离散系统稳定性判据
计算机控制技术-13离散系统的能控(观测)性及稳定性
2019/3/4
7
[解]： 首先构造能控判别阵：
1 , H 0 1 1 0 0 1 1 0 2 GH 0 2 2 1 1 0 1 1
2019/3/4
5
Gn 0
n 此时，对任意的x(0)，均有 G x(0) 0 ，不管Qc是否满秩，均 能找到U＝0。所以，当G是奇异时， Qc满秩是判断能控性的充 分条件，而不是必要条件
结论1：连续时间系统可达性和可控性等价，而离散时间系统则 不完全相同。离散时间系统，如果矩阵G非奇异，则系 统的能控性和能达性等价。如果G奇异，则不可达的系 统，也可能可控。所以：可达系统一定可控，可控系统 不一定可达。
一地确定出系统的任意初始状态x0 ，则称x0为能观测状态。如果
系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。 2、能观测性判别准则一（能观测性判别阵法） 定理：对于线性离散定常系统，其状态完全能观测的充要条件 是其能观测性判别矩阵：
C CG C T G T C T (G T ) n1 C T Qo n 1 CG
k k 1 i 0
x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
k i 1 解为 x(k ) G x(0) G Hu(i )
所以 x(n) G x(0) G n i 1 Hu(i )
n i 0
n 1
证明：对能达性，有 x(0) 0 所以 x( n) G n i 1 Hu( i ) G n1 Hu(0) GHu( n 2) Hu( n 1)
G( z ) C ( zI G)1 H
2019/3/4 10
线性离散系统的稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫判据是用来证明离散系统稳定性的一种方法。
该判据是基于李雅普诺夫函数的变化性质进行证明的。
首先，假设离散系统的状态变量为x，其演化方程为x(k+1) =
f(x(k))，其中k为离散时间步。
如果存在一个函数V(x)，满足
以下条件：
1. V(x)是定义在状态空间D内的连续函数；
2. V(x)在D中严格正定，即V(x) > 0，对于任何非零的x；
3. 对于所有的x(k)满足x(k+1) = f(x(k))，有V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，其中α(x(k))是一个正定的函数；
4. 如果存在一个正定的函数β(x)满足V(x(k)) ≤ β(x(k))，则系
统是渐近稳定的。
根据以上条件，可以证明系统的稳定性。
具体证明的步骤如下：
1. 首先，确定适合的Lyapunov函数V(x)。
这可以通过系统的
特性和性质进行推导和选择，例如能量函数、误差函数等；
2. 推导出V(x(k+1))和V(x(k))之间的关系式，并解析得到
α(x(k))的表达式；
3. 根据V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，证明V(x)是单调递减的；
4. 通过比较V(x)和β(x)的形式，得出V(x(k)) ≤ β(x(k))的结论；
5. 根据Lyapunov函数的性质，证明系统是渐近稳定的。
需要注意的是，李雅普诺夫判据只能证明系统的稳定性，不能推导出系统的收敛速度。
离散时滞系统的渐近稳定性判据
离散时滞系统的渐近稳定性判据谭聚龙;张志维;杨德彬;高翔宇;张显【摘要】在已有文献的基础上,进一步研究离散时滞系统的渐近稳定性问题,通过选择合适的扩展李亚雅诺夫泛函,获得了基于线性矩阵不等式的时滞相关的稳定性判据.对现有的方法进行了改进,即将时滞区间进行了划分,在小的区间上对李雅普诺夫泛函进行处理.通过比较可知,所给出的稳定性判据比存在的稳定性判据具有更弱的保守性.通过数值实例验证了所得结论的有效性.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2015(032)006【总页数】7页(P753-759)【关键词】离散时滞系统;渐近稳定性;李雅普诺夫泛函【作者】谭聚龙;张志维;杨德彬;高翔宇;张显【作者单位】黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080;哈尔滨华德学院电子与信息工程学院,哈尔滨150025;哈尔滨华德学院通识教育学院,哈尔滨150025;黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080;黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】TP13时滞现象经常出现在通信系统、生物系统、过程控制系统中［1-2］，几乎所有的实际问题都是在系统稳定的前提下来研究其性能的。
稳定性是时滞系统的一个重要性质，稳定性分析成为研究时滞系统的首要任务，已经取得了一些成果［3-11］。
许多文献给出了不同方法来分析时滞系统的稳定性，主要目的是扩大使得时滞系统稳定的时滞变化区间，从而降低稳定性判据的保守性。
许多学者已经提出了获得时滞相关的稳定性判据的各种方法，主要包括Jensen不等式方法、自由权矩阵方法、时滞分解方法、扩展Lyapunov-Krasovskii泛函方法、凸组合方法、离散Lyapunov泛函方法、倒凸组合方法等，其中Jensen不等式方法、自由权矩阵方法、时滞分解方法已经被广泛使用。
文献［4-6］结合自由权矩阵方法和积分不等式方法，给出了时滞系统的稳定性判据，并且较以往的文献具有更弱的保守性。
第七节 离散系统的稳定性分析
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上。
连续系统的稳定性
连续系统稳定
所有特征根均具有负实部
方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。
在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。
而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。
2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。
它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。
3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。
这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。
而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。
4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。
一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。
常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。
不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。
6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。
通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。
7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。
希望本文的介绍对您有所帮助。
基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
离散系统稳定性的判据与应用
２ 若 Ｇ（ ） （ ）在 单 位 圆外 有 Ｎ 个 极 点 ， 、 ｚｆｚ ｌ 且
Ｇ（ ） （ ）『 ｚｆｚ ｌ 一 Ｇ（ （ｊ ） 图逆 时针绕 过 ｅ 的
（ １ Ｏ 一 ＋ｊ ）点 Ｎ 次 ， 系 统 Ｈ（ 稳定 ， 则 ） 否则 系统
Ｇ（ ） （ ）平 面上 的 图（ ｚｆ ｚ ｌ 即奈 奎 斯 特 图） 。 １ 若为稳 定 子系 统 ， Ｇ（ ） （ ） 图不 绕过 、 且 ｚｆｚ 的 ｌ （ ＋ ） ， 系统 是稳 定 的 ， 一ｌ Ｏ 点 则 否则 系统 不稳 定 ；
定 不稳 定 。 因此 ， 给定 Ｈ（ ）一
一
单极点 ， 当 沿单位 圆变化时 ， 用一 个半 径为无
一 、
一
．
！ 。
、
＼
限小 的小半 圆从 右侧 绕过 一 １ 。 点 如图 ｌ所示 。
／ ｉ ａｚ ｈ （） 、
．
＇
ｏ ｏ
一 ｆ ， － ， ０ ＋ 詈 ～ ７ ／７ － ． １一 ｗ ｔ
例 ２ 已知 Ｇ（ ）（ ）一 ： ２ｐ２ 试 确定该 系 统稳 定 的 ｋ值 范 围。
， 七为正 值 ，
可知 ，＜七 ｌ 系统 稳定 。 Ｏ ＜ 时
，
ｊ 工＿（ Ｂ） Ｇ
： ”ｒ — ．
解： 由于 Ｇ（ 在 一 １ 即 训 一 Ｏ 处有 ） （ ） （ ）
ｎ ＼ Ｚ
后， 只需对
Ａ（ 做 因式 ・ ， ） 解 就可判 定 离散 系统 是否稳 定 。
例 １ 对 于 下 列 差 分 方 程 所 描 述 的离 散 时 间 ： 系统
（） ．ｙ ｋ １ 一 ０２ｙ ｋ ） ｚ ＋ｘ ｋ １ ＋０２ （ — ） ．４ （ 一２ ＝ （） （ 一 ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法
1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设
0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +=== (5.17) 称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有
-<≥e x k x k (),0ε；
(2)渐近稳定：∃>0δ,
使当-<e x x 0δ时,有
→∞
-=e k x k x lim ()0；
(3)全局渐近稳定：任意∈n
x 0R ,
都有→∞
-=e k x k x lim ()0；
(4)不稳定：∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使
->e x k x 10()ε
对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别
对定常系统(1)()x k Ax k +=
若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；
若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；
简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解
==k
x k A x k 0(),0,1,2,
则渐近稳定
⇔→∞
→∞
-==k
k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),
⇔→∞
=k k A lim 0⇔-→∞
=k k TJ T
1
lim 0⇔→∞
=k
k J lim 0
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中J为A的若当形.
如
11
......
k k
k
k
r r J J
J
J J
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
且再如
1122
11
1
10
0100
0000
k k k
k
k k
k k k
k
k
C C
J C
λλλ
λ
λλλ
λλ
--
-
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==→
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.
例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλ , 则T , 使
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦
k
k
k k k n n A T T T T 11
2-1-12
λλλλ
λλ
由此可得
→∞<=⇔==k
i i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλ
→∞
⇔=k
k A lim 0.
定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下：
(i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,
且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统
+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,
(5.18)
在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有
定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定；
(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.
若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；
再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的.
定理用于定常系统(5.17), 即得
定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定
⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程
-=-T
A PA P Q
有唯一正定解P 证只证充分性,
即已有对∀Q > 0, -=-T
A PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k k
k V x x Px (), 则有
+++=-=-T T k k k k k k
k V x V x V x x Px x Px 111()()()∆
=-=-T T
T k
k k
k x A PA P x x Qx (),
显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.
例5.6 设
⎡⎤
+=⎢⎥
⎣⎦
a x k x k
b 0(1)()0 试分析稳定的条件.
解 选Q = I , 则有-=-T
A PA P I , 即
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211
1221
22212200100001 整理且比较, 得
,1)1(,0)1(,1)1(2
22122
11=-=-=-b p ab p a p
要P 为正定, 需满足
<<a b ||1,||1, (5.19)
解出
===--p p p a
b
1112222
2
1
1
,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定.
实质上：<<
||1,||1⇔所有特征值的模全小于1.
a b
11。