离散系统的稳定性条件和瞬态响应
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
第七节 离散系统的稳定性分析
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
且当采样周期增大时，系统稳定所允许的最大增益减小。
三。奈氏判据
和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能 直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数 双线性变换，这样很容易就可以画出采样 系统的Bode图，举例说明。
例：设开环脉冲传函为G（Z）
2.53Z
,
(Z 1)(Z 0.638)
试用奈氏判据判别闭环稳定性
据劳斯判据条件： a0 , a1, a2 o a0 0 k 0
4。32
4
T
2(1 e Tu )
a2 0 k
T
1 e Tu
2
24 6
T/Tu
T
显然K
2(1
e
Tu T
)
为临界稳定时对应的临界放大系数，如图曲线下方
1 e Tu
就表示稳定的K和T值。可以看出当 T 1时系统允许最大增益K 4.32 Tu
闭环特征方程
1 G（Z） 0
T
T
(z 1)(z e Tu ) KZ（1 e T u） 0
Z 2 4.952Z 0.368 0
Z1 0.076, Z2 4.876
有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
自动控制原理第7章2
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
2020/12/3
11
(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
离散时间系统稳定的充要条件
离散时间系统稳定的充要条件离散时间系统是指系统的输入和输出在时间上是离散的情况下进行的系统分析和设计。
而离散时间系统的稳定性是一个重要的性质，它决定了系统是否能够在一定范围内保持稳定的输出。
本文将介绍离散时间系统稳定性的充要条件。
一、离散时间系统的稳定性概念稳定性是指系统在有限时间内是否能够保持有限的幅值，而不会出现无限增长或发散的情况。
对于离散时间系统而言，其稳定性可以分为两类：绝对稳定和相对稳定。
绝对稳定是指系统的输出在有限时间内始终保持有限的幅值，不会发散或无限增长。
相对稳定是指系统的输出在有限时间内保持有限的幅值，但可能会在无穷时间后发散或无限增长。
二、离散时间系统的稳定性充要条件1. 线性时不变系统对于线性时不变系统而言，其稳定性充要条件是系统的传递函数的极点都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有极点的模长都小于1。
2. 有限冲激响应系统对于有限冲激响应系统而言，其稳定性充要条件是系统的冲激响应是绝对可和的。
也就是说，系统的冲激响应的绝对和是有限的。
3. 时变系统对于时变系统而言，其稳定性充要条件是系统的输入和输出序列都是绝对可和的，并且系统的输入和输出序列的绝对和都是有界的。
4. 有限差分方程系统对于有限差分方程系统而言，其稳定性充要条件是系统的差分方程的根都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有根的模长都小于1。
5. 正态系统对于正态系统而言，其稳定性充要条件是系统的所有特征值的实部都小于等于零。
6. 离散时间系统的Lyapunov稳定性对于离散时间系统而言，其稳定性充要条件是系统的状态方程存在一个正定矩阵，使得系统的状态的Lyapunov函数是递减的。
三、离散时间系统的稳定性判定方法除了以上充要条件外，还可以通过以下方法判断离散时间系统的稳定性：1. 构造系统的Lyapunov函数。
通过构造系统的Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
如果系统的状态的Lyapunov函数是递减的，则系统是稳定的。
2.2.4离散系统稳定性 和瞬态响应2
2) 梯形规则
用梯形面积代替阴影部分的面积得；
u ( k ) T u [ k ( 1 ) T ] T { a [ k u ( 1 ) T ] a [ k e ( 1 ) T ] a ( k ) u T a ( k ) e T }
2
整理得：u ( k) T 1 ( a/2 ) T u [k (1 ) T ] a/2 T { e [k (1 ) T ] e ( k)T }
4.6 各种方法的比较
梯形规则
优先选用
前向矩形规则
从不选用
后向矩形规则
一般不选用
零极点匹配法 冲击响应不变转换 阶跃响应不变转换
根据 需要 选用
两种控制器的直流增益相同 两种控制器的冲击响应等效 两种控制器的阶跃响应等效
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23
计算机控制技术课件
4 计算机控制系统设计（一）
－－按模拟系统设计方法进行设计
kT
u(kT)[au()ae())d]
0
(k1)T
kT
[au()ae())d] [au()ae())d]
0
(k1)T
u [k ( 1 )T ] [ a(u ) a(e )在 (k 1 )T 到 k上 T 的 ] 积分
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6
计算机控制技术课件
其几何意义如下图所示： 阴影部分的面积可用三种方法求得
近似表示阴影面积
将计算阴影面积的三种方式代入u(kT)，得三种计算规则：
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7
计算机控制技术课件
1)前向矩形规则
用前向矩形面积代替阴影部分的面积得；
u ( k ) u T [ k 1 ( ) T ] { a [ k 1 ( u ) T ] a [ k 1 ( e ) T ] T } ( 1 a ) u [ T k (1 ) T ] a[k T (1 ) T e ]
离散系统的稳定性条件和瞬态响应课件
非线性离散系统的稳定性条件
局部稳定性
对于非线性离散系统，局部稳定性是其重要的稳定性条件。 这意味着在系统的小扰动下，其状态轨迹应能逐渐恢复到原 始状态。
全局稳定性
全局稳定性是指无论系统受到多大的扰动，其状态轨迹都能 逐渐恢复到原始状态。对于非线性离散系统，全局稳定性的 条件通常更为严格。
稳定性条件的分析和计算方法
控制器优化
在满足稳定性条件的前提下，通 过优化控制算法，提高控制器的
性能和效率。
仿真实验
通过仿真实验，验证基于稳定性 条件和瞬态响应的综合控制方案
的有效性和优越性。
06
总结与展望
研究成果与贡献
建立了离散系统稳定性判据，证明了系统稳定的充分必要条件，为离散系统稳定性 分析提供了新的理论依据。
针对离散系统的瞬态响应问题，提出了新的优化算法，有效提高了系统的瞬态性能 ，为离散系统优化设计提供了新的思路。
稳定性的性质
稳定性具有等价性、传递性和不变性三个基本性质。
稳定性在离散系统中的重要性
01
02
03
保证系统正常运行
在离散系统中，稳定性是 保证系统正常运行的基础 ，只有稳定的系统才能避 免出现故障或崩溃。
优化系统性能
稳定性是优化系统性能的 前提，只有稳定的系统才 能发挥出其最佳性能。
保障安全
稳定性也是保障系统安全 的重要因素，不稳定的系 统容易遭受攻击或崩溃。
基于模型的方法
一种常用的协同优化方法是基于模型的方法。该方法通过 建立离散系统的数学模型，并采用优化算法来同时满足稳 定性和瞬态响应的约束条件。
实验设计法
另一种协同优化方法是实验设计法。该方法通过实验来探 索离散系统在不同参数下的稳定性和瞬态响应性能，并据 此选择合适的参数以实现协同优化。
离散控制CAI7(gai).
xo(nT)= -
a
k 1
l
k
x o [( n k )T ] + bk xi [(n k )]T
k 0
m
1、Z传递函数定义
对于线性常系数的差分方程（7-27） 或（7-28）等式两边分别求 Z 变换得 Xo(z)= - a k X o ( z ) z k + bk X i ( z ) z k
3、闭环系统的Z传递函数
对上式进行 Z 变换，得 E(z)=Xi(z)-GH(z)E(z)
整理得 E ( z) 1 = =GBe(z) X i ( z ) 1 GH ( z ) (7-34)
GBe(z)为闭环离散系统对于输入量的偏差 Z 传递函数。
3、闭环系统的Z传递函数
对于单位反馈系统，即 H(s)=1,则有
X o ( z ) Z [ xo ( nT )] G(Z)= = X i ( z ) Z [( xi ( nT )]
1、Z传递函数定义
(7-29)
1、Z传递函数定义
当输入为单位脉冲信号δ (t)时，G(z)即为 单位脉冲响应序列 g(nT)的 Z 变换，因此 Z 传递函数也称脉冲传递函数，这也是 Z 传递函数的物理意义所在。
图7-5 采样信号的调制过程
图7-2 为典型的计算机控制系统原理图
理想采样开关
图7-3 为计算机控制系统结构图
离散控制系统在实际中广泛应用的主要原因 是： 由数字计算机构成的数字校正装置易于通过 改变计算程序而灵活地实现控制所需的控制 规律的改变（如自适应、最优化、智能控制 等），从而可以大大地提高控制系统的性能； 允许采用高灵敏度的控制元件，这样可以提 高系统的控制精度；离散信号的传递可以有 效地抑制噪声，提高系统的抗干扰能力；可 用一台计算机分时控制若干个被控对象，以 提高设备的利用率等等。
2.2.4离散系统的稳定性(条件) 和瞬态响应
－－离散设计方法
5.1 概述
离散设计方法是指将计算机控制系统看着一个离散系统,在z平面 上按离散设计方法进行设计。
常用的离散域设计方法
根轨迹法 频率法 解析法 z域指标（满足设计要求的极 点分布区域）
设计前准备工作：时域指标
1
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系统设计要求：
s平面左边平行于虚轴的 直线映射到z平面上为单 位圆内的一个小圆
s平面上的等阻尼曲线映 射到z平面上为对数螺旋 线
主频带中特征曲线的映射
(a)同样的ω(b)同样的σ ( c)同样的ζ
5 计算机控制技术课件
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设计样板图
（由一组等自然频率轨线和一组对 数螺旋线组成的设计样板图）
6
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计算机控制技术课件
( j )T
2k )
可见s平面与z平面不是一一对应的，s平面中相差采样频率整数倍的 点映射到z平面，处于同一点上。
3
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S平面主频带到z平面的映射
4
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s平面上平行于实轴的直 线映射到z平面上为从原 点发出的射线
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5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
2）设计要求在z平面的反映
(1)稳态跟踪精度 指过渡过程结束后，设定值与被控量之间 的误差要足够小。
控制系统结构图
7
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考虑设定值r对系统的影响
从误差的角度分析
E( z) R( z) Y ( z) R( z) E( z) D( z)G( z) R( z ) E( z) 整理得 1 D( z )G ( z )
2011_第2章 离散系统的稳定性分析v1print
2.6 线性离散系统的稳定性分析1平面和z平面的基本映射关系s平面与z平面2平面的具体映射关系平面单位圆，左半平面任一平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位ω与z平面相角θ关系图主带映射图旁带映射5图s平面主带左半平面的映射图s平面主带右半平面的映射图等频率线的映射图等衰减率线的映射72.6.2 离散系统的稳定条件•连续系统稳定的充要条件:–特征根全部位于s域左半平面•离散系统稳定的充要条件:–特征根全部位于z平面单位圆中•如何求高阶方程的根？8•显然，当k≥17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。
这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。
•一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。
缩短采样周期，会改善系统的稳定性。
•但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。
142.7 线性离散系统的性能分析152.7 离散系统性能分析•一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。
•一般认为被控变量进入新稳态值附近±5%或±3%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。
•通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性)。
如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行Z反变换，就可获得动态响应y*(t)。
将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量σ%与过渡过程时间t s），如图所示。
1618 t−2)•(1)极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量c(kT)单调发散。
•(2)极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应c(kT)是等幅的。
•(3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应c(kT)单调衰减。
第七章--线性离散系统的稳定性分析
T
Gh s
G0 s
Y s
1 eTs 4 其中连续部分的传递函数为 Gh (s)G0 (s) s s(0.5s 1)
已知T=0.5s，试求在单位斜坡输入下，最小拍系统数字 控制器的脉冲传递函数. 解：由图可知
0.736 z 1 (1 0.717 z 1 ) G( z ) L Gh ( s)G0 (s) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 )
态分量也不同。
• 实数极点：若实数极点分布在单位圆内，其对应的分量呈衰
减变化。正实数极点对应的单调衰减，负实数极点对应的振 荡衰减； • 共轭极点： 有一对共轭复数极点i与i，即
i i e j , i i e j
i i
Cy(k)) 2 Ai i k cos(ki i ) i i (k 当|i|＞1时，Ci(k)为发散振荡函数；当|i|＜1时，Ci(k)为衰减 振荡函数，振荡角频率为
T=0.2s时 G( z )
1.2 z 0.8 ( z 1) 2
2 系统特征方程为 z 0.8 z 0.2 0
1,2 0.4 j0.2
所以采样时刻的稳态误差为
1 T T2 e() 0.1 K p Kv Ka
所以系统稳定
离散系统的暂态分析
上式右边第一项为系统的稳态响应分量，第二项为暂态 响应分量。显然，随极点在平面位置的不同，它所对应的暂
劳斯判据 劳斯判据可用于判断一个复变量代数方程的根是否全在复
平面的左半平面，但不能判断这些根是否全在单位圆内。为了利
用劳斯判据分析离散系统的稳定性，需对Z平面进行一次线性变 换，即将Z平面的单位圆内部映射到一个复平面的左半平面，该 变换被称之为W变换，也称为双线性变换。 W变换
2.2.4离散系统的稳定性(条件) 和瞬态响应
( z 1)[1 D( z )G ( z )] 称为速度误差系数。 z 1 Tz
结论：当输入信号为斜坡信号，系统为Ⅱ型以上系统时， Kv , e() 0。
10
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③输入为加速度信号
1 r (t ) at 2
T 2 z ( z 1) R( z ) 2( z 1)3
(2)暂态精度（动态响应）
超调百分数 上升时间 过度过程时间
%
tr ts
近似公式
% tr ts
15
n n
z e sT
Z平面上的 特殊区域
(根的实部的要求)
计算机控制技术课件
(同时满足上述三个条件的 区域就是z平面上满足动态 响应要求的极点分布区域)
由终值定理得
e() lim e(t ) lim
t
( z 1) R( z ) z 1 1 D( z )G ( z )
所设计系统应满足稳态误差要求 最好 e() 当
0，
e() 0，应满足稳态误差要求
e() 与 R( z )有关，与 D( z)G( z)有关
分别分析三种典型输入信号和Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ系统之间的 稳态误差情况。
z 1 z 1 1 D ( z )G ( z ) Kp
1 D( z )G ( z ) 称为位置误差系数。 z 1 z
式中 K p lim
由上式可见e(∞)与Kp成反比，当Kp →∞时， e(∞)＝０。
结论：当输入信号为阶跃信号，系统为Ⅰ型以上系统时， K p , e() 0 。
0.01 Kv
0 .1
将系统对稳态误差的要求转换成对误差系数的要求
离散系统的稳定性条件和瞬态响应
at
例
L[sin(t )e at ]
(a s )2 2
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2.1.3常用的拉氏变换法则
6) 设， F ( s) L[ f (t )] 则 f (t )
t 0 s
lim sF ( s) 和 lim f (t ) 各有极限存在，
s t 0
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2.1.2几个常用函数的拉氏变换
f (t )
脉冲函数
阶跃函数 斜坡函数 加速度函数
F ( s)
1
1 s
(t )
1( t )
t
1 2 t 2!
1 s2 1 s3 1 sa s2 2
s s2 2
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指数函数
正弦函数 余弦函数
2
e at
sin(t ) cos(t )
1 n
s pi
n Ai pi t f (t ) L [ F ( s)] L [ ] Ae i s p i 1 i 1 i
7
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例2-1 求
F ( s)
s2 s 2 4s 3
的拉氏反变换。
解：将F(s)分解成部分分式，则
F ( s) s2 A1 A2 s 2 4s 3 ( s 1) ( s 3)
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2.1.4拉氏反变换
用部分分式法求拉氏反变换 基本思想：即将F(s)分解成若干有理分式之和的形式，然后利用拉氏变 换对照表查出对应的原函数f(t)。 F(s)的一般形式为：
B( s) b0 s m b1s m1 F ( s) A( s) a0 s n a1s n1
离散系统稳定性分析
实验一离散系统稳定性分析实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作 一、 实验目的：(1) 掌握利用MATLAB^制系统零极点图的方法； (2) 掌握离散时间系统的零极点分析方法；(3) 掌握用MATAL 实现离散系统频率特性分析的方法; (4) 掌握逆Z 变换概念及MATLA 实现方法； (5) 掌握用MATLA 分析离散系统稳定性。
二、 实验原理：1、离散系统零极点图及零极点分析；线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM' a ：y(n -i)八 gx(n - j)(8-1)i=0j =0其中y(k)为系统的输出序列， x(k)为输入序列。
将式(8-1 )两边进行Z 变换的将式(8-2)因式分解后有:M丨丨(z-q j )j —1H (z) = C ~丨丨(z- P i )i d其中C 为常数，q j ( j =1,2^' ,M )为H (z)的M 个零点，p ： (i = 1,2,…，N )为H ( z)的N 个极点。
系统函数H (z)的零极点分布完全决定了系统的特性, 系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统 函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应 h(n)的时域特性;H (z)Y(z)X (z)Mb j Z-Na j Z 」B(z)A(z)(8-2)(8-3)若某系统函数的零极点已知， 则1.1、零极点图的绘制设离散系统的系统函数为H(z)二竺A(z)则系统的零极点可用 MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为： p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
2 31 如多项式为B(z)二z z •-，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：48A=[1 3/4 1/8]； P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母 多项式均按z 的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按 z 」的升幕次序排列。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散时间系统稳定的充要条件
离散时间系统稳定的充要条件离散时间系统的稳定性是指其输出的幅值不随时间而无限增长，而是趋于有限值或者在某一范围内振荡。
离散时间系统的稳定性是保证系统正常工作的基础，因此了解离散时间系统的稳定性充要条件是非常重要的。
一、离散时间系统的稳定性离散时间系统的稳定性是指，当系统的输入信号在某个有限范围内时，系统的输出也在有限范围之内，而不随时间而无限增大或振荡。
一般地，当系统的输入信号是有界的，输出信号也应该是有界的，这就是离散时间系统的稳定性。
二、离散时间系统稳定的充要条件1.极点要在单位圆内对于离散时间系统的稳定性，最基本的条件是系统的极点必须在单位圆内。
极点是指系统的传递函数的分母为零的点，是系统的不稳定点。
如果极点在单位圆内，说明系统具有稳定性；如果极点在单位圆外，说明系统是不稳定的。
2.系统的单位脉冲响应要收敛系统的单位脉冲响应是指在系统输入为单位脉冲信号时，系统的输出响应。
如果系统的单位脉冲响应是收敛的，也就是随着时间的推移输出值越来越小，那么系统就是稳定的。
3.系统的输入信号有界无论是连续时间系统还是离散时间系统，输入信号必须是有界的，即幅值不会无限增大。
输入信号无界会导致输出信号也无界，系统就失去了稳定性。
4.系统的增益不应该过大当增益过大时，输入信号的扰动就会被放大成无限大，系统就会失去稳定性。
5.系统的相对阶数应该小于等于1对于离散时间系统，相对阶数是指系统的零点数减去极点数，这个数必须小于等于1才能保证系统是稳定的。
如果相对阶数大于1，说明系统是不稳定的。
在实际应用中，通常需要结合多种充要条件综合判断离散时间系统的稳定性，确保系统的正常工作。
比如可以使用频率响应法、极点（零点）分布法等方法来分析系统稳定性。
同时，还可以根据不同的应用场景和不同的需求，选择合适的系统模型来保证系统的稳定性和性能。
离散系统的稳定性条件和瞬态响应
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增量式PID算式推导
uk uk uk 1
1 uk K p {ek Ti ek ek 1 e jT Td } T j 1
k
1 uk 1 K p {ek 1 Ti
e jT Td
j 1
k 1
ek 1 ek 2 } T
6
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３计算机控制系统的控制规律
3.1.3 PID控制算式的发展
1)带死区（不灵敏区）的PID控制 基本思想：在误差中人为地设置一个不灵敏区域，当误差小于不灵 敏区域时，保持原控制量不变，当误差等于或大于不灵敏区域时， 计算、输出当前时刻控制量。
图形描述 公式表示
uk uk出 0
3.2.1串级控制
例：某炉温控制系统如下图所示。
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３计算机控制系统的控制规律
3.2复杂控制系统
3.2.2前馈控制
应用场合 基本思想 结构图 克服有滞后系统中主要的可测干扰。 根据扰动的大小进行补偿的开环控制。
前馈－串级控制系统结构图
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ek 2ek 1 ek 2 1 uk K p {(ek ek 1 ) ek T Td Ti T K p (ek ek 1 ) K i ek K d (ek 2ek 1 ek 2 )
式中：
3
Ki K p
T Ti
Kd K p
Td T
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适用于控制过程要求尽量平稳，控制精度要求不高的场合。
线性离散系统的稳定性
13
当输入信号为单位阶跃信号 r(t) 1(t) 时，
其z变换为 R(z) z ，系统输出的z变换为
z 1
m
Y (z)
(z)R(z)
k
(z zj)
j 1
n
(z pi )
z
z 1
i 1
在特征值无重根时，可得
Az n
Y(z)
Bi z
z 1 i1 z pi
14
Y (z) Az n Bi z
1
瞬态响应是发散振荡的 脉冲序列。
振荡角频率 i
T
Re
-1
25
6.8.2 线性离散系统的时间响应
闭环脉冲传递函数 典型输入信号的z变换
输出信号的z变换 Y (z)
求z反变换 时域响应 y*(t)
26
[例6-23] 线性离散系统的闭环脉冲传递函数为
(z)
Y (z) R(z)
0.2385z1 0.2089z2 11.0259z1 0.4733z2
z 1 i1 z pi
其中
A M (z) D(z) z1
Bi
M (z)(z pi ) D(z)(z 1)
z pi
n
y(kT ) A Bi pik i 1
z反变换
瞬态响 应分量
极点 pi 在z平面内的位置决定了瞬态响应分量的类型。 15
[1] 实数极点
当极点 pi 位于z平面的实轴上时，其相应的一个
10
[例6-22] 已知线性离散系统的框图如下，
R(s)
-
T 1 eTs
s
k
Y (s)
s(s 1)
分析当 T 0.5s 和 T 1s 时，增益 k 的临界值。
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代入稳态误差式得：
T2 1 e() lim z 1 ( z 1) 2 D( z )G( z ) Ka
2 ( z 1 ) D( z )G( z )] 称为加速度误差系数。 式中 K a lim z 1 T2
结论：当输入信号为加速度信号，系统为Ⅲ型以上系统时， Ka , e() 0；系统为Ⅰ型系统时，误差为无穷大；系
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②输入为斜坡信号 代入稳态误差式得：
r (t ) t
Tz R( z ) ( z 1) 2
( z 1) R( z ) Tz ( z 1) e() lim lim z 1 1 D( z )G ( z ) z 1 ( z 1) 2 1 D( z )G ( z ) Tz 1 1 lim z 1 z 1 1 D ( z )G ( z ) Kv
稳态跟踪精度； 暂态精度（超调百分数σ %，过度过程时间ts,上升时间tr）；
抗干扰能力；
控制作用。
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5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
1）z平面和s的映射关系
设 则
s j
z e sT
ze
统为Ⅱ型系统时，误差为有限值。
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小结:
单位阶跃 单位斜坡 单位加速度 1(t) Ⅰ型系统 Ⅱ型系统 Ⅲ型系统
1 2 at 2
t
在控制系统中Ⅰ型系统是常见系统，若对Ⅰ型系统，输入信 号为斜坡信号，可以通过调整零极点的位置减小稳态误差。 调整方法如下：
闭环系统极点离z=1越远，Kv越大，e(∞)越小；
误差分析：
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①输入为阶跃信号 代入稳态误差式得：
r (t ) 1(t )
( z 1)
R( z )
z z 1
( z 1) R( z ) e() lim z 1 1 D( z )G ( z ) lim
z z 1 lim z 1 1 D ( z )G ( z )
闭环系统零点离z=1越近，Kv越大，e(∞)越小。 但零点离z=1越近，超调越大，动态响应特性越坏。所以零 点的移动要综合考虑系统动态、稳态特性。
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例：天线方位控制例（例1-2 p.9续）
天线的运动方程：
B T T J a a c d
a ：天线指向角， Tc ：控制转矩，Td ：扰动转矩， 式中 ：
s平面左边平行于虚轴的 直线映射到z平面上为单 位圆内的一个小圆
s平面上的等阻尼曲线映 射到z平面上为对数螺旋 线
主频带中特征曲线的映射
(a)同样的ω(b)同样的σ ( c)同样的ζ
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设计样板图
（由一组等自然频率轨线和一组对 数螺旋线组成的设计样板图）
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由终值定理得
e() lim e(t ) lim
t
( z 1) R( z ) z 1 1 D( z )G ( z )
所设计系统应满足稳态误差要求 最好 e() 当
0，
e() 0，应满足稳态误差要求
e() 与 R( z )有关，与 D( z)G( z)有关
分别分析三种典型输入信号和Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ系统之间的 稳态误差情况。
a y,
且设：
J 10 B a
T u c, B 1
B a J
则原方程可表示为：
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J y uw y B 计算机控制技术课件
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（a）系统稳态误差
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5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
2）设计要求在z平面的反映
(1)稳态跟踪精度 指过渡过程结束后，设定值与被控量之间 的误差要足够小。
控制系统结构图
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考虑设定值r对系统的影响
从误差的角度分析
E( z) R( z) Y ( z) R( z) E( z) D( z)G( z) R( z ) E( z) 整理得 1 D( z )G ( z )
式中 K v lim
( z 1)[1 D( z )G ( z )] 称为速度误差系数。 z 1 Tz
结论：当输入信号为斜坡信号，系统为Ⅱ型以上系统时， Kv , e() 0。
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③输入为加速度信号
1 r (t ) at 2
T 2 z ( z 1) R( z ) 2( z 1)3
5 计算机控制系统设计（二）
－－离散设计方法
5.1 概述
离散设计方法是指将计算机控制系统看着一个离散系统,在z平面 上按离散设计方法进行设计。
常用的离散域设计方法
根轨迹法 频率法 解析法 z域指标（满足设计要求的极 点分布区域）
设计前准备工作：时域指标
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系统设计要求：
z 1 z 1 1 D ( z )G ( z ) Kp
1 D( z )G ( z ) 称为位置误差系数。 z 1 z
式中 K p lim
由上式可见e(∞)与Kp成反比，当Kp →∞时， e(∞)＝０。
结论：当输入信号为阶跃信号，系统为Ⅰ型以上系统时， K p , e() 0 。
J：天线惯性转矩，B：阻尼系数
设卫星指向天线的方位角为 s，近似地按下列规律变化
s (t ) 0.01t
系统扰动为阶跃信号。 天线控制系统的任务：测量 a，计算 Tc ，使
系统超调百分数
令
% 15% ，过度过程时间 ts 10s 。
Td w , B
s a 0.1 （rad）。
( j )T
e e
T
jT
e e
T
j (T 2k )
可见s平面与z平面不是一一对应的，s平面中相差采样频率整数倍的 点映射到z平面，处于同一点上。
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S平面主频带到z平面的映射
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s平面上平行于实轴的直 线映射到z平面上为从原 点发出的射线