(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题四小题考法课一直线与圆课时跟踪检测

直线与圆

[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]

一、选择题

1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2

＋(y －1)2

＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.

3

3

或0 D.3或0

解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |

k 2＋(－1)2

＝

1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.

2．(2019·宁波模拟)直线3x ＋y －23＝0截圆x 2

＋y 2

＝4所得劣弧所对的圆心角的大小为( )

A.π

6 B.π4 C.π3

D.π2

解析：选C 因为圆心(0,0)到直线的距离为d ＝|23|

3＋1＝3，圆的半径为2，所以可知直

线截圆所得弦长为2，所以可知该直线截圆所得劣弧所对的圆心角的大小为π

3

，故选C.

3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2

＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2

＋|OB |2

等价于圆心O 到直线l 的距离等于

22，即有1k 2＋(－1)2＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．6个

解析：选 C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－1

4

；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交

于同一点，则m ＝1或－5

3

.故实数m 的取值最多有4个，故选C.

5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B (2,0)，过A 的直线交x 轴于点C (a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a ＝( )

A.14

B.34 C ．1

D.43

解析：选B 设直线AC 的倾斜角为β，直线AB 的倾斜角为α， 即有tan β＝tan 2α＝2tan α

1－tan 2

α. 又tan β＝1a ，tan α＝1

2，

所以1a ＝2×

121－

14

，解得a ＝3

4

.

6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2

＋y 2

－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )

A ．(x ＋2)2

＋(y －2)2

＝2 B ．(x －2)2

＋(y ＋2)2

＝2 C ．(x ＋2)2

＋(y ＋2)2

＝2 D ．(x －2)2

＋(y －2)2

＝2

解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2

＋(y －6)2

＝(32)2

，过圆心(6,6)作直线x ＋

y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)

到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－32

2＝2，圆心坐

标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2

＋(y －2)2

＝2.

7．若直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )被圆C ：(x －1)2

＋y 2

＝4所截得的弦为MN ，则|MN |的最小值是( )

A. 2 B ．2 C ．2 2

D ．4

解析：选C 直线方程(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )可化为λ(2x ＋y ＋1)＋

(－x ＋2y ＋2)＝0(λ∈R )，若⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x ＋y ＋1＝0，

－x ＋2y ＋2＝0，则⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝0，

y ＝－1，所以直线恒过圆C ：(x －

1)2

＋y 2

＝4内的定点P (0，－1)，当直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )与直线CP

垂直时，|MN |最小，此时|MN |＝2r 2－|CP |2＝24－(2)2

＝2 2.故选C.

8.(2019·绍兴调研)设圆M 、圆N 的半径分别为1,2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M 、圆N 上的两动点，则P A →·P B →

的取值范围是( )

A.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－8，12

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，34

C ．[－8,1]

D ．[－16,1]

解析：选C 连接MN 并延长，分别交两圆于点E ，F ，因为两圆相切于点P ，所以点P 在直线MN 上，由题意得当点A 与点E 重合，点B 与点F 重合时，P A →·P B →取得最小值(P A →·P B →)min ＝P E →·P F →

＝－2×4＝－8.设∠APB ＝ α，∠APE ＝β，∠BPF ＝γ，则α＋β＋

γ＝π，P A →·P B →

＝2cos α×cos β×4cos γ＝8cos αcos βcos γ，因为8cos αcos βcos γ＝4cos α[cos(β－γ)＋cos(β＋γ)]＝4cos α[cos(β－r )－cos α]≤4cos α(1－cos α)≤1，所以P A →·P B →

∈[－8,1]，故选C.

9．两个圆C 1：x 2

＋y 2

＋2ax ＋a 2

－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2

＋y 2

－2by －1＋b 2

＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )

A ．3 2

B ．－3 2

C ．6

D ．－6

解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2

＋

y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2

＋b 2

＝9.由⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时

等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.

10．若圆(x －3)2

＋(y ＋5)2

＝r 2

上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )

A ．(4,6)

B ．[4,6]

C ．(4,5)

D ．(4,5]

解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|

5＝

1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.

二、填空题

11．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到直线l 的距离的