§7.5 离散系统的稳定性与稳态误差 )

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第七章--线性离散系统的稳定性分析

第七章--线性离散系统的稳定性分析

取反变换,得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明,一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲, 如果在典型信号输入作用下,系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言,理论上动态过程在 t→∞时才结束),由于这种系统瞬态响应时间最短,故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此,使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响: 1)采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小,但使超调量增大, 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2)零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长,超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外,零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束,但在t=T时超 调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布

离散系统的稳定性与稳态误差(精)

离散系统的稳定性与稳态误差(精)
15
bn 1 ak
第七行系数
第八行系数 最后行系数
q0
2019/3/19
, q1
, q2
Automatic Control Theory
Jury稳定判据:特征方程 D( z ) 0 的根,全部严格位于 z平面上单位圆内的充要条件是:
n为偶数 0 , D( z ) z 1 D(1) 0 , D( z ) z 1 D(1) 0 , n为奇数
14
第三行系数 第四行系数 第五行系数 第六行系数
bk ck dk p0 p3 p3 p0
a0 an b0 c0 cn 2
ank ak bn k 1 cn k 2 ak p0 p3
k 0,1,, n 1 k 0,1,, n 2 k 0,1,, n 2 p2 p1 p0 p3 p1 p2
k
k
(k 0,1,2)
pi 1, i 1,2,, n,
lim c(k ) 0
pi 1, i 1,2,, n,
系统稳定的充分必要条件: 若
相应的线性定常离散系统是稳定的。
2019/3/19
Automatic Control Theory
5
(2)离散系统稳定的充要条件(z域) 对于典型的离 散系统结构的 闭环脉冲传递 函数为
0.3679 0.2642K 1 K 2.3925 0.3679 0.2642K 1 K 5.1775 5.1775 K 2.3925
(2) D(1) 1 (0.3679K 1.3679 ) 0.3679 0.2642K 0.6321 K 0 K 0
(3) D(1) (1) 2 (0.3679K 1.3679 ) 0.3679 0.2642K 2.7358 0.1037K 0 K 26.382

7-5离散系统的稳定性和稳态误差

7-5离散系统的稳定性和稳态误差

(T − 1 + e − T ) z + (1 − e − T − Te − T ) = K ( z − 1)( z − e −T )
T =1
=
0.368 K ( z + 0.718 ) ( z − 1)( z − 0.368 )
Φ( z ) =
G( z ) 0.368 K ( z + 0.718 ) = 2 1 + G ( z ) z + ( 0.368 K − 1.368 ) z + ( 0.264 K + 0.368 )
例.设有零阶保持器的离散系统如下图所示,试求: 设有零阶保持器的离散系统如下图所示,试求: 1)当采样周期 分别为1s 0.5s时 1s和 1)当采样周期 T 分别为1s和0.5s时,系统的临界开环增益 K c 2)当 2)当 r (t ) = 1( t ) ,K = 1 ,T 分别为 0.1s,1s,2 s,4 s 时,系 统的输出响应 c (kT ) 。
1 = (1 − z ) K ⋅ Z 2 s ( s + 1) ( z − 1) K 1 1 1 ( z − 1) K = ⋅ Z 2 − + = z s s + 1 z s
−1
Tz z z ⋅ − + ( z − 1) 2 z − 1 z − e −T
1 ( z − 1)( z − 0.368) Φ e ( z) = = 2 1 + G ( z ) z − 0.736 z + 0.368
z1 = 0.368 + j 0.482 z2 = 0.368 − j 0.382
系统稳定,应用终值定理 系统稳定, 求稳态误差

培训_75离散系统的稳定性和稳态误差

培训_75离散系统的稳定性和稳态误差


m
1.单位阶跃输入时r(t) 1(t)
K(z zj)
R(z) z z 1
G(z)
j 1 nv
(z 1)v (z pi )
z 1 R(z)
z 1 1
z
ess

lim
z 1
z

lim
1 G(z) z1
z


1 G(z) z 1
i 1
对0型系统:K p

lim[1 G(z)],
z 1
对Ⅰ型系统:K p , ess 0
1 ess K p
对Ⅱ型及以上系统:K p , ess 0
0型系统在单位阶跃信号作用下存在位置 误差,I型及以上系统在单位阶跃信号作用下 不存在稳态误差。
2.单位斜坡输入时 r(t) t
R(z)

Tz (z 1)2
| z | eT , z T
j
ω sT/2 0
z平面
ω 1T -ω 1T
s平面上的等ω垂线,映射到z平面上的
轨迹是以原点出发的射线,相角z为 T
3. 等 线映射
j
j
β 2ω s
ωs 4
s tan j
ωs 0
ωs 2
ωs
ω s=0
0
3ω s
z esT e( tan j)T
0
加速度误 差

∞ 1 Ka 0
m
K(z zj)
G(z)
j 1 nv
(z 1)v (z pi )
i 1
ess

lim
z 1
z
1 R(z) z 1 G(z)

04 离散系统稳定性与稳态误差

04 离散系统稳定性与稳态误差
x2 y2 1 0 [w] 虚轴 u 0 2 2 ( x 1) y
内 z平面单位圆 外 的点
2 2
x 2 y 2 1 [z] 单位圆
u 0 对应w平面 u 0
1 x y 1
第七章 线性离散系统的分析与校正
w域中的劳斯稳定判据
经过w变换离散系统稳定的充要条件就转换为特征方程 1 GH ( w) 0 的所有根位于w左半平面,和在s平面上用劳斯判据情况一样,所以 可以直接用劳斯表来判定系统稳定性,成为w域的劳斯稳定判据。
第七章 线性离散系统的分析与校正
j
S
1
Z

z eT z T
0
稳定
0
不稳定
0 0 ——s平面的虚轴
0 0
——s平面的左半平面 |z|=1——z平面的单位圆 |z|<1——z平面的单位圆内 |z|<1——z平面的单位圆外
Jurry
1 2
3
z0
39 45
z1
119 - 117
z2
- 117 119
z3
45 - 39
39 45 39 117 504 624 45 - 39 45 119
792 624
39 119 792 45 - 117
504
4
系统不稳定
第七章 线性离散系统的分析与校正
1.368 0.399
1 0.399 0.0827 1.368
0.399 1.368
1 1.368 0.0827 0.399
0.0827 1
0.993 0.512
1.401 1.401

《自动控制原理》稳定性和稳态误差

《自动控制原理》稳定性和稳态误差

7-5 离散系统的稳定性和稳定误差 回顾:线性连续系统 稳定性和稳态误差问题:线性离散系统 稳定性和稳态误差 ?分析:sT e z =,首先研究s 平面与z 平面的关系。

一.s 域到z 域的映射s 域到z 域的关系: sT e z = S → Zs 域中的任意点可表示为ωσj s +=,映射到z 域则为 T j T T j e e e z ωσωσ==+)(ωσj s += ━━━━━━━━→ T e z σ=,T z ω=∠ (7—84)问题:s 平面上的点、线、面 如何映射到 z 平面?(1) s 平面上虚轴的映射虚轴:0=σ,ω=∞-→0→∞分析:0=σ时,1==T e z σ,ω=∞-→0→∞时,T z ω=∠==∞-→0→∞ 以原点为圆心的单位圆,经沿着单位圆转过无穷多圈分析:T 采样周期,单位[sec], 采样频率,单位[1/sec] f s =1/T采样角频率 s ω,单位[rad/sec] , T s /2πω=ω=2/s ω-→0→2/s ω时,T z ω=∠=π-→0→π 正好逆时针转一圈ω=2/s ω→s ω→2/3s ω时,T z ω=∠=π→π2→π3 又逆时针转一圈由图可见:可以把s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带,其中从-ωs/2到ωs/2的周期带称为主要带,其余的周期带叫做次要带。

(2) 等σ线映射s 平面上的等σ垂线,映射到z 平面上是以Te z σ=为半径的圆 s 平面上的虚轴映射为z 平面上的单位圆左半s 平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆,在单位圆内 右半s平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆,在单位圆外(3) 等ω线映射在特定采样周期T 情况下,由式(7-84)可知,s 平面的等ω水平线,映射到z 平面上的轨迹,是一簇从原点出发的映射,其相角T z ω=∠从正实轴计量,如图7-36所示。

由图可见,s 平面上2/s ωω=水平线,在z 平面上正好为负实轴。

§7.5离散系统的稳定性与稳态误差)

§7.5离散系统的稳定性与稳态误差)
z eT
z T
图参见P348
§7.5.2 离散系统稳定的充要条件是 z i 1
—— F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内
m
证明:
Φ(z)M(z) D(z)
(zi) n
i1 n
(zj) j1
Cjz
zj
K(z)
j1
n
k
c(k) Cjjk 0
j1
j 1
— 必要性
c*(t)k 0jn 1Cjjk(tkT )
静态加速度误差系数 Kalz i1m (z1)2GH (z)
r(t) t
Tz z (z 1 ) T1 e 2 ( T ) lz 1 i(z m 1 )(z 1 )2z 2 0 .8 z 0 .2 0 .4 2
r(t)t2 2
T 2 z(z 1 ) z(z 1 ) e 3 ( T ) lz i1( m z 1 )2 (z 1 )3z2 0 .8 z 0 .2
2. 静态误差系数法 —— r(t) 作用时e(∞)的计算规律
( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )
设 G(H z)ZG (s)H (s)(z 11)vG0H (z)
lz im 1GH 0(z)K
Fe(z)E R((zz))1G1H (z)
e ( ) lz i1(m z 1 )F e(z)R (z)
x1jy
(x1)2y2
ujv
[w] 虚轴
x2 y2 1 u0(x1)2y2 0
x2y2 1 [z] 单位圆
z平面单位圆
内 外
的点
x2
y
2
1 1
u 0
对应w平面
u
0
例1 已知离散系统特征方程 ,判定系统稳定性。

7-5 离散系统的稳定性与稳态误差

7-5 离散系统的稳定性与稳态误差

7-5 离散系统的稳定性与稳态误差2.离散系统稳定的充分必要条件 离散系统稳定 若离散系统在有界输入序列作用下,其输出 序列也是有界的 (1)时域中离散系统稳定的充分必要条件n m 线性定常差分方程 c( k ) = − ∑ ai c( k − i ) + ∑ b j r ( k − j ) i =1 j =0 n 齐次差分方程 c( k ) + ∑ ai c( k − i ) = 0 i =1特征方程α n + a1α n − 1 + a 2α n − 2 + ... + an = 0 特征根 α α ..., α 1, 2 n(1)时域中离散系统稳定的充分必要条件 线性定常差分方程 齐次差分方程 特征方程 特征根c( k ) =n c( k ) + ∑ a i c( k − i ) = 0 i =12.离散系统稳定的充分必要条件n m − ∑ ai c( k − i ) + ∑ b j r ( k − i =1 j =0j)α n + a1α n − 1 + a 2α n − 2 + ... + an = 0 α 1,α 2 ..., α n差分方程通解 n k k k k c( k ) = A1α 1 + A2α 2 + ... + Anα n = ∑ Aiα i 当|αi|<1时,必有k →∞lim c( k ) = 0i =1稳定的充要条件 特征根的模|αi|<17-5 离散系统的稳定性与稳态误差1.s域到z域的映射s = σ + jωz = e (σ + jω )T = eσT e jωTjz=esTz的幅值和相角?| z |= eσT∠ z = ωTjeσ 1Te −σ 2T−σ2σ11(2)Z域中离散系统稳定的充分必要条件 特征方程 D( z ) = 1 + GH ( z ) = 0 特征根 z1,z2,…,znjr(t) e(t) e*(t) E(z)c*(t) C(z)G(s) H(s)c(t)j1 稳定充要条件 特征根模小于1, 即|zi|<1例7-27 设离散系统如图,其中G(s)=10/s(s+1), c*(t) H(s)=1 ,T=1。

经典控制理论——第七章3

经典控制理论——第七章3

下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。
(1)单位阶跃输入时的稳态误差
e() lim (z 1)E(z) lim (z 1) z
z1
z1 1 G(z) z 1
1
1


lim [1 G(z)]
z1
kp
式中 k p
lim [1 G(z)] z1
称为静态位置误差系数。
3 朱利稳定判据
朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据,类 似于连续系统中的赫尔维茨判据,朱利判据是根 据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数, 判别其根是否位于Z平面上的单位圆内,从而判断 该离散系统的稳定性。
设离散系统的闭环特征方程可写为
D(z)=anzn+…+a2z2+a1z+a0=0 an >0
例7-17 设闭环离散系统如图7-22所示,其中采样 周期T=1(s),试求系统稳定时k的变化范围。
图7-22:例7-17闭环系统图
解:求出G(s)的z变换 G(s)

k s(1 0.1s)

k s

s
k 1
kz
kz
0.632kz
G(z)

z
1
z
0.368

z2
1.368z

0.368
0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数 作用,II型离散系统在单位加速度函数作用于下 存在加速度误差,只有III型及III型以上的离散系 统在单位加速度函数作用下,才不存在采样瞬时 的稳态位置误差。
7-6 离散系统的动态性能分析
零、极点分布的关系
在线性连续系统中,闭环传递函数零、极点 在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。 与此类似,采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递 函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。

自动控制原理第七章课件

自动控制原理第七章课件
是有确切值的。而 e(t ) 经过采样后,只能给出采样 时刻的数值 e(nT)。从时域上看,在采样间隔内连 续信号的信息丢失了。
下面从信号采样前后的信号频谱变化来分析。 设连续信号 e(t )的频谱 E(j)为有限带宽,其最大角 频率为 h 。
自动控制原理第七章课件
下面分析一下采样后e * ( t ) 的频谱。
e*(t)e(t)δT(t)e(t) δ(tn)T
n
理想单位脉冲序列 T (t)是一个以T为周期的周期函数,
可以展开成傅氏级数形式:
T(t) Cnejnst
s 2/T 为采样角频率
n
T
Cn
1 T
2
T(t)e d jnst t
T2
Cn
1 T
0
(t)dt
1
0
T
为傅氏系数
T(t)
1
Tn
ejnst
如果在控制系统中有一处或几处信号不是时间t 的连续函数,而是以离散的脉冲序列或数字脉冲序列 形式出现,这样的系统则称为离散控制系统。
系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称 为采样控制系统或脉冲控制系统。
系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统称 为数字控制系统或计算机控制系统。
自动控制原理第七章课件
或数码,控制的过程是不连续的,不能沿用连续系统 的研究方法。
研究离散系统的工具是z变换,通过z变换,可以 把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念 应用于离散系统。 自动控制原理第七章课件
7-2 信号的采样与保持
采样器与保持器是离散系统的两个基本环节, 为了定量研究离散系统,必须用数学方法对信号的 采样过程和保持过程加以描述。 一、采样过程
采样信号

离散系统的稳定性演示文稿

离散系统的稳定性演示文稿
第十八页,共18页。
幅值 2 ci pi k
振荡角频率 i
T
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1
i
i
T
第四页,共18页。
例9:在z平面上有4对共扼复数, 试分析他们的脉冲响应。
第五页,共18页。
极点位置与动态响应的关系(稳定状态)
§ 极点位于单位园内正实轴上 单调衰减 极点离原点越近 衰减越快
极点位于原点衰减最快 § 复数极点位于单位园内 振荡衰减
第三页,共18页。
(2)极点为复数
G(z) ci1z ci z z pi z pi1
pi,i1 pi e ji ci,i1 ci e ji
脉冲响应:
c(k) Z 1[G(z)R(z)] ci
p (e e ) k j(ki i ) i
j (ki i )
2 ci pi k cos(ki i ) 2 ci pi k cos(ikT i )
G(e jT ) G(z) ze jT G() G()
G(e jT )不是的有理函数
jω S平面
Im Z平面
0
σ
0
Re
离散系统频率特性:
(1)Z沿单位圆变化;
(2)重复性; 主频区 s s
2
2
(3) G(e jT ) 是ω的偶函数,G(e jT )是的奇函数
第十三页,共18页。
(2)幅相特性(Nyquist)曲线
j sin T )
G(e jT )
0.393
[cos(0.5) 0.606]2 sin2 (0.5)
G(e jT ) tan1 sin(0.5) cos(0.5) 0.607
第十六页,共18页。

7-5离散系统的稳定性与稳态误差ppt2010

7-5离散系统的稳定性与稳态误差ppt2010

1
R(s)
s 1 T=1s G0(s)
C(s)
提示:
Z[1] z s z1
, Z[ s
1] a
z
z eaT
特征方程:z2+0.038z+0.05=0,系统稳定,(10分);
G 0 (s)
s
2
2
C(z)
(z
1)[(
z
eT
2z2 (1 eT ) )(z e2T )
2z(eT
e2T
)]
,c() 1.2485
lim(z
z1
1)0 G(z)
I型
0
kv
lim(z
z1
1)1G(z)
ka
lim(z
z1
1)2 G(z)
II型
0
T

kv
0
T2 ka
由朱利判据的充分条件得:
-1
0
1a
a 1, b 1
b (a 1) b a 1
>
>
-1
b a1
< 阴影部分即为所求
例题2(补充)
已知下图所示离散系统的开环脉冲传递函数
G(z)
2z(eT (z eT )(z
e2T ) e2T
)
1.判断系统的稳定性;2.求r(t)=1(t)时系统的稳态输出c(∞)。
w
(x 1)2 y2
w
(x2 (x
y2 1) 1)2
j2y y2
w u jv

s平面

定 区

jy z平面
稳定区 0x
jv
w平面 稳
定 区
0u
z

自动控制系统—— 第7章-4 离散系统稳定性与稳态误差

自动控制系统—— 第7章-4 离散系统稳定性与稳态误差
这样的系统称为0型离散系统
若 G(z) 有 z 1的极点,从而 K p , e() 0
这样的系统称为Ⅰ型或Ⅰ以上离散系统
37
(2)单位斜坡输入时的稳态误差
r(t)
t
R(z)
Tz (z 1)2
z 1 R(z)
T
e() lim
lim
z1 z 1 G(z) z1 (z 1)[1 G(z)]
T
T
1
1.264
0
0 2.736 0.632K
0
K 0 2.736 0.632K 0
0 K 4.33
所以 Kc 4.33
18
作业 教材:7-16
19
7.4.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
离散系统的稳定性受零极点、开环增益K和采 样周期影响
【例7.4.3】如图所示系统,求 1)采样周期T分别为1s, 0.5s时,系统的临界开环增益 2)r(t)=1(t), K=1时,T=0.1s, 1s, 2s, 4s时系统的输出响应
y
1
2
j
(x
2y 1)2
y2
z 1 1
jy z平面
u
x 1
u 0 (x2 y2) 1
u 0 (x2 y2) 1 u 0 (x2 y2) 1
ω变换可以将z平面的特征方程转换为ω平面的特 征方程,从而应用劳斯判据
15
【例7.4.2】设T=0.1s,试求系统稳定时K的临界值
r (t )
2
7.4 离散系统的稳定性与稳态误差
7.4.1 s域到z域的映射 S域与Z域之间的关系是
z esT 设 s j
z e( j)T eT e jT
所以 z eT , z T

第七章 离散系统的稳定性与稳态误差

第七章 离散系统的稳定性与稳态误差

W平面内 u=0 可得: u<0 u>0
Z平面内 ︱z︱=x2+y2 =1 ︱z︱=x2+y2 <1 ︱z︱=x2+y2 >1
第五节 离散系统的稳定性与稳态误差
例 已知采样控制系统闭环特征方程式 D(z)=45z3-117z2+119z-39=0 列劳斯表 有二个根在w 试判断系统的稳定性。 2 w3 1 右半平面,即有两 解: 将 Z→W 变换代入特征方程式: 2 w 2 40 Z 平面上的 w +1 w +1 w +1 2 个根在 3 45( w ) -117( w-1 ) +119( w-1 )-39=0 1 -1 单位圆外,故系统 w -18 0 3 2 0 45(w +1) -117( w +1) (w为不稳定。 -1) w 40 0 +119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0 经整理得 w3+2w2+2w+40=0
第五节 离散系统的稳定性与稳态误差
1、单位阶跃输入时系统的稳态误差
m 根据系统开环脉冲传递函数不同, m z R( z )= Π ( zz -z z-1 ) 设系统的输入为 K K Π ( z ) rr i i m i=1 分几种情况讨论。 i=1 (2) lim K = = ∞ lim (3) v=1 v=2 n-1 K = = ∞ pp K Π ( z z ) n-2 r i z→1 z z→1 (z-1) 1 1 i=1 2 Π ( z -p ) lim Π ( z -p e*(∞ )=lim( z -1) (1) v=0 j j) =常数 = K = · n j=1 p j=1 1+G(zz→1 ) z-1 1+limG( z) z→1 Π ( z -p ) j z→1 * * j=1 e e ( ∞ ( ∞ )=0 )=0 1 * e (∞)= 1+K 定义系统的静态位置误差系数:

线性离散系统的稳定性和稳态误差

线性离散系统的稳定性和稳态误差

Ka lim( z 1)2 G( z )
z 1
T2 e() Ka
结论:
0型和I型系统在采样瞬间存在无穷大加速度误差; II型系统在单位加速度作用下存在加速度误差 III型以上的系统无加速度误差。
z 2 4.952 z 0.368 0
z1 0.076, z2 4.876
zi 1 , 不稳定。
10(1 e1 ) z 闭环特征方程1 G( z ) 1 0 1 ( z 1)( z e )
3、离散系统的稳定性判据 (1)w变换与劳思稳定判据 双线性变换法
Tz r (t ) t R( z ) ( z 1)2 T T e() lim lim z 1 ( z 1) 1 G ( z ) z 1 ( z 1)G ( z )
Kv lim( z 1)G( z )
z 1
T e() Kv
结论:
0型离散系统在采样瞬间存在无穷大速度误差;故0型系统不能承受单位斜 坡作用; I型系统在采样瞬间存在速度误差; II型以上系统在单位斜坡作用下无速度误差。
对应于 Z 平 ( x y ) 1 0 面单位圆
2 2
(2)W平面的左半平面
( x2 y 2 ) 1 u 0 2 2 ( x 1) y
(x y ) 1
2 2
对应于Z平 面单位圆内
(3)W平面的左半平面
( x2 y 2 ) 1 u 0 2 2 ( x 1) y
c(n 1)-ac(n) br (n),
试分析系统稳定性的充分必要条件。
解:给定系统相应的奇次方程为
c(0) 0
c(n 1)-ac(n) 0
利用迭代法,可求出通解 c(n 1) a n1c(0)

离散系统的稳态误差

离散系统的稳态误差
T
E( j
js ) L
自动控制原理
E*( j ) L
1 T
E( j
j
s
)
1 T
E( j) 1
T
E( j
js ) L
上式描述了采样信号频率特性与连续信号频率 特性之间的关系。
E( j )
连续信号的频谱

E( j )


h
h
ωh连续信号的上限频率
自动控制原理
E*( j ) L
1 T
E( j
自动控制原理
• (3) 采样信号的频谱分析
– 一个周期函数可以用傅氏级数进行分解,即
fT (t )
a0 2
[an
n1
cos nt
bn
sin nt]
其中,a0

2 T
T
2 T
fT (t )dt,
2
2
T
2
an T
T
2 T
fT(t)cos ntdt
2
bn
2 T
T
2 T
fT(t)sin ntdt,
• 采样: – 将模拟信号按一定时间采样成离散信号的过程。
• 量化: – 将采样后的数据用一组数码来表示,将其转化成最小 单位整数倍的过程。
自动控制原理
模拟量 采样 离散量 量化 数字量
u
5
4 3 2 1
0123456789 t u
5
4.5 4.1
4 3 3.2
3
2
1
脉冲序列
0123456789
u
2
n 1, 2, 3,L
傅氏级数的指数形式为:
fT (t)

重庆大学(自动控制原理)课后答案,考研的必备

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第一章绪论重点:1.自动控制系统的工作原理;2.如何抽象实际控制系统的各个组成环节;3.反馈控制的基本概念;4.线性系统(线性定常系统、线性时变系统)非线性系统的定义和区别;5.自动控制理论的三个基本要求:稳定性、准确性和快速性。

第二章控制系统的数学模型重点:1.时域数学模型--微分方程;2.拉氏变换;3.复域数学模型--传递函数;4.建立环节传递函数的基本方法;5.控制系统的动态结构图与传递函数;6.动态结构图的运算规则及其等效变换;7.信号流图与梅逊公式。

难点与成因分析:1.建立物理对象的微分方程由于自动化专业的本科学生普遍缺乏对机械、热力、化工、冶金等过程的深入了解,面对这类对象建立微分方程是个难题,讲述时2.动态结构图的等效变换由于动态结构图的等效变换与简化普遍只总结了一般原则,而没有具体可操作的步骤,面对变化多端的结构图,初学者难于下手。

应引导学生明确等效简化的目的是解除反馈回路的交叉,理清结构图的层次。

如图1中右图所示系统存在复杂的交叉回路,若将a点移至b点,同时将c点移至d点,同理,另一条交叉支路也作类似的移动,得到右图的简化结构图。

图1 解除回路的交叉是简化结构图的目的3.梅逊公式的理解梅逊公式中前向通道的增益K P 、系统特征式∆及第K 条前向通路的余子式K ∆之间的关系仅靠文字讲述,难于理解清楚。

需要辅以变化的图形帮助理解。

如下图所示。

图中红线表示第一条前向通道,它与所有的回路皆接触,不存在不接触回路,故11=∆。

第二条前向通道与一个回路不接触,回路增益44H G L -=,故4421H G +=∆。

第三条前向通道与所有回路皆接触,故13=∆。

第三章 时域分析法重点:1. 一、二阶系统的模型典型化及其阶跃响应的特点;2. 二阶典型化系统的特征参数、极点位臵和动态性能三者间的相互关系;3. 二阶系统的动态性能指标(r t ,p t ,%σ,s t )计算方法;4. 改善系统动态性能的基本措施;5. 高阶系统主导极点的概念及高阶系统的工程分析方法;6. 控制系统稳定性的基本概念,线性定常系统稳定的充要条件;7. 劳斯判据判断系统的稳定性;8. 控制系统的误差与稳态误差的定义;9. 稳态误差与输入信号和系统类型之间的关系;10. 计算稳态误差的终值定理法和误差系数法;11. 减少或消除稳态误差的措施和方法。

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z 1
AT ATz 1 AT e(T ) lim ( z 1) 2 z 1 ( z 1) 1 GH ( z ) lim( z 1) GH ( z ) Kv z 1
静态速度误差系数
A 2 r (t ) t 2
K v lim ( z 1) GH ( z )
D( z ) z 2 ( z 1) KT z 3 z 2 KT 0
0 K 2.472
K与T对离散系统稳定性的影响:
T一定, K增大,离散系统的稳定性变差,甚至使系统变 得不稳定。 K一定, T增大,则丢失的信息越多,离散系统的稳定性 变差,甚至使系统变得不稳定。
e2 (T ) lim( z 1)
z 1
r (t ) t
r (t ) t 2
2
Tz z( z 1) T 1 ( z 1)2 z 2 0.8 z 0.2 0.4 2
T 2 z( z 1) z( z 1) e3 (T ) lim( z 1) 2 3 z 1 2( z 1) z 0.8z 0.2
D( w) w 3 2w 2w 40 0
Routh
1 w3 2 w2 w 1 18 w 0 40
2 40
系统不稳定
例4 离散系统结构图如图所示, T=1s,求使系统稳定的K值范围。 解:w域中的Routh判据
1 1 e Ts K 1 G( z ) Z (1 z ) K Z 2 s( s 1) s s ( s 1)
G( z ) 0.368K ( z 0.718) F( z ) 2 1 G( z ) z (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
F( z )
G( z ) 0.368K ( z 0.718) 2 1 G( z ) z (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
z 1
AT 2 z( z 1) 1 AT 2 e(T ) lim( z 1) 3 z 1 2 ( z 1) 1 GH ( z ) lim( z 1) 2 GH ( z )
z 1
AT 2 Ka
静态加速度误差系数 K a lim ( z 1)2 GH ( z )
§7.5.4 计算稳态误差的一般方法
1. Z变换中值定理法
若e(z)的极点全部位于Z平面的单位圆内,即离散系统是稳 定的,则可用Z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差。
ess () lim e (t ) lim(1 z 1 ) E ( z)
t z1
线性定常离散系统的稳态误差,不但与系统本身的结构参 数有关,与输入序列的形式及幅值有关,而且还与采样周期 T 有关。
z 1
1 GH ( z ) GH0 ( z ) v ( z 1)
Kp
K v lim
z 1
K a lim
z 1
lim GH ( z ) ( z 1) GH ( z ) ( z 1)2 GH ( z ) z 1
例 2 稳定离散系统的结构图如图所示,已 知 r(t)=2t, 试讨论有或没有 ZOH 时的 e(∞) 。 解.
D( z ) z 2 0.8 z 0.2 0 求根公式:z1,2 0.4 j 0.2 z1,2 0.447 1
系统稳定
r ( t ) 1( t )
T=0.2, K=10
z z( z 1) e1 (T ) lim( z 1) 2 0 z 1 z 1 z 0.8 z 0.2
1 1 GH ( z )
r ( t ) A 1( t )
Az 1 A A e(T ) lim ( z 1) z 1 z 1 1 GH ( z ) 1 lim GH ( z ) 1 K p z 1
静态位置误差系数
r (t ) A t
K p lim GH ( z )
2 z 1 T 2 z ( z 1) 1 KT z 1 (1 z ) K Z 3 K 2 s z 2( z 1) 3 2 ( z 1 ) z 1 Tz 1 KT 1 1 1 0.5(1 z ) K Z 2 1 0.5 K 1 z ( z 1) 2 s 2 z 1
e( ) lim ( z 1) F e ( z ) R( z )
z 1
1 lim( z 1) R( z ) z 1 1 GH ( z )
e(T ) lim( z 1) F e ( z ) R( z ) lim( z 1) R( z )
z 1 z 1
K K (1 e T )z G( z ) Z ( z 1)(z e T ) s ( s 1 ) 无ZOH时 K (1 e T ) z K v lim ( z 1)G( z ) lim K T z 1 z 1 (z e )
D( z ) z 2 (0.368K 1.368)z (0.264K 0.368) 0
z w 1 w 1
(
w 1 2 w 1 ) (0.368K 1.368)( ) (0.264K 0.368) 0 w 1 w 1
( w 1)2 (0.368K 1.368)(w 1)(w 1) (0.264K 0.368)(w 1)2 0
1 w z 1 w z 1 w z 1
T 1 w 2 z T 1 w 2 w 2 z 1 T z1
设 z x j y
w u jv
z 1 x 1 jy x 2 1 y 2 j 2 xy w u jv 2 2 z 1 x 1 jy ( x 1) y
D( w) 0.632Kw 2 (1.264 0.528K )w (2.736 0.104K ) 0
K 0 1.264 0.528 K 0 2.736 0.104 K 0
K 0 K 2.394 K 26.3
0 K 2.394
例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。
由z变换定义: z e 令: s j
sT
j
[ s]
稳定区
不稳定区
则:z e sT e T e jT
0


z e T z T
z 1 z 1 z 1
1
0 0 0
Im
[ z]
不稳定区 稳定区
0
1
Re
结论:S平面的稳定区域在Z平面上的 影象是单位圆内部区域
1 e Ts Ke 2Ts G( z ) Z s s 1 K ( z 1) Tz KT 1 2 K (1 z ) z Z 2 2 3 2 z ( z 1) z ( z 1) s
G( z ) KT F( z ) 2 1 G( z ) z ( z 1) KT
例1.已知离散系统结构图,K=10, T=0.2,求 r(t)=1(t), t, t2/2 时系 统的e(∞)。
解.
1 e Ts K Z 2 s s C(z) G( z ) E(z) 1 e Ts 0.5 K 1 Z s s
x2 y2 1 0 [w] 虚轴 u 0 2 2 ( x 1) y
内 z平面单位圆 外 的点
2 2
x 2 y 2 1 [z] 单位圆
u 0 对应w平面 u 0
1 x y 1
例1 已知离散系统特征方程 ,判定系统稳定性。
D( z ) 45z 3 117z 2 119z 39 0
z ( w 1) ( w 1)
w 1 3 w 1 2 w 1 45( ) 117( ) 119( ) 39 0 w 1 w 1 w 1
D( w) 45( w 1)3 117( w 1)2 ( w 1) 119(w 1)(w 1)2 39(w 1)3 0
( z 1) K 1 1 1 ( z 1) K Tz z z Z 2 2 T z s s s 1 z ( z 1 ) z 1 z e
(T 1 e T ) z (1 e T TeT ) T 1 0.368K ( z 0.718) K T ( z 1)(z e ) ( z 1)(z 0.368)
2. 静态误差系数法 —— r(t) 作用时e(∞)的计算规律
( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )
1 GH ( z ) Z G( s ) H ( s ) GH0 ( z ) v ( z 1) lim GH 0 ( z ) K
z 1

E( z) 1 Fe ( z ) R( z ) 1 GH ( z )
w 1
可以应用劳斯判据判稳了。为了区别 s 平面下的劳斯判据,
称 w 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。
j
[ s]
Im
[ z]
稳定区
不稳定区
不稳定区
0

ze
j
sT
1
稳定区
0
1
Re
[w]
0
u
w z 1 z 1
双线性变换
w 变换
w1 z w 1 z 1 w z 1
§7.5 离散系统的稳定性与稳态误差
§7.5 离散系统的稳定性与稳态误差
§7.5.1 s →z 映射
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