2018年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题(含答案)

第十八届（2018年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题
“希望杯”命题委员会
（未署名的题，均为命题委员会命题）
初中一年级
一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）
1．在2001，2003，2005，2007四个数中，质数有（）个．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．边长为1的正方形是轴对称图形，它共有（）条对称轴．
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
3．已知a1，a2，…，a100均为整数，则│a1-a2│，│a2-a3│，│a3-a4│，…，│a99-a100│，│a100-a1│中必有（）
（A）奇数个奇数，奇数个偶数（B）偶数个奇数，奇数个偶数
（C）奇数个奇数，偶数个偶数（D）偶数个奇数，偶数个偶数
4．若A<b<D<C<-b，则│a-b│+│c+b│=（）
（A）a+b （B）-a-c （C）│a│+c （D）│a-c│
5．在89°，126°，180°，216°这4个角中，共有（）个钝角．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6．In a hundred integers from 1 to 100，the number of those which •aredivisable by 2，3 and 5 simui taneously is（）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（英汉词典：integer整数；•number•数，•个数；•divisable •by •可能…除尽的；
7．In Fig．1，there are（）rays．
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5．（英汉词典：ray线）
8．有5个分数：25151012
,,,,
38231719
，将它们按从小到大的顺序排列是（）
1512105210512152
(),,,,(),,,,
2319178317819233
A B
2510121525151012
(),,,,(),,,,
3817192338231719
C D
9．“射击名将在金牌争夺战中也会脱靶”是（）
（A）不可能的（B）必然的
（C）可能性很小的（D）可能性很大的
10．“美丽奥运”这4个艺术字中有（）个不是轴对称图形．
美丽奥运
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11．观察图中三角形个数的变化规律，当图中横线增加到一定数量时，可能有（ •）个三角形．
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
（拟题：万黎明河北省承德市民族中学067000）
12．2007有（）个约数．
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
13．一个体积为V的圆柱体锯掉一块后所成物体的三视图如图3所示，则锯掉部分的体积为（）
（A ）()()()46812
V
V
V
V B C D 14．a ，b 均为有理数，则（ ）
（A ）（a+6）2一定是正数 （B ）a 2+0.01b 2一定是非负数
（C ）a+（2b ）2一定是正数 （D ）ab+12
一定是非负数 15．已知a ，b 均为有理数，且b<D ，关于x 的方程（2007a+2008b ）x+2007=0无解，则a+b
是（ ）
（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数
16．有如下4个判断性语句：
①符号相反的数是互为相反数；②任何有理数的绝对值都是非负数；
③一个数的相反数一定是负数；
④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数，其中正确的有（ ）个．
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
17．我国最新居民身份证的编号有18位，含义是：前两个数字表示所在省份，第三、四两个
数字表示所在市，第五、六两个数字表示所在县、乡，•接下来的四个数字是出生的年份，后两个数是出生的月份，再后两个数是出生的日期，最后四位是编码．若韩光同学的身份证编号是：110106************，则韩光出生的时间是（ •）
（A ）1995年8月15日 （B ）1977年2月6日
（C ）1995年8月1日 （D ）1981年5月7日
18．汽车站A 到火车站F 有四条不同的路线，如图4所示，其中路程最短的是（ ）
（A ）AB →BME →EF （B ）AB →BE →EF
（C）ABC→CEF （D）ABCD→DE→EF
19．李先生以一笔资金投资甲、乙两个企业，若从对甲、•乙企业的投资额中各抽回10%和5%，则总投资额减少8%；若从对甲、乙企业的投资额中各抽回15%和10%，•则总投资额减少130万元，李先生投资的这笔资金为（）
（A）600万元（B）800万元（C）900万元（D）1000万元
20．若关于z的方程（a-4）x+b=-bx+a-2有无穷多个解，则（ab）4等于（）（A）0 （B）1 （C）81 （D）256
21．如果a，b，c是△ABC三边的长，且a2+b2-ab=c（a+b-c），那△ABC是（）（A）等边三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）形状不确定22．At 3：30，the acute angle formed by hour tand and minute hand on •aclock is （）
（A）70°（B）75°（C）85°（D）90°
[英汉词典：acute angle锐角；to form作成、形成；•hour •hand•指针；•minutehand 分针）
23．由两个角的和组成的角与由这两个角的差组成的角互补，则这两个角（）（A）都是钝角（B）都是直角
（C）必有一个是直角（D）一个角是锐角，另一个角是钝角
24．已知a，b是质数，且3a+2b是小于20的质数．则满足条件的数组（a，b）共有（）组
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
25．关于x的不等式│x-3│≤│x+a│的解包含了不等式x≥a，则实数a的取值范围是（）（A）a≥-3 （B）a≥-1且a=-3 （C）a≥1或a=-3 （D）a≥2或a=-3 （拟题：俞倾萱上海市浦江教育培训中心200434）
26．已知代数式│x-3│+│x-7│=4，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ •）（A）1，x，5 （B）2，x，5 （C）3，x，5 （D）3，x，4
（拟题：徐伟建浙江省龙游华茂外国语学校324400）
27．两个有理数a，b在数轴上对应的点A、B如图5所示，数c表示的点C在A、B两点之间，则下列关系式中一定成立的是（）
a
b
（A）│a-c│<│b-c│（B）a+b<b
（C）a+b+c>0 （D）│a-c│=b+c
28．若a是有理数，给出下列判断：
①2a是偶数；②-a2<0；③a2>a；④│a│是正数；⑤（-a）3=-a3
其中，正确的个数是（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
29．在数轴上，点A对应的数是-2007，点B对应的数是+19，点C对应的数是-4032，•记A、B两点间的距离为d1，A、C两点间的距离为d2，B、C两点间的距离为d3，则有（）（A）d1>d2（B）d2>d3（C）d1>d3（D）d3=2d1+1
30．命题甲：a，b是两个相邻的正整数，则a与b互质．
命题乙：两个正整数a与b互质，则a，b是相邻的，则（）
（A）甲真，乙真（B）甲真，乙不真
（C）甲不真，乙真（D）甲不真，乙不真
二、填空题
31．孔子出生于公元前551年，如果用-555表示，那么
（1）司马迁出生于公元前145元，应表示为_________年；
（2）李白出生于公元701年，应表示为________年．
32．In Fig．6，if M is the •mid-•point •of •the •line •segment •AB •anddivides segment MB into two parts such that MC：CB=1：2，•then •the •lengthof AC is
（英汉词典：mid-point 中点；line segment 线段；to divide …into 分为、•分成；length 长度）
33．下图是一个数值转换机的示意图，若输入x 的值为3，y 的值为-2，则输出结果为
___________．
34．已知a=200520072006200820072009,,200620072008
b c ⨯⨯⨯==，则a ，b ，c 的大小关系是____________．
35．已知，在数轴上的位置如图所示．化简制的值是|1|||1
a a +-的值是________． a （拟题：徐伟建浙江省龙游华茂外国语学校324400）
36．若灯泡瓦数是a ，使用t 小时，则耗电量是1000
at 度．如果平均每天使用3小时，用一个15瓦的灯泡比用一个40瓦的灯泡每月（按30天计）可节约________度电．
37．若a b b +=-58，则b a
=__________． 38．当b=-1时，多项式3a 2+4a 2b-3b 2与-3a 2-4a 2b+2b 2+1的和等于________．
39．如图，在直角坐标系中，右边的不倒翁图是由左边的不倒翁图案经过平移得到的，左图
案中两眼的坐标分别是（-4，2），（-2，2），右图案中一只眼睛的坐标是（3，4），则另一只眼睛的坐标是________．
（拟题：王定海江苏省金湖县涂沟镇唐港初中211643）
40．大小相同的小球不超过40个，将它们紧挨着可以摆成一个正方形，•还可以摆成一个等
边三角形，则小球的个数是________．
41．把两根毛线从中间打结系在一起，然后由4名同学分别抓住一端拉紧，若最多能形成a
对对顶角，最少能形成b 对邻补角，则a+b 的值为_________．
（拟题：王可民山东省梁山县梁山镇二中272600）
42．224682008123420061234200512342007
-⨯的值是________． 43．若a+b=3，a 2b+ab 2=-30，则a 2+b 2的值是________．
44．已知211n n x x
+=，x 5n +x n +2=________． （拟题：俞颂萱 上海市浦江教育培训中心200434）
45．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，•则可以加上的单项
式共有_____个．
（拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学214432）
46．工厂要用长方形的铁皮制作易拉罐．一张长方形铁皮根据图中的数据下料，假设焊接的
部分忽略不计，则这个易拉罐的容积是________立方厘米．（π=3.14）
(第46题) (第48题) (第50题)
47．小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前
一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，•结果比平时早20分钟到家，则小林步行________分钟遇到来接他的爸爸．
（拟题：陈武海南省海口市义龙中学570206）
48．如图，两个正方形ABCD与CEFG并排放在一起，连结AG交CE于M，连结HF，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．
49．在1，3，5，…，101这51•个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数和的绝对值最小为_________．
50．如图，一条东西走向的公路修到某自然保护区边缘时，要拐弯绕道而过，若第一次拐的角是∠是100°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐弯后的公路CD•仍是东西走向，则第三次拐的角∠C=________．
（拟题：王可民山东省梁山县梁山镇二中272600）
51．设P=a2b2+5，Q=2ab-a2-4a，若P=Q，则实数a=_______；b=_______．
52．如图，在数轴上有若干个点，每相邻个点之间的距离是1个单位长，•有理数a，b，d，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，如果3a=4b-3，那么∠c+2d=_______．
d
c
b
a
53．已知m+n=3，m2+n2=7，则m3+n3=______．
54．若实数x，y满足│x-y+1│+│x+y-2007│=0，则[-x
y
]=_______．
（其中[-x
y
]表示：不超过-
x
y
的最大整数）
55．若2│3a-2b│+（4b-12）2=0，则代数式1
4
a2b-1-（a3+
1
27
b b+4）的值为_______．
56．若以x为未知数的方程4
3
x-a=
2
5
x+140有正整数解，则a的最小整数值是_____．
57．设x-y=1，则y3+3xy-x3=________．
58．已知x，y，z均不为0，并且x2+4y2+9z2=x3+2y3+3z3=x4+y4+z4，则（2x-1）2+（2y-2）2+（2z-3）2的值等于_________．
59．计算： 33333333
33333333
2468101214163691215182124-+-+-+--+-+-+-=__________． 60．远望巍巍塔七层，
灯光点点倍加增，
共灯六百三十五，
请问顶层几盏灯？
答：___________．
61．国际上公认的男女出生时的性别比例为男：女=0．517：0．483，•我国某地区出生的性别比例为男：女=160：70，这个比值是公认的比值的_________倍．
62．数码0，1，2，…，9中的四个：a ，b ，c ，d 使等式成立，则
2
1377111313,b a a b c de d c -=⨯⨯⨯-成立则=•___________． 63．若1立方米的水重1000千克，而1吨97#汽油是1374升，那∠1升水与1升97#•汽油的重量之比为__________．
64．2006年北京密云水库鱼王节上一条34斤的胖头鱼拍出23.6万元的价钱，若按180元可买1克黄金来折算，1两黄金可买胖头鱼_________两．
65．计算220076200772008
-⨯-=__________． 66．已知有理数a ，b 满足-1<a<0，0<b<1，那么，-ab ，a 2b 2，-a 3b 3中，最大的是________，最小的是_______．
67．能使不等式│2m │>m+1成立的m 的取值范围是________．
68．如图所示，有一只蜗牛从直角坐标系的原点O 向y 轴正方向出发，它前进1厘米后，右转90°，再前进1厘米后，左转90°，再前进1厘米后，右转90°，……当它走到点P （n ，n ）时，左边碰到障碍物，就直行1厘米，再右转90°，前进1厘米，再左转90°，前进1厘米，……最后回到x 轴上，则蜗牛所走过的路程s 为________厘米．
（拟题：蔡世英福建省晋江市南岳中学362272）
(第68题) (第71题) (第73题)
69．一个两位数ab是质数，而ba是合数，且ab+ba是完全平方数，这样的两位数ab是________；•若一个两位数ab是合数，且ba也是合数，ab+ba是完全平方数，这样的两位数ab是_____．
70．满足方程│x-2007│-1│=2007的x的值是________．
71．如图所示，在4×4的方格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=______．
72．In △ABC，the degrees of∠A，∠B and ∠C are α，βand γ•respectively．•If the degree of∠B is two times of that of ∠A，and the •exterior •angleof ∠C is equal to 120°，thenα：β：γ=__________．
（英语词典：degree度、度数；respectively分别地；time倍数；exterior •angle 外角）
73．两条平行直线L1，L2被第三条直线L3所截，如图所示，图中的8个角中，•互为补角的共有______对，互为邻补角的共有_______对．
74．某校初一气象小组在整个暑假期间不间断地观察天气变化，最后有如下一些资料：75．甲乙丙丁四人参加某商场的抽奖活动，现知道：
（1）如果甲中奖，那么乙也中奖．
（2）如果乙中奖，那么丙中奖或甲不中奖．
（3）如果丁不中奖，那么甲中奖，丙不中奖．
（4）如果丁中奖，那么甲也中奖．
则这四个人中有_______人中奖．
（拟题：陈武海南省海口市义龙中学570206）
76．有位诗人这样赞美桂林的山：云中的神啊，雾中的仙，神姿仙态桂林的山．•翻译出版的诗集中这段话的英译文是：
“Gods in the cloud and fairies in the •mist，•The •Hills •in •Guilinlook like．”
请统计这段英文诗句中26个英文字母出现的次数，则26•个英文字母中出现次数最少的共有_____个字母；出现次数最多的字母的频率是________．
77．已知p，q都是质数，且x-1满足关于x的一元一次方程p3x+q p=11，则p=______．（拟题：蔡世英福建省江市南岳中学362272）
三、解答题
78．奥地利数学家皮克发现了一个计算正方形网格纸中多边形面积的公式：S=a+1
2
b-1，其
中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如：在图？中，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C、D都正好在格点上，
那么四边形ABCD的面积S=7+1
2
×4-1=8（cm2）．
运用上述知识回答：
（1）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C、D都正好在格点上，求四边A、B、C、D的面积；
（2）如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1，若多边形（•可以是凸的或凹的）的面点都在格点上，且面积为6，请画出这样三个形状不同的多边形（•多边形的边数≥6）．（拟题：蔡风山江苏省兴化市明升双语学校225700）
79．如图，在一块周长为2007米的正六边形场地上，小明位于AB边（点A、B除外）上任意一点P，小明首先由P沿平行于BC的方向跑到CD边上的P1点，再由P1沿平行于DE的方向跑到EF边上的P2点，再由P2沿平行于FA的方向跑到AB边上的P3点……此后按上述规律一直跑下去，问小明能否返回到P点？如果能回到，他至少要跑多少米？
（拟题：袁林春深圳市新世纪阶梯教室518101）
80．小明向母校捐赠语文、数学、英语三种书共40册，总价值391元，这三种书的单价分别为：语文每册7元，数学每册8元，英语每册10元，那么语文、数学、英语课本分别有多少册？
81．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．
（拟题：俞颂萱上海市浦江教育培训中心200434）
82．如图?，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，它延长后交BC延长线于M，
求证：∠M=1
2
（∠ACB-∠ABC）．
83．右边5×5的表中的文字代表有理数，而表中的数字分别是各行、各列的文字所代表的有理数的和，试求出这些文字所代表的数值．
84．甲、乙、丙完成某工程，甲单独完成所需时间是乙、•丙合作所需时间的4倍，乙单独完成工作所需时间是甲、丙合作所需时间的3倍，•问：丙单独完成所需时间是甲、乙合作所需时间的几倍？
85．能否找到五个不同的正整数，它们中任意三个数的和是3的倍数；任意四个数的和是4的倍数，并且这五个正整数之和恰等于2007？若能找到，试举出一个例子；•若不能找到，请说明理由．
第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题
（1～85题）
答案．解析
一、选择题
1．由于3│2001，5│2005，9│2007，所以2001，2005，2007都是合数．经检验知，2，3，5，7，11，13，15，17，19，23，29，31，37，41，43都不是2003的约数，所以，2003是质数，选（A）．
2．正方形有4条对称轴，其中2条是对角线，另两条是对边中点的连线，选（C）．
3．│a1-a2│，│a2-a3│，│a3-a4│，…，│a99-a100│，│a100-a1│中各数的奇偶性分别与a1-a2，a2-a3，a3-a4，…，a99-a100，a100-a1中各数的奇偶性相同．
又（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a4）+…+（a99-a100）+（a100-a1）=0，
故这组数中有偶数个奇数．
又这组数共有100个，故其中也有偶数个偶数，故选（D）．
4．因为 a<b，
所以 a-b<0，
│a-b│=-（a-b）
又因为 b<0<c<-b，│a-b│+│c+b│，
因此 =-（a-b ）-（c+b ）=-a-c 选（B ）．
5．大于90°，且小于180°的角叫钝角，所以度数为89°，126°，180°，216•°的4个角中只有126°的角是钝角，选（A ）．
6．译文：在1～100这100个自然数中，能同时被2，3，5整除的数共有（ ）个． （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 7．译文：图1中共有（ ）条射线．
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
以A 为端点的射线有2条，以B 为端点的射线有3条，共有5条，选（D ）． 8．分子的最小公倍数是60，题给的5个分数依次是
260560159010601260
,,,,3908962392171021995
===== 分子相同的分数，分母较大的分数值较小，所以题给的5•个分数按从小到大的顺序排列是
10512152
,,,,17819233
，选（B ）． 9．由上次奥运会中美国射击名将失利可知，•“可能性很小”的事件也是可以出现的，选（C ）． 10．观察图形知，“丽”、“运”两字不是轴对称图形．选（B ）．
11．每增加一条横线，就增加6个三角形，则三角形个数是6的倍数，故选（A ）． 12．2007=32
×223，所以2007的约数是1，3，9，223，669，2007，共计6个，选（C ）． 13．这个圆柱体最上面的三分之一的圆柱锯掉了四分之一，
所以锯掉部分的体积为
12
V
．选（D ）． 14．当a=-b 时，a+b=0，排除（A ）；
当a=-1，b=0时，a+（2b ）2
=-1<0，排除（C ）； 当a=1，b=-1时，ab+12=-1
2
<0，排除（D ），故选（B ）．
事实上，由于a 2≥0，0.01b 2≥0， 所以a 2+0.01b 2≥0．
15．已知关于x 的方程（2007a+2008b ）x+2007=0无解， 故可知 2007a+2008b=0，
于是 a+b=
2007b
， 由b<0，知2007
b
->0，即a+b>0，选（A ）．
16．2与-1为符号相反的两个数，但2与-1不互为相反数，易知①错误； 0的相反数与绝对值都是0，但是0既不是正数也不是负数，故③和④错误． 只有②正确，故选（A ）．
17．由题意可知，出生时间应该是身份证编号中的第7到第14位，所以韩光出生的时间是1995年8月15日选（A ）．
18．根据两点之间线段最短，知选（B ）．
19．“从对甲、乙企业的投资额中各抽回15%和10%”与“从对甲、•乙企业的投资额中各抽回10%和5%”，相比，前者比后者各多抽回5%，即从对甲、乙企业的投资额中各抽回5%+8%-13%，总投资额减少130万元，所以李先生投资的这笔资金为130•÷13%=1000（万元），故选（D ）． 20．原方程整理为 （a+b-q ）x=a-b-2，
由于此方程有无穷多个解，所以
40
20a b a b +-=⎧⎨
--=⎩
解得 a=3，b=1，
所以（ab ）4=81，选（C ）．
21．已知关系式可化为 a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca=0，
即
1
12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ）=0， 所以1
12
[（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2]=0，
故 a=b ，b=c ，a=c ． 即 a=b=c ．选（A ）．
22．译文：在3点半时，钟表上的时针和分针所成的锐角是（）
（A）70°（B）75°（C）85°（D）90°
钟表在3点时，时针与分针成90°角，再过半小时，分针转过180°指向“6”，•而时针
转了360
12
×
1
2
=15°，所以在3点半时，钟表上的时针和分针所成的锐角是90°-15°=75°，
选（B）．
23．设这两个角为α和β（α>β），则（α+β）+（α-β）=180°，所以a=90°，选（C）．24．因为 a是质数，b是质数，3a+2b是质数，3a+2b<20．
所以 a只能取3，5，b只能取2，5，
经检验，只有（3，2），（3，5），（5，2）适合，故选（C）．
25．由已知得（x-3）2≤（x+a）2，（a+3）[2x+（a-3）]≥0．
当a=-3时，解是一切实数，包含x≥a；
当a>-3时，x≥3
2
a -
，
要包含x≥a，则必有 a≥3
2
a -
，
则 a≥1；
当a<-3时，x≤3
2
a
-
，不能包括x≥a．
所以 a≥1或a=-3，选（C）．
26．如图所示，
x
当3≤x≤7时，│x-3│+│x-7│=4
若三条线段能构成三角形，那么各选项中x的范围应能包含3≤x≤7，选（C）．27．令c=0，则可排除（A），（C），（D），所以选（B）．
事实上，由图知a<0，b>0．
若0<c<b，又a<0，相加得a+c<；
右a<c≤0，得a+c<0<b．
所以总有 a+c<b．
28．若a不是整数，则2a不是偶数，①不成立；
当a=0时，-a2=0，②不成立；
当0≤a≤1时，a2≤a，③不成立；
当a=0时，│a│=0，④不成立；
（-a）3=（-1）3，（a）3=a3，⑤成立，选（A）．
29．计算得
d1=│-2007-（+19）│=2026；
d2=│-2007-（-4032）│=2025；
d3=│（+19）-（-4032）│=4051，比较知，选（A）．
30．由“a、b是两个相邻的正整数”必能推得“a与b互质”，甲真；但反过来，•知3，7两个数互质，但3与7不是两个相邻正整数，乙不真，选（B）．
二、填空题
31．-149；+697 32．8 33．-1 34．a<b<c 35．1 36．2.25 37．-
8
13
38．0
39．（5，4） 40．36 41．2 42．24682008 43．29 44．1 45．5 46．100.48
47．50 48．32 49．1 50．130º 51．-2；-1
2
52．-2 53．-18 54．-1 55．-5
56．14 57．-1 58．14 59．8
27
60．5 61．2.135 62．3 63．1.374；1 64．13
65．2000 66．-ab；-ab 67．m<-2
3
或m>2 68． 69．29，47，83；56，65
70．4015；-1 71．315º 72．2：4：3 73．16；8 74．39 75．4 76．9；10
57
77．8
解析:
31．司马迁出生于公元-149元；李白出生于公元+697年．
32．译文：如图6，长度为12的线段AB的中点为M，点C将AB分成MC：CB=1：2，•则线段
AC的长度是________．
AC=AM+MC=6+1
3
MB=6+2=8．
33．（2x+y3）÷2=[2×3+（-2）3]÷2=（6-8）÷2=-1．
34．a=
2
(20061)(20061)20061
20062006
-+-
==2006-
1
2006
．
同理可得 b=2007-
1
2007
，c=2008-
1
2008
．
显然 a=2006-
1
2006
<2006-
1
2006
<2007-
1
2007
<2007-
1
2007
=b<2007-
1
2008
即 a<b<c．35．由图知a<-1
所以a+1<0
原式
1
1
a
a
--
--
=1
36．15瓦的灯泡每月耗电：15330
1000
⨯⨯
=
135
100
（度）
40瓦的灯泡每月耗电：40330
100
⨯⨯
=
360
100
（度）
每月可节约用电：360
100
-
135
100
=2.25（度）
37．由a b
b
+
=-
5
8
，得
a
b
+1=-
5
8
即a
b
=-
13
8
所以b
a
=-
8
13
38．（3a2+4a2b-3b2）+（-3a2-4a2b+2b2+1）]=-b2+1=-（-1）2+1=0
39．（5，4）
40．摆成等边三角形时第1排1个，第2排2个，第3排3个，……，第8排8个．
而(81)8
2
+⨯
=36．
又 6×6=36．
所以，小球的个数是36．
41．两根毛线从中间打结后拉紧，相当于有公共端点的四条线段．易知，最多能形成2对对顶角，最少能形成0对邻补角，即a=2，b=0． 所以a+b=2
42．以n 表示12342006，则原分数的分母=n 2-（n-1）（n+1）=n 2-n 2+1=1． 所以原式的值是24682008．
43．因为 a+b=3，a 2b+ab 2-ab （a+b ）=-30， 所以 ab=-10，
则 a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=32-2×（-1）=29． 44．由21
1n
n
x x +
=． 得x 3n -x 2n +1=0，
从而原式 -（x 3n -x 2n +1）（x 2n +x n +1）+1=1．
45．可以加上的单项式有-4x 2，-1，4x ，-4x ，4x 4，共5个．
46．设易拉罐底面圆的半径为r 厘米，则EF•等于4r ，•所以船应等于27πr ，•
故有2r+27πr=AB=16.56，
解得 r=2． 所以易拉罐的容积是
πr 2×EF=3.14×2×4×2=100.48（立方厘米）
． 47．如图，小林学校在A ，家在B ，下午4点他步行从A 出发，与按时从B 来接他的车相遇于C ，结果汽车由C 返回B 比往常提前了20分钟，表明汽车由C-A-C 共需20分钟，•因此汽车由C 到A 需10分钟，则汽车在4：50与小林相遇，即小林步行50分钟遇到来接他的爸爸．
48．连结AC 、EG ，如图，则AC ∥EG ．
即ACGE是梯形，△AHE的面积等于△CHG的面积．△AHE的面积+△EHF的面积
=△CHG的面积+△EHF的面积
=正方形CEFG的面积-△HFG的面积=8×8-88
2
=32（平方厘米）．
49．由于1+3+5+…+101=512为奇数，
最小的正奇数为1，所以前3个奇数添加符号如下
-1-3+5=1，
而其余48个连续奇数按每连续四个添加符号如下，使其结果为0，即（2n+1）-（2n+3）-（2n+5）+（2n+7）=0．
于是推知和的绝对值的最小值是1．
50．由题意知AE∥CD．
过点B在∠ABC内部作BF∥AE，则BF∥CD，
所以∠ABF=∠A=100°，∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-100°=50°．
所以∠C=180°-∠FBC=180°-50°=130°．
51．由P-Q=a2b2+5-2ab+a2+4a=（ab-1）2+（a+2）2=0，
所以ab=1，a=-2，b=-1
2
．
52．易知b=a+2，代入3a=4b-3中，得3a=4（a+2）-3，解得a=-5，
于是b=-3，c=-2，d=0，所以C+2d=-2．
53．（m+n）2=m2+2mn+n2=9，mn=1，（m+n）3=m3+3m2n+3mn2+n3=m3+n3+3mn（m+n）=-27，所以m3+n3=-27+9=-18．
54．因为│x-y+1│≥0，│x+y-2007│≥0，所以│x-y+1│+│x+y-2007│≥0．又由题设知
│x-y+1│+│x+y-2007│=0，所以│x-y+1│+│x+y-2007│=0．
解方程组10,
1003,200701004.
x y x x y y -+==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩得 于是[-x y ]=[-10031004]=-1 55．因为│3a-2b │≥0，（4b-12）2≥0，又2│3a-2b │+（4b-12）2=0，
所以 3a-2b=4b-12=0，于是a=2，b=3．所以，原式=
14
×22×3-1-（23+127×33+4）=-5． 56．由原方程，得a=1415x-140，因为a 为正整数，所以1415
x>140，所以x>150． 又因为1415x 为整数，所以x 是15的倍数，所以=x min =165，所以a min =1415×165-140=14． 即 a 的最小正整数值是14．
57．Y 3+3xy-x 3=（y-x ）（y 2+xy+x 2）+3xy=-（y 2+xy+x 2）+3xy=-y 2+2xy-x 2=-（y-x ）2=-1．
58．由已知等式，得x 4+y 4+z 4+x 2+4y 2+9z 2-2（x 3+2y 3+3z 3）=0，
即x 2（x-1）2+y 2（y-2）2+z 2（z-3）2=0，
由于x 2（x-1）2，y 2（y-2）2，z 2（z-3）2均为非负数，•
所以x 2（x-1）2=y 2（y-2）2=z 2（z-3）2=0，
因为x ，y ，z≠0，所以x=1，x=2，z=3．
因此，原式=（4x 2-4x+1）+（4y 2-8y+4）+（4z 2+12z+9）=1+4+9=14．
59．原式=333333333333333333332(12345678)283(12345678)327
-+-+-+-==-+-+-+- 60．设顶层有灯x 盏，则有x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=635，
即127x=635，
解得x=5
61．公认比值为0.5170.483=1.0704，而该地区出生的性别比例为16070
=2.2857，•这个比值是公认比值的2.28571.0704
≈2.135倍． 62．因为7×11×13=1001，一个六位数137a b c 等于1001乘以一个三位数13d ，这恰好是将
此三位数13d 重写一遍，即1313d d ，所以c=3，d=7，b=1，a=7，因此3b a d c
--=3． 63．1升水重1千克，1升97#汽油重（1000÷1374）千克，它们的比是1.374：1． 64．1两鱼价值236000÷（34×10）=694.1（元），1两黄金价值180×50=9000（元）． 故9000÷694.1=13．
65．令a=2007，则
原式=22267(1)(66)(1)(1)6(1)111
a a a a a a a a a a ----++--+==+++=a-7=2007-7=2000． 66．由已知得-1<ab<0，因此0<1+ab<1，
因而-1<ab （1+ab ）<0，a 2b 2-（-ab ）=ab （•ab+1）<0，
所以a 2b 2<-ab ．又a 2b 2-（-a 3b 3）=a 2b 2（1+ab ）>0，所以-a 3b 3<a 2b 2．
因此，在-1<a<0，0<b<1•的条件下，-ab ，a 2b 2，-a 3b 3中最大的是-ab ，最小的是-a 3b 3． 此题也可以用特殊值法来检验判断．
67．当m ≥0时，原不等式化为2m-1>m+1，解得m>2，
当m<0时，原不等式化为-2m-•1>m+1，解得m<-
23， 所以m 的取值范围是m<-23
m>2． 68．显然，蜗牛所走过的路线是一个轴对称图形，所以S=2n ×2=4n （cm ）．
69．设ab =10a+b ，ba =10b+a ，其中1≤a ，b ≤9， 于是ab +ba =（10a+b ）+（10b+a ）=11（a+b ），且2•≤a+b ≤18．
因为ab +ba 是完全平方数，只须a+b=11，其中29，47，83均为质数，而92，74，38是合数；另外56与65均为合数．
70．原方程等价于│x-2007│-1=±2007，因为│x-2007│≥0，
所以│x-2007│=2007，即│x-2007│=2008，那么x-2007=±2008，所以x=4015或x=1．
71．由题图可知∠4=45°，∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°．
四式相加得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°．
72．译文：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数分别为α，β，γ，已知β是a的2倍，∠C•的外角等于120°，则α：β：γ=_______．
由已知得β=2a，a+β=120°，所以α+β=120°，解得a=40°．
因此β=80°，γ=60°，故有α：β：γ=2：4：3．
73．互为补角的有
∠1，∠2；∠2，∠3；∠3，∠4；∠4，∠1；∠5，∠6；∠6，∠7；∠7，∠8；∠8，∠5；∠1，∠6；∠1，∠8；∠2，∠5；∠2，∠7；∠3，∠6；∠3，∠8；∠4，∠5；
∠4，∠7，共计16对．
其中∠1，∠2；∠2，∠3；∠3，∠4；∠4，∠1；∠5，∠6；∠6，∠7；∠7，∠8；
∠8，•∠5共8对互为邻补角．
74．设有x天的上午下雨，则暑假有（30+x）天，
则依题意列出方程：13+（35-x）=30+x，解得x=9，即这个暑假有39天．
75．假设③成立，则与①、②矛盾，故④成立，由此可知甲、乙、丙、丁4•人均中奖．76．依统计26个英文字母出现的次数为：
其中，一次都未出现的字母有9个（b，j，p，q，v，w，x，y，z）；出现次数最多的字
母为i，共出现10次，其频率为10 57
．
77．将x=1代入p3x+q=11得p3+q=11，则p3，q必为一奇一偶．若p=2，则p3-8，q=3，此时p，q都是质数，符合题意；
若q=2，则p3=9，此时不存在符合条件的质数p．
故p3=23=8．
三、解答题
78．（1）通过观察可知a=5，b=6，则S=a+
12b-1=5+12×6-1=7（cm 2）． （2）由题意知S=6，根据公式S=a+12b-1，可列出关于a ，b 的二元一次方程a+12
b-1=6，其中b ≥6．不妨设b=6，则a=4，可画出如图25的四种图形．
79．若P 与AB 中点重点，如左图，易知P 3就与P 重合，则小明的路程为六边形周长的34，即为34×2007=60214
（米）．
? 若P 与A 中点不重合，如右图，由PP 1∥EF ∥P 3P 4，P 1P 2∥DE ∥P 4P 5，P 2P 3∥CD ∥P 4P 5， 所以P•与P 重合，小明的总路程为3（PP+PP ）=3（BC+AD ）=
60212
（米）． 80．设语文、数学、英语分别有x 册、y 册、z 册． 则40,7810391.
x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①×10-②得，3x+2y=9，所以x=923y -， 因为x ，y 是正整数，所以y 只能等于3，此时x=1，z=36．
即语文、数学、英语课本分别有1，3，36册．
81．由a-c=1-b ，①
d-c=b-2，②
d=a-c+3．③
①代入③得d=4-b ，再代入②得c=6-2b ，从而由①得a=7-3b ．
所以 a+b+c+d=（7-3b ）+b+（6-2b ）+（4-b ）=17-5b ．因为b ≥0，
所以a+b+c+d 的最大值为17．
82．由EF ⊥AD 于P ，所以∠1+∠AEP=90°，∠2+∠AFP=90°，
已知∠1=∠2，•所以∠AEP=∠AFP ．
由三角形外角的性质得∠ACB=∠CFM+∠M=∠AFP+∠M=∠AEP+∠M=∠ABC+∠M+∠M ， 因此2∠M=∠ACB-∠ABC ，所以∠M=
12
（∠ACB-∠ABC ）． 83．从第2列 京+京+奥+京=8， 第3行 京+奥+京+奥=16，即38,2216,⨯+=⎧⎨⨯+⨯=⎩
京奥京奥，解得 京=0，奥=8． 再从第1行 北+0+8+运=36.8，
即 北+运=28.8，从第4列 运+运+8+北=45.6，即 北+2×运=37.6，解得 北=20，运=8.8． 再从第1列 北+在+京+在=60，即 20+在+0+在=60，可得 在=20，从第2行 在+京+•开+运=36.8，
即 20+0+开+8.8=36.8，可得 开=8，最后从第4行 在+京+之+北=48；
即 20+0+之+20=48，可得 之=8． 即表中文字代表的数值如下：
北=20，京=0，•奥=8，运=8.8，在=20，开=8，之=8．
84．设甲、乙、丙单独完成工程所需时间分别为x ，y ，z ，丙单独完成工程所需时间是甲、乙合作所需时间的a 倍，依题意可得 411,
311,11.x y z y x z
a z x y ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩
①×②＋③，得12a=
222222 ()()()2
x y y z z x xyz x y y z z x y x zx yz xyz xyz
+++++++++
=
=2+x（1
y
+
1
z
）+y（
1
x
+
1
z
）+z（
1
x
+
1
y
）=2+4+3+a，所以a=
9
11
．
85．假定存在这样的五个正整数，设它们分别是x，y，z，u，v．
由于“它们中任意三个数的和是3的倍数”，可知x，y，z，u，v被3•除的余数相同．由于“它们中任意四个数的和是4的倍数”，可知x，y，z，u，v被4除的余数也相同．由于（3，4）=1，因此x，y，z，u，v被12除的余数相同，由x+y+z+u+v=2007．
而上式右边的2007被12除余3．
左边的x，y，z，u，v被12除的余数都相同，
所以，满足题设要求的五个正整数x，y，z，u，v都应是被12除余3的数．
如3，15，27，39，1923即是满足题设要求的一组数．。