离散系统稳定性分析
离散系统稳定性分析.ppt
(1-
-1 z )Z
2 s2
0.3
s
s0.140
0.1 s20
(1- z-1)(z2-1T)2z
0.3z z1
0.4z ze10T
0.1z ze20T
0z-.14
0.3
0.4(z1) z0.135
0.1(z1) z0.018
5
1 G(z) 0, 并代入
1 z
得
1
2.33 3 3 . 68 2 1 . 65 0 . 34 0
T0 kv 0
0
r(t) 12t2
T2 ka 0
例1.右图所示系统中的参数a=1,k=1,T=1, 试求在r(t)=1(t),r(t)=t及r(t)=t2/2时 的稳态误差.
1 e Ts s
K s(s a)
解:G(z)
0.3 6 8z0.2 6 4 (z1)(z0.3 6 8)
KP
l i mG(z) z1
3
2 .3 3
1 .6 5
2
3 .6 8
0 .3 4
1
1 .4 3
0
0
0 .3 4
0
系统是稳定的
例3:设采样系统的方框图如图所示,其中 稳定的K1值范围.
G(，s)采样s周(Ks期1T4=)0.25s,求能使系统
解:G ( z )
Z
[
s
(
K1 s
4
)
]
G(s)
C(s)
R(s) - T
K1 4
Z[
z2
，故1z离1散闭 环0系.0 统是7不,稳6z定2的 。4.876
三.Routh稳定判据
令z ωω11代入闭环采样系统征的方特程,进行z变换后, 既可用Rout判 h 据,其步骤如:下
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
3.1 离散系统的稳定性分析
在Z 平面上，当δ为某个定值时z=eTs随ω 由-∞ 变到∞的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为 z=eTs ，而圆心角是随线性增大的。 当δ=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平 面上的是以原点为圆心的单位圆。 当δ<0时，|z|<1，即S平面的左半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的内部。 当δ>0时，|z|>1，即S平面的右半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的外部。
k 0.158kz G( z ) s( s 4) ( z 1)(z 0.368) 该系统的闭环Z传递函数为：
W ( z) G( z ) 0.158kz 1 G( z ) ( z 1)(z 0.368) 0.158kz
求得该系统的闭环Z特征方程为：
例3.1 某离散系统的闭环Z传递函数为
3.16z 1 w( z ) 1 1.792z 1 0.368z 1
解：根据已知条件w(z)的极点为 ：z1=0.237， z2=1.556 由于| z2 |=1.556＞1，故该系统是不稳定 的。
3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用
S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示
jω [S] jIm j [Z]
-1 0
1
0 -j Re
δ
图3.1
S平面与Z平面的映射关系
于是得到下面结论：
1．S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。 在S平面上，ω每变化一个ωs时，则对应在Z平面上重 复画出一个单位圆，在S平面中-ωs/2～ωs/2
的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多 个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称
面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小 于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的 闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平 面中的单位圆内时，系统是稳定的。
自动控制原理第七章第二讲离散系统的稳定性分析
(a)
(b)
G(z) C(z) R(z)
图(b)情况下, 为了应用脉冲传递函数的概念, 可 以在输出端虚设一个采样开关, 并令其采样周期与输 入端采样开关的相同。
开环脉冲传递函数 1. 串联环节
C R((zz))G1(z)G2(z)G(z)
G(z)
G1(z)
G2(z)
C* (s)
R (s)
Kalz i1(m z1)2G(z)
单位反馈离散系统的稳态误差
例 设系统的结构图如下图所示，K=1, T=0.1s , r(t)=1(t)+t, 求系统的稳态误差。
R(s)
1 e Ts
K
C(s)
—
s
s(s 1)
解：系统的开环传递函数为
G (z ) (1 z 1 )Z s 2 (s 1 1 ) (1 z 1 ) (zT 1 )2 z (z (1 1 )e z T () e z T )
思路:找出与连续系统稳定性相关性, 用劳斯判据来判断其稳定性。
1）双线性变换
令： z w 1 w 1
则： w z 1 z 1
2）稳定性判据
将 z w1 w 1
代入特征方程中， 应用Routh判据判稳。
例 7-2 判断下图所示系统在采样周期T=1s ，T=4s，系统的稳定性。
K v T l z 1 i(z m 1 ) G (z ) 0 .1 l z 1 i(z m 1 )(z 1 )z( 0 .9)0 15
系统的稳态误差为 1 1
e() 1 Kp Kv
[注K ： aT 12lz i1(m z1)2G (z)]
把T=0.1代入化简得
§8-5离散系统稳定性分析
0.4 z-1
0.3
0.4( z1) z 0.1 3 5
0.1( z1) z 0.0 1 8 5
1 G(z) 0, 并代入
1
z
得
1
2.33 3 3.68 2 1.65 0.34 0
32Βιβλιοθήκη 331.652 3.68
0.34
1
1.43
0
0
0.34
0
系统是稳定的
例3:设采样系统的方框图如图所示,其中 稳定的K1值范围.
117( ωω11)2
119(
ω1 ω1
)
39
0
整理得: ω3 2ω2 2ω 40 0
ω3 1 2
ω2 2 40
ω1 - 18 0
ω0 40
系 统 不 稳 定, 有 两 根 在 单 位 圆 外
例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期T=0.2(秒)
r(t) T -
1e T s s
2 s (10.1s )(10.0 5s )
0.158K ω2 1.264ω (2.736 0.158K ) 0
1
1
ω2 0.158K 1
2.736- 0.158K 1
ω1 1.264
0
ω0 2.736- 0.158K 1
0.158K 0 , 2.736- 0.158K 0
1
1
解得 : 0 K 17.3
四、离散系统的稳态误差 稳态误差计算
1型系统
2型系统
3型系统
r(t)=1(t)
1 kp 0
0
0
r(t)=t
T0 kv
0
0
r(t)
1 2
t2
第七节 离散系统的稳定性分析
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上。
连续系统的稳定性
连续系统稳定
所有特征根均具有负实部
方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
离散系统的稳定性分析
I实验名称：离散糸统的稳定性分析一、 目的要求1 •掌握香农定理，了解信号的采样保持与采样周期的关系2 •掌握采样周期对采样系统的稳定性影响。
二、 原理简述 1.信号的采样保持:电路图：连续信号x(t)经采样器采样后变为离散信号x*(t)，香农(Shannon)采样定理指 出，离散信号x*(t)可以完满地复原为连续信号条件为：3 s >2® max系姓名 预定时 间____________ 专业 ________________ ____________ 学号 ________________ 实验时2014-5-27 2014-5-27____________ 间 _________________班授课老师 ________________________ 实验台号I n I® = -------式中3 S为米样角频率，且',(T为米样周期),3 max为连续信号x (t)的幅频谱| x (j CD 的上限频率T s 若连续信号x (t)是角频率为D S = 22.5的正弦波，它经采样后变为x*(t)，则25（1-尹） ,1 _ 12 占[(2厂一1+訂巧二+ (1—訂「一 27＞力)]0-1)匕-严)闭环脉冲传递函数为：C ⑵12.5[(2厂-l + d + (l -严—22)]丽'一 X 匚(25丁二 13.5 — 11.牝引)二十(12.5 — 11.5邑血—25T 严) 闭环采样系统的特征方程式为：z 2 +(25T-13.5 1 L5e _2r )z+ Q2.5-11 .Se'3r -25Te^T ) = 0特征方程式的根与采样周期T 有关，若特征根的模均小于1,则系统稳定，若有 一个特征根的模大于1,则系统不稳定，因此系统的稳定性与采样周期 T 的大小 有关。
仪器设备PC 机一台，TD-ACC+ (或TD-ACS )教学实验系统一套。
51. 如何分析离散控制系统的稳定性？
51. 如何分析离散控制系统的稳定性？嘿，咱们今天来聊聊怎么分析离散控制系统的稳定性这个事儿。
咱们先得搞清楚啥是离散控制系统。
简单说，就像咱们平时玩的跳格子游戏，一格一格的，不是连续的那种，这离散控制系统啊，也是这样，它的信号不是一直连着的，而是隔一段才有一个值。
那怎么去分析它稳不稳定呢？这可得有点小窍门。
咱们先来说说 z 变换，这可是个重要的工具。
就好比你有一堆杂乱的积木，通过 z 变换，能把它们整理得规规矩矩，更容易看出规律。
比如说，一个系统的传递函数，经过 z 变换，就能得到一个新的表达式，从这里咱们就能开始分析稳定性啦。
还有那个特征方程，这就像是系统的“密码锁”。
如果能解开这个方程，找到它的根，就能知道系统稳不稳定。
要是这些根都在单位圆内，那系统就是稳定的；要是有根跑到单位圆外面去了，那可就麻烦喽，系统就不稳定啦。
给你讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次，我带着几个学生一起研究一个离散控制系统的稳定性。
那系统的方程复杂得让人头疼，大家一开始都有点懵。
其中有个学生特别较真儿，不停地尝试各种方法，一会儿画个图，一会儿又算一堆式子。
我就在旁边看着，偶尔给他们一点小提示。
最后啊，经过大家的努力，终于找到了关键所在，成功分析出了系统的稳定性。
那一瞬间，大家的脸上都洋溢着成就感，那种感觉可太棒了！再说说 Jury 判据，这也是个分析稳定性的好帮手。
它就像是一个精准的测量尺，能帮咱们准确判断系统的根是不是都在单位圆内。
总之啊，分析离散控制系统的稳定性，需要咱们掌握好这些工具和方法，多动手多思考。
就像解一道复杂的谜题，只要有耐心，有方法，总能找到答案的。
希望今天讲的这些能让你对分析离散控制系统的稳定性有更清楚的认识，加油哦！。
离散时间系统的可控性及其稳定性分析研究
离散时间系统的可控性及其稳定性分析研究一、引言离散时间系统（discrete-time system）是指在时间上取样的系统，指的是在时域上离散且在幅度上是连续的信号，是一类重要的时域系统。
在日常生活中，我们常常会遇到离散时间系统，例如数字电子、数字通信、数字信号处理等领域。
离散时间系统的可控性及其稳定性是该领域热门的研究方向之一，本文将从两方面进行探讨。
二、离散时间系统的可控性1.可控性的定义可控性是指系统在一定时间内，能否通过其输入信号来达到所需状态，并且可以在该状态下保持一定的时间。
在离散时间系统中，可控性的定义与连续时间系统中的可控性类似，但并不能简单地借鉴连续时间系统的定义。
2.可控性的判定（1）Kalman条件Kalman条件是判定离散时间系统可控性的重要方法。
在离散时间系统中，若一个初态能够通过一个有限时间内的控制输入到达系统的任意状态，则称该系统是可控的。
用数学语言描述，即离散时间系统可控的条件是：矩阵 Cont(A,B) 的秩等于 n，其中 A 和B 是系统的状态矩阵和输入矩阵，n 是系统的状态维数。
（2）PBH条件PBH条件是判定离散时间系统可控性的另一种方法。
与Kalman条件相比，PBH条件更加简便，适用于各种规范矩阵A和B.给定一个离散时间系统，我们可以将可控性矩阵写成：$$ \begin{bmatrix} A - \lambda_i I & B \end{bmatrix} $$式中，I 是单位矩阵，λi 是系统的特征值，B 是系统的输入矩阵。
若该矩阵的秩等于系统状态维数 n，则该系统可控。
三、离散时间系统的稳定性1.稳定性的定义稳定性是指系统输入和状态状态在有限范围内的变化，系统的输出也会随之保持在一个有限的范围。
2.稳定性的性质（1）稳定性的充分条件离散时间系统可控的充分条件是系统的特征值均在单位圆内。
（2）稳定性的判定常用的离散时间系统稳定性判定方法有 Jury准则和Nyquist准则。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
离散系统的稳定性分析
由闭环离散系统的特征方程式 1 G(z) 0 ，得
z 2 4.95z 0.368 0
z1 0.076 z2 4.876
系统有一特征根位于z 平面单位圆外，系统不稳定。
离散系统的劳斯稳定判据
劳斯判据只能判断特征方程式的根是否位于复 平面s 的左半平面，为此需采用双线性变换，将z 平 面的单位圆映射到 r 平面的虚轴上，z 平面单位圆内 的所有点，均映射到r 的左半平面。这样，对 r平面 中的变量就可应用劳斯稳定判据。
z r 1 r 1
r z 1 z 1
离散系统的劳斯稳定判据
例14 判断图示闭环离散系统的稳定性。 解 z 2 4.95z 0.368 0 令 z r 1，上式化简后，得
r 1 6.32r 2 1.264r 3.584 0
劳斯表中第一列有一次符号变 化，所以有一根位于 r右半平面， 即对应有一个根位于 z平面单位圆 之外，系统不稳定。
离散系统的稳定性分析
线性连续系统稳定的充要条件是：闭环传递函 数的所有极点均位于s 的左半平面。
线性离散系统稳定的充要条
离散系统稳定条件
例13 判断图示闭环离散系统的稳定性。
解 G(s) 10
s(s 1)
G(z)
10 z(1 e1) (z 1)( z e1)
离散控制系统的稳定性分析与设计
离散控制系统的稳定性分析与设计离散控制系统（Discrete Control System）是指将时间划分为离散的、不连续的间隔，并且系统的状态在这些间隔中发生改变的一种控制系统。
离散控制系统广泛应用于各种领域，如工业控制、自动化、机器人技术等。
在设计离散控制系统时，稳定性是一个至关重要的考虑因素。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计。
一、离散控制系统的基本概念离散控制系统由离散信号和离散时间组成。
离散信号是在某一离散时刻上的取值是确定的，而在两个离散时刻之间则可以是任意值。
离散时间是指系统的状态在一系列离散时刻上发生变化。
离散控制系统与连续控制系统相比，更适用于数字化和计算机控制领域。
二、离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性指系统对于输入信号的扰动具有一定的容忍度，系统能够维持在某一稳定状态而不产生不稳定的振荡。
稳定性分析是为了保证离散控制系统的正常工作和控制效果。
常用的稳定性分析方法包括传输函数法、根轨迹法和Lyapunov稳定性方法等。
1. 传输函数法传输函数法是一种基于系统的输入和输出之间的关系来分析稳定性的方法。
通过建立系统的传输函数，可以用频域的分析方法来判断系统的稳定性。
传输函数是输入变量和输出变量之间的比例关系，通常用拉普拉斯变换表示。
2. 根轨迹法根轨迹法是一种几何法，通过追踪系统传输函数的所有极点随参数变化而在复平面上运动的路径，分析系统的稳定性。
当系统的所有极点位于左半平面时，系统是稳定的。
3. Lyapunov稳定性方法Lyapunov稳定性方法是一种基于Lyapunov函数的方法，通过构造Lyapunov函数来分析系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个实值函数，满足一定的条件，可以确定系统的稳定性。
若系统的Lyapunov函数对于所有的非零初始条件都是非负的，则系统是稳定的。
三、离散控制系统的稳定性设计在离散控制系统的设计过程中，稳定性是至关重要的考虑因素。
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析离散控制系统是指由离散时间运行的控制系统，它采样输入和输出信号来完成控制功能。
稳定性和鲁棒性是离散控制系统设计中非常关键的问题，本文将对离散控制系统中的稳定性与鲁棒性进行详细分析。
一、稳定性分析稳定性是指在系统的输入和输出之间存在一种平衡状态，系统能够对输入信号作出适当的响应而不发生不可控制或不可预测的震荡或发散。
稳定性分析主要有零极点分布、Nyquist稳定判据和位置根判据等方法。
1. 零极点分析离散系统的稳定性与其极点的位置有关。
通常采用单位脉冲响应函数H(z)的零极点分布来分析系统的稳定性。
对于一阶离散系统而言，它的极点位置应满足|z|<1的条件才能保证系统的稳定性。
对于高阶系统，可以通过复平面法或者根轨迹法来分析系统的稳定性。
2. Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过绘制Nyquist图来判断系统的稳定性。
根据Nyquist稳定判据，如果系统的传输函数H(z)的极点都位于单位圆内，那么系统是稳定的。
否则，系统将会出现振荡或发散的现象。
3. 位置根判据位置根判据是通过对系统的传输函数进行倒数操作，然后判断所得到的新系统的极点位置来评估系统的稳定性。
位置根判据的基本思想是，如果倒数系统的极点位于单位圆外，那么原系统是稳定的。
二、鲁棒性分析鲁棒性是指系统具有对参数变化、环境变化或非线性因素的强鲁棒性，即保持系统的性能特性不因外界因素变化而发生较大改变。
在离散控制系统中，鲁棒性分析主要有灵敏度函数法、小增益界定理和鲁棒优化等方法。
1. 灵敏度函数法灵敏度函数法是通过构造灵敏度函数来分析系统的鲁棒性。
灵敏度函数可以用来评估系统对参数变化的敏感性。
如果灵敏度函数的幅值比较小，说明系统对参数变化不敏感，具有较好的鲁棒性。
2. 小增益界定理小增益界定理是一种常用的鲁棒性分析方法。
它基于系统的复值矩阵进行分析，通过确定复值矩阵的边界来评估系统的鲁棒性。
离散系统稳定性分析
实验一离散系统稳定性分析实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作 一、 实验目的：(1) 掌握利用MATLAB^制系统零极点图的方法； (2) 掌握离散时间系统的零极点分析方法；(3) 掌握用MATAL 实现离散系统频率特性分析的方法; (4) 掌握逆Z 变换概念及MATLA 实现方法； (5) 掌握用MATLA 分析离散系统稳定性。
二、 实验原理：1、离散系统零极点图及零极点分析；线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM' a ：y(n -i)八 gx(n - j)(8-1)i=0j =0其中y(k)为系统的输出序列， x(k)为输入序列。
将式(8-1 )两边进行Z 变换的将式(8-2)因式分解后有:M丨丨(z-q j )j —1H (z) = C ~丨丨(z- P i )i d其中C 为常数，q j ( j =1,2^' ,M )为H (z)的M 个零点，p ： (i = 1,2,…，N )为H ( z)的N 个极点。
系统函数H (z)的零极点分布完全决定了系统的特性, 系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统 函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应 h(n)的时域特性;H (z)Y(z)X (z)Mb j Z-Na j Z 」B(z)A(z)(8-2)(8-3)若某系统函数的零极点已知， 则1.1、零极点图的绘制设离散系统的系统函数为H(z)二竺A(z)则系统的零极点可用 MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为： p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
2 31 如多项式为B(z)二z z •-，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：48A=[1 3/4 1/8]； P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母 多项式均按z 的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按 z 」的升幕次序排列。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散控制系统的稳定性分析
离散控制系统的稳定性分析离散控制系统是一种由离散时间事件驱动的系统，它在控制工程中起着重要的作用。
稳定性分析是离散控制系统设计中的关键步骤，它可以帮助我们确定系统是否能够保持在稳定状态，并达到预期的控制效果。
本文将讨论离散控制系统的稳定性分析方法和应用。
1. 离散控制系统概述离散控制系统是一种以时序离散的方式进行操作和控制的系统。
它由输入、输出和状态三个主要部分组成。
其中，输入是指系统接收来自外部的信号或信息，输出是指系统作为响应产生的结果，状态是指系统在运行过程中的内在特征。
2. 稳定性的概念和分类稳定性是指系统在输入变化或干扰下是否能够保持有限范围内的响应。
离散控制系统的稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性两种情况。
绝对稳定性：系统在任何情况下都能保持有限范围内的响应，不会出现不受控制或不可预测的振荡或失控现象。
相对稳定性：系统在特定条件下能够保持有限范围内的响应，但可能受到输入变化或干扰的影响而出现逐渐增大的响应。
3. 稳定性分析方法离散控制系统的稳定性分析可以使用多种方法，以下是几种常用的方法：3.1 传递函数法传递函数是离散控制系统中描述输入输出关系的数学模型。
通过将系统表示为传递函数的形式，可以使用极点、零点、阶跃响应等特征来分析系统的稳定性。
例如，当系统的所有极点都位于单位圆内时，系统是稳定的。
3.2 极坐标法极坐标法是一种绘制离散控制系统零极点的图形方法。
通过绘制零极点在单位圆上的位置，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于单位圆内，系统是稳定的。
3.3 稳定性判据法稳定性判据法是一种通过计算系统的稳定性判据来判断系统的稳定性的方法。
常用的稳定性判据包括李雅普诺夫稳定性判据、M行列稳定性判据等。
这些判据可以通过计算系统的特征值或特征向量来得到。
4. 稳定性分析的应用稳定性分析在离散控制系统设计和调试过程中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师确定系统参数，设计合适的控制策略，并提供有效的故障诊断方法。
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
离散系统的 稳定性分析
s平面
0 ，虚轴
，左半部分
0
为负常数，虚轴的平行线
0 ，右半部分
0 ，实轴
为常数，实轴的平行线
z平面 r 1 ，单位圆 r 1 ，单位圆内
r为常数，同心圆
r 1，单位圆外
正实轴
端点为原点的射线
稳定性讨论 临界稳定
稳定
稳定
不稳定 不稳定 不稳定
2．离散系统稳定的充要条件
由于在s平面系统稳定的条件是极点 0，故离散系统稳定的条件是 r ，1
【例 7-7】如图所示系统中，设采样周期 T 1 s ， 试分析当 K 4 和 K 5 时系统的稳定性
【解】 系统连续部分的传递函数为
G(s) Ks(s 1)则Fra bibliotekG(z)
Z
K s(s 1)
Kz(1 (z 1)(z
eT ) eT
)
所以，系统 的闭环脉冲传递函数为
cr
(z)
C(z) R(z)
w 1
45
w w
13 1
117
w w
1 2 1
119
w w
1 1
39
0
两边乘 (w 1)3 ，化简后得 D(w) w3 2w2 2w 40 0
由劳斯表
w3
1
2
w2 2 40
w1 18
w0 40
因为第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定。正如连续系统中介绍的那
样，劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。本例有两次符号改变，即有两
个根在w右半平面，也即有两个根在z平面的单位圆外。
自动控制原理
因为 z1 ，z2 均在单位圆内，所以系统是稳定的。
（2）将 K 5 ，T 1代入系统的闭环特征方程，得
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Y(s)
-
G1(s)
C(s) G2(s)
由 此 得 闭 环 系 统 的 特方 征程 为 1 G1G 2 H ( z ) 0
H(s)
设特征方程的根为 z1 , z 2 , z n , 则 线 性 数 字 控 制 系 统定 稳的 充要条件是 : 系 统 特 征 方 程 的 根 均于 位z平 面 的 单 位 圆 内 ,或全 部特征根的模小于 1.
例1.试分析特征方程为z2-z+0.632=0的系统的稳定性.
解:
z1,2
1 1 4 0.632 2
0.5 0.5 1.528 0.5 j 0.618
| z1 || z 2 |
2 2 0.5 0.618 0.795 1
系统是稳定的
例2: 设离散系统如下图所示，其中
§8-5 离散系统稳定性分析
一.s平面与z平面的映射关系 z e Ts s 2T
而 s j z e T e jT | z | e T z T
(1)
当 0 s j
当由 T T
| z | 1
[s]
z 由 - 因此s平面的虚轴对应 z平面的单位圆
系统不稳定 , 有两根在单位圆外
例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期T=0.2(秒)
r(t)
-
T
1 e Ts s
2 s ( 1 0.1 s )( 1 0.05 s )
解:
G(s)
(1- e -Ts ) s
-1 0.3 0.4 0.1 2 G( ， G ( s ) ， 。试分析闭环稳定性。 s ( s 1)
H (s) 1 T 1
解：G ( z ) Z
10 s ( s 1 )
10(1 e 1 ) z ( z 1)( z e 1 )
闭环特征方程为
1 G( z ) 0
三.Routh稳定判据
解:
令
1 得 45(ω1 ) 3 117( ω1 ) 2 119( ω1 ) 39 0 z ω ω1 ω1 ω1 ω1 3 2 整 理 得: ω 2ω 2ω 40 0 ω ω 3 2 1 2 - 18 40 2 40 0
1 ω ω 0
1 2 Ka lim ( z 1) G ( z ) 0 T 2 z 1 1 1 1 E( ) K K K P v a
Ⅰ型系统对于阶跃输入是无差的，对于斜坡输入是有差的，对于抛物线 输入的误差是无穷大。
1e Ts s
K s( s a)
解: G ( z )
0.368z 0.264 ( z 1)( z 0.368) 1 e ss K 0 P 0.623 1 e ss K 0.732 0.83 v e ss K a
1
K P lim G ( z ) z 1 Kv Ka 1
即
z 2 4.952z 0.368 0
解得特征根 因为
z2 1
，故离散闭环系统是不稳定的。
z1 0.076, z2 4.876
1 代入闭环采样系统的特 征方程 , 进行 z变换后 , 令z ω ω1 既可用 Routh 判据 , 其步骤如下 : (1) 求出采样系统的特征方 程D(z) 0 (2) 进行 ω变换 , 整理后得 D(ω) 0 判据判别采样系统的稳 定性 (3) 应用 Routh 例1.. 设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2＋119z－39=0,判断其稳定性.
0.732 lim ( z 1)G ( z ) 0.623 T z 1 lim ( z 1) G ( z ) 0 T 2 z 1 1 2
例2：试计算如图所示系统，在输入
1 r (时的稳态误差。 t) 1 t t 2 2
-Ts 1 e 解：G ( z ) Z[ s s(sK ] 1) (1 - z -1 )Z[ K s 2 (s 1) ]
(1)输入信号为单位阶跃函数
E(S) R(S) - T
C(S) G(S)
r(t) 1(t), R(z) z 1 z z 1 1 1 e ss lim lim 1 G ( z ) K P z 1 1 G ( z ) z 1 ( z 1) K P lim [1 G(z)] 位置误差系数 z 1
1T=0.25s,求能使系统 G (，采样周期 s)
G(s) C(s)
K s ( s4)
K1 解:G ( z ) Z [ s ( s 4 ) ]
R(s)
- T
K1 K1 (1 e 4T ) z 1 1 4 Z[ s - s 4 ] 4 ( z 1)( z e 4T ) K1 4T ( 1 e )z C(z) G( z) 4 R(z) 1 G ( z ) K1 4T 4T ( z 1)( z e ) 4 (1 e )z K1 4T 则 1 G(z) (z - 1)( z e ) 4 (1 e )z 0 K1 (z - 1)(z - 0.368) 4 (1 0.368) z 0 1 令 z -1 代入上式得 1 1 1 ( -1 - 1)( -1 - 0.368) 0.158K1 -1 0 4T
(2)
当 1时 对应s平面的左半部 | z | e T 1 故对应于单位圆的内部 当 1时 对应s平面的右半部 | z | e T 1 故对应于单位圆的外部
[Z ]
(3)
结论：s平面的稳定区域在z平面上的影像是单位圆内部区域
二.离散系统稳定的充要条件
G G ( z) C(z) 1 2 R(z) 1G G H ( z ) 1 2
1 G(z) 0, 并代入 2.33 3 3.68 2
z
1 1
得
1.65 0.34 0 1.65 0.34 0 0
3 2
2.33 3.68 1.43 0.34
1 0
系统是稳定的
例3:设采样系统的方框图如图所示,其中 稳定的K1值范围.
两边同乘以 (ω - 1)2 并整理得 0.158K1 ω 2 1.264ω (2.736 0.158K 1 ) 0 ω2 ω1 ω0 0.158K1 1.264 2.736- 0.158K1 2.736- 0.158K1 0 2.736- 0.158K1 0
0.158K1 0 ,
2 lim ( z 1) G ( z ) T 2 z 1
稳态误差终值
输 入
系统类型 0型系统 1型系统 2型系统 3型系统
r(t)=1(t)
1 kp
r(t)=t
r (t ) 1 2t
2
T0 kv
0
T2 ka
0 0 0
0
0
例1.右图所示系统中的参数a=1,k=1,T=1, 试求在r(t)=1(t),r(t)=t及r(t)=t2/2时 的稳态误差.
2 z(z 1) T 2 1 r ( t ) 2 t , R(z) 2 ( z 1)3 T 2 z(z 1) ( z 1) 2 ( z 1)3 T2 1 lim Ka 1 G( z) z 1 ( z 1) 2 G ( z )
e ss lim z 1 Ka 1
解得 : 0 K 17.3
四、离散系统的稳态误差 稳态误差计算
e ss lim e ss ( t ) lim ( z 1) E ( z ) t z 1 R(z) E(z) 1 G ( z ) ( z 1) R ( z ) e ss lim z 1 1 G ( z )
z
(2)输入信号为单位斜坡函数
r(t) t, R(z)
Tz (z -1)2 Tz (z -1)2 T 1 lim ( z 1) G ( z ) K v 1 G ( z ) z 1
( z 1) e ss lim z 1 Kv 1
(3)输入信号为单位抛物线信号
lim ( z 1)G ( z ) 速度误差系数 T z 1
-Ts 400 2 (1 e ) 2 (1 0.1s )(1 0.05s ) s 2 ( s 10)( s 20)
-1 2Tz 0.3 z 0.4 z 0.1z (1 - z ) (z -1)2 z 1 z e10T z e20T 0.4 ( z 1) 0.1( z 1) 0.4 z -1 0.3 z 0.135 z 0.0185
(1 - z
-1
K ] )Z[ K - K s s 1 2 s
(T 1 e T ) z (1 Te T e T ) K (z - 1)(z - e T )
可见，系统是Ⅰ型系统
K P lim 1 G ( z ) 1 G (1) z 1 Kv 1 lim ( z 1)G ( z ) K T z 1