2018年上海市青浦区高三二模数学卷(含答案)

的取值范围为（
）．
（ A ） 2 2, 2
（B ） 2 2,1 2
e2
e1 A
O
（ C） 1 2,1 2
（D ） 1 2, 2
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在
（第 16 题图）
的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，在正四棱锥 P ABCD 中， PA AB 2 2 ， E ， F 分别为 PB ， PD 的中点．
3
2sin A cosB 3 sin A cosB
B (0, ]
2
6
∴ sin( B
1 ) ( ,0], 即 f (B) sin( B
1 )
6
2
62
1 f ( B) (0, ]
2
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
x2
解：（ 1）因为椭圆
C： a
2
y2 b2
1 (a b 0) 的一个顶点坐标为 A(2,0) ，即 a
2
又长轴长是短轴长的两倍，即 2a 4b b 1，
高三数学 第 5 页 共 8 页
x2
所以椭圆方程
4
y 2 1；
（2）解一：设直线 GH 的方程为 y k( x 1) ,点 G（x1, y1）,H( x2, y2 ) 则 G( x1, y1）
联立方程组
y x2
k( x 1)
4y2
消去 y可得 (1 4
4k 2 ) x2
8k2 x
4k 2
4
0
由韦达定理可得 x1 x2
8k2 1 4k 2 , x1x2
4k2 4 1 4k 2 ,
直线 G，H：y y1
y2 x2
y1 ( x x1
x1 ),
当 x 4时， y
y1
y2 x2
y1 (4 x1
x1 )=
．
a2 a sin 1
12．已知 M
a2 a cos
(a, 1
R , a 0) ，则 M 的取值范围是
．
高三数学 第 1 页 共 8 页
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的 相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设 , 是两个不同的平面， b 是直线且 b ．则“ b ”是“
即
2x y z 0,
n AF 0,
2x y z 0.
所以 y 0 ．令 x 1 ， z 2 ，所以 n (1,0,2) ．
因为平面平面 ABCD 的一个法向量为 m (0,0,1)
设 m 与 n 的夹角为 ， cos
mn
2
25
mn 1 5
5
arccos2 5 5
25 所以平面 AEM F 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 arccos ．
．
x 2, 6．若 x, y满足 x y 1 0, 则 z 2x y 的最小值为 ____________ ．
x y 2 0,
7．如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为
1 的正方形，
俯视图是一个直径为 1的圆，那么这个圆柱的体积为 __________ ．
8． (1
1 x2
)(1
x )6 展开式中 x2 的系数为 ______________．
且 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2) 0 ．给出以下三个命题： x1 x2
①直线 x 6 是函数 f ( x) 图像的一条对称轴；
②函数 f ( x) 在区间 9, 6 上为增函数；
③函数 f ( x) 在区间 9,9 上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有（
）．
（A） 0个
（B） 1 个
2 x2 3x2 5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(x2 x1) 2 3x1x2 x1x2
（ 2）已知数列 an 满足 an 2 a n 2a n 1 且 a2 a1 2 ，设 Sn 是该数列 a n 的前 n项和，试问：是否
存在这样的“封闭数列”
an ，使得对任意 n
N* 都有 Sn
1
0 ，且
1
1
8 S1 S2
1 11
，若存在，
Sn 18
求数列 a n 的首项 a1 的所有取值；若不存在，说明理由；
2．若复数 z 满足 2z 3 1 5i （ i 是虚数单位） ，则 z _____________ ．
3．若 sin
1 ，则 cos
3
_______________ ．
2
4．已知两个不同向量 OA (1, m) ， OB (m 1,2) ，若 OA AB ，则实数 m ____________．
5．在等比数列 an 中，公比 q 2 ，前 n 项和为 Sn ，若 S5 1 ，则 S10
5 1． x 1 x 5 或 (1,5) ； 2． 2 i ；
2
5． 33 ；
1
6． ；
2
1
3． ；
3 7． π；
4
4． 1； 8． 30；
151
9.
；
192
10. m
5；
11． [
1 ,1] ；
4
12.
7M 4
7
.
2
3
3
二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编
号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
5 分，否则一律得零分 .
13. A
； 14. D ； 15． B ； 16. C .
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
(cos x , 1) ， n
(
3 sin
x ,cos 2
x )
，设函数
2
2
2
（ 1）若 x [0,
] ， f ( x)
11
，求
x 的值；
2
10
f (x)
m n 1．
（ 2）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a, b, c 且满足 2bcos A 2c 3a, 求 f (B) 的取值范
2
解：（ 1）①当 a 0 时，函数的零点为 x
；
5
②当 a
25 且a 0 时，函数的零点是 x 5
25 8a
；
8
2a
③当 a
25
时，函数无零点；
8
（2）当 a 3时， f (x)
2 3x+5 ，令 g( x)
2 3x +5
x
x
任取 x1 , x2 ( , 1)，且 x1 x2 ，
2 则 g( x1) g( x2 ) x1 3x1 5
（ 3）证明等差数列 an 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数
m 1，使 a1 md ．
青浦区 2017 学年高三年级第二次学业质量调研测试
数学 参考答案及评分标准
2018.04
一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果 .
5
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
解：（ 1） f ( x)
3 sin x cos x cos2 x 1 3 sin x 1 cosx 1
22
2
2
2
3
1
1
s i nx c oxs
2
2
2
1
s ixn (
)
62
∵ f ( x) ∴x
6
11 sin( x
10 3
过定点 4,0 ．
20.( 本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分 .
设函数 f ( x)
2 ax 5 a R ．
x
（ 1）求函数的零点；
（ 2）当 a 3时，求证： f ( x) 在区间
, 1 上单调递减；
（ 3）若对任意的正实数 a ，总存在 x0 1,2 ，使得 f ( x0 ) m ，求实数 m的取值范围．
”的（
）．
（ A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件
（ C）充要条件
sin n
14．若已知极限 lim
n
n
（D ）既不充分又不必要条件
n 3sin n
0 ，则 lim
的值为（
）．
n sin n 2n
（A） 3
3
（B）
2
（ C） 1
1
（D）
2
15．已知函数 f ( x) 是 R 上的偶函数， 对于任意 x R 都有 f (x 6) f ( x) f (3) 成立，当 x1, x2 0,3 ，
青浦区 2018 届高三年级第二次学业质量调研测试
数学试卷
2018.04
（ 满分 150 分，答题时间 120 分钟 ）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果．
1．不等式 | x 3| 2 的解集为 __________________ ．
arcsin x 5
3 ) ;又 65
3
arcsin
6
5
x [0, ] 2
（2）由 2b cos A 2c 3a得2 sin B cos A 2 sinC 3 sin A
2sin B cos A 2sin( A B) 3sin A
2sin B cos A 2[sin AcosB cos Asin B) 3sin A
高三数学 第 4 页 共 8 页
所以 OA OP 2 ． 所以 A(2,0,0) ， B(0,2,0) ， C ( 2,0,0) ， D(0, 2,0) ， P(0,0,2) ， E(0,1,1) ， F (0, 1,1)．
所以 AE ( 2,1,1)， AF ( 2, 1,1)．
n AE 0,
设平面 AEMF 的法向量为 n ( x, y, z) ，所以
围．
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
已知椭圆
x2
C
： a
2
y2 b2
1 (a
b
0) 的一个顶点坐标为 A(2,0) ，且长轴长是短轴长的两倍．
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）过点 D (1,0) 且斜率存在的直线交椭圆于 G、 H ， G 关于 x轴的对称点为 G ，求证： 直线 G H 恒
解：（ 1）因为正四棱锥 P ABCD ，取 AB 中点 G ，连接 PG ，
PA AB 2 2 ， PG 6 ，
S全 =S底
S侧
(2 2) 2
1 4
22
2
（2）连接 AC ，连接 BD ，记 AC BD
6 8 83 O ，因为 OA ，OB ，OP
两两互
相垂直，如图建立空间直角坐标系 O - xyz ．因为 PB AB 2 2 ，所以 Rt △ POB Rt △ AOB ．
（ 1）求正四棱锥 P ABCD 的全面积；
（ 2）若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M ，求平面 AEMF 与平
答题纸 面 ABCD 所
高三数学 第 2 页 共 8 页
成锐二面角的大小（用反三角函数值表示） ．
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
已知向量 m
（ C） 2 个
（D） 3个
16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形
两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星
. 设正八角星的中心为 O ，并且
. 去掉
OA e1,OB e2 ．若将点 O 到正八角星 16个顶点的向量都写成
B
e1 e2， 、 R 的形式，则
y1x2
x1 y2 4( y2 x2 x1
y1 )
= k[5( x1
x2) 2x1x2 8] x2 x1
8k 2
4k2 4
k[5 1 4k 2 2 1 4k2 8]
x2 x1
40 k2 8k 2 8
k[ =1
4k 2
1 4k2
x2 x1
8] =0
所以直线则 GH 过定点（ 4,0） 20.( 本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分 .
9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同
学在物理、 化学、政治科目考试中达
A 的概率分别为
73 5
、、 ，
8 4 12
主视图 俯视图
这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得
2 个 A 的概率是
左视图 （第 7 题图）
．
10． 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [ 2,2] 上 的 奇 函 数 ， 当 x (0,2] 时 ， f ( x ) 2x 1， 函 数
21.( 本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分 . 给定数列 an ，若数列 an 中任意 （不同） 两项之和仍是该数列中的一项， 则称该数列是 “封闭数列” .
高三数学 第 3 页 共 8 页
（ 1）已知数列 an 的通项公式为 an 3n ，试判断 an 是否为封闭数列，并说明理由；
g(x) x2 2x m . 如果对于任意的 x1 [ 2,2] ，总存在 x2 [ 2,2] ，使得 f (x1) g( x2) ，
则实数 m 的取值范围是
.
11．已知曲线 C：y
9 x2 ，直线 l：y 2 ，若对于点 A(0, m) ，存在 C 上的点 P 和 l 上的
点 Q ，使得 AP AQ 0 ，则 m取值范围是