控制系统的动态和静态性能指标

单位斜坡函数：r(t)
t,
R(s)
1 s2
,
1
e ss
lim
s0
ksG(s)
单位加速度函数：r(t)
1 2
t2,
R(s)
1 s3
,
1
e ss
lim
s0
k s2G ( s)
开环系统的误差为
E(s) R(s) Y (s) (1 G(s))R(s)
对单位阶跃输入，开环系统的稳态误差为
1
ess
lim
s0
PID控制器各项的作用
增大比例增益KP一般将加快系统的响应，并有利于减小 稳态误差，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调， 并产生振荡，使稳定性变坏。
增大积分增益KI有利于减小超调，减小稳态误差，但是系 统稳态误差消除时间变长。
增大微分增益KD有利于加快系统的响应速度，使系统超 调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。
PID控制器设计的一般原则
观察系统开环响应，确定待改进之处； 加入比例环节缩短系统响应时间； 加入积分控制减小系统的稳态误差； 加入微分环节改善系统的超调量； 调节 KP，KI，KD ，使系统的响应达到最优。
设计实例：移动机器人驾驶控制
严重残障人士的行动可以借助于移动机器人。这种机
器人的驾驶控制系统可用以下框图表示，驾驶控制器G1(s)
ess
lim e(t)
t
为计算稳态误差，应用Laplace终值定理，即
lim e(t) lim sE(s) lim s R(s)
t
s0
s0 1 kG(s)
当输入信号为以下三种典型信号之一时，稳态误差为
单位阶跃函数：r(t) 1, R(s) 1 , s
e ss
lim
s0
1
1 k G( s)
为：
G1(s)
K1
K2 s
当输入为阶跃信号，K2=0时，系统的稳态误差为： （你能算一下吗？）
ess
1
A KK1
K2 0时，稳态误差为零。当输入为斜坡信号时， 稳态误差 为：
A ess KK 2
用lsim函数对闭环系统在斜坡信号输入下的响应进行仿真。
反馈的优点
减小系统的稳态误差； 减小对象G(s)的参数变化对输出的影响； 使系统的瞬态响应易于调节； 抑制干扰和噪声。
二阶系统的动态性能指标
峰值时间tp 超调量 调节时间ts
tp
Fra Baidu bibliotek
n (1
2)
e( / 1 2 )
ts
3
n
ts
4
n
(5%准则) (2%准则)
设计实例：英吉利海峡海底隧道钻机
为使对接达到所需精度，施工时使用激光引导系统保持 钻机的直线方向。钻机的控制模型为
其中Y(s)是钻机向前的实际角度，R(s)是预期的角度，负载 对钻机的干扰用D(s)表示。设计的目标是选择增益K，使得 对输入角度的响应满足工程要求，并且使干扰引起的误差最 小。
Y (s) Y (s) G(s) G(s) R(s) 1 (G(s) G(s))K (s)
输出的变化为
Y (s)
G(s)
R(s)
(1 GK (s) GK (s))(1 GK (s))
通常GK (s) GK (s)，于是有
Y (s)
G(s) (1 GK (s))2
R(s)
又由于(1+GK(s))在所关心的复频率范围内常称是远大于1的， 因而闭环系统输出的变化减小了。
当设置增益K=100，并令d(t)=0时，可得系统对单位阶跃输 入的响应y(t)如图(a)所示，可见系统响应的超调量较大。 当令r(t)=0时，可得系统对单位阶跃干扰的响应y(t)如图(b) 所示，可见干扰的影响很小。
当设置增益K=20时，可得系统对单位阶跃输入和单位阶跃 干扰的响应y(t)如下图所示，由于此时系统响应的超调量较 小，且在2s之内即达到稳态，所以我们选择K=20。
s(1
G(s))
s
1 G(0)
对k=1的闭环系统，其稳态误差为
e ss
lim
s0
1
1 G(s)
1 1 G(0)
G(0)常称为系统的直流增益，一般远大于1。
反馈能减小稳态误差！
考虑对象G(s)的参数变化对输出的影响，设此时对象为G(s) + G(s)，在开环条件下输出的变化为
Y (s) G(s)R(s) 而对闭环系统则有
由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处理。
二阶系统的动态性能指标
对二阶系统 可写为
G(s)
s2
K ps
K
G(s)
s2
n2 2 n s
n2
其中 称作系统的阻尼系数，n称作固有频率,T
称作时间常数。系统的阶跃响应为
1
n
y(t)
1
1
ent
s in( n t
)
其中 1 2 , cos1 ,0 1。
控制系统的静态和动态性能指标
稳态误差
一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程进
入静态后，静态下输出量的要求值和实际值之间的误差。
记为 ess
ess
lim
t
yreq(t)
y(t),
yreq (t )为 输 出 要 求 值
r(t) e(t)
y(t)
G(s)
-
k
r(t) kyreq (t), e(t) r(t) ky(t) k( yreq (t) y(t))
反馈的代价
增加了元器件的数量和系统的复杂性； 增益的损失； 有可能带来不稳定性。
▪ 振荡次数：响应曲线在ts之前在静 态值上下振荡的次数；
▪ 延迟时间：响应曲线首次达到静态 值的一半所需的时间，记为td;
动态性能指标
▪ 上升时间：响应曲线首次从静态值的10％过渡到90％所需的时间，记 为tr；
▪ 峰值时间：响应曲线第一次达到峰值点的时间，记为tp。
系统动态特性可归结为： 1、响应的快速性，由上升时间和峰值时间表示； 2、对所期望响应的逼近性，由超调量和调节时间表示。
对两个输入的输出为
系统对单位阶跃输入R(s)=1/s的稳态误差为
lim
t
e(t)
lim
s0
s 1
1 K 11s
(1) s
0
s(s 1)
对单位阶跃干扰D(s)=1/s，输入r(t)=0时，y(t)的稳态值为
1
1
lim y(t) lim
t
s0 s(s 12) K K
于是当K=100和20时，干扰响应的稳态值分别为0.01和0.05。
反馈能减小对象G(s)的 参数变化对输出的影响！
动态性能指标
研究线性系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的 响应过程曲线，
▪ 超调量：响应曲线第一次越过静态 值达到峰值点时，越过部分的幅度 与静态值之比，记为；
▪ 调节时间：响应曲线最后进入偏离 静态值的误差为5％(或2％)的范围 并且不再越出这个范围的时间，记 为ts；
PID控制器
PID控制器也叫三项控制器，它包括一个比例项，一个积
分项和一个微分项，其传递函数为
G(s)
KP
KI s
KDs
KP，KI，KD分别为比例增益、积分增益和微分增益。
如果令KD=0，就得到比例积分控制器(PI):
G(s)
KP
KI s
而当KI=0时，则得到比例微分控制器(PD):
G(s) KP KDs