2011_第2章 离散系统的稳定性分析v1print
离散系统稳定性分析.ppt
(1-
-1 z )Z
2 s2
0.3
s
s0.140
0.1 s20
(1- z-1)(z2-1T)2z
0.3z z1
0.4z ze10T
0.1z ze20T
0z-.14
0.3
0.4(z1) z0.135
0.1(z1) z0.018
5
1 G(z) 0, 并代入
1 z
得
1
2.33 3 3 . 68 2 1 . 65 0 . 34 0
T0 kv 0
0
r(t) 12t2
T2 ka 0
例1.右图所示系统中的参数a=1,k=1,T=1, 试求在r(t)=1(t),r(t)=t及r(t)=t2/2时 的稳态误差.
1 e Ts s
K s(s a)
解:G(z)
0.3 6 8z0.2 6 4 (z1)(z0.3 6 8)
KP
l i mG(z) z1
3
2 .3 3
1 .6 5
2
3 .6 8
0 .3 4
1
1 .4 3
0
0
0 .3 4
0
系统是稳定的
例3:设采样系统的方框图如图所示,其中 稳定的K1值范围.
G(，s)采样s周(Ks期1T4=)0.25s,求能使系统
解:G ( z )
Z
[
s
(
K1 s
4
)
]
G(s)
C(s)
R(s) - T
K1 4
Z[
z2
，故1z离1散闭 环0系.0 统是7不,稳6z定2的 。4.876
三.Routh稳定判据
令z ωω11代入闭环采样系统征的方特程,进行z变换后, 既可用Rout判 h 据,其步骤如:下
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
3.1 离散系统的稳定性分析
在Z 平面上，当δ为某个定值时z=eTs随ω 由-∞ 变到∞的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为 z=eTs ，而圆心角是随线性增大的。 当δ=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平 面上的是以原点为圆心的单位圆。 当δ<0时，|z|<1，即S平面的左半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的内部。 当δ>0时，|z|>1，即S平面的右半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的外部。
k 0.158kz G( z ) s( s 4) ( z 1)(z 0.368) 该系统的闭环Z传递函数为：
W ( z) G( z ) 0.158kz 1 G( z ) ( z 1)(z 0.368) 0.158kz
求得该系统的闭环Z特征方程为：
例3.1 某离散系统的闭环Z传递函数为
3.16z 1 w( z ) 1 1.792z 1 0.368z 1
解：根据已知条件w(z)的极点为 ：z1=0.237， z2=1.556 由于| z2 |=1.556＞1，故该系统是不稳定 的。
3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用
S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示
jω [S] jIm j [Z]
-1 0
1
0 -j Re
δ
图3.1
S平面与Z平面的映射关系
于是得到下面结论：
1．S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。 在S平面上，ω每变化一个ωs时，则对应在Z平面上重 复画出一个单位圆，在S平面中-ωs/2～ωs/2
的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多 个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称
面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小 于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的 闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平 面中的单位圆内时，系统是稳定的。
线性离散控制系统的稳定性分析
线性离散控制系统的稳定性分析在控制工程中，稳定性是占据重要地位的概念之一。
对于线性离散控制系统而言，稳定性分析显得尤为关键。
在本文中，我们将讨论线性离散控制系统的稳定性分析。
线性离散控制系统由两个部分组成，一个是系统本身，另一个是控制器。
这两个部分共同作用，以使系统能够正常运行，达到预定的控制目标。
而稳定性则是在这一过程中，确保系统在特定的条件下能够保持稳定。
线性离散控制系统一般是在时刻 t 时，通过一个输入信号 u(t) 来控制输出信号 y(t)。
由此可以得到系统的状态空间方程式：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)其中，x(t) 是状态向量，它包含系统中所有的状态信息。
A 和B 是状态转移矩阵，用于描述状态向量在时间上的演变。
C 则是输出端的转移矩阵，用于描述系统输出与状态向量之间的关系。
而 u(t) 则是控制器的输入信号，通过控制器的处理，最终得到系统的输出 y(t)。
对于任意给定的系统，其稳定性是需要依据系统本身的特性来分析的。
这里我们将从两个方面来讨论线性离散控制系统的稳定性分析。
分别为：利用特征值和易于分析的特殊情况。
一、利用特征值进行稳定性分析通过特征值，可以很方便地判断一个系统是否稳定。
特征值的计算公式如下：det(A-λI) = 0其中，det() 是矩阵的行列式，A 是状态转移矩阵，λ 是特征值，I 是单位矩阵。
特征值通常是由状态转移矩阵的特征多项式所产生的根。
如果计算出来的特征值都处于单位圆内，那么这个系统就是稳定的。
反之，如果特征值的模超过了 1，则这个系统就是不稳定的。
此外，还存在一种特殊情况，即状态转移矩阵的特征值都是实数。
在这种情况下，我们只需要检测特征值是否位于区间 [-1,1] 中即可。
如果全部都满足此条件，那么系统就是稳定的。
二、特殊情况下的稳定性分析对于线性离散控制系统而言，有一些特殊情况下可以使用更为简便的方法来进行稳定性分析。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
离散系统的稳定性分析
由闭环离散系统的特征方程式 1 G(z) 0 ，得
z 2 4.95z 0.368 0
z1 0.076 z2 4.876
系统有一特征根位于z 平面单位圆外，系统不稳定。
离散系统的劳斯稳定判据
劳斯判据只能判断特征方程式的根是否位于复 平面s 的左半平面，为此需采用双线性变换，将z 平 面的单位圆映射到 r 平面的虚轴上，z 平面单位圆内 的所有点，均映射到r 的左半平面。这样，对 r平面 中的变量就可应用劳斯稳定判据。
z r 1 r 1
r z 1 z 1
离散系统的劳斯稳定判据
例14 判断图示闭环离散系统的稳定性。 解 z 2 4.95z 0.368 0 令 z r 1，上式化简后，得
r 1 6.32r 2 1.264r 3.584 0
劳斯表中第一列有一次符号变 化，所以有一根位于 r右半平面， 即对应有一个根位于 z平面单位圆 之外，系统不稳定。
离散系统的稳定性分析
线性连续系统稳定的充要条件是：闭环传递函 数的所有极点均位于s 的左半平面。
线性离散系统稳定的充要条
离散系统稳定条件
例13 判断图示闭环离散系统的稳定性。
解 G(s) 10
s(s 1)
G(z)
10 z(1 e1) (z 1)( z e1)
离散控制系统的稳定性分析与设计
离散控制系统的稳定性分析与设计离散控制系统（Discrete Control System）是指将时间划分为离散的、不连续的间隔，并且系统的状态在这些间隔中发生改变的一种控制系统。
离散控制系统广泛应用于各种领域，如工业控制、自动化、机器人技术等。
在设计离散控制系统时，稳定性是一个至关重要的考虑因素。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计。
一、离散控制系统的基本概念离散控制系统由离散信号和离散时间组成。
离散信号是在某一离散时刻上的取值是确定的，而在两个离散时刻之间则可以是任意值。
离散时间是指系统的状态在一系列离散时刻上发生变化。
离散控制系统与连续控制系统相比，更适用于数字化和计算机控制领域。
二、离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性指系统对于输入信号的扰动具有一定的容忍度，系统能够维持在某一稳定状态而不产生不稳定的振荡。
稳定性分析是为了保证离散控制系统的正常工作和控制效果。
常用的稳定性分析方法包括传输函数法、根轨迹法和Lyapunov稳定性方法等。
1. 传输函数法传输函数法是一种基于系统的输入和输出之间的关系来分析稳定性的方法。
通过建立系统的传输函数，可以用频域的分析方法来判断系统的稳定性。
传输函数是输入变量和输出变量之间的比例关系，通常用拉普拉斯变换表示。
2. 根轨迹法根轨迹法是一种几何法，通过追踪系统传输函数的所有极点随参数变化而在复平面上运动的路径，分析系统的稳定性。
当系统的所有极点位于左半平面时，系统是稳定的。
3. Lyapunov稳定性方法Lyapunov稳定性方法是一种基于Lyapunov函数的方法，通过构造Lyapunov函数来分析系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个实值函数，满足一定的条件，可以确定系统的稳定性。
若系统的Lyapunov函数对于所有的非零初始条件都是非负的，则系统是稳定的。
三、离散控制系统的稳定性设计在离散控制系统的设计过程中，稳定性是至关重要的考虑因素。
离散系统的稳定性
0
（3）W平面的右半平面 u (x2 y2) 1 0
(x 1)2 y2
(x2 y2) 1
对应于Z平 面单位圆内
(x2 y2) 1
对应于Z平 面单位圆外
上海大学 自动化系 邹斌
离散系统-稳定性分析
采样系统稳定性的代数判据
列写采样系统的脉冲传递函数,得到系统闭环特征 方程
D(1) 2 KT 0
Jurry z0
1
KT
2
1
3 (KT )2 1
4 KT
z1 z2
z3
0
-1
1
-1
0
KT
1 KT
1 (KT )2 1
KT 1 2
5
1.6182 8 ②
T 0.25
R(s)
E*(s)
T
G(s)
C(s)
其中
G(s) K1 s(s 4)
采样周期为
T 0.25s
求能使系统稳定的K1取值范围
上海大学 自动化系 邹斌
离散系统-稳定性分析
解: 系统开环脉冲传递函数
G(z)
ZGH
(s)
Z
K1 s(s
4)
Z
K1 4
上海大学 自动化系 邹斌
离散系统-稳定性分析
例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。
1 eTs Ke2Ts
G(z) Z
s
s
K (1
z
1
)z
2
离散系统稳定性分析
实验一离散系统稳定性分析实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作 一、 实验目的：(1) 掌握利用MATLAB^制系统零极点图的方法； (2) 掌握离散时间系统的零极点分析方法；(3) 掌握用MATAL 实现离散系统频率特性分析的方法; (4) 掌握逆Z 变换概念及MATLA 实现方法； (5) 掌握用MATLA 分析离散系统稳定性。
二、 实验原理：1、离散系统零极点图及零极点分析；线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM' a ：y(n -i)八 gx(n - j)(8-1)i=0j =0其中y(k)为系统的输出序列， x(k)为输入序列。
将式(8-1 )两边进行Z 变换的将式(8-2)因式分解后有:M丨丨(z-q j )j —1H (z) = C ~丨丨(z- P i )i d其中C 为常数，q j ( j =1,2^' ,M )为H (z)的M 个零点，p ： (i = 1,2,…，N )为H ( z)的N 个极点。
系统函数H (z)的零极点分布完全决定了系统的特性, 系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统 函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应 h(n)的时域特性;H (z)Y(z)X (z)Mb j Z-Na j Z 」B(z)A(z)(8-2)(8-3)若某系统函数的零极点已知， 则1.1、零极点图的绘制设离散系统的系统函数为H(z)二竺A(z)则系统的零极点可用 MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为： p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
2 31 如多项式为B(z)二z z •-，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：48A=[1 3/4 1/8]； P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母 多项式均按z 的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按 z 」的升幕次序排列。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散控制系统的稳定性分析
离散控制系统的稳定性分析离散控制系统是一种由离散时间事件驱动的系统，它在控制工程中起着重要的作用。
稳定性分析是离散控制系统设计中的关键步骤，它可以帮助我们确定系统是否能够保持在稳定状态，并达到预期的控制效果。
本文将讨论离散控制系统的稳定性分析方法和应用。
1. 离散控制系统概述离散控制系统是一种以时序离散的方式进行操作和控制的系统。
它由输入、输出和状态三个主要部分组成。
其中，输入是指系统接收来自外部的信号或信息，输出是指系统作为响应产生的结果，状态是指系统在运行过程中的内在特征。
2. 稳定性的概念和分类稳定性是指系统在输入变化或干扰下是否能够保持有限范围内的响应。
离散控制系统的稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性两种情况。
绝对稳定性：系统在任何情况下都能保持有限范围内的响应，不会出现不受控制或不可预测的振荡或失控现象。
相对稳定性：系统在特定条件下能够保持有限范围内的响应，但可能受到输入变化或干扰的影响而出现逐渐增大的响应。
3. 稳定性分析方法离散控制系统的稳定性分析可以使用多种方法，以下是几种常用的方法：3.1 传递函数法传递函数是离散控制系统中描述输入输出关系的数学模型。
通过将系统表示为传递函数的形式，可以使用极点、零点、阶跃响应等特征来分析系统的稳定性。
例如，当系统的所有极点都位于单位圆内时，系统是稳定的。
3.2 极坐标法极坐标法是一种绘制离散控制系统零极点的图形方法。
通过绘制零极点在单位圆上的位置，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于单位圆内，系统是稳定的。
3.3 稳定性判据法稳定性判据法是一种通过计算系统的稳定性判据来判断系统的稳定性的方法。
常用的稳定性判据包括李雅普诺夫稳定性判据、M行列稳定性判据等。
这些判据可以通过计算系统的特征值或特征向量来得到。
4. 稳定性分析的应用稳定性分析在离散控制系统设计和调试过程中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师确定系统参数，设计合适的控制策略，并提供有效的故障诊断方法。
《离散系统的稳定性》课件
总结
离散系统稳定性评价的重要性
深入理解离散系统稳定性评价的意义和重要性，以 便于在实际工作中能够应用这些知识。
稳定性综合方案的选择
掌握稳定性综合方案的选择方法，了解如何根据不 同的需求和情况应用不同的方法。
离散系统的稳定性
探索离散系统的稳定性，学习稳定性分析方法、判据和综合方案。深入了解 离散系统的控制和评价，拓展你的知识领域。
概述
基本概念
了解离散系统的简介和基本概念，深化你对这个领域的理解。
稳定性的定义
明确什么是稳定性并学习如何评价离散系统的稳定性。
稳定性分析方法
零极点分布法
深入了解离散系统的零极点分布 法，以及使用该方法进行稳定性 分析的技巧。
根轨迹法
学习使用根轨迹法进行稳定性分 析，了解如何在Байду номын сангаас际中应用该方 法。
Nyquist准则
掌握Nyquist准则的基本知识，学 会使用该方法分析离散系统的稳 定性问题。
稳定性判据
1
判据一：零极点位置判定法
详细介绍零极点位置判定法，学习如何使用该方法确定离散系统的稳定性。
2
判据二：Hurwitz判据
PID控制器设计
深入了解如何使用PID控制器 进行离散系统的稳定性综合， 掌握该方法灵活性的优势。
应用案例
1
离散系统的控制案例分析
通过案例分析掌握离散系统的控制方法和技巧，了解在实际中如何设计稳定的离 散系统。
2
稳定性评价实例
详细介绍如何使用稳定性判据进行离散系统稳定性评价，学习如何在实际中应用 这些知识。
掌握Hurwitz判据的基本原理，了解如何使用它进行离散系统的稳定性分析。
3
离散系统的稳定性分析
I实验名称：离散糸统的稳定性分析一、 目的要求1 •掌握香农定理，了解信号的采样保持与采样周期的关系2 •掌握采样周期对采样系统的稳定性影响。
二、 原理简述 1.信号的采样保持:电路图：连续信号x(t)经采样器采样后变为离散信号x*(t)，香农(Shannon)采样定理指 出，离散信号x*(t)可以完满地复原为连续信号条件为：3 s >2® max系姓名 预定时 间____________ 专业 ________________ ____________ 学号 ________________ 实验时2014-5-27 2014-5-27____________ 间 _________________班授课老师 ________________________ 实验台号I n I® = -------式中3 S为米样角频率，且',(T为米样周期),3 max为连续信号x (t)的幅频谱| x (j CD 的上限频率T s 若连续信号x (t)是角频率为D S = 22.5的正弦波，它经采样后变为x*(t)，则25（1-尹） ,1 _ 12 占[(2厂一1+訂巧二+ (1—訂「一 27＞力)]0-1)匕-严)闭环脉冲传递函数为：C ⑵12.5[(2厂-l + d + (l -严—22)]丽'一 X 匚(25丁二 13.5 — 11.牝引)二十(12.5 — 11.5邑血—25T 严) 闭环采样系统的特征方程式为：z 2 +(25T-13.5 1 L5e _2r )z+ Q2.5-11 .Se'3r -25Te^T ) = 0特征方程式的根与采样周期T 有关，若特征根的模均小于1,则系统稳定，若有 一个特征根的模大于1,则系统不稳定，因此系统的稳定性与采样周期 T 的大小 有关。
仪器设备PC 机一台，TD-ACC+ (或TD-ACS )教学实验系统一套。
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
2012_第2章 离散系统的稳定性分析v1
0.245kw2 1.964w 2.036 0.245k 0
•Routh表为
• w2
• w1 • w0
0.245k
1.964
(2.036-0.245k)
0 0
13
(2.036-0.245k)
•解得使系统稳定的k值范围为0＜k＜8.3
图 s平面主带右半平面的映射
6
s平面上等值线在z平面的映射
1. s平面实轴平行线（即等 频率线）的映射 2. s平面虚轴平行线（即等 衰减率线）的映射
图 等频率线的映射
图 等衰减率线的映射
7
2.6.2 离散系统的稳定条件
• 连续系统稳定的充要条件: – 特征根全部位于s域左半平面 • 离散系统稳定的充要条件: – 特征根全部位于z平面单位圆中 • 如何求高阶方程的根？
表明s 平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到z平面上 同一点。 每当ω 变化一个ω s 时，z平面相角θ 变化2π，即转了1周。 若ω 在s平面虚轴上从-∞变化到+∞时，z平面上相角将转无穷多圈 。
表 角频率与z平面相角θ关系
… …
2 s s
s
2
0 0
s 2
• 显然，当k≥17.3时，该系统是不稳定的， 但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳 定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有 影响的。 • 一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有 影响。缩短采样周期，会改善系统的稳定 性。 • 但需要指出的是，对于计算机控制系统， 缩短采样周期就意味着增加计算机的运算 时间，且当采样周期减小到一定程度后， 对改善动态性能无多大意义，所以应该适 当选取采样周期。
离散系统的 稳定性分析
s平面
0 ，虚轴
，左半部分
0
为负常数，虚轴的平行线
0 ，右半部分
0 ，实轴
为常数，实轴的平行线
z平面 r 1 ，单位圆 r 1 ，单位圆内
r为常数，同心圆
r 1，单位圆外
正实轴
端点为原点的射线
稳定性讨论 临界稳定
稳定
稳定
不稳定 不稳定 不稳定
2．离散系统稳定的充要条件
由于在s平面系统稳定的条件是极点 0，故离散系统稳定的条件是 r ，1
【例 7-7】如图所示系统中，设采样周期 T 1 s ， 试分析当 K 4 和 K 5 时系统的稳定性
【解】 系统连续部分的传递函数为
G(s) Ks(s 1)则Fra bibliotekG(z)
Z
K s(s 1)
Kz(1 (z 1)(z
eT ) eT
)
所以，系统 的闭环脉冲传递函数为
cr
(z)
C(z) R(z)
w 1
45
w w
13 1
117
w w
1 2 1
119
w w
1 1
39
0
两边乘 (w 1)3 ，化简后得 D(w) w3 2w2 2w 40 0
由劳斯表
w3
1
2
w2 2 40
w1 18
w0 40
因为第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定。正如连续系统中介绍的那
样，劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。本例有两次符号改变，即有两
个根在w右半平面，也即有两个根在z平面的单位圆外。
自动控制原理
因为 z1 ，z2 均在单位圆内，所以系统是稳定的。
（2）将 K 5 ，T 1代入系统的闭环特征方程，得
3_离散线性系统的稳定性
|x(n)|≤ C
那么
( ∀n ∈ Z )
x ( n − k ) h( k ) ≤ C
K =−∞
y ( n) = x ( n) * h( n) ≤
k =−∞
∑
∞
∑
∞
h(k )
这就是说 y ( n) 也是有界的。 另一方面，设T是BIBO稳定的。其单位脉冲相应为 h(n)。那么我们取输入 x ( n) = sgn[ h( − n)]。则 x(n) 为 有界序列。其响应y(n)=x(n)*h(n)也应是有界序列。 特别地，y(0)＝ ∑ x (− k )h(k ) =
i =1
关于 z 的多项式，其系数由初值决定
−1
(1 于是 Y ( z ) 在单位圆外解析， − z −1 )Y ( z ) 在单位圆上解析。援引终值定理，有
lim yn = lim(1 − z −1 )Y(z)=0
n →∞ z →1
即系统渐进稳定。
必要性的证明过于繁琐，我们还未找到简单 的证明方法，因此不再细讲。
k =−∞ ∞
k =−∞
∑
∞
h ( n) 。
这就说明绝对收敛。
下面的定理指出对于因果递归滤波器，其渐进稳定性与 BIBO稳定性是等价的。 BIBO稳定性是等价的。
定理三
递归滤波器
H ( z) =
M
bi z i ∑ 1 + ∑ ai z − i
i =1 i =0 N
是因果的且BIBO稳定的充要条件是其极点 全都在单位圆的内部。
lim yn = 0
n →∞
则称自由系统①是渐进稳定的。
关于渐进稳定，我们有以下定理：
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2.6 线性离散系统的稳定性
分析
1
平面和z平面的基本映射关系
s平面与z平面
2
平面的具体映射关系
平面单位圆，左半平面任一平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位
ω与z平面相角θ关系
图主带映射图旁带映射
5
图s平面主带左半平面的映射图s平面主带右半平面的映射
图等频率线的映射图等衰减率线的映射
7
2.6.2 离散系统的稳定条件
•连续系统稳定的充要条件:
–特征根全部位于s域左半平面
•离散系统稳定的充要条件:
–特征根全部位于z平面单位圆中
•如何求高阶方程的根？
8
•显然，当k≥17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。
这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。
•一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。
缩短采样周期，会改善系统的稳定性。
•但需要指出的是，对于计算机控制系
统，缩短采样周期就意味着增加计算机的
运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应
该适当选取采样周期。
14
2.7 线性离散系统的性能分析
15
2.7 离散系统性能分析
•一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。
•一般认为被控变量进入新稳态值附近±5%或
±3%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。
•通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性)。
如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行Z反变换，就可获得动态响应y*(t)。
将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量σ%与过渡过程时间t s），如图所示。
16
18 t−
2)
•(1)极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量c(kT)单调发散。
•(2)极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应c(kT)是等幅的。
•(3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应c(kT)单调衰减。
•(4)极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应c(kT)是以2T为周期正负交替的衰减振荡。
•(5)极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应c(kT)是以2T为周期正负交替的等幅振荡。
•(6)极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应c(kT)是以2T为周期正负交替的发散振荡。
•设计线形离散系统，应该
尽量选择在Z平面的右半圆
内，尽量靠近原点。
21
22
2.7.1 离散系统动态特性指标的提法
及限制条件
动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。
超调量
上升时间
峰值时间
调节时间
图系统阶跃响应的采样
图系统阶跃响应特性
•但我们知道，对于二阶的连续系统无论K 为何值都是稳定的，而采样控制系统则不然。
•以上说明，利用Z变换本身含有时间概念的特点，分析采样控制系统的运动特性是很方便的，且很适用于计算机。
28
31。