导数小结与复习

)<(b-a)ln2.
令 f ( x ) 0 ，解得 x 0.
当 1 x 0 时, f ( x ) 0,
当 x 0 时, f ( x) 0.
又 f ( 0) 0 ,
故当且仅当x=0时， f(x) 取得最大值，最大值为0.
（Ⅱ） g ( x ) x ln x, g ( x ) ln x 1.
3 时， y 4 . 当 cos x m in 5
例7已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx. （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0<a<b,
证明: 0<g(a)+g(b)-2g(
ab
2 解： （Ⅰ）函数 f ( x )的定义域为 ( 1, )
f ( x ) x 1 x
(2)
2e 2 x cos x e 2 x sin x y
y 1 x sin x ( x sin x )
2
(3)
1 cos x x sin x
(4)
y
1 x 1
2
log 3 e ( x 1)
2 x log 3 e x2 1
例6 求 y 5 3 cos x sin x （0 x ）的最小值 . 2 （5 3 cos x）sin x 5 3 cos x） sin x） （ （ 解：y ' ＝ sin 2 x ＝ 3 5 cos x 2 sin x
' 0 cos x 3 令 y 5 当 cos x 3 时 ，y ' 0 ， 当 cos x 3 时， y ' 0 5 5
x 2 (3 x 1) 2
（3）y=ln(x+sinx) （4）y= log 3 ( x 1)
2
e
2x
cos x
( x 2)
1 2
1 2
(3 x 1) 2
x 2 2 (3 x 1) 3
(3 x 1) 2 2 x2
6 (3 x 1) x 2
y 2 x 3 x,
D
C1
交点O、A的坐标分别是（0，0）， （1，1）.
B
O
f (t ) S ABO S OBD 1 2 | BD | | 1 0 | 1 2 | BD |
B t
1 2
A C2
x
( 3t 3 3t ),
即 （Ⅱ）
3 f (t ) (t 3 t ). (0 t 1). 2 3 9 3 . (t ) t 2 . 令 f (t ) 0 解得 t f 3 2 2
Ⅲ、求导法则
Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义
处 就是曲线 y f（ x）在点 P x0 ， f（ x0）
的切线的斜率．
函数 y f（ x）在点 x0处的导数 f （ x0），
Baidu Nhomakorabea
Ⅵ、导数的应用 1．判断函数的单调性
2．求函数的极值
3．求函数的最值
例2：用公式法求下列导数：
（1）y= （2）y= 解(1)y′=
练习巩固： 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在 原点相切，若函数的极值为-4 （1）、求a、b、c的值 （2）、求函数的单调区间
答案（1）a=-3,b=0,c=0 （2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)
• 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
当0t )上 时, f (t ) 0, 从而 f (t ) 在区间 ( 0, 3 是增函数； 3
3
3
当
3 3
t 1时 , f (t ) 0, 从而 f (t ) 在区间 (
3 3
,1) 上
是减函数；
所以当 t
3 3
f (t )有最大值为 f ( 3 ) 时，
3 3
3
.
近几年该知识 点的考查情况：
2007年 高考命 题预测
主要题型
1、以填空、 选择考查导 对导数的考查客观题为一 数的概念，求函数的导数， 个，与导数的知识有关的解 （1）2001年高考第8题关于极值问题， 答题也为一个。 求函数的极、最值。 第19题第（2）问证明函数的单调性； 2、与导数的几何意义相 2002年高考第20题考查导数的几何意 结合的函数综合问题，利 义；2003年高考的第7题与第19题， 用导数证明函数的单调性 分别考查导数几何意义与函数的单调 性。 或求函数的单调区间，多 为中档题。 3、利用导数求实际问题 中的最值问题，为中档偏 难题
设 F ( x) g ( a ) g ( x) 2 g ( a x ), 2 则 F ( x ) g ( x ) 2[ g ( a x )] ln x ln a x . 2 2
当 0 x a时, F ( x ) 0, F ( x )在(0, a ) 为减函数；
3 a 2 b 3 0 , a 1, b 0 3 a 2 b 3 0 . f ( x ) x 3 3 x, f ( x ) 3 x 2 3 3( x 1)( x 1)
令 f ( x ) 0 ， x 1, x 1 则
当 x a时, F ( x ) 0, F ( x )在( a, ) 为增函数 .
从而，当 x a时, F ( x ) 有极小值 F (a ).
又 F ( a ) 0, b a 0, F (b) F (a ) 0,
0 g ( a ) g (b) 2 g ( a b ). 2
例3、已知f (x) =2x2+3x f (1), f (0)= 解:由已知得: f (x)=4x+3 f (1), ∴ f (1)=4+3 f (1), ∴ f (1)=-2 ∴ f (0)= 4×0+3 f (1)=3×(-2)=-6
例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点 x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)
当 x ( , 1) (1, ) 时， f ( x) 0
当 x (1, 1) 时， f ( x ) 0
(1 f(x)在 ( , 1) ， , ) 上是增函数，
f(x)在 (1, 1) 上是减函数。 所以， f ( 1) 2 是极大值； f (1) 2 是极小值。 （2）曲线方程为 y x 3 x ，点 A(0, 16 ) 不在曲线上 .
的单调区间。 分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1 且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求 函数单调区间的方法，求出单调区间 。
f (1) 1 a 略解： ' f (1) 0
1 3
,b
1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
令 f ( x) 0 ，解得 x 1或x a 1.
当a 1 1即a 2时, 函数 f ( x )在(1, )上是增函数 , 不合题意 当a 1 1即a 2时, 函数 f ( x )在( ,1)上为增函数 , 在(1, a 1)内为减函数 , 在( a 1, )为增函数 .
知 识 结 构
Ⅰ、导数的概念
Ⅱ、几种常见函数的导数公式
c 0 （ c为常数） （ ln x） 1 x （ e x） e x
（ x n） nx n 1 （ n Q ）
（ sin x） cos x ，（ cos x） sin x ，（ log a x） 1 log a e x ， （ a x） a x ln a
3 2
1
3
8
（Ⅲ）当 a 3时，在R上存在一个区间，其上有 f ( x ) 0, 所以，当 a 3 时，函数 f ( x )( x R ) 不是减函数.
综上，所求a的取值范围是（ ,3].
例3 如图，已知曲线C1 ：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交 于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D. （Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值. y y x3 解：（Ⅰ）由 得 3
所以，切点为 切线方程为
M ( 2, 2)，
9 x y 16 0
例 5 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 –24x +4 在区间[0,3]上的最大值和最小值.
解 f (x) = 12x3 - 48x2 + 60x – 24 = 12(x - 1)2(x - 2)，
3ax 2 6 x 1 0( x R ) a 0且 36 12 a 0 a 3.
所以，当 a 3时,由f ( x ) 0, 知f ( x )( x R ) 是减函数；
（II）当 a 3 时， f ( x ) 3 x 3 x x 1 = 3( x ) , 3 9 3 由函数 y x 在R上的单调性，可知 当 a 3时， f ( x )( x R ）是减函数；
2 由已知 f a 4 3
即

8 27
a
3
4 9
a 4
3
解得a=-3
例1 若函数 f ( x ) 1 x 3 1 ax 2 ( a 1) x 1 在区间（1，4）内为减
3 2
函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.
解：函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) x 2 ax a 1.
3
) 设切点为 M ( x 0 , y 0，则点M的坐标满足 y 0 x 0 3x 0 2 f ( x 0 ) 3( x 0 1) 因 2 故切线的方程为 y y 0 3( x 0 1)( x x 0 )
3
注意到点A（0，16）在切线上，有
3 2 3 16 ( x 0 3 x 0 ) 3( x 0 1)( 0 x 0 ) x0 8 即 x0 2
令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，它们为 f (x) 可 能的极值点， 算出这些点及区间端点处的函数值： f (0) = 4， f (1) = - 3，f (2) = - 4，f (3) = 13， 将它们加以比较 可知在区间[0, 3]上 f (x) 的最大值 为 f (3) = 13， 最小值为 f (2) = - 4.
例已知函数 在
f ( x ) ax 3 bx 2 3 x
x 1 处取得极值。
(1)讨论 f (1)和 f (1) 是函数 f ( x )
的极大值还是极小值；
(2)过点 A(0, 16 ) 作曲线y f (x ) 的切线，求此切线方程。 解：(1) f ( x ) 3ax 2 2bx 3 依题意， f (1) f ( 1) 0
依题意应有 当
x (1,4)时, f ( x ) 0, 当x (6, )时, f ( x ) 0.
所以 4 a 1 6. 解得 5 a 7. 故a的取值范围是[5，7].
例2 已知 f ( x ) ax 3 3 x 2 x 1在R上是减函数，求a的取值 范围. 解：函数f(x)的导数： ( x ) 3ax 2 6 x 1. f （Ⅰ）当 f ( x) 0 x R ）时， f(x)是减函数. （