夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟

夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟华东交通大学课程设计(论文)夫琅禾费圆孔衍射及mathematica模拟学院:学号:姓名:专业: 指导老师:二零一四年一月八日的数值利用mathematica数值模拟圆孔衍射目录要 ................................................................. ................................................ I 摘Abstract ........................................................... .. (I)第1章绪论 ..................................................................... (1)1.1 背景和意义 (1)1.2 主要方法和研究进展 (1)1.3 主要夫琅禾费圆孔衍射 ..................................................................... .. (1)2.1 基尔霍夫衍射理论 (1)2.2 圆孔的夫琅禾费衍射 (2)2.2.1 复振幅公式 (2)2.2.2 光强公式与光强分布分析 (4)2.2.4 爱里斑 (5)2.3 用Mathematica模拟圆孔衍射的光强分布 (5)2.3.1 Mathematica的一些功能 (5)2.3.2 圆孔衍射光强分布的模拟及分析 (6)2.4 总结 (9)参考文献 ..................................................................... .. (10)附录 ..................................................................... . (10)利用mathematica数值模拟圆孔衍射 I摘要夫琅禾费衍射，又称为远场衍射，是指光源和观察幕离障碍物(孔或屏)均为无穷远的，光线偏离原来传播方向弯入障碍物的几何影区内的，并在几何影区和几个照明区内形成光强不均匀分布的现象。

对于观察屏上各点的光强分布，是通过由基尔霍夫衍射理论及其伴轴近似和夫琅禾费近似而得到的夫琅禾费衍射公式来说明的。

夫琅禾费圆孔衍射的光强分布图是一些同心圆环，中间的艾里斑集中了绝大部分光强，研究夫琅禾费圆孔衍射对我们研究成像系统有很关键的作用。

在关键词:基尔霍夫衍射理论; 艾里斑; 夫琅禾费圆孔衍射; mathematicaAbstractFraunhofer diffraction, also known as the far-field diffraction.Light curtain and observe from the obstacle (holes or screen) are infinity. Deviation from the original direction of propagation of light bent into geometric shadow zone obstructions.The formation of the light intensity distribution uneven phenomenon in the geometric shadow and lighting area. Light intensity distribution on the viewing screen at various points, by the Fraunhofer diffraction formula to illustrate. The Fraunhofer diffraction formula by Kirchhoff diffraction theory approximation through with axes and Fraunhofer approximation is obtained. Airy disk in the middle of the vast majority concentrated intensity. Fraunhofer diffraction studies of the hole we study the imaging system has a very crucial role. In this paper is to use Mathematica software to simulate the round hole of Fraunhofer diffraction intensity distribution. Use Mathematica software related functions can be flexibly adjusted incident wavelength, lens focal length, hole radius of each variable, vividly demonstrate the direct impact of each variable on thediffraction pattern.Key words:Kirchhoff diffraction theory; Airy disk; Circular aperture Fraunhofer diffraction;mathematica利用mathematica数值模拟圆孔衍射 1第1章绪论1.1 背景和意义夫琅禾费圆孔衍射在实验室是可以实现的，而且也可以得到比较清晰的光强分布图，但实验需要稳定的环境，高精密的仪器，在普通教室难以完成，在实验室室也受到时间安排等条件的限制，利用mathematica可以很好的解决这一问题，可以产生与真实实验相同的实验现象，达到与真实演示实验相同的演示效果。

光的衍射现象是光的波动性的一种表现，通过对光的衍射现象的研究，可以深入具体地了解光的波动性。

本课题研究夫琅禾费圆孔衍射，对于深刻理解衍射的实质，研究光波在不同光学系统的传播规律，分析复杂图像的空间频谱分布以及改进光学滤波器设计等具有非常重要的意义。

课题利用mathematica 的绘图能力，根据衍射场的理论公式，得出光强分布并绘制光强的衍射图样。

1.2 主要方法和研究进展根据夫琅禾费圆孔衍射光强分布的理论公式，通过mathematica来模拟，并进行分析。

了解夫琅禾费衍射公式的推导，并得到夫琅禾费圆孔衍射公式，再通过mathematica的模拟，可以很好的改变个变量值，来观察其对衍射的影响。

1.3 主要夫琅禾费圆孔衍射2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论又叫作标量衍射理论，它只适合标量波的衍射。

它的基本内容是建立在惠更斯—菲涅耳原理基础上，并弥补了其不足之处，即:波前上的没一点都可以看成是一个次级扰动中心，发出球面子波;在后一时刻这些子波的包络面就是新的波前，且子波之间相干叠加，利用场论中格林定理，得到较完善的数学表达式，确定了倾斜因子的具体形式。

在观察屏上P点的复振幅利用mathematica数值模拟圆孔衍射 2Aexp(ikl)exp(ikr) cos(n,r),cos(n,l) ~公式:E(P) d i lr2令C cos(,),cos(,)1，k( ) ， 2i exp(ikr)Acos(ikl)~~K( )d 且E(Q) ，则E(P) CE(Q) rl当点光源离孔径足够远时，此时到达孔的光可以看成事平面波，则cos(n) ,1, 令cos(,) cos ，则K( ) 1,cos 。

2因为基尔霍夫公式中被积函数的形式复杂，还需引入近似计算。

由伴轴近似11 ,(z1是观察屏和衍射屏之间的距离);又有夫琅rz1有cos 1，即K( ) 1，禾费近似，即将观察屏和光源移到离衍射孔径很远的地方，这时可以近似有x2,y2xx1,yy1r z1,,，如图2所示，其中(x1,y1)是衍射屏上的点坐标，(x,y)2z1z1是观察屏上的点坐标。

从而可以得到在观察屏上某点的复振幅公式:ik2 ik exp(ikz1)~~2 E(x,y) exp (x,y) E(x1,y1)exp ,(xx1,yy1) dx1dy1i z12z2z1 1x 图22.2 圆孔的夫琅禾费衍射2.2.1 复振幅公式利用mathematica数值模拟圆孔衍射 3圆孔夫琅禾费衍射的实验采用下图所示的系统。

yx图3因为观察夫琅禾费衍射需要入射平面波，故一般可以在衍射屏前放置一透镜，使入射光转化为平面波，也可以使用激光;又因为出射的光也是平面波，即要把观察屏放置在离衍射孔径很远的地方，但若是这样的话，在实验室中很难实现，所以可以使用透镜来缩短距离。

如图3所示，在孔径后紧靠孔径处放置一个焦距为f的透镜，则由透镜的性质，对应于θ方向的光波将通过透镜汇聚于焦面上的P点。

在焦面上观察到的衍射图样与没有透镜时在远场观察到的衍射图样相似，只是大小比例输小为f/z1。

这对于我们只关心的衍射图样的相对强度分布来说，并无任何影响。

假定圆孔的半径为R，圆孔中心O位于光轴上，由于圆孔的圆对称性,在计算圆孔的衍射强度分布时采用极坐标比较方便。

有x1 r1cos 1,y1 r1sin 1，xrcos ,y sin ，并把z1换成f，结合前面的观察屏上点(x,y)复振幅公式: ik ~ ik exikzp1()~E(P) ex (x2,y2) E(x1,y1)ex ,p(xx1,yy1) dx1dy1 ，可以得i z1 2z1 2z1~E(P) C’ exp ,ikr 1, ) r1dr1d 1，到夫琅禾费圆孔的复振幅公式:式中，1 cos(00a2CA’x2,y2C exp(ikf)，另一位相因子exp[ik()]在计算强度时最终将被消去，f2f’为使式子简化，上式省略。

根据零阶贝塞尔函数的积分表示式，1J0(Z) 2 2 ~’exp(iZcos )d E(P) 2 C ，则 J0(kr1 )r1dr1 ，根据J0(kr1 )为偶00a利用mathematica数值模拟圆孔衍射 4函数的性质与贝塞尔函数的递推关系2J(kR )~ 。

E(P) R2C’1kRd[ZJ1(Z)] ZJ0(Z) ,可以得到:dZ2.2.2 光强公式与光强分布分析22 2J(kR ) ~ 2J1(Z) I ,式中，p点的光强度I E(P) ( R2)2C’ 10 kR Z 22I0 ( R2)2C’是轴上点P0的强度，而Z kR 。