第五章线性规划

第五章，线性规划

约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称为线性规划问题。

第一节，线性规划的标准形式和基本性质

1，数学形式：

求x =（x 1 x 2 … x n ）T

使f （x ）=c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n →min

且满足 a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1

a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =

b 2

…

a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =

b m

b j ≥0 （j=1，2，…，m ）

x i ≥0 （i=1，2，…，n ）

2，简化形式：

求x =（x 1 x 2 … x n ）T

使得f （x ）= c i x i →min n i=1

且满足 a ji x i n i=1=b j （j=1，2，…，m ）

x i ≥0 （i=1，2，…，n ）

3，约束条件为等式约束和变量非负，若出现不等约束则引入松弛变量和人工变量转化为等式约束；若不存在非负要求则把它们写成非负变量的插值。【不在乎多引入变量】 4，基本性质【有解条件和求解方法】

目标函数达到极小值的可行解即为最优解，处于多边形（或凸多面体）的顶点上，因此最优解不必在可行域整个区域内搜索，只要有限个顶点（基本可行解）中搜索即可。

第二节，基本可行解的转换

1，从一个基本解转到另一个基本解

Ax=b →高斯消去（转轴运算消去某变量）→（I 丨A n-m n ）=b'（正则方程组）→基本解

对正则形式方程组进行一次附加的转轴运算，可以使我们从一个基本解转换到另一个基本解，从而把基本变量与非基本变量进行交换。

2，从一个基本可行解转换到另一个基本可行解

选定某个变量x k （k=m+1，m+2，…，n ）进入基本变量，来替换另一个还在基本变量中的x s （s=1，2，…，m ）

正则方程组（I 丨A n-m n ）=b'

进基和出基的条件

a'lk >0；θ=min l （b'l /a'lk ）=x k

【重点】第三节，单纯形法

1原理：从一个初始基本可行解X 0出发，寻找目标函数有较大下降的一个新的基本可行解X 1,代替原来的基本可行解X 0，如此完成一次迭代。随后作出判断，如果未达到最优解，则继续迭代下去。因为基本可行解的数目有限，所以经过有限次迭代一定能达到最优解。 2 步骤：a ，整理为正则方程组，求初始基本可行解，带入目标函数，判断是否最优；b ，从原来的非基变量中选出一个进基变量称为新的基变量【目标函数的系数中最小的数（绝对值最大的负系数）】，从原来的基变量中选出一个离基变量使其成为新的非基变量【θ=min l （b'l /a'lk ）=x k 且满足非负要求】。c ，求出另一组基本可行解，判断是否最优，直到目标函数的系数为正。

第四节，算例（略）

第五节，修正单纯形法

改进的单纯形法,是在单纯形法的基础上减少了很多与换基过程无关的数值计算，因此称为在计算机上解线性规划问题的一种有效方法。

根据实际问题，加入松弛变量和人工变量，写出初始的基方阵E（p…），求E-1和基本解

x=（x E x F）T；计算cE-1A和r=c-cE-1A。对于非基变量计算相应r k=c k-f（a k）=c k-cE-1p k，r≥0则最优；选新基方阵p k找min r k＜0计算E-1p k，若E-1p k＜0则无解；选择离基x k，新方阵E'…