赛程安排数学建模问题

题目 赛程安排

摘要

赛程安排在体育活动中举足轻重，在很大程度上影响比赛的结果；本文主要针对最优赛程安排方案建立相应的数学模型，给出最优赛程的安排方案。

对于问题一，要给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛。因为参赛队伍只有5个，容易操作，所以可以利用排除-假设法可以得到一种满足条件的赛程安排，即,,,,,,,,,AB CD EA BC DE AC BD EC AD BE 。

对于问题二，考虑到各队每两场比赛中间至少相隔一场，我们用逆时针轮转法对比赛队伍进行排序，并根据这种方法，用Matlab 编出相应编程得出不同队伍比赛间隔的上限，再根据数据总结出规律，当N 为偶数时各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为22

N -场，用Matlab 软件验证其准确性。用同样的方

法可知，当N 为奇数时各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为

N 32

-（）。 对于问题三，在达到第二问上限的情况下，可通过轮换模型得到8,9N N ==的赛程安排。N 8=时一种赛程安排如下：

(1,2),(3,5),(4,6),(8,7),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,5),(2,6),(3,7),(4,8) 9N =时一种赛程安排如下：

(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6),(8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7),(2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3).

对于问题四，我们可以用每个队的每两场比赛中间间隔的场次数之和SUM 来衡量赛程的公平性。当SUM 不同时，SUM 大的队伍对其比赛结果越有利。当SUM 相同时，用每次间隔场次的标准差来衡量赛程的公平性，其中标准差越小的队对其比赛的结果越有利。当SUM 相同且每次间隔场次的标准差也相同时，两个队比赛时，我们用双方已参加比赛的次数来衡量比赛赛程的优劣，其中在双方比赛时，已参加比赛次数越少，其比赛的结果越有利。

关键词：排除-假设法 逆时针轮转法 Matlab 标准差

一、问题重述

1.1背景分析

当今社会，随着经济的增长和科学技术的发展，人们的生活水平不断的提高，体育竞赛也在日趋紧张的现代生活中被人们提到了越来越重要的位置。北京奥运会的成功更加提升了体育在人们生活中的份量，体育活动在生活中起着举足轻重的作用。而这些体育运动中，公平性又显得尤其重要。特别是在对抗性强的单循环比赛中，赛程安排的不同，对比赛结果响很大。本文主要着手于最优赛程安排方案，尽量给出赛程安排使得对每支球队来说都很公平。

1.2问题重述

假设你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛（所谓单循环赛是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次）要进行10场比赛。如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢？下面是随便安排的一个赛程: 记5支球队为,,,,

A B C D E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中, 随手填上1,2,3...10,就得到一个赛程, 即第1场A对B, 第2场B对C, ⋯, 第10场C对E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角。

这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等。表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, 有利E, 对D则不公平。

问题一：对于5支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。

问题二：当n支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少。

问题三：在达到2) 的上限的条件下, 给出8,9

==的赛程, 并说明它们

n n

的编制过程。

问题四：除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣, 并说明3) 中给出的赛程达到这些指标的程度。

二、模型假设

结合本题实际，为确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：

1、比赛期间，比赛不受任何外界因素影响。

2、每天比赛的时间段固定并且每场比赛时间相同。

3、任两球队在相同的休息时间里都能够得到同等程度的休息。

4、比赛在一天中指定的时间准时开始和结束并且严格按原赛程的规定执行，不存在因为其他原因造成的停赛的出现。

5、所建模型仅考虑开始比赛期间相邻两场比赛之间的休息时间队参赛队的影响，不考虑第一场比赛之前和最后一场比赛之后的休息时间对参赛队的影响。

三、符号说明

3.1符号说明

)

,2,3n

每个队的每两场比赛中间间隔的场次数的标准差

3.2名词解释:

1、上限

上限为每两场比赛中间相隔的场次数的最小值。

2、单循环赛

单循环赛是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。

3、排除—假设法

当某一变因素的存在形式限定在有限种可能（如某命题成立或不成立，如a与b大小：有大于、小于和等于三种情况）时，假设该因素处于某种情况（如命题成立，如a b

>），并以此为条件进行推理。

四、问题分析

4.1对问题一的分析

对于问题一，假设这五支球队分别定义为,,,,

A B C D E队，那么这五支球队

比赛的总场次数为10。第一场出场队伍组合有2

510

C=种可能，要满足各队每两场比赛中间都至少相隔一场这个条件，所以第二场比赛共有2

3

C种可能，以此类