2020年湖南中考数学复习题型一 规律探索题
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一、简单题型集训
题型一 规律探索题
（郴州3考；衡阳必考；岳阳3考；益阳3考）
题型一 规律探索题
类型一 数式规律
(郴州2015～2017.16；岳阳2017.7，2014.15；益阳2019.18)
典例精讲
例1 (2019铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：
－ a2 ，a5 ，－ a8 ，a11 ，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是
1 ＝________． 99 101
题型一 规律探索题
类型二 图形累加规律
(衡阳2016.18；益阳2016.14，2015.13)
典例精讲
例2 (2019甘肃省卷)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱 形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝__1_0_1_0___．
第4题图
题型一 规律探索题
5. (2019娄底改编)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，
圆心角为120°的 »AB 多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A(A为坐标原点)出发，
以每秒
2 3
π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为____－__1______．
题型一 规律探索题 湖南中考真题精选
1. (2015益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6 根小棒，第2个图案有11根小棒，…，则第n个图案中有__5_n_＋__1__根小棒．
第1题图
题型一 规律探索题
2. (2016益阳)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子， 第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个 图案的棋子数是_1_3______枚．
例3题图
题型一 规律探索题
满分技法 对于图形规律中求第n个点的坐标，有两种考查形式：一种是点坐标变换在同一象限 内递推变化；另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环变化．解决方法如下： (1)定类型：根据图形中点坐标的变换特点判断出属于哪一个类型(递推型或循环型)； (2)找规律：根据图形的递变规律分别求出第1、2、3、4个点的横坐标和纵坐标，用 含n的代数式表示出第n个点的坐标．
题型一 规律探索题
湖南中考真题精选
1. (2017岳阳)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根
据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017的末尾数字是( B )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
2. (2017郴州)已知a1＝－ 17
32，a2＝
题型一 规律探索题
4. (2015郴州)请观察下列等式的规律： 1 ＝ 1 (1－ 1 )， 1 ＝ 1 ( 1－ 1 )， 1 ＝ 1( 13 2 3 35 2 3 5 57 2
－1 )，1 57 50
101
1＝ ( 1 －1 )，1 …，则 79 2 7 9
＋1 1＋ 13 35
＋1 …＋ 57
E．正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝ n n 1 (n≥1)；
2
F．正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)；
G．正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)；
H．正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1(n≥1)；
I．每两个相邻数字之间的差以1为单位递增：1，3，6，10，15，21，28，… n n 1
第5题图
第2题图
题型一 规律探索题
3. (2016衡阳)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部 分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．
第3题图
现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为___1_0____．
题型一 规律探索题
类型三 图形中点的坐标规律
1 a11＝a3×4－1 17＝42＋1
n
(－1)n a3n－1 n2＋1
题型一 规律探索题
满分技法
1. 常见的数字规律：
A．自然数数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)；
B．正整数数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)；
C．奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)；
D．偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)；
第2题图
题型பைடு நூலகம் 规律探索题
3. (2017衡阳)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2， A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是 ___2_20_1_7__．
第3题图
题型一 规律探索题
4. (2019衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1， 1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2 作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下 去，则点A2019的坐标为__(_－__1_0_1_0_，__1_0_1_0_2)__．
25
10 17
_(_－__1_)_n_n_a_23_n_11____．(n为正整数)
题型一 规律探索题
【思维教练】
序号
1
2
式子
－ a2
a5
2
5
系数 分子 分母
－1 a2＝a3×1－1 2＝12＋1
1 a5＝a3×2－1 5＝22＋1
3 － a8
10
－1 a8＝a3×3－1 10＝32＋1
4
a11 17
第1题图
题型一 规律探索题
2过. (点20A118(衡1，阳－)如12图)作，x在轴平的面垂直线角交坐l1于标点系A中2，，过函点数Ay2＝作xy和轴y的＝垂－线12交x的l2于图点象A分3，别过为点直A线3作l1，x l2， 轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…，依次进行下去，则点A2018的 横坐标为__2_10_0_8___．
(衡阳2017～2019.18，2015、2014.20；岳阳2016.16)
典例精讲
例3 把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆在平面直角 坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标 为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角 板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二 块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3 与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…；按此规律继续 下去，则点B2017的坐标为___(0_，__－__(___3_)_2_01_8_)_____．
例2题图
题型一 规律探索题
【思维教练】 序号
菱形个数 与序号关系
1 1 2×1－1
2 3 2×2－1
3 5 2×3－1
n 2×n－1
题型一 规律探索题
满分技法 对于图形规律探索题具体步骤如下： (1)写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； (2)数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数； (3)寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图 形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量 的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数； (4)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
(n≥1)．
2
题型一 规律探索题
2. 数字循环规律：对于求某个大数或式子的末位数字或所在位置，一般用循环规律解 题，先找到一个循环周期，用项数除以周期，余数即为第一个周期内对应的末位数字 或所在位置． 3. 求第n个数字或式子的步骤： (1)标序数(1，2，3，…，n)； (2)找规律：仔细观察所给数字、式子，找出其与序数之间的关系．若所给数字、式子 的正负号交替出现，则用(－1)2n或(－1)2n－1表示符号；若所给数字、式子既有整数又 有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律．
5 5
，a3＝－
7 10
，a4＝
9 17
，a5＝－
11 26
，…，则a8＝
____6_5___．
题型一 规律探索题
3. (2019益阳)观察下列等式：
① 3－2 2 ＝( 2 －1)2， ② 5－2 6 ＝( 3 － 2 )2， ③ 7－2 12 ＝( 4 － 3 )2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式__1_3_－__2___4_2__＝__(__7__－____6_)_2__．
题型一 规律探索题
湖南中考真题精选
1. (2016岳阳)如图，在平面直角坐标系中，每个 最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…， 均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如 P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)， P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律， 点P2016的坐标为___(_5_0_4_，__－__5_0_4_)_____．
题型一 规律探索题
（郴州3考；衡阳必考；岳阳3考；益阳3考）
题型一 规律探索题
类型一 数式规律
(郴州2015～2017.16；岳阳2017.7，2014.15；益阳2019.18)
典例精讲
例1 (2019铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：
－ a2 ，a5 ，－ a8 ，a11 ，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是
1 ＝________． 99 101
题型一 规律探索题
类型二 图形累加规律
(衡阳2016.18；益阳2016.14，2015.13)
典例精讲
例2 (2019甘肃省卷)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱 形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝__1_0_1_0___．
第4题图
题型一 规律探索题
5. (2019娄底改编)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，
圆心角为120°的 »AB 多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A(A为坐标原点)出发，
以每秒
2 3
π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为____－__1______．
题型一 规律探索题 湖南中考真题精选
1. (2015益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6 根小棒，第2个图案有11根小棒，…，则第n个图案中有__5_n_＋__1__根小棒．
第1题图
题型一 规律探索题
2. (2016益阳)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子， 第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个 图案的棋子数是_1_3______枚．
例3题图
题型一 规律探索题
满分技法 对于图形规律中求第n个点的坐标，有两种考查形式：一种是点坐标变换在同一象限 内递推变化；另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环变化．解决方法如下： (1)定类型：根据图形中点坐标的变换特点判断出属于哪一个类型(递推型或循环型)； (2)找规律：根据图形的递变规律分别求出第1、2、3、4个点的横坐标和纵坐标，用 含n的代数式表示出第n个点的坐标．
题型一 规律探索题
湖南中考真题精选
1. (2017岳阳)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根
据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017的末尾数字是( B )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
2. (2017郴州)已知a1＝－ 17
32，a2＝
题型一 规律探索题
4. (2015郴州)请观察下列等式的规律： 1 ＝ 1 (1－ 1 )， 1 ＝ 1 ( 1－ 1 )， 1 ＝ 1( 13 2 3 35 2 3 5 57 2
－1 )，1 57 50
101
1＝ ( 1 －1 )，1 …，则 79 2 7 9
＋1 1＋ 13 35
＋1 …＋ 57
E．正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝ n n 1 (n≥1)；
2
F．正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)；
G．正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)；
H．正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1(n≥1)；
I．每两个相邻数字之间的差以1为单位递增：1，3，6，10，15，21，28，… n n 1
第5题图
第2题图
题型一 规律探索题
3. (2016衡阳)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部 分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．
第3题图
现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为___1_0____．
题型一 规律探索题
类型三 图形中点的坐标规律
1 a11＝a3×4－1 17＝42＋1
n
(－1)n a3n－1 n2＋1
题型一 规律探索题
满分技法
1. 常见的数字规律：
A．自然数数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)；
B．正整数数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)；
C．奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)；
D．偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)；
第2题图
题型பைடு நூலகம் 规律探索题
3. (2017衡阳)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2， A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是 ___2_20_1_7__．
第3题图
题型一 规律探索题
4. (2019衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1， 1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2 作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下 去，则点A2019的坐标为__(_－__1_0_1_0_，__1_0_1_0_2)__．
25
10 17
_(_－__1_)_n_n_a_23_n_11____．(n为正整数)
题型一 规律探索题
【思维教练】
序号
1
2
式子
－ a2
a5
2
5
系数 分子 分母
－1 a2＝a3×1－1 2＝12＋1
1 a5＝a3×2－1 5＝22＋1
3 － a8
10
－1 a8＝a3×3－1 10＝32＋1
4
a11 17
第1题图
题型一 规律探索题
2过. (点20A118(衡1，阳－)如12图)作，x在轴平的面垂直线角交坐l1于标点系A中2，，过函点数Ay2＝作xy和轴y的＝垂－线12交x的l2于图点象A分3，别过为点直A线3作l1，x l2， 轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…，依次进行下去，则点A2018的 横坐标为__2_10_0_8___．
(衡阳2017～2019.18，2015、2014.20；岳阳2016.16)
典例精讲
例3 把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆在平面直角 坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标 为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角 板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二 块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3 与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…；按此规律继续 下去，则点B2017的坐标为___(0_，__－__(___3_)_2_01_8_)_____．
例2题图
题型一 规律探索题
【思维教练】 序号
菱形个数 与序号关系
1 1 2×1－1
2 3 2×2－1
3 5 2×3－1
n 2×n－1
题型一 规律探索题
满分技法 对于图形规律探索题具体步骤如下： (1)写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； (2)数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数； (3)寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图 形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量 的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数； (4)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
(n≥1)．
2
题型一 规律探索题
2. 数字循环规律：对于求某个大数或式子的末位数字或所在位置，一般用循环规律解 题，先找到一个循环周期，用项数除以周期，余数即为第一个周期内对应的末位数字 或所在位置． 3. 求第n个数字或式子的步骤： (1)标序数(1，2，3，…，n)； (2)找规律：仔细观察所给数字、式子，找出其与序数之间的关系．若所给数字、式子 的正负号交替出现，则用(－1)2n或(－1)2n－1表示符号；若所给数字、式子既有整数又 有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律．
5 5
，a3＝－
7 10
，a4＝
9 17
，a5＝－
11 26
，…，则a8＝
____6_5___．
题型一 规律探索题
3. (2019益阳)观察下列等式：
① 3－2 2 ＝( 2 －1)2， ② 5－2 6 ＝( 3 － 2 )2， ③ 7－2 12 ＝( 4 － 3 )2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式__1_3_－__2___4_2__＝__(__7__－____6_)_2__．
题型一 规律探索题
湖南中考真题精选
1. (2016岳阳)如图，在平面直角坐标系中，每个 最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…， 均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如 P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)， P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律， 点P2016的坐标为___(_5_0_4_，__－__5_0_4_)_____．