第六章元素法习题详解 - 高数

第六章习题答案
复习题A
1. 求由下列曲线围成的平面图形的面积： （1）2235y x x =+-及21y x =-；
（2）1
y x
=及直线,2y x x ==；
（3）e ,e x x y y -==与直线1x =；
（4）ln ,y x y =轴与直线ln ,ln (0)y a y b b a ==>>. 解：（1）两曲线交点为(2,3)--和(1,0)，所求面积为
1
2221
2
31
2
2[(1)(235)]d 3
[633]d (6)
13.5
2
S x x x x
x x x x x x ---=--+-=--=--=⎰⎰
（2）如图，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==
x
y x y 1，得交点)1,1(，
所求面积为
2ln 2
3
]ln 2[d )1(2
122
1
-=-=-=⎰
x x x x x A .
(3) 11
ln d (ln 1)1e
e
S x x x x ==-=⎰
(4) 选为y 积分变量，如图，所求面积为
a b e y e A b a y b
a y -===⎰ln ln ln ln ][d
2. 求二曲线sin r θ=
与r θ=所围公共部分的面积. 解：当θ等于0和
3
π
时，两曲线相交， 所围公共部分的面积为
ππ223
2π0311sin θd θ3cos θd θ
225π24A =+=⎰⎰.
3. 求由下列曲线围成的图形绕指定轴旋转而形成的旋转体的体积： （1）22,,0(0,0)y px x a y p a ===>>；绕x 轴
（2）1
ln ,0,1;y x y x e x
==≤≤绕x 轴
（3）22,;y x x y ==绕y 轴
（4）0,2,3
===y x x y ；绕x 轴和绕y 轴 解：（1）2
20
02a
a x V pxdx px pa πππ===⎰
（2）22
21111ln ln e
e x V xdx xd x x
ππ==-⎰
⎰ 2121121111(ln 2ln )
121(ln 2)32()(25)
e e
e e
e x xdx x
x x dx e x
x e e x e
ππππ=--=-+-=-+=-⎰⎰
（3）两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，所求旋转体体积为
114251000113
()25
10
y V ydy y dy y y ππππ=-=-=⎰⎰ （4）如图，绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为
π7
128]π71[d πd π2
072
062
02
====⎰⎰x x x x y V x
绕y 轴旋转所得的旋转体的体积为.
y y y x V y d ππ32d π8π22
3
280
22⎰⎰-=-⋅⋅=
π5
64
]π53[π3280
35
=-=x 4、有一立体，以长半轴10=a 、短半轴5=b 的椭圆为底，
而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积. 解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为
15102
2
22=+y x 垂直于x 轴的截面为等边三角形， 对应于x 的截面的面积为
)10(4
3
)(22x x A -=
于是所求立体体积为
310103210
10
22103
3]310[43d )10(43⋅=-=-=--⎰
x x x x V 5、计算曲线x y ln =相对应于3=x 到8=x 的一段曲线弧长. 解：由弧长的公式得:
2
3
ln 211d 1d 1
1d 183
283
283
2
+=+=+='+=⎰⎰
⎰
x x x x x
x y s . 6、计算1=ρθ相应于自43=θ到3
4
=θ的一段弧长. 解：由弧长的极坐标公式得:
θ
θθ
θθ
θθθρθρd 11
d )1
()1
(d )()(34
4
322
34
4
32
2
2
344
32
2⎰⎰
⎰
+=-
+='+=s 2
3ln 125+=
. o x
a
b
y
x
7、设把一金属杆的长度由a 拉长到x a +时，所需的力等于a
kx
，其中k 为常数，试求将该金属杆由长度a 拉长到b 所作的功.
解：由于金属杆拉长所需的力f 与拉长的长度成正比x ，且a
kx
f =
，其中k 为常数。

选择金属杆拉长的长度x 为积分变量，其取值范围为[]a b -,0，对于任意[]a b x -∈,0，在拉长的长度区间[]x x x d ,+上，功元素为
x a
kx
x f W d d d =
=，于是 a
a b k x a k x x a k x a kx W a
b a b a
b 2)(2d d 2
200
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===---⎰⎰。

8.一个底半径为m R ，高为m H 的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为2
3
3
m/s 10,kg/m 10取g ）？ 解：建立如图坐标系. 取x 为积分变量,
],0[H x ∈, 任取子区间],0[]d ,[H x x x ⊂+，
相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为
x g x R W ⋅⋅=水
ρd πd 2
, 于是，把桶内的水全部吸出，需做功
2
220
2222πd π2
1
π5000π(J)2
H
H x W g R x x g R
g R H R H ρρρ===
=⎰水水水.
9、一矩形闸门垂直立于水中，宽为m 10，高为m 6，问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于上边界与水面相齐时
所受压力的两倍.
解：设所求高度为h ，建立如图坐标系，
x y sin =t sin y
t 2/πx 2
S 1
S 任取小区间]d ,[x x x +，小区间上 压力元素为
x gx F d 6d ρ= 于是，由题意得：
⎰
⎰+=6
6
d 6d 62h h
x gx x gx ρρ
62602]2
[]2[2+=h h x x 从而3=h 。

复习题B
1. 设x y sin =，2/0π≤≤x ，问：t 取何值时，图中阴影部分的面积1S 与2S 之和S 最小？最大？ 解 ⎰
⎰
-+-=
+=2
/0
21)sin (sin )sin (sin )(πt
t
dx t x dx x t S S t S
t
t t t t t t t t t t t x x x t x t
t sin 1cos 2sin 2sin cos sin 1cos sin |)sin cos (|]cos sin [222
/0πππ--+=++--+=--++=
t t t t t t t t S cos )2(cos sin 2cos 2sin 2)('π
π-=--+=
令21,0)('ππ==
⇒=t t t S ，而
12)(,1)(,1)0(224-=
-==πππS S S 比较得，当4/π=t 时，S 最小；当0=t 时，S 最大。

2 ． 过曲线2
x y =（0≥x ）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴围成图
形的面积为
12
1
，求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V 。

（1）如图，设切点坐标),(2
00x x A ，而
)
,(2
00x x A x
2
/0x 2
x y =o
y
1
L 2
L 1
S 2
S P
x
a +1/11o 1
y
002)('x x y =
切线方程为
)(2002
0x x x x y -=-
令0=y ，得切线与x 轴交点为)0,2/(0x ，
于是
()12
1212
00210020
=--
=⎰x x x dx x S x ，即10=x ，)1,1(A 。

（2）以10=x 代入（1）式，得切线方程为
)1(21-=-x y ，即12-=x y
（3）3021131)(21022πππ=⋅⋅-=⎰dx x V 。

3．求 曲线2
x y =与直线2+=x y 所围成的平面图形的面积
解： 曲线2
x y =与直线2+=x y 的交点为)1,1(-，)4,2(，所求面积为
2931221
)2(21
32212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-+=--⎰x x x dx x x S 4. 假设曲线1L ：2
1x y -=（10≤≤x ）、x 轴和y 轴所围成区域被曲线2L ：2ax y =分为面积相等的两部分，其中a 是大于零的常数，试确定a 的值。

解 如图 ，先求两曲线点P 的坐标，得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++a a a P 1,11 从而
a
dx ax x S a
+=
--=⎰
+132
])1[(1/10
221；
又
由 211212S S S S S +=⇒=，
而 32)1(102
21=-=+⎰dx x S S ， 所以
33
2
134=⇒=+a a 。

5． 设曲线方程为x
e y -=0(≥x ）。

（1）把曲线x
e
y -=，x 轴，y 轴和直线ξ=x （0>ξ）所围成平面图
形绕x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积)(ξV ；求满足
)(lim 21
)(ξξV a V +∞
→=
的a 。

（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积。

（1）)1(2
)(20
2ξξ
π
πξ---=
=⎰
e dx e V x
由 2ln 4
)1(2lim 21)1(2)(22=⇒=-=
-=
-+∞→-a e e a V a π
ππ
ξξ
（2）设切点坐标为),(00x
e x -，则切线方程为
)(000x x e e y x x --=---
则切线与两坐标轴的交点为)0,1(0x +，))1(,0(00
x e x +-，于是切线与两坐标
轴所围面积为
2
02
1)1(0x e S x +=- 令10)1()1('02
01000
=⇒=+-+=--x x e x e
S x x （唯一驻点），且0)1("1<-=-e S ，所以10=x 是2
02
1)1(0x e S x +=-的唯一极大值点，也是最大值点，因此所求曲线上的点为),1(1
-e ，最大面积为
1m ax 2)1(-==e S S
6． 已知曲线x a y =（0>a ）与曲线x y ln =在点),(00y x 处有公共切
线，求
（1）常数a 及切点),(00y x ；
（2）两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V 。

（1）如图，两曲线在公切点),(00y x 处的斜率相等，即有
200
/121
2a x x x a =⇒=
从而 122000/1ln /1ln
-=⇒=⇒==e a a a a x x a y
1,020==y e x ，切点为（1,2e ）
（2）2
)(ln )(2
2
1
20
2
1
π
ππ
=
-=⎰⎰
-e e x x dx x e
V
x
2
e e
x y /=x
y ln =1
o
y
5=+y x 0
p q /-x
y 7． 已知一抛物线通过x 轴上的两点)0,1(A ，)0,3(B 。

（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积。

（2）计算上述两个平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比。

（1）证明 抛物线方程为
)3)(1(--=x x a y ||)3)(1(|||)2)(1(|4
1
1
01a dx x x a dx x x a S =--=--=⎰⎰ 1343
1
31
2||)3)(1(|||)2)(1(|S a dx x x a dx x x a S ==
--=--=
⎰⎰
（2）令上述两个平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积分别为1V 与2V ，则有
2
1
222
1
02
115
38)34()]2)(1([a dx x x a dx x x a V ππ
π=
+-=--=⎰⎰ 2312
22312215
16)34()]2)(1([a dx x x a dx x x a V πππ=+-=--=⎰⎰
所以 8:1916:38:21==V V
8．已知抛物线qx px y +=2
（其中0,0><q p ）在第一象限内与直线
5=+y x 相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S 。

（1）问p 和q 为何值时，S 达到最大值？（2）求出此最大值。

解 依题意知，抛物线如图所示，求得它与x 轴
的交点的横坐标为：
p
q x x -==2
1
,0
2
3
/02
6)(p
q dx qx px S p
q =+=
⎰
- 因抛物线qx px y +=2
与直线5=+y x 相切， 故它们有唯一公共点。

则方程x qx px -=+52
有唯一解，故020)1(2
=++=∆p q ，
20)
1(2
+-=q p 。

所以
4
3
)1(3200+=q q S
令0)
1(3)
3(200)('5
2=+-=q q q q S ，得驻点3=q 。

2a o x
y
22x y =1D 2D 当3>q 时，0)('<q S ，)(q S 单减；当30<<q 时，0)('>q S ，
)(q S 单增，因此当3=q 时，)(q S 取得极大值，亦即最大值。

此时54-=p 。

从而最大值32
225
=S 。

9． 设1D 是由抛物线2
2x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区
域；2D 是由抛物线2
2x y =和直线a x y ==,0所围成的平面区域2D ，其中20<<a 。

（见图）
（1）试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ；
（2）问当a 为何值时，21V V +取得最大值？试求出此最大值。

解（1）)32(5
4)2(52221a dx x V a -==⎰π
π；
444202
222222
a a a dy y a a V a πππππ=-=-⋅=⎰
（2）设4521)32(5
4a a V V V ππ+-=+=
令0)1(4'3
=-=a a V π，得1=a 为区间)2,0(上唯一的驻点，且04)1("<-=πv ，因此1=a 为区间)2,0(上唯一的极大值点，也是最大值点。

21V V +的最大值为
5
129)1(21π
=
+=V V V 。