阳－)如12图)作，x在轴平的面垂直线角交坐l1于标点系A中2，，过函点数Ay2＝作xy和轴y的＝垂－线12交x的l2于图点象A分3，别过为点直A线3作l1，x l2， 轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…，依次进行下去，则点A2018的 横坐标为__2_10_0_8___．
一、简单题型集训
题型一 规律探索题
（郴州3考；衡阳必考；岳阳3考；益阳3考）
题型一 规律探索题
类型一 数式规律
(郴州2015～2017.16；岳阳2017.7，2014.15；益阳2019.18)
典例精讲
例1 (2019铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：
－ a2 ，a5 ，－ a8 ，a11 ，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是
题型一 规律探索题
湖南中考真题精选
1. (2016岳阳)如图，在平面直角坐标系中，每个 最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…， 均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如 P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)， P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律， 点P2016的坐标为___(_5_0_4_，__－__5_0_4_)_____．
25
10 17
_(_－__1_)_n_n_a_23_n_11____．(n为正整数)
题型一 规律探索题
【思维教练】
序号
1
2
式子
－ a2
a5
2
5
系数 分子 分母
－1 a2＝a3×1－1 2＝12＋1
1 a5＝a3×2－1 5＝22＋1
3 － a8
10
－1 a8＝a3×3－1 10＝32＋1
4
a11 17
第5题图