斐波那契数列

斐波那契数列算法分析

斐波那契数列算法分析

背景：假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？

在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。这就是著名的斐波那契（Fibonacci）数列。有趣问题：

1，有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

答：这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种方法……所以，1，2，3，5，8，13……登上十级，有89种。

2，数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少，就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？

答：这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。

数学表示：

Fibonacci数列的数学表达式就是：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

F(1) = 1

F(2) = 1

递归程序1：

Fibonacci数列可以用很直观的二叉递归程序来写，用C++语言的描述如下：

long fib1(int n)

{

if (n <= 2)

{

return 1;

}

else

{

return fib1(n-1) + fib1(n-2);

}

}

看上去程序的递归使用很恰当，可是在用VC2005的环境下测试n=37的时候用了大约3s，而n=45的时候基本下楼打完饭也看不到结果……显然这种递归的效率太低了！！

递归效率分析：

例如，用下面一个测试函数：

long fib1(int n, int* arr)

{

arr[n]++;

if (n <= 2)

{

return 1;

}

else

{

return fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);

}

}

这时，可以得到每个fib(i)被计算的次数：

fib(10) = 1 fib(9) = 1 fib(8) = 2 fib(7) = 3

fib(6) = 5 fib(5) = 8 fib(4) = 13 fib(3) = 21

fib(2) = 34 fib(1) = 55 fib(0) = 34

可见，计算次数呈反向的Fibonacci数列，这显然造成了大量重复计算。

我们令T(N)为函数fib(n)的运行时间，当N>=2的时候我们分析可知：

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + 2

而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，所以有T(N) >= fib(n)，归纳法证明可得：

fib(N) < (5/3)^N

当N>4时，fib（N）>= (3/2)^N

标准写法：

显然这个O（(3/2)^N）是以指数增长的算法，基本上是最坏的情况。

其实，这违反了递归的一个规则：合成效益法则。

合成效益法则（Compound interest rule）：在求解一个问题的同一实例的时候，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。

所以在上面的代码中调用fib(N-1)的时候实际上同时计算了fib(N-2)。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。

递归程序2：

用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率，用C++语言的描述如下：

long fib(int n, long a, long b, int count)

{

if (count == n)

return b;

return fib(n, b, a+b, ++count);

}

long fib2(int n)

{

return fib(n, 0, 1, 1);

}

这种方法虽然是递归了，但是并不直观，而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。

迭代解法：

Fibonacci数列用迭代程序来写也很容易，用C++语言的描述如下：

//也可以用数组将每次计算的f(n)存储下来，用来下次计算用（空间换时间）

long fib3 (int n)

{

long x = 0, y = 1;

for (int j = 1; j < n; j++)

{

y = x + y;

x = y - x;

}

return y;

}

这时程序的效率显然为O（N），N = 45的时候<1s就能得到结果。

矩阵乘法：

我们将数列写成：

Fibonacci[0] = 0，Fibonacci[1] = 1

Fibonacci[n] = Fibonacci[n-1] + Fibonacci[n-2] (n >= 2)

可以将它写成矩阵乘法形式：

将右边连续的展开就得到：