以正方形梯形为框架的和差问题例析
人教版初二数学下册正方形梯形知识点总结及例题
正方形一周强化一、一周知识概述、正方形的定义与性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形与菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳正方形的判定与性质的综合运用是重点．几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点．三、例题解析、利用正方形对角线的性质解题例、如图，在正方形中，点、在上，且．请猜测四边形的形状，并对你的猜测给出合理的说明．解：四边形为菱形．理由如下：连结交于点．∵四边形为正方形，又，∴．∴四边形是平行四边形．又∵⊥∴四边形为菱形点拨：正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，会为解题带来很多方便．例、如图，正方形的对角线交于点，是上任一点，⊥于点，交于点．求证：．证明：∵四边形为正方形，∴对角线、互相垂直平分于点，即，⊥．又⊥，∴∠∠．点拨：这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的．、利用正方形的轴对称性解题例、如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于点、．若∠°，求∠＋∠的度数．解：在四边形中，∵与、与均关于直线对称，又五边形内角与为°，点拨：利用正方形的对称性作角与线段的转化十分快捷，如图中∠∠，∠∠，，等．例、已知，如图，在正方形中，点在上．解：（）∵点在上，点、关于对称，∴．（）能用文字概括为“正方形一条对角线上的一点与另一条对角线的两端距离相等”．（）能．证明：连结，由（）可知，又∵⊥，⊥，∴∠∠°．又∵∠°，∴四边形是矩形，点拨：该题（）的结论是一个常用到的正方形的性质，也可用对称的知识或证△≌△得到，在例中该图已经出现过；第（）小题的证明思路是，抓住正方形是轴对称图形这一特点，把正方形沿对称轴翻折，使翻折到，把要证转化为只要证，从而达到把分散的条件集中到一块的目的．、利用旋转法解决有关正方形问题例、如图，正方形的边长，为上一点，连结，作⊥交的延长线于点，作⊥交于点．若，求的长．解：△绕点旋转°后可以得到△，点拨：分析条件⊥，⊥，，于是可以将△旋转，旋转实质还是两个三角形全等．例、如图，在一正方形花池内需要装一只喷头，且满足︰︰︰︰．求∠的度数．解：将△绕点顺时针旋转°得△′，连结′．∴可设′，′，．又△′为等腰直角三角形，又()，∴′＋′．故∠′°＋°°．点拨：这里是通过旋转，将分散的条件集中起来，再由三角形边与边的关系，求出有关角的大小．、构造正方形解题例、如图，⊥，⊥，是上一点，，，，∠°，∠°．求的长．解：过作的垂线交延长线于点，则又，∴△是等边三角形，又∠°－(°＋°)°，点拨：此题是通过补图，构造正方形求解．、利用正方形性质解选择题例、如图，有两个正方形与一个等边三角形，则图中度数为°的角有（）．个．个．个．个解：如图．∵△′为正三角形，四边形、四边形′′′均为正方形，在四边形′中，易知∠′°－°×－°°．故∠′∠′°．故选．点评：本题极易误选．梯形一周强化一、一周知识概述、梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．等腰梯形与直角梯形是两种特殊梯形．、等腰梯形的性质与判定()等腰梯形的性质①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；②等腰梯形同一底边上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．()等腰梯形的判定同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．、梯形中常见辅助线作法()平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图())；()平移一条对角线，使两条对角线与两底之与构成一个三角形，并且能得出两底之与(如图())；()延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图())；()作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图())；()延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图())；()将梯形割补为平行四边形(如图())；二、重难点知识归纳、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念，并了解它们之间的关系．、探索等腰梯形的有关性质与常用判别方法，并能运用它们进行有关的证明与计算．、通过对梯形辅助线的探索，学会将未知问题转化为已知问题，培养化归意识．三、典型例题剖析、直接利用等腰梯形的性质或判定解题例、如图，为等腰梯形的下底上一点，⊥，⊥，，为垂足，⊥，为垂足．求证：＋．证明：过点作⊥于点．∵⊥，⊥，∴四边形是矩形．∵四边形为等腰梯形，∴∠∠．又⊥，公共，∴△≌△．∴．点拨：要证线段的与差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，本例采用的是“截长法”．例、如图，已知矩形中，、分别是、的中点．求证：四边形是等腰梯形．证明：∵四边形是矩形，又、分别是、中点，∴∥．又，∴四边形是梯形．又，∴△≌△()．∴∠∠又∠∠，∴∠∠∴梯形是等腰梯形．点拨：这里是先根据梯形定义，判定四边形是梯形，再证同一底上两底角相等．例、如图，已知四边形中，，，≠．求证：四边形是等腰梯形．证明：过点作∥交边于点．∵，，，又∥，∴∠∠∴四边形是平行四边形．∴∥．又，且≠，∴四边形为等腰梯形．点拨：判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形与一个等腰三角形．、梯形辅助线的作法例、如图，在等腰梯形中，∥，，，．求∠的度数．解：过点作∥交于点，∵∥，∴四边形是平行四边形．又，∴∴△是等边三角形．∴∠°点拨：过顶点作一腰的平行线，把梯形化为平行四边形与三角形，转化的目的是把条件都集中到以∠为内角的三角形中．例、如图，在梯形中，∥，且＋，为的中点．求证：⊥．证明：延长交的延长线于点．∵为中点，∥，∴△≌△．由等腰三角形“三线合一”知，⊥．点拨：根据证题的需要，集中梯形的两底也是常用的添加辅助线的方法．本例也可以先延长至，使，再证、、共线．例、如图，梯形中，∥，对角线⊥，且，，求该梯形上下底的与．解：过作∥交的延长线于点．∵∥，∴，．在△中，点拨：过顶点作一条对角线的平行线，把两条对角线的数量关系与位置关系集中到一个三角形中，将求梯形上下底的长转化为求直角三角形斜边的长．例、如图，在等腰梯形中，∥，，且⊥，是梯形的高，梯形的面积是．求梯形的高．解法：如图(甲)，过作∥交的延长线于点．又∵四边形是等腰梯形，∴．∴．∴△是等腰直角三角形．又是斜边上的高，故也为斜边上的中线．解法：设梯形的两条对角线相交于点，过作⊥于点，延长交于点(如图(乙))．∵，，公共，又∵⊥，∴△是等腰直角三角形．∴．同理．以下解答过程与解法相同．解法：过作⊥于点(如图(丙))．∵梯形是等腰梯形，∴，∠∠．又∵，∴△≌△，∴∠∠．又∵⊥，∴∠∠°．∴△与△都是等腰直角三角形．∴，，以下解答过程与解法相同．点拨：本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长．因此，在等腰梯形中，若两条对角线垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方．例、如图，已知在等腰梯形中，∥．()若，，梯形的高是，求梯形的周长；()若，，梯形的高是，梯形的周长为，则；(请用含的代数式表示；答案直接写在横线上，不要求证明)()若，，，求证：⊥．解：()分别过点、作⊥，⊥，垂足分别为、，则．又，∴∴梯形的周长为＋＋×．()过点作∥，交的延长线于点．∵∥，∴四边形是平行四边形．而＋＋＋，点评：()是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由()知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．。
小学奥数之和差问题解法(完整版)
小学奥数之和差问题解法1. 会判断什么样的应用题属于和差问题：已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数；2. 并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备；3. 总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题．和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：(两数的和－两数的差)÷2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数(两数的和+两数的差)÷2=较大的数 较大的数－两数的差=较小的数【例 1】 一辆公交车里有30位乘客，到大桥站有17人下车，又上来19人，现在车上和原来比，人多了还是少了，多（或少）几个人？【考点】基本的和差问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 这道题有两种不同的思维方法．方法一：先求出现在车上有多少人，再和原来车上30人进行比较，就知道人多了还是人少了，再用减法计算，就能求出多或少了几个人． 列式：现在车上人数：30171932-+=（人），现在车上比原来多几人？32302-=（人）方法二：聪明的学生会想到只要把下车和上车的人数进行比较，就知道答案了，因为下车17人，上车19人，上车的人比下车的多2人．这样原来车上的“30人”就是多余条件了．列式：19172-=（人），现在车上人多了，多2人．【答案】现在车上人多了，多2人【巩固】 在月球表面，白天阳光垂直照射的地方的温度高达127℃，夜晚的温度下降到零下183℃，则月球表面昼夜温差（最高与最低温度的差）是 ℃。
【考点】基本的和差问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 127+183=310 【答案】310【巩固】 最新的科学探测表明：火星表面的最高温度约为5℃，最低温度约为零下15℃，则火星表面的温差（最高与最低温度的差）约为 ℃。
和差问题的三种题型
和差问题的三种题型和差问题（Difference Questions）是数学中比较常见的一类问题，它要求考生利用两个或多个数字之间的关系，求出给定条件下的特定值。
主要包含三种题型：一、直接和差问题（Direct Difference Questions）直接和差问题是最常见的和差问题类型，通常给出一个数字，要求考生需要算出另一个数字，并且这两个数字之间的关系是固定的。
例如：Q：一个正方形的周长是36cm，求正方形的边长。
A：边长= 36/4 = 9 cm二、缩减和差问题（Reduced Difference Questions）缩减和差问题，也叫缩小和差问题，即在一个已知数字减去一个未知数字后得到另一个已知数字，要求考生求出未知数字的值。
例如：Q：一个正方形的边长是9cm，它的周长比另一个正方形的周长少了18cm，求另一个正方形的周长。
A：另一个正方形的周长= 9*4 + 18 = 54cm三、增加和差问题（Increased Difference Questions）增加和差问题与缩减和差问题类似，只不过是在一个已知数字上加上一个未知数字后得到另一个已知数字，要求考生求出未知数字的值。
例如：Q：一个正方形的边长是9cm，它的周长比另一个正方形的周长多了18cm，求另一个正方形的周长。
A：另一个正方形的周长= 9*4 - 18 = 36cm总结：和差问题的三种题型分别为：直接和差问题（Direct Difference Questions）、缩减和差问题（Reduced Difference Questions）和增加和差问题（Increased Difference Questions）。
这三种题型都要求考生利用两个或多个数字之间的关系，求出给定条件下的特定值，让考生掌握“和差”运算的方法。
专题17 正方形和梯形(强化-提高)-解析版
专题17 正方形和梯形（强化-提高）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·河南省实验中学八年级月考）如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），则△APD的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．108°【答案】B【分析】连接PG，由题意得出PD＝GD＝2，∠CDP＝∠ADG，得出∠PDG＝∠ADC＝90°，得出∠PDG是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠GPD＝45°，PG PD＝，得出AP2+PG2＝AG2，由勾股定理的逆定理得出∠GPA＝90°，即可得出答案．【详解】解：连接PG，如图所示：∠四边形ABCD是正方形，∠AD＝CD，∠ADC＝90°，AG＝PC＝3，∠PA＝1，PD＝2，PC＝3，将∠PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G 重合，D与D重合），∠PD＝GD＝2，∠CDP＝∠ADG，∠∠PDG＝∠ADC＝90°，∠∠PDG是等腰直角三角形，∠∠GPD＝45°，PG PD＝，∠AG＝PC＝3，AP＝1，PG＝，∠AP2+PG2＝AG2，∠∠GPA＝90°，∠∠APD＝90°+45°＝135°；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．，2．(本题4分)（2019·哈尔滨市萧红中学七年级月考）一个圆与一个正方形的面积都是22cm正方形周长（）圆的周长A．大于B．小于C．等于D．不能比较【答案】A【分析】根据圆的面积公式、正方形的面积公式求出半径和边长，再根据周长公式求出各周长，用作商法比较大小即可得出结论．【详解】解：∠一个圆与一个正方形的面积都是22cm π，∠22，∠圆的周长为cm ，正方形的周长为，==＜1， ∠正方形周长大于圆的周长，故选：A ．【点睛】本题考查圆的面积和周长公式、正方形的面积和周长公式、算术平方根、实数的大小比较，熟记公式，用作商法比较实数大小是解答的关键．3．(本题4分)（2021·河北承德市·八年级期末）如图．已知正方形ABCD 的边长为12．BE EC =，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ．现有如下3个结论；△AG EC GE +=；△45GDE ∠=︒；△BGE △的周长是24．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据折叠的定义可得DEF DEC △≌△，在根据HL 可证Rt ADG Rt FDG ≌，可得AG FG =，EF CE =，ADG FDG ∠=∠，CDE FDE ∠=∠，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定∠BGE 的周长为AB+BC 即可得到结论∠∠∠正确【详解】正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，∴DEF DEC △≌△∠EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∠DA=DF ，DG=DG ，∠Rt∠ADG∠Rt∠FDG ，∠AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴AG EC EF FG +=+AG EC GE ∴+=,故结论∠正确；∠∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°，故结论∠正确∠∠BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∠∠BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+BC ，正方形ABCD 的边长为12∴△的周长为24，故结论∠正确；BGE故选：D【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.4．(本题4分)（2020·长沙市中雅培粹学校八年级月考）如图，三个边长均为2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（）A．1B．2C D．4【答案】B【分析】∆≅∆，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同连接AN，DN，易证ANE DNF理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．【详解】解：连接AN，DN，如图所示：三个边长均为2的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，∠+∠=︒，DNF ENDANE END90∴∠+∠=︒，90ANE DNF ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，45EAN FDN ∴∠=∠=︒，AN DN =在ANE ∆和DNF ∆中EAN FDN AN DNANE DNF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ANE DNF ASA ∴∆≅∆，∴两个正方形阴影部分ENFD 的面积14ABCD S =正方形， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S 正方形ABCD ， 1122222S S ∴==⨯⨯=正方形阴影部分． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合，把阴影部分进行合理转移，得出∴两个正方形阴影部分ENFD 的面积是正方形面积的14是解决本题的难点． 5．(本题4分)（2021·西安市第二十三中学九年级一模）如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，1AC =，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，连接CD ，则CD 的长为（ ）A ．2BCD【答案】C【分析】 过点D 作DF ∠CB 交CB 的延长线于点F ，证明ACB DFB ≅得1DF BF CB AC ====，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：过点D 作DF ∠CB 交CB 的延长线于点F ，如图，∠Rt ABC 是等腰直角三角形∠1AC CB ==，90CAB ABC ∠+∠=︒∠四边形ABDE 是正方形∠90ABD AB BD ∠=︒=，∠90ABC DBF ∠+∠=︒∠CAB FBD ∠=∠在Rt ACB ∆和Rt DFB ∆中90CAB FBD ACB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠Rt ACB ∆∠Rt BFD ∆∠,BF AC FD CB ==∠1BF AC FD CB ====∠112CF CB BF =+=+=在Rt CFD ∆中，由勾股定理得：CD ===故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．6．(本题4分)（2021·上海九年级专题练习）下列命题中，错误的是 （ ） A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形； B ．对角线相等的菱形是正方形； C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．【答案】A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．7．(本题4分)（2021·新乡市·河南师大附中实验学校八年级月考）已知：如图，△ABC中，△C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，DO△AC，OF△AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（）A．1，1，1B．2，2，2C．1，2，1D．32，32，32【答案】B【分析】由角平分线的性质易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，所以6-x+8-x=10，解答即可．【详解】解：连接OB，∠点O为∠ABC的三条角平分线的交点，OD∠BC，OE∠AC，OF∠AB，点D、E、F分别是垂足，∠OE=OF=OD，又∠OB是公共边，∠Rt∠BOF∠Rt∠BOD（HL），∠BD=BF，同理，AE=AF，CE=CD，∠∠C=90°，OD∠BC，OE∠AC，OF∠AB，OD=OE，∠OECD是正方形，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，∠BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，解得x=2．则OE=OF=OD=2．故选：B．【点睛】此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键．8．(本题4分)（2019·山东济宁市·九年级期末）如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则△EBF＝（）A．40°B．45°C．50°D．不是定值【答案】B【解析】【分析】由折叠可得∠ABE=∠A'BE，由题意可证Rt∠BCF∠Rt∠BA'F，可得∠CBF=∠FBA'，即可求∠EBF的值．【详解】∠四边形ABCD是正方形∠AB=BC，∠ABC=90°∠折叠∠AB=A'B，∠ABE=∠A'BE∠A'B=BC，且BF=BF∠Rt∠BCF∠Rt∠BA'F（HL）∠∠A'BF=∠CBF∠∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF=90°∠∠EBF=45°故选B．【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．9．(本题4分)（2019·广东茂名市·九年级一模）如下图所示，在梯形ABCD中，已知==，ADO1,3AB cm CD cm∆的面积为2cm15cm，则梯形ABCD的面积是（）2A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】C【分析】 设∠ABO 的面积为S ，由梯形的性质可得ABO CDO △△，S ∠CDO =9S ，由AB∠CD 可得S ∠ABD ∠S ∠ACD = 1:3，S ∠ACD =3（15+S ），又S ∠ACD = S ∠ADO + S ∠CDO =15+9S ，得到方程，求得S 的值，即可求得梯形的面积．【详解】解：设∠ABO 的面积为S ，∠S ∠ABD = S ∠ABC ，∠S ∠AOD = S ∠BOC =15，∠AB∠CD ，∠ABO CDO △△，∠1,3AB cm CD cm ==，∠S ∠ABO ∠S ∠CDO =()213=19::，∠S ∠CDO =9S ，∠AB∠CD ，1,3AB cm CD cm ==，∠S ∠ABD ∠S ∠ACD = 1:3，∠S ∠ACD =3（15+S ），又∠S ∠ACD = S ∠ADO + S ∠CDO =15+9S ，∠3（15+S ）=15+9S ，解得：S=5cm 2，S 梯形ABCD = S ∠ADO + S ∠AOB + S ∠COD + S ∠BOC =15+S+9S+15=80（cm 2），故答案为：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质以及三角形的面积求解，根据题意找到三角形之间的关系是解题的关键．10．(本题4分)（2020·山西朔州市·八年级期中）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E是CD 的中点，连接AE 、BE ，EAD EAB ∠=∠，给出下列五个结论：△BE AE ⊥；△BE 平分ABC ∠；△AD BC AB +=；△AB BC ⊥；△12ABE S =△S 四边形ABCD ，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．5个D ．4个【答案】D【分析】 延长AE 交BC 延长线于M ，求出∠EAB ＝∠M ，推出AB ＝BM ，AD ＝CM ，AE ＝EM ，即可推出∠∠∠正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断∠；根据AE 和BE 平分∠DAB 、∠ABC 即可判断∠．【详解】解：延长AE 交BC 延长线于M ，∠AD∠BC，∠∠DAE＝∠M，∠∠EAD＝∠EAB，∠∠EAB＝∠M，∠AB＝BM，∠E为CD中点，∠DE＝EC，∠∠DEA＝∠CEM，∠∠DAE∠∠CME，∠AD＝CM，AE＝EM，∠AD＋BC=CM+BC=BM＝AB，∠AB＝BM，AE＝EM，∠BE∠AE；BE平分∠ABC；∠∠ABE＝∠CBE，取AB中点，连接EF，∠E,F分别是AB,DC的中点，∠EF 是梯形ABCD 是中位线 ∠EF=()12AD BC +， 设梯形的高为h ， ∠12ABE S =△×h×EF ，S 四边形ABCD =()12AD BC h +⨯ ∠12ABE S =△S 四边形ABCD 正确；即∠∠∠∠正确；根据已知不能得出AB∠BC ；故∠错误；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，梯形的性质，关键是推出∠ABM 是等腰三角形，题目是一道比较常见的题目，比较典型．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·陕西九年级二模）如图，F 是矩形ABCD 内一点，AF BF =，连接DF 并延长交BC 于点G ，且点C 与AB 的中点E 恰好关于直线DG 对称，若6AD =，则AB 的长为_________．【答案】【分析】连接EF 、EG 、EC ，由等腰三角形的性质得出EF ∠AB ，得出EF 是梯形ABGD 的中位线，得出1()2=+EF AD BG ，设BG =x ，则CG =6-x ，1(6)2=+EF x ，证出EF =CG ，得出1(9)92+=-x x ，解得x =3，则BG =3，EG =CG =6，由勾股定理求出BE ，即可得出答案． 【详解】解：连接EF 、EG 、EC ，如图所示：∠四边形ABCD 是矩形，∠BC =AD =6，AD ∠BC ，∠BAD =∠ABC =90°，∠AB ∠AD ，∠AF =BF ，点E 是AB 的中点，∠EF ∠AB ，∠EF ∠AD ∠BC ，∠EF 是梯形ABGD 的中位线，∠EFG =∠CGF ， ∠1.()2=+EF AD BG 设BG =x ，则CG =6-x ，1(6)2=+EF x ； ∠点C 与AB 的中点E 关于直线DG 对称，∠EG =CG ，∠CGF =∠EGF ，∠∠EFG =∠EGF ，∠EG =EF ，∠1(6)62+=-x x 解得：x =2，∠BG =2，EG =CG =4，∠===BE∠AB =2BE =；故答案为：、【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、梯形中位线定理、轴对称的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．12．(本题5分)（2020·广东惠州市·八年级期末）正方形ABCD 的顶点C 在直线l 上，过点B 和D 分别作BE ⊥直线l 于E ，作DF ⊥直线l 于F ，再分别以BE ，DF 为边构造正方形，这三个正方的面积如图所示分别为1S ，2S ，3S ，如果21S =，39S =，则1S =_______．【分析】由题意利用“ASA ”易证EBC DCF ≅，即EC =DF ．再根据21S =，39S =，即可求出BE 和EC 的长．最后利用勾股定理即可求出BC 长，即能求出1S ．【详解】根据题意可知90BCE FCD ∠+∠=︒，90BCE EBC ∠+∠=︒，90CDF FCD ∠+∠=︒． ∠EBC FCD ∠=∠，BCE CDF ∠=∠．在EBC 和DCF 中EBC FCD BC CD BCE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠()EBC DCF ASA ≅，∠EC =DF ．∠21S =，39S =，∠BE =1， DF =3．∠EC =3．在Rt EBC中BC ==∠22110S BC ===．故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角以及勾股定理．掌握正方形的性质是解答本题的关键．13．(本题5分)（2020·陕西九年级期中）如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是_____．【答案】AC BD =且AC BD ⊥【分析】根据条件先判定四边形EFGH 为平行四边形，再由EF EH =可判定其为菱形，最后由90FEH ∠=︒可得其为正方形．【详解】解：满足的条件应为：AC BD =且AC BD ⊥．理由：∠E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点∠在ADC 中，HG 为ADC 的中位线∠//HG AC 且12HG AC = 同理//EF AC 且12EF AC = 则//HG EF 且HG EF =∠四边形EFGH 为平行四边形又∠AC BD =∠EF EH =∠四边形EFGH 为菱形∠AC BD ⊥，//EF AC∠EF BD ⊥∠//EH BD∠EF EH ⊥∠90FEH ∠=︒∠菱形EFGH 是正方形．故答案是：AC BD =且AC BD ⊥【点睛】本题考查了中点四边形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行线的判定与性质等，解题的关键是能利用中位线的性质得到//HG EF 且HG EF =．14．(本题5分)（2021·福建龙岩市·九年级期末）如图，在四边形ABCD 中，DA ＝DC ，△ABC ＝△ADC ＝90°，S 四边形ABCD ＝12cm 2，则BE ＝_____cm ．【答案】【分析】过点D 作DF 垂直BC,垂足为F ，根据AAS 得到ADE CDF ∆≅∆，证得DE DF =，因此得到四边形DEBF 为正方形，根据正方形面积即可求得边长．【详解】过点D 作DF 垂直BC,垂足为F ，如下图所示∠CF DF ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠四边形DEBF 为矩形，∠∠EDF ＝90°，∠90CDF CDE ∠+∠=︒，90CDE ADE ∠+∠=︒∠CDF ADE ∠=∠在ADE ∆与CDF ∆中，CDF ADE CFD AED DA DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADE CDF ∆≅∆∠DE DF =，∠四边形DEBF 为正方形∠S 四边形ABCD ＝12cm 2，即S 正方形DEBF =12cm 2，=，故答案为【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，矩形、正方形的判定和性质，重点是根据题意作出辅助线．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在OA，OD上，△ABE＝△DCF．（1）求证：△ABE△△DCF．（2）若BC＝，AE＝3，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，利用ASA即可证明全等；（2）根据勾股定理及正方形的性质求出OA、OB的长，从而求出OE，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∠四边形ABCD是正方形，∠AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，又∠∠ABE＝∠DCF，∠∠ABE∠∠DCF；（2）∠四边形ABCD是正方形，∠AB=BC，OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°，∠BC=∠AB=8AC===，∠OA=OB=4，∠AE＝3，∠OE=OA－AE=4－3=1，△，BE=∠在Rt BOE【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，及全等三角形的判定定理是解题的关键．16．(本题8分)（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求△EAG的度数；（3）求BG的长．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）BG ＝2．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°，利用HL 定理得出∠ABG∠∠AFG 即可；（2）由（1）可得∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得∠EAF ＝12∠DAF ，继而可得∠EAG ＝12∠BAD ＝45°； （3）首先设BG ＝x ，则可得CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，然后利用勾股定理GE 2＝CG 2＋CE 2，得方程：（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解此方程即可求得答案．【详解】（1）证明；在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠D ＝∠B ＝∠BCD ＝90°， ∠将∠ADE 沿AE 对折至∠AFE ，∠AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°，∠AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°，又∠AG ＝AG ，在Rt∠ABG 和Rt∠AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩， ∠∠ABG∠∠AFG （HL ）；（2）∠∠ABG∠∠AFG，∠∠BAG＝∠FAG，∠∠FAG＝12∠BAF，由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，∠∠EAF＝12∠DAF，∠∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝12（∠DAF＋∠BAF）＝12∠DAB＝12×90°＝45°；（3）∠E是CD的中点，∠DE＝CE＝12CD＝12×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∠GE2＝CG2＋CE2∠（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，∠BG＝2．【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．17．(本题8分)（2020·丹东市第二十中学）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ．（1）判断EB 与GD 的关系，并说明理由；（2）若AB=2，，求EB 的长．【答案】（1）EB=GD ，EB∠GD ；（2【分析】（1）在∠GAD 和∠EAB 中，∠GAD=90°+∠EAD ，∠EAB=90°+∠EAD ，得到∠GAD=∠EAB ，从而∠GAD∠∠EAB ，即EB=GD ；由∠GAD∠∠EAB 得∠ADG=∠ABE ，则在∠BMH 中，∠DHM=90°所以EB∠GD ；（2）设BD 与AC 交于点O ，由AB=AD=2在Rt∠ABD 中求得DB ，所以得到结果．【详解】解：（1）EB=GD ，EB∠GD证明：在∠GAD 和∠EAB 中，∠GAD=90°+∠EAD ，∠EAB=90°+∠EAD ，∠∠GAD=∠EAB ，∠四边形EFGA 和四边形ABCD 是正方形，∠AG=AE ，AB=AD ，∠DAB=90°，在∠GAD 和∠EAB 中，AB AD EAB GAD AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAB∠∠GAD（SAS），∠EB=GD；AD，BE的交点记作点M，∠四边形ABCD是正方形，∠∠DAB=90°，∠∠AMB+∠ABM=90°，又∠∠AEB∠∠AGD，∠∠GDA=∠EBA，∠∠HMD=∠AMB（对顶角相等），∠∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，∠∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，∠EB∠GD．（2）解：连接BD，BD与AC交于点O，∠四边形ABCD是正方形，OA=OB=OD=OC，∠BD∠CG，∠AB=AD=2，在Rt∠ABD 中，，OD=12，即，．【点睛】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，利用三角形全等是解题的关键． 18．(本题8分)（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形ABCD 中，//DC AB ，AD BC =，BD 平分ABC ∠，30CDB ∠=︒．求：（1）求A ∠的度数；（2）当4=AD 时，求梯形ABCD 的面积．【答案】（1）60A ∠=︒；（2）梯形ABCD 的面积为【分析】（1）首先根据DC∠AB ，求出∠ABD 的度数是多少；然后根据角平分线的性质，求出∠A 的度数是多少即可．（2）首先判断出∠ABD 是直角三角形，进而利用三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）//DC AB ，30ABD CDB ∴∠=∠=︒， BD 平分ABC ∠，∠∠CBD=∠ABD=30°∠梯形ABCD 中，//DC AB ，AD BC =，∠∠A=∠ABC=2∠ABD=60°60A ∴∠=︒．（2）30ABD ∠=︒，60A ∠=︒，180306090ADB ∴∠=︒-︒-︒=︒，2248AB AD ∴==⨯=，BD ∴==，∴梯形的高·AD BD AB ===， BD 平分ABC ∠，30CDB ∠=︒．30CBD CDB ∴∠=︒=∠，4DC BC AD ∴===，()4822ABCD DC AB S ++∴=⨯=⨯=梯形 【点睛】此题考查梯形的问题，关键是根据DC∠AB ，求出∠ABD 的度数．19．(本题10分)（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形ABCD 中，DF 平分D ∠，若以点D 为圆心，DC 长为半径作弧，交边AD 于点E ，联结EF 、BE 、EC ．（1）求证：四边形EDCF 是菱形；（2）若点F 是BC 的中点，请判断线段BE 和EC 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）线段BE 和EC 的位置关系是垂直．证明见解析．【分析】（1）根据题意可得ED=DC ，根据SAS 证明∠EDF∠∠CDF ，可得EF=CF ，根据梯形的性质和平行线的性质，由等角对等边可得CF=CD ，再根据菱形的判定即可求解；（2）先根据平行四边形的判定可证四边形BEDF 是平行四边形，再根据菱形的性质即可求解．【详解】（1）∠DF 平分EDC ∠，∠EDF CDF ∠=∠．由题意，ED DC =．在∠EDF 与∠CDF 中，ED DC EDF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∠∠EDF ∠∠CDF ．∠EF CF =． ∠四边形ABCD 为梯形．∠AD∠BC．∠=∠．∠EDF DFC∠=∠．∠DFC CDF=．∠CF CD===．∠ED CD CF EF∠四边形ECDF是菱形．（2）线段BE和EC的位置关系是垂直．理由如下：∠点F是BC的中点，=．∠BF CF∠BF ED=．∠ED∠BF，∠四边形BEDF是平行四边形．∠BE∠DF．∠四边形EDCF是菱形，∠EC∠DF．∠BE∠EC．【点睛】考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质及菱形的判定和性质，熟悉相关定理进行正确推理是关键．20．(本题10分)（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，△ADC ＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B 运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝3时，PB＝cm．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）四边形PBQD能否成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）15；（2）t＝6或233；（3）能，t＝5.【分析】（1）先求出AP，即可求解；（2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；（3）由菱形的性质可求DP＝BP，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）当t＝3时，则AP＝3×1＝3cm，∠PB＝AB﹣AP＝18﹣3＝15cm，故答案为：15．（2）若四边形PBCQ是平行四边形，∠18﹣t ＝2t ，∠t ＝6，若四边形PQDA 是平行四边形，∠AP ＝DQ ，∠t ＝23﹣2t ，∠t ＝233， 综上所述：t ＝6或233； （3）如图，若四边形PBQD 是菱形，∠BP ＝DP ，∠222AP AD DP +=，∠22144(18)AP AP +=-，∠AP ＝5，∠t ＝51＝5， ∠当t ＝5时，四边形PBQD 为菱形．本题考查了平行四边形，菱形的判定，勾股定理，分类思想，熟练掌握菱形的判定定理，灵活运用分类思想是解题的关键.21．(本题12分)（2021·全国九年级专题练习）如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ． （1）求证：PBE QDE ≅△△；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由ASA 证PBE QDE ≅△△即可；（2）由全等三角形的性质得出EP EQ =，同理可得EM EN =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形PMQN 是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，EB ED ∴=，//AB CD ，EBP EDQ ∴∠=∠，在PBE △和QDE △中，EBP EDQ EB ED BEP DEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PBE QDE ASA ∴≅△△；（2）证明：如图所示：PBE QDE ≅△△，EP EQ ∴=，同理可得EM EN =，∴四边形PMQN 是平行四边形，PQ MN ⊥，∴四边形PMQN 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．(本题12分)（2020·辽宁浑南区·）如图，正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，连接PB ，边作PE PB ⊥交AD 边于于点E ，且点E 不与点A ，D 重合，作PM AD ⊥，PN AB⊥，垂足分别为点M和N．=；（1）求证：PM PNEM BN．（2）求证：=【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD为正方形可得出AC平分∠BAD，再利用角平分线的性质可证出PM=PN；（2）易证四边形PMAN为正方形，进而可得出∠MPN=90°，利用等角的余角相等可得出∠MPE=∠NPB，结合PM=PN，∠PME=∠PNB=90°，即可证出∠PME∠∠PNB（ASA），再利用全等三角形的性质即可证出EM=BN．【详解】证明：如图：（1）∠四边形ABCD为正方形，∠AC平分∠BAD，又∠PM∠AD，PN∠AB，∠PM=PN ．（2）∠PM∠AD ，PN∠AB ，∠MAN=90°，PM=PN ，∠四边形PMAN 为正方形，∠∠MPN=90°，即∠MPE+∠EPN=90°．∠PE∠PB ，∠∠EPN+∠NPB=90°，∠∠MPE=∠NPB ．∠PM∠AD ，PN∠AB ，∠∠PME=∠PNB=90°．在∠PME 和∠PNB 中，MPE NPB PM PN PME PNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠PME∠∠PNB （ASA ），∠EM=BN ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，解题的关键是：（1）牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”；（2）利用全等三角形的判定定理ASA 证出∠PME∠∠PNB ．23．(本题14分)（2020·陕西九年级期中）在Rt△AEB 中，△AEB ＝90°，以斜边AB 为边向Rt△AEB 外作正方形ABCD ，正方形ABCD 的对角线交于点O （如图1）．（1）如图1，OM△EM并交EB延长线于点M，ON△AE，且交EA于点N，求证：EO平分△AEB；（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；（3）如图2，过点C作CF△EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH△EA并交EA的延长线于点H，CF和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．【答案】（1）见解析；（2）OE＝OP，理由见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BOA=90°，OB=OA，根据矩形的性质、等角的余角相等得到∠BOM=∠AON，利用AAS定理证明∠BOM∠∠AON，根据全等三角形的性质得到OM=ON，根据角平分线的判定定理证明结论；（2）证明∠OBE∠∠OAP，根据全等三角形的性质证明结论；（3）根据矩形的判定定理得到四边形EFGH为矩形，证明∠ABE∠∠ADH，得到BE=AH，AE=DH，根据正方形的判定定理证明即可．【详解】解：（1）证明：∠四边形ABCD是正方形，∠∠BOA＝90°，OB＝OA，∠∠BON+∠AON＝90°，∠∠AEB＝90°，OM∠EM，ON∠AE，∠四边形MENO为矩形，∠∠MON＝90°，∠∠BON+∠BOM＝90°，∠∠BOM＝∠AON，在∠BOM 和∠AON 中，90OM ONA BOM AON OB OA ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BOM ∠∠AON （AAS ），∠OM ＝ON ，∠OM ∠EM ，ON ∠AE ，∠EO 平分∠AEB ；（2）解：OE ＝OP ，理由如下：由（1）可知，∠BOM ∠∠AON ，∠∠OBM ＝∠OAN ，∠∠OBE ＝∠OAP ，在∠OBE 和∠OAP 中，OB OA OBE OAP BE AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠OBE ∠∠OAP （SAS ），∠OE ＝OP ；（3）证明：∠CF ∠EB ，DH ∠EA ，∠∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°，∠四边形EFGH 为矩形，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠∠EAB +∠DAH ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∠ADH +∠DAH ＝90°，∠∠EAB ＝∠HDA ，∠ABE ＝∠DAH ．在∠ABE 与∠ADH 中，90EAB HDA AEB DHA AB DA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠ADH （AAS ），∠BE ＝AH ，AE ＝DH ，同理可得：∠ABE ∠∠BCF ，∠ADH ∠∠DCG ，∠DCG ∠∠CBF ，∠BE ＝CF ，AE ＝BF ，AH ＝DG ，DH ＝CG ，DG ＝CF ，CG ＝BF ，∠CG +FC ＝BF +BE ＝AE +AH ＝DH +DG ，∠FG ＝EF ＝EH ＝HG ，∠四边形EFGH 为正方形．【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．。
(word完整版)三年级奥数详解答案第二十四讲和差问题
第二十四讲和差问题和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
例：“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。
再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。
“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。
例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？分析这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或 150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。
解：①爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）②小强的年龄：58-43＝15（岁）答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
初中数学-梯形和正方形典型例题
（2）若 ADC 的周长为16cm，AE 3cm, AC EC 3cm ，求四边形 ADCE 的周长.
分析：（1）由角平分线和平行线可得到一些相等的角，如 OAD ODA . 从而有 OA OD ，再由 AC DE 推导出 OCE OEC ，则容易得出结论 AD // CE ，∵ AD CE ，∴能证出四边形 ADCE 是梯形，再由已知条件容易证出 ADE DAC ，因 此有 AE DC ，所以可证出四边形 ADCE 是等腰梯形.
形中，过 A 作 AE // CD 交 BC 于 E，得到一个 AECD 和 ABE . 那么由已知条件易知 ABE 是等边三角形，则由 BE BC AD ，就可以解决问题了.
解答：过点 A 作 AE // CD 交 BC 于 E，
∵四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴ B C 60 （等腰梯形同一底上的两个角相等） 又∵ AD // BC, AE // CD ，
例 01．如图，已知：四边形 ABCD 是等腰梯形，其中 AD BC ，若 AD 5 ，CD 2 ， AB 8 .
求：梯形 ABCD 的面积.
分析：由已知条件知，梯形 ABCD 是等腰梯形，由于等腰梯形是一个轴对称图形，由
图中的辅助线很容易想到 AE BF . 在此基础上应用勾股定理，就可以解决问题. 解答：过点 D、C 作 DE AB 于 E， CF AB 于 F. 则根据等腰梯形的轴对称性可知： AE BF .
（2）因为四边形 ADCE 是等腰梯形，由给出条件容易求出四边形 ADCE 的周长.
证明：（1）∵ AB // ED （已知）， ∴ BAD ADE （两直线平行，内错角相等） 又∵ BAD CAD （角平分线定义）， ∴ CAD ADE . ∴ OA OD （等角对等边） ∵ AC DE （已知）， ∴ AC OA DE OD 即 OE OC ∴ OEC OCE （等边对等角） 又∵ AOD COE （对顶角相等）， ∴ CAD OCE ∴ AD // CE （内错角相等，两直线平行） 而 AD CE ， ∴ 四边形 ADCE 是梯形. 又∵ CAD ADE, AD AD, AC DE ，
梯形常见计算题型解密
梯形常见计算题型解密梯形是一种特殊的四边形，而利用梯形的知识进行有关的计算则是梯形中遇到的常见题型.处理梯形的计算问题必须把几何知识与代数知识有机的结合在一起，充分发挥数形结合的作用，必要时要综合利用梯形和其它的知识构造出方程求解，那么涉及梯形常见的计算题型有哪些呢？下面简单地归类说明，供同学们学习梯形的知识参考.一、计算角度的大小问题例1 在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，BD ⊥AD .求∠DBC 和∠C 的大小.分析 依据题意可以画出如图1，由已知条件可知梯形ABCD 是等腰梯形，且底角为60°，对角线与腰垂直，于是再利用三角形内角和等于180°即可求解.解 如图1，梯形ABCD 中，因为DC ∥AB ，∠A ＝60°，所以∠ADC ＝120°， 又因为BD ⊥AD ，所以∠ADB ＝90°，即∠ABD ＝30°，而AD ＝BC ，所以∠ABC ＝60°，∠C ＝∠ADC ＝120°，所以∠DBC ＝30°. 答 ∠DBC 和∠C 的大小分别是30°和120°.二、计算线段的长度问题例2 如图2，已知梯形ABCD ，上底AD ＝12，下底BC ＝28，EF ∥AB 分别交AD 、BC 于点E 、F ，且将梯形分成面积相等的两部分.试求BF 的长.分析 已知梯形被EF 分成两部分，且一部分是平行四边形，而另一部分仍然是梯形，这两个部分的高是相等，此时可以设BF ＝x ，则FC ＝28－x ，则由面积相等构造出方程求解.解 设BF ＝x ，则FC ＝28－x .又设AD 与BC 间的距离为h ，即梯形和平行四边形ABFE 的BF 边上的高为h .在梯形ABCD 中，因为AD ∥BC ，EF ∥AB ，所以四边形ABFE 是平行四边形，所以AE ＝BF ＝x ，DE ＝12－x .因为平行四边形ABFE 的面积＝BE ×h ，梯形EFCD 的面积＝12(DE +FC )×h ， 图1A DCBD图2AFBCE D图3ABCE所以x ×h ＝12[(12－x )+(28－x )]×h ，解得x ＝10， 答 BF 的长为10.三、确定梯形某边的取值范围例3 已知梯形上底长为2，下底长为5，一腰长为4.求另一腰的取值范围.分析 可依据题意画出如图3，此时不妨设AD ＝2，BC ＝5，CD ＝4，若要求另一腰AB 的范围，只需将此转化到某一个三角形中来，于是可以利用梯形常用的辅助线，即平移一腰，则过点A 作AE ∠CD 交BC 于点E ，这样再利用三角形的三边关系定理即可求得.解 如图3，由已知条件设AD ＝2，BC ＝5，CD ＝4，过点A 作AE ∠CD 交BC 于点E ， 因为AD ∠BC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以EC ＝AD ＝2，AE ＝DC ＝4， 所以BE ＝3，在∠ABE 中，由三角形的三边关系定理，得AE －BE ＜AB ＜AE +BE ， 所以4－3＜AB ＜4+3，即1＜AB ＜7. 答 另一腰的取值范围是大于1而小于7. 四、求梯形的周长例4 如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝AB ＝2，且BD ＝CD ，求梯形ABCD 的周长.分析 要求梯形ABCD 的周长，已知，AD ＝AB ＝2，只要根据条件求出BC 和CD 的长即可.解 因为AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝AD ，所以∠A ＝∠ABC ＝90°，∠ABD ＝∠ADB ＝∠DBC ＝45°.又BD ＝CD ，所以∠BDC ＝90°.在RtΔABD 中，因为AD ＝AB ＝2，所以由勾股定理，得BD ＝2222+＝22，而BD ＝CD ，所以CD ＝22，Rt∠BDC 中，由勾股定理，得BC ＝22(22)(22)+＝4.即AB +BC +CD +AD ＝2+4+22+2＝8+22.答 梯形ABCD 的周长是8+22.图5BADC图4CBDA五、求图形的面积问题例5 如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝4，BD ＝5，求梯形的面积.分析 考虑对角线互相垂直，可以利用梯形的一种常见辅助线，即添加梯形对角线的平行线构造□BDCE 和Rt∠ACE .解 过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E .因为AB ∥CD ，所以四边形BDCE 为平行四边形.因此CE ＝BD ＝5，BE ＝DC . 又因为C 到BE 的距离等于A 到CD 的距离，所以△ACD 的面积＝△BEC 面积. 从而梯形ABCD 的面积＝△AEC 的面积.因为AC ⊥BD ，CE ∥BD ，所以AC ⊥CE ，即△AEC 的面积＝12×AC ×CE ＝12×4×5＝10. 答 梯形ABCD 的面积是10. 六、探索实际问题例6 用20米的篱笆可以围成一个面积为25平方米的正方形园地，如果用20米长的篱笆围成一个三边相等且对角线和腰互相垂直的等腰梯形，试问：这个等腰梯形的面积比正方形的面积小多少平方米？分析 只要求出等腰梯形的面积即可解答问题.解 如图6，因为AD ∥BC ，且AB ＝AD ，所以∠ABD ＝∠ADB ＝∠CBD . 而∠ABC ＝∠C ，所以∠CBD ＝12∠ABC ＝12∠C . 而∠BDC ＝90°，即∠CBD ＝30°. 所以∠C ＝60°，所以BC ＝2CD .又BC +CD +DA +AB ＝20(米)，所以5CD ＝20(米)，则CD ＝DA ＝AB ＝4(米)，BC ＝8（米）.所以梯形ABCD 的高为(米).所以梯形ABCD 的面积＝12(4+8)×＝平方米).所以梯形ABCD 的面积比正方形面积小(25－)平方米. 七、费用与图案设计例7 某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m 、20m 的梯形空地上种植花木（如图7）.（1）他们在△AMD 和∠BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图7中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图8），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P ，使得△APB ≌△DPC 且S △APD ＝S △BPC ，并说出你的理由.分析（1）要计算种满△BMC 地带所需的费用，只要求出△BMC 的面积与△AMD 的面积的比，此时可以作∠BCM 的中位线EF ，则知∠FME ∠∠AMD ，即可知道△AMD 的面积与△BMC 的面积的比是1∠4，从而求出费用；（2）由（1）可知∠AMD 的面积与∠AMB 的面积比是1∠2，而∠AMB 的面积等于∠CMD 的面积，再由余下的资金即可确定应选择种哪种花木；（3）要要梯形内找到一点P ，且符合题意，由于等腰梯形是轴对称图形，所以点P 首先应在其对称轴上，而BC 是AD 的2倍，此时的点P 又必须满足到AD 的距离与到BC 的距离之比是2∠1即可.解（1）如图6，作∠BCM 的中位线EF ，则EF ∠BC ，即EF ∠AD ，且EF ＝12BC ＝10m ＝AD ，∠.所以∠FME 的面积等于14∠BMC 的面积，并有∠FME ∠∠AMD ， 所以∠FME 的面积等于∠AMD 的面积，∠BMC 的面积等于∠AMD 的面积的4倍. 而∠AMD 的面积是160元÷8元/m 2＝20m 2，所以∠BMC 的面积等于80m 2，所以种满△BMC 地带所需的费用80m 2×8元/m 2＝640元.（2）由（1）可知BM ＝2DM ，即∠AMB 的面积是∠AMD 的面积的2倍，所以∠AMB 的面积是40m 2，又∠AMB 的面积等于∠CMD 的面积，所以∠AMB 的面积+∠CMD 的面积＝80m 2， 而余下的资金是1600元－160元－640元＝800元，此时有800元÷80m 2＝10元/m 2， 故应单价为10元/m 2的花木，刚好用完所筹集的资金.（3）因为等腰梯形是轴对称图形，所以要使得△APB ≌△DPC ，点P 应在其对称轴上， 又S △APD ＝S △BPC ，而BC 是AD 的2倍，所以此时的点P 又必须满足到AD 的距离与到DBM图6 AC10m20mFEDB图7 AC10m20m PBC的距离之比是2∠1即可，如图7中的虚线，其中P点即为所求.。
数形结合解和差问题
数形结合解和差问题
数形结合解和差问题是一种常见的数学解题方法，通过将数学问题与几何图形相结合，可以更直观地理解和解决问题。
这种方法常用于解决关于几何图形的周长、面积、体积等问题。
对于解和差问题，我们需要先理解什么是和、差以及和差问题的应用。
和指的是将两个或多个数值相加，差指的是将两个数值相减。
而和差问题则是在给定数值之间进行加减运算，并得到具体结果。
举个例子来说明数形结合解和差问题的应用。
假设有一个长方形，它的长度是5cm，宽度是3cm。
那么我们可以根据这个长方形的几何图形得到周长和面积。
我们可以利用长方形的定义知道周长等于长加宽的两倍，即周长为2(5+3)=16cm。
这里我们就是先进行了数学的和操作，然后再结合几何图形得到了周长的具体数值。
我们可以利用长方形的定义知道面积等于长乘以宽，即面积为
5×3=15cm²。
同样，我们先进行了数学的乘法运算，然后再结合几何图形得到了面积的具体数值。
这个例子展示了数形结合解和差问题的应用。
通过将几何图形的特征结合数学运算，我们可以更直观地理解周长和面积的概念，并解决相关的数学问题。
数形结合解和差问题是一种有效的数学解题方法。
通过将几何图形与数学运算相结合，可以更直观地理解和解决各种数学问题。
这种方法不仅能增加问题的可视化程度，也可以提高解题效率。
和差问题(经典)
【知识梳理】知识点1、和差问题公式已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。
解答和差应用题的基本数量关系是：①（和－差）÷2=小数②小数＋差=大数和－小数=大数或：①（和＋差）÷2=大数②大数－差=小数和－大数=小数解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。
知识点2、题目类型1、题目中已经给出和与差的具体数据的。
2、和已知，差未知，就是暗差，需要求出差。
3、和已知，差未知，暗差，但是稍微复杂。
4、和未知，差已知。
需要求出和。
5、和已知，涉及三个量的。
【例题精讲】例1、三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级同学各植树多少棵？三年级：（128-20）÷2=54（棵）四年级：（128+20）÷2=74（棵）128-54=74（棵）54+20=74（棵）答：三年级同学植树54棵，四年级同学植树74棵。
【举一反三】练习1、两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。
两堆石子各有多少吨？练习2、有两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？【例题精讲】例2、两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。
两筐原来各有多少个梨？第一筐比第二筐多：10×2=20（个）第一筐：（120+20）÷2=70（个）第二筐：（120-20）÷2=50（个）70-20=50（个）120-70=50（个）答：第一筐有70个梨，第二筐有50个梨。
【举一反三】练习1、博爱小学四（1）班和四（2）班共有学生108人，从四（1）班转3人到四（2）班，则两班人数同样多。
两个班原来各有学生多少人？练习2、某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。
和差问题知识点
和差问题知识点在数学学科中，和差问题是一种常见的运算类型，涉及到两个数之间的和或差。
在解题过程中，我们需要掌握相关的知识和技巧，以便准确地计算和解决问题。
本文将介绍和差问题的知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、和差问题的基本概念和差问题是指在计算或推导中涉及到两个数之间的和或差。
常见的和差运算包括加法、减法、相加、相减等。
在和差问题中，我们一般用字母表示未知数或已知数，并通过等式或方程进行运算。
通过观察和差的性质，我们可以得出一些基本的规律和技巧，帮助我们更好地解决问题。
二、和差问题的解题方法1.加法与减法运算在和差问题中，我们常常需要进行加法和减法运算。
对于加法运算，我们可以直接将两个数相加，得出它们的和。
例如：a +b = c对于减法运算，我们可以将两个数相减，得出它们的差。
例如：a -b = c在解决实际问题时，我们需要根据具体情况选择使用加法还是减法运算，并注意运算顺序和运算符的使用。
2.代数式的转化与简化在和差问题中，我们经常需要根据题目条件将问题转化为代数式，并进行运算。
这就需要我们熟练掌握代数式的转化和简化方法。
例如，如果题目给出的条件是两个数的和为10，我们可以将这个条件表示为：a +b = 10类似地，如果题目给出的条件是两个数的差为5，我们可以将这个条件表示为：a -b = 5通过将问题转化为代数式，我们可以更方便地进行运算和解题。
3.方程的求解在和差问题中，我们常常需要求解方程或等式，以求得未知数的具体值。
为了解题方便，我们可以利用代数方法或图形化方法来求解方程。
代数方法主要是通过变量运算、移项和合并同类项等步骤来解方程。
在求解方程的过程中，我们要注意运用逆运算、利用等式性质等技巧，以达到求解方程的目的。
图形化方法主要是通过绘制图形，找出方程与图形的交点，从而得到方程的解。
图形化方法常用于几何问题或方程的图像解法，可以更直观地理解和解决问题。
三、应用示例下面通过一些具体的示例来说明和差问题的应用。
奥数微课堂和差问题（一）：巧用图形分析
奥数微课堂和差问题（一）：巧用图形分析奥数微课堂专题系列课程六：和差问题怎么解？
★
小学奥数专题微视频系列课程
小学数学中，常常会出现一些典型的应用题，比如：爬楼问题、植树问题、鸡兔同笼问题，年龄差问题等。
其实，这些就是我们所说的奥数题。
虽然在小学阶段并不要求去学奥数，但是一些基本的奥数解题思维，我们还是需要掌握的。
我们每周一至周五会为大家讲解一个奥数类型题。
奥数微视频，希望给你带来不一样的收获。
如果大家有什么不懂之处或问题，可以在看完视频后，在文末留言。
我们集中为大家一一解答。
★。
梯形常用解题方法及例题和变式习题训练【范本模板】
梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1]如图1，梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
图1析解:过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。
在△BCM 中，BM=AD=4,CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是： 5－4〈BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF,求EF 的长。
图2析解:过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得 ∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点 所以)CH BG BC (21GH 21EF --==1)13(21)AD BC (21)]DE AE (BC [21)DE AE BC (21=-=-=+-=--=3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3]如图3,在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25,求证:AC ⊥BD.图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10.在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+,从而AC ⊥CE ，于是AC ⊥BD.【变式1】（平移对角线)已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________[例4]如图4,在梯形ABCD 中，AD//BC,AC=15cm,BD=20cm ，高DH=12cm,求梯形ABCD 的面积。
和差问题
和差问题已知两数的和与差，求这两个数。
【口诀】：和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和减去差，越减越小；除以2，便是小的。
例：已知两数和是10，差是2，求这两个数。
按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。
鸡兔同笼问题【口诀】：假设全是鸡，假设全是兔。
多了几只脚，少了几只足？除以脚的差，便是鸡兔数。
例：鸡免同笼，有头36 ，有脚120，求鸡兔数。
求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24求鸡时，假设全是兔，则鸡数=（4X36-120）/（4-2）=12浓度问题（1）加水稀释【口诀】：加水先求糖，糖完求糖水。
糖水减糖水，便是加糖量。
例：有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%？加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）。
糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）。
糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）。
（2）加糖浓化【口诀】：加糖先求水，水完求糖水。
糖水减糖水，求出便解题。
例：有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？。
加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）。
水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）。
糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克) 。
（1）相遇问题【口诀】：相遇那一刻，路程全走过。
除以速度和，就把时间得。
例：甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？相遇那一刻，路程全走过。
即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。
除以速度和，就把时间得。
即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）（2）追及问题【口诀】：慢鸟要先飞，快的随后追。
和差问题
和差问题意义:已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题简称和差问题。
解题规律为：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差就是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。
因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。
和差公式: 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2例1、两数之和是28、之差是6，这两数各是多少？解：大数：（28+6）÷2=17小数：（28-6）÷2=11 答：这两数各是17和11.例2、一批锡铝合金共重500㎏，其中铝比锡重100㎏，问两种金属各多少？解：锡：（500-100）÷2=200kg铝：500-200=300Kg 答：其中锡重200kg、铅重300kg.（提示：解和差问题时，通常先用公式求一个数，再用减法求另一个数）练习1、○＋△＝84，○－△＝48，○＝？△＝？练习2 、某日，白天比黑夜长6小时，问这一天白天、黑夜各有几小时？请你分析一下，这三个题目中数量关系的共同特征是什么？(已知两个数的和与差，求这两个数.)类似上述三道题的数学问题，称“和差问题”.和差问题的基本数量关系式如下：(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数你能独立解答问题11.1、11.2、11.3吗？分析与解答和差问题的思路很多，现列举且分述如下：题眼法.题眼，就是析题解题的关键处或突破口.分析题意时，抓题眼“两数和”及“两数差”.如果“和”或“差”未直接告诉，则应先予以确定并分清哪个是大数，哪个是小数，然后利用数量关系式便可求解.问题11.4 分数单位相同的甲、乙两数，相加结果为1，甲数比乙数分析该题求甲、乙两分数各是多少.据条件知，所求两分数之和为1、之差为1/3，乙数是小数，甲数是大数.运用数量关系式求解.将等高不等底的两直角梯形纸板，粘接成(无重叠部分)一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米，大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米？分析与提示该题求大、小梯形两纸板面积分别是多少.如果知其面积“差”与面积“和”，便可运用和差问题的数量关系式直接求解.据条件，面积和间接知道(即求长方形面积)，而面积差不易求，此思路暂时不通.据条件又知大、小两梯形上下底和的差，大、小两梯形上下底和的“和”，即为长方形的2个长，从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形的宽，由此，根据梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2的公式，可分别求出大、小两梯形纸板的面积.至此，你能列式求解吗？小李和小王共储蓄2000元，如果小李借给小王200元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元？请思考：两人储蓄钱的和是2000元，储蓄钱的差是200元吗？请自己列式解答问题11.1、11.2、11.3、11.5、11.6各题.有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？分析该题求两种面值的人民币各有多少张.已知总张数17张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？我们可用“假设法”思考.假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17＝85(元)，比实际的49元多出85－49＝36(元).多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为：根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数.17－9＝8(张)验算：1×9＋5×8＝49(元).答：1元人民币9张，5元人民币8张.也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法.解法2(49－1×17)÷(5－1)你能说出解法1与解法2的综合算式每一步的意义是什么吗？自己求出解法2的结果，且与解法1相对照，答案一样吗？请你观察、比较、分析且归纳问题11.6与问题11.7的数量关系及其解答方法有什么异同？问题11.6与问题11.7都属和差问题.但问题11.6中已知或未知的数量是同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问题11.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数)，且所求两数的差难以确定，解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意)，将和差问题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.100名师生参加植树，老师每人栽3棵，学生每2人栽1棵，总共植树100棵.问老师和学生各有多少人？请你按问题11.7的解析法，解答本题.提示：可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植1÷2＝0.5棵)，或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.对较复杂的和差问题还可以用图解法，即把数学题的条件和问题用示意图表示出来，使其数量关系具体化、形象化，以帮助我们理解题意，找到合理的解题途径. 两缸金鱼共46尾，若甲缸再放入5尾，乙缸取出2尾，这时乙缸仍比甲缸多3尾，甲、乙两缸原有金鱼多少尾？分析这题的数量关系比较复杂，可先画线段图(图11－1)，使其数量关系明朗化.从图11－1可以看出，甲、乙两缸原有金鱼尾数相差5＋3＋2＝10(尾).用数量关系式表达为：现在知甲、乙两缸原有金鱼尾数之差，原题又告诉原两缸金鱼尾数之和，此时有如下求解方法：46—28＝18(尾).答：甲缸原有金鱼18尾，乙缸原有28尾.从图11－1也可以看出，甲缸放入5尾，乙缸取出2尾后，原两缸金鱼总尾数同时发生了变化，即为46＋5—2＝49(尾).原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后，乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后，两缸金鱼尾数之和及相差数.此时又有另一种求解方法：解法2(1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数：［(46＋5－2)－3］÷2＝23(尾).(2)甲缸原有金鱼的尾数：23－5＝18(尾).(3)乙缸原有金鱼的尾数：23＋3＋2＝28(尾).答：略.请你再观察图11－1，自己寻找新的解法.用144分米长的铁丝围成一个长方体框架(如图：11－2).一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，经顶点B、C，到达D.已知蚂蚁每分钟爬行6分米，经BC比AB多用1分钟，经CD比BC少用2分钟.这个长方体框架的长、宽、高各是多少分米？分析已知蚂蚁每分钟爬行6分米.经BC比AB多用1分钟，可知BC比AB长6分米(6×1＝6)；经CD比BC少用2分钟，可知CD比BC短12分米(6×2＝12). 又知长方体框架棱长和为144分米，AB、BC、CD分别为长方体的长、宽、高.可知AB、BC、CD长度和为144÷4＝36(分米).现以线段图表示AB、BC、CD长度间数量的关系.如图11－3.由图11－3知AB、CD的长度均与BC有直接联系.如以BC的长为标准，则：3条线段总长＋6＋12(分米)相当于BC的3倍.由此可求BC的长，AB、CD的长也将迎刃而解了.至此，你能列式求解了吗？同学们，解析和差问题的思路还很多.解题时，应根据题意灵活选用较简捷的解析方法.练习111.长方形操场的长与宽相差40米，某同学沿操场边跑了3圈，共1200米.这个操场的长和宽各是多少米？2.某粮食仓库存大米和面粉共2000袋，现从仓库往粮店运粮，每天运时大米比面粉多30袋，10天以后，仓库所剩的大米和面粉的袋数相等.仓库原有大米和面粉各多少袋？3.玲玲在邮电局买面值为40分和80分的纪念邮票共9张，付钱6元，她买的两种面值的邮票各是多少张？4.实验小学五年级4个班共200名学生，一班比二班多2人，二班比三班少4人，四班与一班人数同样多，四个班各有多少名学生？5.两车站相距110千米，甲、乙两轿车分别从两站同时相向而行，经1小时可以相遇；如果同向而行，甲车经11小时可以追上乙车.两车每小时各行多少千米？。
第三讲正方形与梯形
正方形与梯形【正方形知识要点】定 义 矩 形正方形有一个内角是直角的平行四边形 一组邻边相等的矩形 性质边 对边平行，对边相等 对边平行，四边相等 角四个角都是直角四个角都是直角对角线 ①互相平分 ②相等①互相平分 ②相等 ③互相垂直， 判 定①有一个角是直角的平行四边形 ②对角线相等的平行四边形 ③有三个角是直角的四边形①有一个是直角的菱形 ②一组邻边相等的矩形【典型例题】例1、在矩形ABCD 中，AE 、BE 、CG 、DG 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 分为它们的交点。
求证：四边形EFGH 是正方形。
例2、如图，已知四边形ABCD 和AEFG 都是正方形，求证：DG=BE 。
例4、已知：如图，E 点在矩形ABCD 上，若BC=BE=2CD 。
求∠ECD 的度数。
A BCDEFGABCDE例5、如图，已知锐角△ABC 中，以AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结CE 、BG ，交点为O ，求证（1）EC=BG ；（2）EC ⊥BG 。
思考题：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在AD 、DC 上，则45=∠EBF ，EF BM ⊥于M ．求证：（1）EF CF AE =+（2）BM BA =；例6、如图所示，正方形ABCD 中，F 是BC 中点，∠BAF=∠FAE 。
求证：AE=BC+CE 。
ED BC FGA OA BCDE FMABCDEF【梯形知识要点】1．梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
2．强调：“另一组对边不平行”，其中，平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫梯形的腰，两底之间的距离叫梯形的高。
2．梯形的判定（1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（定义）。
（2）一组对边平行但不相等的四边形是梯形。
3．等腰梯形的性质：（1）边：两底平行，两腰相等。
（2）角：同一底上的两个角相等。
（3）对角线：对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线是对称轴。
平面直角坐标系、正方形网格、矩形、直角三角形为背景的问题求角的和差倍分通用模型
平面直角坐标系、正方形网格、矩形、直角三角形为背景的问题求角的和差倍分通用模型谈志国积余鼎尖数学教学平面直角坐标系、正方形网格、矩形、直角三角形为背景的问题中，水平竖直长度是其核心要素，因而用“改斜归正”策略可以直达本质，简化问题，使问题得以高效解决。
有一类求格点角（格点线段相交成的角）三角函数的中考题，实质是求已知角的和差倍分，我们来归纳它的一般方法和通用模型。
例1.A、B、C在下图正方形网格中的格点上，则tan∠ABC= .可以构造如下图形解决：上图中设AE=BC=10是为了简化运算，若设正方形边长为1，则AE、BC作为斜边要用无理数表示稍显麻烦。
实质上，本题可以看成：已知tan∠ABM=2/5，tan∠CBN=1/2，∠ABC=∠ABM+∠CBN，求tan∠ABC。
抛开网格，我们可构造如下简洁易算的“K形相似”模型，tan∠ABE=12，tan∠CBE=25，求tan∠ABC。
图中AD=2，DE=5，由AD:CE=DE:BC=AE:BE=1:2，得CE=4，BC=10，易求tan∠ABC=AFBF=98.这一模型可运用于求任意已知角的和差倍分，求角的和差倍分方法很多，本模型相对最为结构明确简洁易算，因为遵循了“改斜归正”的构图原则，计算过程中不需要斜边参加，降低了计算量。
1.二倍角已知tan∠ABE=13，∠ABC=2∠ABE，求tan∠ABC的值。
构造模型如上图，AD=1，DE=3，由AD:CE=DE:BC=AE:BE=1:3，得CE=3，BC=9，得tan∠ABC=AFBF=6384.2.平分角已知tan∠ABC=43，∠CBE=12∠ABC，求tan∠CBE的值.构造模型如上图，AF=4，DE=3，设AD=CF=x，tan∠ABE=AE:BE=DE:BC=tan∠CBE=CE:BC，所以DE=CE=2，x:2=2:(x+3)，x=1，得tan∠CBE=CEBC=24=12。
3.两角和已知tan∠ABE=23，tan∠CBE=14，∠ABC=∠ABE+∠CBE，求tan∠ABC的值.构造模型如上图，AD=1，DE=4，由AD:CE=DE:BC=AE:BE=2:3，得CE=32，BC=6，得tan∠ABC=AFBF=1110.4.两角差已知tan∠ABC=32，tan∠CBE=13，∠ABE=∠ABC－∠CBE，求tan∠ABE的值.构造模型如上图，BC=3，CE=1，设AD=a，DE=3a，tan∠ABC=AF:BF=(3a+1):(3-a)=3:2，得a=79，所以tan∠ABE=AEBE=ADBE=a=79。
梯形与正方形
春季专题十：梯形与正方形 （一）有关梯形的计算一：平移腰：将梯形问题转化问三角形和平行四边形 例一：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，试猜想CD 、BC 、AD 的关系，并给予说理二：作梯形的高：将梯形问题转化为矩形与直角三角形 例二：如图是燕尾槽的横断面，ABCD 呈等腰梯形状，已知燕尾槽外口宽AB=60mm ，里口宽CD 是100mm ，深度是20mm ，求燕尾角的度数三：延长腰：将梯形问题转化为两三角形例三：如图：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，AD=15，AB=45，求BC 的长四：平移对角线：将梯形问题转化为三角形和平行四边形例四：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，求梯形的高DE五：作梯形的中位线：将未知的梯形问题转化为已知的梯形问题 例五：已知梯形ABCD 中，ADBC ，E ，G ，F ，H 分别是AB ，CD 上的三等分点，AD+BC=10，求EF+HG 的值六：利用梯形腰的中点，构造旋转图形：将梯形问题转化为全等三角形例六：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 为CD 中点，试猜想∠BAE 与∠DAE 的大小关系，并给予数学说理七：利用对角线的中点，构造旋转图形：将梯形问题转化为全等三角形例七：在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB=4，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，EF=3，梯形的面积为28，求AD ，BC 的长八：平移一腰或一底，构造直角三角形，解决梯形面积问题 例八：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2cm ，CD=7cm ，BC=4cm ，AD=3cm ，求梯形ABCD 的面积。
F（二）正 方 形中的转化思想矩形，菱形，正方形都是平行四边形，他们是特殊的平行四边形，正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中我们经常能得到特殊三角形，全等三角形，1、以△ABC 的两边AB ，AC 为边向三角形外作正方形ABDE ，ACFG ，CE 分别交BG ，AB 于P ，Q ，求证：CE ⊥GB2、已知ABC 中，BAC 是直角，四边形ABDE 与BCFG 是两个正方形，AB 的延长线交DG 于P ，求证：DP=GP AC=2BP4、如图：已知E ，F 是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AE ，AF 分别与对角线BD 相交于，M ，N ，若∠EAF=50°，求∠CME+∠CNF 的值F5、如图在正方形ABCD中，E是AD上的中点，BD与CE交于F点，求证：AF⊥BE6、如图ABCD是正方形，BF∥AC，AEFC是菱形，求∠F的度数7、P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0（1）求∠APB的度数（2）求正方形的边长8、正方形ABCD的两条对角线相交于E，∠CAD的平分线AF 交DE于G，交DC于F，若GE=24，求FC的大小9、如图正方形ABCD中，AE，AF分别交BC，CD，于E，F，且∠EAF=45°，求证（1）EF=BE+DF （2）若正方形边长为1，求BE ·DF+BE+DF的值C C B F。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以正方形梯形为框架的和差问题例析
山东 徐传军
例1 如图1，在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的一点，AF 平分∠BAE ，交BC 于F ，试说明AE=BF+DE.
解:延长ED 到H ，使DH=BF ，连结AH ，因四边形ABCD 为正方形， ∴∠B=∠ADH=90º，AB=AD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △ADH ， ∴∠H=∠AFB ， ∠BAF=∠DAH.又∵∠BAF=∠FAE ， ∴∠FAE=∠DAH. ∴∠HAE=∠AFB=∠H ，∴AE=EH. ∴EH=HD+DE=BF+DE ， 即AE=BF+DE.
例2 如图2，在正方形ABCD 中， ∠EAF=45º， 试说明FE=BE+DF.
解:延长CB 到点G ，使BG=DF ，连结AG ， ∵AB=AD ，
∠D=∠ABG ， ∴Rt △ABG ≌Rt △ADF ， ∴AG=AF. ∠FAD=∠GAB.
因∠EAF=45º，∠FAD+∠BAE=45º， ∴∠GAE=45º.AE=AE ， ∴△AGE ≌△AFE. ∴EF=GE=GB+BE=BE+DF.
评析:解决正方形问题要充分利用正方形的四条边相等，四个角是直角这一性质.. 例3 如图3，在梯形ABCD 中， ∠B=80º， ∠C=50º， 试说明AB=BC-AD.
解:作AE ∥DC 交BC 于点E ， ∵AD ∥BC ，AE ∥DC ， ∴四边形AECD 是平行四边形. ∴AD=EC ， ∠C=∠AEB=50º. ∠BAE=180º-50º-80º=50º. ∴∠BAE= ∠AEB. ∴AB=BE. ∵BE=BC-EC ， ∴AB=BC-AD.
评析:梯形的问题通常添加辅助线，把梯形的问题转化为三角形、矩形、平行四边形等问题来解决.
解题反思：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条(或几条线段)转化到同一直线上．上述前两种方法实际上是通过旋转构造全等三角形，目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．这两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段常见的方法．
F C 图1 A D B E H E F
G D C B A 图2 图3 E B C D A。