离散系统的稳定性条件和瞬态响应
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《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
第七节 离散系统的稳定性分析
T=100ms,开环增益K=10
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
且当采样周期增大时，系统稳定所允许的最大增益减小。
三。奈氏判据
和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能 直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数 双线性变换，这样很容易就可以画出采样 系统的Bode图，举例说明。
例：设开环脉冲传函为G（Z）
2.53Z
,
(Z 1)(Z 0.638)
试用奈氏判据判别闭环稳定性
据劳斯判据条件： a0 , a1, a2 o a0 0 k 0
4。32
4
T
2(1 e Tu )
a2 0 k
T
1 e Tu
2
24 6
T/Tu
T
显然K
2(1
e
Tu T
)
为临界稳定时对应的临界放大系数，如图曲线下方
1 e Tu
就表示稳定的K和T值。可以看出当 T 1时系统允许最大增益K 4.32 Tu
闭环特征方程
1 G（Z） 0
T
T
(z 1)(z e Tu ) KZ（1 e T u） 0
Z 2 4.952Z 0.368 0
Z1 0.076, Z2 4.876
有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
且当采样周期增大时，系统稳定所允许的最大增益减小。
三。奈氏判据
和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能 直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数 双线性变换，这样很容易就可以画出采样 系统的Bode图，举例说明。
例：设开环脉冲传函为G（Z）
2.53Z
,
(Z 1)(Z 0.638)
试用奈氏判据判别闭环稳定性
据劳斯判据条件： a0 , a1, a2 o a0 0 k 0
4。32
4
T
2(1 e Tu )
a2 0 k
T
1 e Tu
2
24 6
T/Tu
T
显然K
2(1
e
Tu T
)
为临界稳定时对应的临界放大系数，如图曲线下方
1 e Tu
就表示稳定的K和T值。可以看出当 T 1时系统允许最大增益K 4.32 Tu
闭环特征方程
1 G（Z） 0
T
T
(z 1)(z e Tu ) KZ（1 e T u） 0
Z 2 4.952Z 0.368 0
Z1 0.076, Z2 4.876
有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
自动控制原理第7章2
连续系统的劳斯-赫尔维茨判据，是通过系统特征方程的系 数及其符号来判别系统的稳定性。这个判据实质是判断系统特征 方程的根是否都在s平面左半平面。但是在离散时间线性系统中 需要判断系统特征根是否都在z平面上的单位圆内。因此连续时 间线性系统的劳斯-赫尔维茨判据不能直接使用，必须寻找一个 新变量。
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
2020/12/3
11
(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
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(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
离散时间系统稳定的充要条件
离散时间系统稳定的充要条件离散时间系统是指系统的输入和输出在时间上是离散的情况下进行的系统分析和设计。
而离散时间系统的稳定性是一个重要的性质，它决定了系统是否能够在一定范围内保持稳定的输出。
本文将介绍离散时间系统稳定性的充要条件。
一、离散时间系统的稳定性概念稳定性是指系统在有限时间内是否能够保持有限的幅值，而不会出现无限增长或发散的情况。
对于离散时间系统而言，其稳定性可以分为两类：绝对稳定和相对稳定。
绝对稳定是指系统的输出在有限时间内始终保持有限的幅值，不会发散或无限增长。
相对稳定是指系统的输出在有限时间内保持有限的幅值，但可能会在无穷时间后发散或无限增长。
二、离散时间系统的稳定性充要条件1. 线性时不变系统对于线性时不变系统而言，其稳定性充要条件是系统的传递函数的极点都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有极点的模长都小于1。
2. 有限冲激响应系统对于有限冲激响应系统而言，其稳定性充要条件是系统的冲激响应是绝对可和的。
也就是说，系统的冲激响应的绝对和是有限的。
3. 时变系统对于时变系统而言，其稳定性充要条件是系统的输入和输出序列都是绝对可和的，并且系统的输入和输出序列的绝对和都是有界的。
4. 有限差分方程系统对于有限差分方程系统而言，其稳定性充要条件是系统的差分方程的根都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有根的模长都小于1。
5. 正态系统对于正态系统而言，其稳定性充要条件是系统的所有特征值的实部都小于等于零。
6. 离散时间系统的Lyapunov稳定性对于离散时间系统而言，其稳定性充要条件是系统的状态方程存在一个正定矩阵，使得系统的状态的Lyapunov函数是递减的。
三、离散时间系统的稳定性判定方法除了以上充要条件外，还可以通过以下方法判断离散时间系统的稳定性：1. 构造系统的Lyapunov函数。
通过构造系统的Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
如果系统的状态的Lyapunov函数是递减的，则系统是稳定的。
2.2.4离散系统稳定性 和瞬态响应2
2) 梯形规则
用梯形面积代替阴影部分的面积得；
u ( k ) T u [ k ( 1 ) T ] T { a [ k u ( 1 ) T ] a [ k e ( 1 ) T ] a ( k ) u T a ( k ) e T }
2
整理得：u ( k) T 1 ( a/2 ) T u [k (1 ) T ] a/2 T { e [k (1 ) T ] e ( k)T }
4.6 各种方法的比较
梯形规则
优先选用
前向矩形规则
从不选用
后向矩形规则
一般不选用
零极点匹配法 冲击响应不变转换 阶跃响应不变转换
根据 需要 选用
两种控制器的直流增益相同 两种控制器的冲击响应等效 两种控制器的阶跃响应等效
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23
计算机控制技术课件
4 计算机控制系统设计（一）
－－按模拟系统设计方法进行设计
kT
u(kT)[au()ae())d]
0
(k1)T
kT
[au()ae())d] [au()ae())d]
0
(k1)T
u [k ( 1 )T ] [ a(u ) a(e )在 (k 1 )T 到 k上 T 的 ] 积分
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6
计算机控制技术课件
其几何意义如下图所示： 阴影部分的面积可用三种方法求得
近似表示阴影面积
将计算阴影面积的三种方式代入u(kT)，得三种计算规则：
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7
计算机控制技术课件
1)前向矩形规则
用前向矩形面积代替阴影部分的面积得；
u ( k ) u T [ k 1 ( ) T ] { a [ k 1 ( u ) T ] a [ k 1 ( e ) T ] T } ( 1 a ) u [ T k (1 ) T ] a[k T (1 ) T e ]
离散系统的稳定性条件和瞬态响应课件
非线性离散系统的稳定性条件
局部稳定性
对于非线性离散系统，局部稳定性是其重要的稳定性条件。 这意味着在系统的小扰动下，其状态轨迹应能逐渐恢复到原 始状态。
全局稳定性
全局稳定性是指无论系统受到多大的扰动，其状态轨迹都能 逐渐恢复到原始状态。对于非线性离散系统，全局稳定性的 条件通常更为严格。
稳定性条件的分析和计算方法
控制器优化
在满足稳定性条件的前提下，通 过优化控制算法，提高控制器的
性能和效率。
仿真实验
通过仿真实验，验证基于稳定性 条件和瞬态响应的综合控制方案
的有效性和优越性。
06
总结与展望
研究成果与贡献
建立了离散系统稳定性判据，证明了系统稳定的充分必要条件，为离散系统稳定性 分析提供了新的理论依据。
针对离散系统的瞬态响应问题，提出了新的优化算法，有效提高了系统的瞬态性能 ，为离散系统优化设计提供了新的思路。
稳定性的性质
稳定性具有等价性、传递性和不变性三个基本性质。
稳定性在离散系统中的重要性
01
02
03
保证系统正常运行
在离散系统中，稳定性是 保证系统正常运行的基础 ，只有稳定的系统才能避 免出现故障或崩溃。
优化系统性能
稳定性是优化系统性能的 前提，只有稳定的系统才 能发挥出其最佳性能。
保障安全
稳定性也是保障系统安全 的重要因素，不稳定的系 统容易遭受攻击或崩溃。
基于模型的方法
一种常用的协同优化方法是基于模型的方法。该方法通过 建立离散系统的数学模型，并采用优化算法来同时满足稳 定性和瞬态响应的约束条件。
实验设计法
另一种协同优化方法是实验设计法。该方法通过实验来探 索离散系统在不同参数下的稳定性和瞬态响应性能，并据 此选择合适的参数以实现协同优化。
离散控制CAI7(gai).
xo(nT)= -
a
k 1
l
k
x o [( n k )T ] + bk xi [(n k )]T
k 0
m
1、Z传递函数定义
对于线性常系数的差分方程（7-27） 或（7-28）等式两边分别求 Z 变换得 Xo(z)= - a k X o ( z ) z k + bk X i ( z ) z k
3、闭环系统的Z传递函数
对上式进行 Z 变换，得 E(z)=Xi(z)-GH(z)E(z)
整理得 E ( z) 1 = =GBe(z) X i ( z ) 1 GH ( z ) (7-34)
GBe(z)为闭环离散系统对于输入量的偏差 Z 传递函数。
3、闭环系统的Z传递函数
对于单位反馈系统，即 H(s)=1,则有
X o ( z ) Z [ xo ( nT )] G(Z)= = X i ( z ) Z [( xi ( nT )]
1、Z传递函数定义
(7-29)
1、Z传递函数定义
当输入为单位脉冲信号δ (t)时，G(z)即为 单位脉冲响应序列 g(nT)的 Z 变换，因此 Z 传递函数也称脉冲传递函数，这也是 Z 传递函数的物理意义所在。
图7-5 采样信号的调制过程
图7-2 为典型的计算机控制系统原理图
理想采样开关
图7-3 为计算机控制系统结构图
离散控制系统在实际中广泛应用的主要原因 是： 由数字计算机构成的数字校正装置易于通过 改变计算程序而灵活地实现控制所需的控制 规律的改变（如自适应、最优化、智能控制 等），从而可以大大地提高控制系统的性能； 允许采用高灵敏度的控制元件，这样可以提 高系统的控制精度；离散信号的传递可以有 效地抑制噪声，提高系统的抗干扰能力；可 用一台计算机分时控制若干个被控对象，以 提高设备的利用率等等。
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代入稳态误差式得：
T2 1 e() lim z 1 ( z 1) 2 D( z )G( z ) Ka
2 ( z 1 ) D( z )G( z )] 称为加速度误差系数。 式中 K a lim z 1 T2
结论：当输入信号为加速度信号，系统为Ⅲ型以上系统时， Ka , e() 0；系统为Ⅰ型系统时，误差为无穷大；系
9
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计算机控制技术课件
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②输入为斜坡信号 代入稳态误差式得：
r (t ) t
Tz R( z ) ( z 1) 2
( z 1) R( z ) Tz ( z 1) e() lim lim z 1 1 D( z )G ( z ) z 1 ( z 1) 2 1 D( z )G ( z ) Tz 1 1 lim z 1 z 1 1 D ( z )G ( z ) Kv
稳态跟踪精度； 暂态精度（超调百分数σ %，过度过程时间ts,上升时间tr）；
抗干扰能力；
控制作用。
2
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计算机控制技术课件
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5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
1）z平面和s的映射关系
设 则
s j
z e sT
ze
统为Ⅱ型系统时，误差为有限值。
11
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小结:
单位阶跃 单位斜坡 单位加速度 1(t) Ⅰ型系统 Ⅱ型系统 Ⅲ型系统
1 2 at 2
t
在控制系统中Ⅰ型系统是常见系统，若对Ⅰ型系统，输入信 号为斜坡信号，可以通过调整零极点的位置减小稳态误差。 调整方法如下：
闭环系统极点离z=1越远，Kv越大，e(∞)越小；
误差分析：
8
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①输入为阶跃信号 代入稳态误差式得：
r (t ) 1(t )
( z 1)
R( z )
z z 1
( z 1) R( z ) e() lim z 1 1 D( z )G ( z ) lim
z z 1 lim z 1 1 D ( z )G ( z )
闭环系统零点离z=1越近，Kv越大，e(∞)越小。 但零点离z=1越近，超调越大，动态响应特性越坏。所以零 点的移动要综合考虑系统动态、稳态特性。
12
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计算机控制技术课件
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例：天线方位控制例（例1-2 p.9续）
天线的运动方程：
B T T J a a c d
a ：天线指向角， Tc ：控制转矩，Td ：扰动转矩， 式中 ：
s平面左边平行于虚轴的 直线映射到z平面上为单 位圆内的一个小圆
s平面上的等阻尼曲线映 射到z平面上为对数螺旋 线
主频带中特征曲线的映射
(a)同样的ω(b)同样的σ ( c)同样的ζ
5 计算机控制技术课件
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设计样板图
（由一组等自然频率轨线和一组对 数螺旋线组成的设计样板图）
6
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计算机控制技术课件
由终值定理得
e() lim e(t ) lim
t
( z 1) R( z ) z 1 1 D( z )G ( z )
所设计系统应满足稳态误差要求 最好 e() 当
0，
e() 0，应满足稳态误差要求
e() 与 R( z )有关，与 D( z)G( z)有关
分别分析三种典型输入信号和Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ系统之间的 稳态误差情况。
a y,
且设：
J 10 B a
T u c, B 1
B a J
则原方程可表示为：
13
J y uw y B 计算机控制技术课件
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（a）系统稳态误差
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5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
2）设计要求在z平面的反映
(1)稳态跟踪精度 指过渡过程结束后，设定值与被控量之间 的误差要足够小。
控制系统结构图
7
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计算机控制技术课件
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考虑设定值r对系统的影响
从误差的角度分析
E( z) R( z) Y ( z) R( z) E( z) D( z)G( z) R( z ) E( z) 整理得 1 D( z )G ( z )
式中 K v lim
( z 1)[1 D( z )G ( z )] 称为速度误差系数。 z 1 Tz
结论：当输入信号为斜坡信号，系统为Ⅱ型以上系统时， Kv , e() 0。
10
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③输入为加速度信号
1 r (t ) at 2
T 2 z ( z 1) R( z ) 2( z 1)3
5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
离散设计方法是指将计算机控制系统看着一个离散系统,在z平面 上按离散设计方法进行设计。
常用的离散域设计方法
根轨迹法 频率法 解析法 z域指标（满足设计要求的极 点分布区域）
设计前准备工作：时域指标
1
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系统设计要求：
z 1 z 1 1 D ( z )G ( z ) Kp
1 D( z )G ( z ) 称为位置误差系数。 z 1 z
式中 K p lim
由上式可见e(∞)与Kp成反比，当Kp →∞时， e(∞)＝０。
结论：当输入信号为阶跃信号，系统为Ⅰ型以上系统时， K p , e() 0 。
J：天线惯性转矩，B：阻尼系数
设卫星指向天线的方位角为 s，近似地按下列规律变化
s (t ) 0.01t
系统扰动为阶跃信号。 天线控制系统的任务：测量 a，计算 Tc ，使
系统超调百分数
令
% 15% ，过度过程时间 ts 10s 。
Td w , B
s a 0.1 （rad）。
( j )T
e e
T
jT
e e
T
j (T 2k )
可见s平面与z平面不是一一对应的，s平面中相差采样频率整数倍的 点映射到z平面，处于同一点上。
3
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S平面主频带到z平面的映射
4
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s平面上平行于实轴的直 线映射到z平面上为从原 点发出的射线